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公設化集合論的奧秘 (8) 如何打造「測量」集合的武器?

翁 昌黎
・2015/01/07 ・2817字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 568 ・九年級
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文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

在之前的幾篇文章裡,我們用無限公設引入了第一個無限集合—全體自然數的集合N,之後又利用康托神奇的對角線方法證明了有一種集合的元素個數居然超過了全體自然數所形成的集合。按照直覺,我們可以輕易對有限集合的大小,也就是其所屬成員或元素的個數進行比較:比如集合A = {1, 4, 7}和集合B = {1, 2, 3, 4}。A有三個元素而B有四個元素,所以B比A大,意思是說B所含的元素比A所含的元素多。你會發現只要有小學低年級的數數能力就能夠判斷出每個有限集合的大小,方法就是細數每個集合元素的個數,即使元素個數很多,但只要你有足夠的時間和耐心,應該不太費腦筋就能完成這個任務。

但對於無限集合又如何呢?比如N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}和所有偶數集合E ={2, 4, 6, 8, 10…},到底哪個集合大?對此我們可以進行幾種猜測。首先,按照對有限集合的經驗,你會發現E比N少了許多元素,1、3、 5、 7、 9等奇數在E中都沒有出現,而且實際上整個奇數的無限集合O= {1, 3, 5, 7…}在E裡都付之闕如。因此我們似乎可以「合理」推斷N一定比E大,否則怎麼解釋那些「消失」的元素呢?

但若細想又會發現N和E的元素可以一直往後無盡延伸,既然兩者都沒有盡頭的話,那麼說N比E大又顯得不太合理,兩者應該一樣大才對啊!可是比N少了無限個元素的E怎麼可能和N一樣大呢? 或者有人乾脆說既然兩者都沒有盡頭那就表示無法比較,能夠作出比較的只能是具有某個數值的有限集合。

我們到底該何去何從?問題在於之前我們僅僅基於直覺和經驗而對有限集合的大小進行常識判斷,但我們並沒有提出一套標準和程序來衡量或測量集合的大小,此外我們對無限集合根本缺乏任何直觀經驗。世界上沒有人真的把自然數從頭到尾都數過一遍,要全數過了才叫作具有經驗。在純粹理論的世界裡,我們不能依賴經驗和直觀來確保知識的正確性,反之必須提出一套精確的概念和標準程序才行,這讓我們再次向康托求救。

他所採取的策略是用函數的對應關係來處理無限集合的大小。但在描述嚴格的函數定義之前,我們先簡述一下康托的原始構想。康托認為對任何集合來說,不一定非得把集合的所有家當(元素個數)統計加總之後才能做比較,我們可以讓兩個集合之間的成員一一配對,然後觀察依序配對之後哪個集合還有多餘的成員沒找到「搭檔」。這種配對類似一種抵消過程,抵消之後還殘留有多餘成員的集合就「勝出」。真不愧是一個聰明合理的辦法,一方面對有限集合來說,它的結果和小學生數數的方法完全一致,而額外的紅利是它還可以用來處理無限集合。

正所謂「工欲善其事,必先利其器」,要理解康托這個「隱藏家產」的數學策略首先要引入一個有利的數學武器,那就是如何定義兩個集合之間的等量關係,定義如下:

定義1   對任意兩個集合A和B,如果存在一個一對一(one-to-one )且映成(onto)的函數(function)ƒ : A→B,則稱A與B等量(equinumerous),寫成A≈B

其中A稱為函數ƒ的定義域(Domain),B 稱為函數ƒ的對應域(Co-domain)。那麼函數是個甚麼東東呢?通常的說法認為函數ƒ是建立在A和B兩個集合之間的對應關係,中學數學一般寫成y=ƒ(x),其中 x∈A且  y ∈ B,函數ƒ被認為是一個變動的y值,這個y因x的變化而不斷改變其值。

但回顧一下來時遙遙路,公設化集合論這門最嚴格的數學分支其基本原則是只允許用成員關係 ∈ 來討論集合(嚴格來講這句話只對ZF系統有效,若是另一套NBG系統則允許我們談論集合和真類)。現在半路忽然殺出函數這個異鄉人,我們該如何面對?對應關係雖不難理解,但它看起來有點抽象,更麻煩的的是雖然A和B都是集合,但這個抽象的所謂對應關係ƒ也是集合嗎?怎麼看都不太像,而且到目前尚未發現成員關係∈在函數的運算中佔有核心位置!

還好在抽象代數(或稱近世代數))和高等分析學裡對於函數有另一種表達方式,更常用來描述函數ƒ的是序對 (x , y)而不是對應關係y=ƒ(x) 。在代數或分析學的課本裡,函數經常被寫成類似這種形式:ƒ= {(x, y)| x∈A, y ∈ B, P(x, y)}。這樣寫之後函數的本質變得更加清晰具體了,一個函數 ƒ 是所有序對(x , y)所形成的集合,其中x是A的成員而y是B的成員,但必須滿足一個條件: 那就是每一個A集合的成員只能對應到一個B集合的成員,不能一個對兩個或更多個。用數學符號來表達就是:若  (x, y) = (x, z) ,則y=z。以 ƒ0:N→N為例,如果 ƒ0( 1 )=1且ƒ0(1)=2,那麼 ƒ0就不符合函數的資格,因為ƒ0讓1同時對應到兩個值。但函數卻可以允許像

ƒ1(1)=3,ƒ1(4)=3,ƒ1(10)=3,ƒ1(17)=3這種多對一的情況。

現在先停下腳步來解釋一下序對的性質。既然說是序對(ordered pairs),表示其成員間的前後次序是相當重要的。在集合裡,{a, b}和{b, a}被視為是相同的集合,換句話說,元素的前後次序對集合來說並不重要。但 (a, b)和(b, a)並非兩個相同的序對,它們代表兩個完全不同的物件。如果用序對來表示平面座標系裡的一個點,那(2,3)和(3,2)並不是同一個點,這是序對與集合之間的重大差別。

目前有了一點進展,我們讓函數從抽象的對應關係還原成某些序對的集合,接下來我們繼續追問一個問題:以序對為元素所形成的集合本身是集合嗎?答案的關鍵在於序對首先必須是集合才行,如果序對不是集合的話,那我們就無法將它們蒐集起來形成集合,這是公設化集合論的基本裝置。

因此要破解函數的真身首先必須破解序對的真身,當我們知道序對的真實身分之後,也就同時知道函數的真實身分了,因為函數是由序對所形成的集合。如果你只是一直望著序對 ( x, y)發呆,那很難看出甚麼端倪,我們需要一個破解序對的方法才行。波蘭數學家暨邏輯學家庫拉托夫斯基(Kuratowski)在1921年給出了目前使用最廣的用集合來界定序對的定義:

定義2   (a, b)= {{a}, {a, b}}

這個定義讓序對(a, b)可以寫成集合的形式。根據配對公設,{a}和{a, b}都是集合,再使用一次配對公設,把{a}和{a, b}抓起來形成的集合{{a}, {a, b}}也是集合,因此(a, b)是集合沒錯。通過了第一關,但我們仍然要進一步確認,這個定義是否符合我們期待序對應該擁有的性質,那就是我們可以根據前後兩個元素的選取而確定一個特定的集合。也就是我們要證明:

定理1  x, y, u, v都是集合,若(x, y)=(u, v),則x=u且y=v。

你可以先試著把它證明出來,我們把這個工作留待下回分解。但目前先「假裝」這個定理是正確的,之所以需要「假裝」,是因為在邏輯與數學的世界裡,除了公設和定義之外,任何的語句陳述未經證明都是可疑的,不可以想當然爾,也不能直覺認定,希望讀者們能養成這種多疑的「好習慣」。

透過上述的定義和定理,我們已經成功地把序對(x, y)轉化成合法的集合,但由於函數就是序對,所以經過這兩道手續之後我們已經成功地為函數取得集合的「身分證」。以後當我們使用函數或談到函數時,就完全可以把它們視同集合一樣。

從理論的觀點來看,這是個重大的進展,因為我們原先的目標是想要找到恰當的工具來測量集合的大小,而這項工具正是函數。現在我們進一步得知,這把測量「尺標」本身就是某種特定的集合。那麼要如何用函數這把尺標來測量集合的大小,尤其是無限集合的大小呢?只好等下回再分解了。

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翁 昌黎
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

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【2023 諾貝爾物理獎】什麼是「阿秒脈衝雷射」?能捕捉到電子運動的脈衝雷射?
PanSci_96
・2023/11/28 ・5940字 ・閱讀時間約 12 分鐘

林俊傑《江南》:「相信愛一天,抵過永遠,在這一剎那凍結了時間」

這一剎那持續了多久?這出自佛經的時間單位有多個解讀,其中最短,可以對應的國際單位制是阿秒。 1 阿秒又有多快呢? 1 阿秒等於一百萬兆分之一秒,是已經短到不行的飛秒的千分之一。在這段時間,別說是談戀愛了,連世界上行動最快的光,也只能移動一顆原子直徑的距離。

在阿秒的時間尺度裡,連光都得停下腳步,過去我們認為捉摸不定的電子,也終於將在我們眼前現身。 2023 年的諾貝爾物理學獎,正是頒給了三位帶領人類進入阿秒領域,探索全新世界的科學家。而這項技術,還可能讓電腦的運算速度加快一萬倍!

就讓我們一起來進入阿秒的領域吧,領域展開!

什麼是阿秒脈衝雷射?

今年諾貝爾物理學獎的三位得主分別是 Pierre Agostini 、 Ferenc Krausz 、和 Anne L’Huillier ,表彰他們對阿秒脈衝雷射實驗技術的貢獻。

圖/X

所謂的阿秒脈衝雷射,指的是持續時間僅有數十到數百阿秒的雷射。當我們能使用脈衝雷射來觀察目標,就好比使用快門時間極短的相機對目標拍照,能捕捉到瞬間的畫面。

2018 年的諾貝爾物理學獎,就頒給了極短脈衝雷射的研究。短短 5 年後,雷射領域再次得獎,但這次是更快的阿秒雷射,能捕捉到電子運動的超快脈衝雷射。

世界上沒有東西能真正的觸碰彼此?看見電子能帶來什麼突破?

為什麼看見電子的運動那麼重要呢?我們複習一下原子的基本構造,在原子核之外,帶有微小負電荷的電子,被帶正電的原子核束縛住。量子力學告訴我們電子沒有確切的位置,而是以特定的機率分布在原子核周圍的不同地方,也就是所謂的電子雲。

圖/YouTube

雖然電子的體積比原子核小很多,但電子雲的範圍,卻占了原子體積的絕大部分。在物理或化學反應中,真正和其他原子產生交互作用的,幾乎都是這些外面的電子。在電影《奧本海默》中,當男女主角手心貼著手心,奧本海默這時卻說:「世界上沒有東西能真正的觸碰彼此,因為我們觸摸到的物體,都只是其中原子的電子雲和我們手上的電子雲產生的斥力。」

圖/screenrant

對了,這種話也只有奧本海默跟五條悟可以講,一般人請不要隨便亂牽別人的手。

除了和心儀的他牽手,不同的電子排列狀態也會直接影響物質的化學活性、材料的導電導熱等基本性質,各種化學和物理過程都和電子息息相關。從非常實際的層面來說,電子可以說是物質世界最重要的基本單位。所以不難想像,如果我們能看見電子,甚至獲得可以操縱個別電子排列與能量的技術,我們能真正成為材料的創世神,許多不可能都將化為可能,是相當重大的突破。

捕捉電子運動有多困難?

但要操縱電子可不是什麼簡單的事,不只是因為電子非常小,更重要的是他們動得非常快。具體來說,電子在原子周圍跳動的週期時間尺度大約是十的負十八次方秒,也就是一阿秒。一顆原子的大小約是十的負十次方公尺,速度等於距離除以週期,換算下來,電子雲差不多是以光速等級的速度在原子核周圍跳動。

圖/wikipedia

如果要捕捉到阿秒尺度的電子運動,就必須將實驗的時間解析度也提升到阿秒等級,否則就會像是用長曝光鏡頭拍攝亞運競速滑冰比賽一樣,只能拍到一團糊糊的影像,而沒辦法分出勝負。

可是,在 1980 年代,脈衝雷射最快只能達到十的負十五次方左右,還只有飛秒等級。而且光靠當時的技術和材料優化,已經沒辦法再縮短脈衝時間了,因此這時候,就要從原理上重新打造一套方法了。

如何製造更快的脈衝?

首先,要製造更快的脈衝並不是用頻率更高的電磁波就好。你想,我們在拍照時,想要讓曝光時間更短,要改善的不是把室內光源從可見光改成頻率更高的紫外光,而是調快快門的開闔速度,讓光一段一段進入感光元件中,變成影片一幀一幀的畫面。而這一段一段進入像機的光訊號,就像是我們的脈衝。

不論是皮秒雷射、飛秒雷射還是阿秒雷射,一直以來在做的都是同一件事,在整體輸出功率不變的情況下,讓每一次脈衝的持續時間更短,同時單一次的功率也會更高。簡單來說,就是要從無數次的普通攻擊,變成每一次都是集氣後再攻擊。

但要怎麼為光集氣呢?光和其他波動一樣,可以和其他波動疊加。把不同頻率的光疊加在一起,波峰和波谷會抵消,波峰遇上波峰則會增強。只要用特定的比例組合許多不同頻率的光,就可以在整體總能量不變的情況下,產生一個超級窄的波峰,其他地方全部抵銷。

1987 年,本次諾貝爾獎得主之一的 Anne L’Huillier 教授發現,當紅外線雷射穿過惰性氣體時,氣體會被激發放出整數倍頻的光。也就是氣體放出許多不同頻率的光,而這些頻率都是原本光源頻率的整數倍,從兩倍三倍到三十幾倍以上的高倍頻光都有。而橫跨這麼大頻率範圍的光,就能組合出時間長度很短的脈衝光。

不過這聽起來未免也太好康了,真的有那麼簡單嗎?

這個看似魔法的實驗背後其實有著相當簡潔的物理圖像。電子原本是被電磁力束縛在原子中,當一道強度夠強的雷射通過氣體原子,原本抓住電子的電位能被雷射削弱。

雖然這道牆只是矮了一些可是還是存在,但此時,在電子的大小尺度下,量子力學發揮了作用。調皮的電子有機會透過量子穿隧現象,穿過這道束縛,暫時逃離原子核的掌控。關於量子穿隧效應的介紹,我們近期也會再做一集節目來專門介紹。

但電子還來不及逃遠,雷射光已經從波谷翻到波峰。電磁波的波谷與波峰,不是指能量的高和低,而是指方向相反。因此在相反的電磁場方向下,不幸的電子被推回原子核附近,再度被原子核捕獲。但在這欲擒故縱、七擒七縱的過程後,電子並非一無所獲,他所得到的動能會以光的形式重新放出。

而因為這些能量最早都來自雷射,因此電子放出的光波長,也剛好會是雷射的整數倍。再說的細一些,你可以理解為這些電子在吸收一顆顆光子後,一口氣釋放這些能量,所以能量都是一開始光子的整數倍。

在 1990 年代,科學家已經掌握了這個現象背後的原理。但一直到千禧年過後。這次諾貝爾獎得主之一 Pierre Agostini 教授和他的研究團隊才終於在適當的實驗條件之下,利用高倍頻光打造出了一連串寬度只有 250 阿秒的脈衝。同時第三位得主 Ferenc Krausz 也使用不同方法,分離出 650 阿秒的脈衝。

最後,獲得阿秒脈衝這個祕密武器之後,我們的世界將迎來哪些變化呢?

阿秒脈衝在各領域的應用

其實啊,有在關注諾貝爾獎都知道,諾貝爾獎通常不會頒給時下正夯的新興研究,前面講的研究,實際上都已經是二十多年前的往事了,而這些辛苦的科學家會在這麼多年後拿下諾貝爾獎的榮耀,正是因為阿秒雷射的發明經過了時間的考驗,成為非常普及的實驗技術,而且被大家公認為重要的科學貢獻。

當然,今年生醫獎的 mRNA 是個超快例外,有興趣的話,別忘了點擊下方影片,看看編劇都編不出來的 mRNA 研究歷程。

說了那麼多,阿秒雷射究竟對人類生活有什麼幫助呢?當然,它能讓我們更深刻了解物質還有光的本質,但是除了幫電子拍下美美的照片放在期刊的封面上,阿秒雷射可以用來做什麼?

在過去這二十年,許多研究已經找到了相當有潛力的應用。

舉例來說,在醫療方面,阿秒雷射可以用來分析血液或尿液樣本。控制良好的超短脈衝可以精準的刺激生物樣本中的各種有機分子,讓這些分子震動並放出紅外線訊號。如果使用的脈衝長度太長,分子釋放的訊號就很容易和原本施加刺激的雷射混在一起,造成量測的困難。唯有阿秒等級的超短脈衝能夠實現這樣的量測。

這些紅外線光譜就像是質譜儀一樣,能幫助我們快速分析血液中的蛋白質、脂質、核酸等重點物質的關鍵官能基狀態。並透過機器學習的方式整合,成為個人化的健康狀態報表,或是做為診斷的依據,將精準醫療提升到全新的層次。

圖/attoworld

不只如此,發送超短脈衝的技術也可能革新當今的電腦運算。電腦運作的方式就是利用電晶體這種微小的開關,不斷的開開關關去發送一跟零的訊號,所以開關電流的速度便決定了你的運算速度。以半導體為基礎的電晶體,工作頻率通常不超過上百 GHz ,在時間上也就是十的負十一次方秒。

自從阿秒雷射技術普及之後,就有科學家想到:既然雷射脈衝的速度更快,那不如就別用半導體了,改用光學脈衝來控制電流作為運算的媒介。這個概念叫做光學電晶體(Optical Transistor)。

今年初,亞利桑那大學的團隊便發展示了如何利用小於十的負十五次方秒的超短雷射脈衝,來開關電流並傳送一與零的位元,這個頻率比現有半導體電晶體快了一萬倍以上。這顯示了光學方法的操作頻率可以有多快,或許能讓我們突破訊號處理和運算上的速度瓶頸。

看完這些便可以理解,阿秒等級的超快雷射脈衝的確是相當近代的一個科學里程碑。就像是科學革命時望遠鏡和顯微鏡的發明,讓人們看見那些最遠和最小的事物,超快脈衝用最快的時間解析度,讓我們看到許多人類從未看過的景象。

阿秒脈衝雷射的出現,是科學上的一個里程碑,讓我們能用更高的時間解析度,讓我們看到許多過去從未看到的景象。最後也想問問大家,在雷射這一塊,你最期待有哪些應用,或者最希望我們接著來講哪個主題呢?

  1. 為什麼醫美、眼科手術那麼喜歡用飛秒、阿秒雷射,真的有比較好嗎?
  2. 使用雷射脈衝的光學電晶體真的有可能取代傳統電晶體嗎?
  3. 除了光學電晶體,最近很夯的矽光子技術,聽說裡面也有用到雷射,可以一起來介紹嗎?

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暗能量是什麼?看不到也摸不著,我們該如何找到它?
PanSci_96
・2023/11/27 ・5683字 ・閱讀時間約 11 分鐘

愛因斯坦對於宇宙的理解錯了嗎?

愛因斯坦的廣義相對論重新改寫我們對於時間、空間、與質量的認知,也開啟我們對廣大宇宙研究的大門。

在宇宙物理學如同大霹靂快速發展之時,我們也發現愛因斯坦最早提出的宇宙模型,可能並不完全正確。

正確來說,我們發現我們過去對宇宙的理解,可能真的太少了。少到我們至今所觀測到的所有物質,可能仍不到整個宇宙組成的百分之五。並不是說這些能量或物質距離我們太過遙遠,而是他們可能就在附近,而我們卻全然不了解它。

其中佔了將近宇宙組成七成的「暗能量」,到底是什麼來頭?我們能徹底了解它,同時能為我們宇宙的存在,提供一個正確的解釋模型嗎?又或者我們能掌握它,來改變宇宙的未來嗎?

暗能量(dark energy)到底是什麼?這聽起來有夠中二的名字,難道是暗影大人的新能力嗎?

其實暗能量的「暗」,指的是我們看不到也摸不到,用上各種波段的電磁波都察覺不到,甚至現今沒有任何儀器能偵測到它的存在。因為我們無法感受到它、不知道他們的型態,所以稱為暗能量。也就是說,如果暗影大人或是哪個最終 BOSS 的絕招是「暗能量波動」,當巨大的能量朝你襲來,不用擔心,站在原地就好,因為它只會穿過你的身體,打不中你的。同樣的,你可能聽過的「暗物質」,指的也是我們無法探知的未知物質。也就是說,暗物質並不是指某種特定物質叫做暗物質,任何我們現在還無法探測到的,都可能是暗物質的其中一種。題外話,近年某些暗物質面紗底下的容貌,已經逐漸能被我們窺見,例如微中子。這部分,之後我們介紹暗物質的節目中,再來好好討論,今天先來和大家聊聊佔了宇宙質能 7 成的暗能量。

矛盾大對決來了,既然我們摸不到,也看不到,我們怎麼知道暗能量存在,還是僅存在我們的中二想像中呢?我們得將時間回推到最早認為宇宙中有未知能量存在的那個人,他不是別人,就是鼎鼎大名的愛因斯坦。

1916 年愛因斯坦推導出廣義相對論,解釋物質和能量如何影響時空的彎曲和演化。愛因斯坦當時認為,宇宙應該是靜態的,但是若宇宙中只有物質,宇宙應該會受重力吸引而塌縮,因此需要與反向的能量來平衡重力,這股能量平均地存在在空間當中。愛因斯坦當時引入了宇宙常數 Λ 來平衡他的靜態宇宙模型,而直到非常近期的 1998 年,暗能量 (dark energy) 這個詞才由物理學家麥可.特納提出。

在愛因斯坦之後,著名宇宙學家傅里德曼提出不同看法,他認為宇宙不一定是平衡的,也可能正在收縮或膨脹當中,並根據廣義相對論推導出 Fridemann 方程式,關於 Fridemann 方程式的故事,先前我們有好好介紹過。

暗能量不只存在於理論上的預測,同時期天文學家開始發現我們熟知的銀河系,並無法代表整個宇宙,原來夜空中很多像星雲的天體,其實是遙遠的星系!宇宙遠比以前認為得大的太多了!1929 年,哈伯進一步發現,這些星系竟然正在遠離我們而去,而且距離我們愈遠的星系,遠離的速度就愈快!宇宙竟然真的是以地球為中心,而地球利用強大的排斥力,將其他星系用力向外推開嗎?當然不是,想像一下,宇宙就像一個葡萄乾麵包,上面布滿的葡萄乾就是各種天體,當麵包發酵膨脹時,不論站在哪顆葡萄乾的視角,所有天體的距離都是互相拉遠,而且距離愈遠的天體,彼此遠離的速度就愈快。

也就是說,哈伯觀測到的結果顯示整個宇宙正在膨脹。但還有一個問題,就是這個宇宙的膨脹速度,是隨著時間經過越來越快的加速膨脹,還是膨脹速度正隨著時間在趨緩的減速膨脹呢?為什麼這個問題很重要?因為如果是減速膨脹,靠現有的重力理論就可以解釋,宇宙中天體所提供的重力,正在使宇宙減速膨脹,甚至宇宙的結局可能會是宇宙重新塌縮。但如果宇宙正在加速膨脹,那麼只考慮重力就不夠了,為了抵抗向內塌縮的重力,勢必要有一股力量要將宇宙向外加速推開。這時,就需要加入暗能量的存在了。

宇宙真的正在加速膨脹?

為了確認宇宙正在減速或加速膨脹,好推算暗能量是否存在,科學家再次將目光投向宇宙深處。隨著觀測技術愈來愈進步,天文學家可以透過不同方式,觀測更早期的宇宙。

愈遠的天體發出的光,需要經過愈長的時間才能傳到地球。假設我們觀察離地球1億光年遠的星球,由於我們看到的影像是從星球出發後,經過 1 億年後才到達地球,因此在望遠鏡中看到的,其實是該星球一億年前的樣子。只要利用這點,如果我們將望遠鏡頭對向更加遙遠的宇宙深處,就能看到更早期的宇宙樣貌,幫助我們了解宇宙過去的樣子。

科學家主要透過三種方法,分別用來觀測晚期、中期、到早期的宇宙。第一種方法是觀測 Ia 型超新星爆炸,它指的是當一顆緻密白矮星到了生命末期,吸收大量鄰近伴星的氣體,使得內部重力超過某個極限,引發失控的核融合而形成的超新星爆炸。這個爆炸會在瞬間釋放出許多能量,亮度甚至可以媲美整個星系,因此即使是很遙遠的超新星也可以被地球觀測到。最受天文學家關注的是,因為每個 Ia 型超新星爆炸時產生的尖峰光度都相同,可以直接作為觀測或是亮度的比對參考點,又稱為標準燭光。當它離我們愈遠亮度就愈小,只要觀測亮度就可以得知它離我們的距離。

Ia 超新星殘骸。圖/wikimedia

接著,透過光譜分析,我們還能得到這個超新星遠離我的的速度。這就像是救護車在靠近和遠離我們的時候,警笛的聲音頻率會因為我們和救護車相對速度的改變而產生變化,同樣的道理放在電磁波上,當超新星遠離我們,電磁波頻譜的頻率會下降,我們稱為頻譜「紅移」。最後,只要我們同時觀測好幾顆超新星,並且量測每一顆的距離和遠離我們的速度,看看是不是真的離我們越遠的超新星離開的速度越快,就可以知道宇宙正在加速或是減速膨脹。

第二種方法是觀測宇宙大尺度結構,宇宙中星系的分佈其實是不均勻的,有些地方有星系團,也有一些地方是孔洞,整個宇宙就像是網子一樣。這是因為宇宙在形成星系時,向內的重力以及向外的氣體與光壓力會彼此抗衡,就像我們在擠壓彈力球一樣,向內壓時內部壓力會增強,導致物質向外拋射,壓力減弱後又會停止拋射,這樣來回震盪的過程,就在宇宙中形成一個個震波漣漪,稱為重子聲學振盪(BAO,baryon acoustic oscillations)。有趣的是,當好幾個地方都在震盪,就會產生類似好幾個水波互相撞在一起的干涉現象。而這個宇宙規模的超大水波槽中,波腹部份聚集較多物質就會形成星系團,波節部份不足以形成星系就形成孔洞,是不是覺得我們的宇宙就像是一鍋湯,而我們只是裡面毫不起眼的一顆胡椒粒呢?不過即使是連一粒胡椒都不如的我們,透過觀測宇宙星系分布並透過理論計算,人類科學家還是可以得知這些結構的大小,並且推知這些結構上的星系距離我們多遠,最後再搭配紅移光譜,一樣可以算出宇宙膨脹的速度。今年七月升空,11 月 8 號從太空傳回第一張照片的歐幾里得太空望遠鏡,它的其中一項任務,就是專門觀測重子聲學振盪,來研究宇宙大尺度結構。歐幾里得太空望遠鏡有望帶給我們對宇宙的全新認知,關於這一部分,我們很快會再來深入介紹。

第三種方法是透過觀測宇宙微波背景輻射,它是宇宙的第一道曙光,在此以前,宇宙能量很高,光和電漿相互作用,不會走直線。但是到了宇宙三十八萬歲時,宇宙已經冷卻到足以讓電子與原子核結合,宇宙終於變得乾淨了,光也終於可以走直線。而三十八萬歲時的早期宇宙的畫面,至今仍不斷經過遙遙 137 億年的時間抵達地球,被我們觀測到,稱為宇宙微波背景輻射。有趣的是,根據這些照片,我們能發現早在 137 億年前,宇宙各處就不是均勻的。透過分析這些微波的分布,科學家能計算出當時宇宙的組成成份。這時我們發現,目前的已知物質,也就是元素週期表上看得到的原子,只佔所有能量的 4.93%,而看不到的暗物質,佔 27.17%,那還有 67.9%,將近七成的組成分是什麼?科學家認為就是暗能量。

宇宙微波背景輻射。圖/wikimedia

哇!暗能量佔的比例這麼高?那我們未來有機會從空間中汲取無限的能量嗎?先不要想的這麼美,其實暗能量在宇宙中的密度很低,依照質能等價公式,質量跟能量是可以互相換算的。換算下來暗能量每立方公分只有 10 的負 24 次方公克,相比之下,水的密度是立方公分 1 公克!真的微乎其微。之所以暗能量在宇宙中佔的能量比這麼大,是因為它均勻的存在在廣大無垠的宇宙中,不像一般的物質,只集中在一些星系和星體中。

現在我們知道暗能量存在,而且量也不少,但回到最關鍵問題,這些暗能量到底是怎麼來的呢?

宇宙與暗能量的未來

科學家普遍認為暗能量是來自「真空能量」,根據量子力學,我們過往認為的真空,其實會不斷短暫的出現粒子並消失。而這些量子漲落便會產生真空能量。雖然這聽起來很玄,但各位看完我們的影片並按下訂閱之後,這些訂閱數就一定會是真的。都看到影片最後一段了,就拜託大家再多動一下手指吧!

而量子力學除了能在真空中產生真空能量以外,這個過程甚至可能幫助我們開啟蟲洞!關於真空能量與時空旅行的關係,可以參考我們的這一集哦(閃電俠)。

為了重新認識我們的宇宙,科學家此時再次拿出了宇宙常數 Λ 和 Fridemann 方程式,建立了一個可以完美解釋前面三種觀測結果的模型-ΛCDM 模型。

ΛCDM 是近代在解釋宇宙微波背景輻射、宇宙大爆炸時,最常被使用的理論。目前對於宇宙歷史與加速膨脹的圖像,也都基於此模型。

ΛCDM模型,加速擴張的宇宙。圖/wikimedia

不過 ΛCDM 理論仍有兩個致命的問題待解決。第一個是理論中的宇宙常數 Λ,應該要與位置、時間無關,是一個不隨時間變化的常數。然而針對觀測早期和晚期宇宙所計算出來的宇宙常數數值卻不一樣,要如何解釋這個觀測差異?第二個問題是,假設暗能量是真空中的量子漲落所造成,依此推算出的宇宙常數數值,還跟觀測差了 120 個數量級!也就是 10 後面有 120 個零,整個宇宙中的原子數量也才 82 個數量級而已!

因此科學家也提出其他可能的暗物質理論。比如認為暗能量不是來自真空能量,而是由一種未知的粒子場所驅動,而這個場與時間有關,導致早期和晚期宇宙的觀測結果有差異。還有人認為根本沒有暗能量存在,宇宙會膨脹,是因為愛因斯坦的廣義相對論在宇宙學這種大尺度中是不適用的!就像牛頓的萬有引力公式在地球上管用,到了太陽系規模就會出現誤差。或許在宇宙規模還有比廣義相對論更完備的其他理論等待我們發現!另一派科學家也認為沒有暗能量,我們會看到加速膨脹,只是因為銀河系剛好位於宇宙大尺度結構的孔洞中,也就是葡萄乾麵包裡面空氣比較多,口感比較鬆的地方,由於這個地方總體重力比較小,天體也就是葡萄乾之間向外膨脹的速度比較快,但不代表整個葡萄乾麵包都在加速膨脹,宇宙加速膨脹只是局部觀測的假象。

這些理論或許可以解釋部份的問題,但沒有一個能解釋所有觀測數據,而且由於觀測的限制,這些理論都缺乏數據的佐證。因此目前我們只能說,暗能量的效應確實存在,但我們還不知道它確切是什麼。

有人可能想問,研究暗物質對我們真的那麼重要嗎?其實,它不只影響了宇宙過去演化的歷史,也影響著我們將來的命運。由於宇宙膨脹,物質的密度會因為膨脹被稀釋,但如果暗能量是常數,就代表密度不會改變,因此宇宙會膨脹的愈來愈快,導致遙遠的星系加速離我們遠去,最後暗能量會超過所有的基本作用力,包括重力、電磁力和核力,星系、太陽系、地球都將被拉開,甚至中子和質子都互相分離,使原子不復存在,進入大撕裂時期,也將是宇宙最孤獨的結局。不過這是一百多億年後的事情,在那之前地球會先被死去的太陽吞沒,我們應該要先煩惱的是要如何移民其他星球才是。

最後總結一下,暗能量到底是什麼?很抱歉,經過了幾十年的努力,這個問題依舊是一個問號,但藉由宇宙學的研究,使我們更謙卑更加發覺自身的渺小,我們或許已經掌握許多物質運作的原理,也開發出許多高科技產品,但這些只是整個宇宙的 5% 仔,宇宙中還有許多未知等待我們去探索,而它深深關係到我們的過去和未來。

最後也想問問大家,你覺得當一切真相大白之時,我們會發現暗能量是什麼呢?

  1. 符合最直覺的 ΛCDM 理論,它就是宇宙加速膨脹的元凶!
  2. 它根本不存在,我們甚至需要比廣義相對論更強的理論來解釋!
  3. 依照人類這個物種的感知等級,可能永遠無法了解暗能量的真相!
  4. 我、我已經無法抑制我左手的暗能量了!啊啊啊~

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參考資料

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鑑識故事系列:Mark Bonnstetter 夢遊無罪
胡中行_96
・2023/11/27 ・3069字 ・閱讀時間約 6 分鐘

睡覺的時候,感覺有人手伸入她的睡褲,輕撫腹部。[1, 2]女子睜開雙眼。輕聲喚不醒身旁的男友,轉而大叫他起來開燈。突然亮起的光線下,一個約莫 178 公分高,85 公斤重的男人,站在床尾,自稱是對面鄰居。[1]

非當事人。圖/Adi Goldstein on Unsplash

感恩節週末

2006 年,38 歲的 Mark Bonnstetter 跟著懷孕的太太回娘家,[1, 2]期間第 3 個小孩誕生。全家多待一週後,[1]只有於東伊利諾大學(Eastern Illinois University)擔任首席運動傷害防護員的他,[1, 3]因為工作而提前在感恩節週末,回到伊利諾州 Charleston 市的 Woodfield 巷。[1, 2]返鄉過節的左右鄰居趁便請託,要他每日代為開燈,佯裝屋主在家,以防宵小。[1]

11 月 25 日那天,[1, 2, 4]Bonnstetter 晚上 6 到 9 點要工作。假期夜間照顧孩子,害他缺乏睡眠,還未及補足。逼得 Bonnstetter 早餐喝 2 杯咖啡;9 到 11 點再 2 杯;下午飲用 2 瓶 Diet Cokes;上班時又灌了大量 Diet Pepsi,好不容易才撐到收工。回到家即便不早,他仍記得幫忙鄰居點燈。終於就寢,卻沒睡好。凌晨 3 點醒來,睡著之後,又被聲音吵醒。[1]

循著噪音的源頭,Bonnstetter 望向窗外:對面沒有請他看家的那戶,燈亮著,前門微開。心懷守望相助的責任感,Bonnstetter 前去查勘。進入屋內,巡過一個又一個房間,關掉廚房的燈,再往主臥室走…。[1]

他聽到女性微弱的說話聲,變成喊叫。房裡的燈光,瞬時明亮。Bonnstetter 被請離,走著、走著,流連於廚房。女子不得不親自把人領到門口,再目送他跨過馬路返家。Bonnstetter 躺回床上,一覺天光。醒來後,整個過程忘得乾淨,照常出門上班。另一邊,女子的母親回來,聽說此事,通報警方。[1]

夢遊病史

Bonnstetter 跟他哥,童年時共睡一房。除了爸媽之外,兩人也是彼此夢遊(parasomnia;sleepwalking)的目擊者。[1]兒童夢遊的人口比例,較成年人高:學齡前約有 1%;學童則為 2% 左右。發生的頻率,通常一週幾次。少數成人受藥物或酒精影響,抑或是睡眠品質不佳時,也會夢遊。[5]Bonnstetter 雖然沒酗酒,但是妻子與岳父母,卻不時見他在夜間晃蕩。有一回到外地參加體育賽事,住同個旅館房間的醫師,發現 Bonnstetter 迷糊地邊走邊咕噥。安全起見,還特別知會當地警方。[1]

以往頂多是在屋裡「巡邏」,或探查窗外情況,Bonnstetter 的動機似乎出於保護家人,避免他們被不存在的危險傷害。這算是成人夢遊的典型之一。[1]眼神呆滯地四處走動之餘,有些人還會執行複雜的動作,像是進食、說話或者操作機器。[6]Bonnstetter 就偶爾會無厘頭地搬弄物品,例如:溫柔地把時鐘擺在嬰兒床上。過去不管是哪種情形,結果都無傷大雅。然而感恩節的意外,竟破天荒地鬧成了刑事案件。[1]

逮捕、起訴

11 月 28 日,Bonnstetter 遭警察逮捕。[2]他放棄保持緘默的權利,反覆否認性侵,只想向受害者致歉。原以為基於先前醫師通報的夢遊紀錄,警方能理解並放人,[1]沒想到 12 月 11 日 Bonnstetter 還是被起訴了。[2]據說罪名包括非法入侵、性侵,以及蓄意強姦未遂。[1]另一說是沒有被控性侵,但加上侵入竊盜。[4]

睡眠檢查

Bonnstetter 的律師建議他做睡眠檢查(polysomnography;sleep study)。[1, 2]廣義來說,涵蓋睡覺時的腦波、血氧、心律、呼吸,以及眼睛和腿的活動等;[7]而這裡大概會著重能提出證據的項目。Bonnstetter 最先拜訪的睡眠實驗室,聽說官司進行中,便拒絕了。於是,他改去若許大學醫療中心(Rush University Medical Center),找專治睡眠障礙的神經科醫師和心理師。[1]

2007 年 8 月 16 日的檢查報告,指出 Bonnstetter 罹患輕微的姿勢阻塞型睡眠呼吸中止症候群(positional obstructive sleep apnoea syndrome),[1]也就是躺著比較吸不到氣,側睡會好得多。[8]隔天計劃要再現出事那天的條件,攝取過多咖啡因,然後觀察睡眠。然而,這種作法須要大學研究委員會核可,訴訟在即,Bonnstetter 跟太太絕不能等。[1]

夢遊的條件

該醫療中心,受辯護律師委託出庭作證的 Rosalind Cartwright 醫師,手邊數據不足,只好拿既有資料,比對診斷標準。[1]睡眠有 4 個階段,前 3 個從 N1 到 N3,為非快速動眼期(non-rapid eye movement cycle;NREM);末了的則是快速動眼期(rapid eye movement;REM)。[9, 10]一般人每晚會以 N1、N2、N3、N2、REM 的順序,重複 4 至 5 輪。[9]典型的夢遊,起始於剛入睡的幾小時,即非快速動眼期的N3。[6, 9]Bonnstetter 不確定意外當天何時就寢,僅從下班時間和幫鄰居點燈等,估計應該是午夜。他可能3點和之後各醒來一次。而根據被害人的說法,Bonnstetter 約莫於早上 4 點半至 5 點之間,擅闖民宅。由此或許能勉強推測,事發時間在第二輪的非快速動眼期。[1]

為求更精確的診斷,Bonnstetter 睡眠檢查的光碟,被送往史丹佛大學(Stanford University)。該校以Christian Guilleminault 為首的 3 名醫師,於 2008 年 3 月 3 日的報告裡,寫道Bonnstetter整晚的第一輪非快速動眼期,腦部慢波活動較一般的平均值低。文獻指出,若再加上下列兩個條件,就有可能導致夢遊:[1]

  1. 之前的睡眠剝奪,讓現在更需要慢波睡眠(slow-wave sleep)[1]也就是非快速動眼期的 N3[9]的確,感恩節那幾天,Bonnstetter 沒睡飽,迫切渴求補眠。[1]
  2. 有某個同步的刺激,提升從慢波睡眠醒來的機會。事發前 Bonnstetter 在 14 個鐘頭內,攝取 826 毫克的咖啡因。咖啡因會阻斷腺苷受器(adenosine receptors),睡眠剝奪後,緩慢接收 600 毫克,就足以促進清醒。甚至有研究認為,夢遊時的暴力行為,跟過量的咖啡因有關。好在他敦親睦鄰,沒有大打出手。至於輕微的睡眠呼吸中止症候群,也是會使他醒來的原因之一。[1]

除此之外,Bonnstetter 在非快速動眼期,睡睡醒醒的循環交替異常頻繁,是夢遊者典型的症狀之一。[1]

無罪釋放

2007年初,東伊利諾大學的實習刊物《每日東部新聞》(The Daily Eastern News),質疑 Bonnstetter 何以持續任職,還討論他是否曾與運動員單獨接觸。文章內容鉅細靡遺,不僅有律師和學校多位主管的名字,連被告與受害者的完整住址,都寫得一清二楚。[2]想必在校內及附近社區,掀起軒然大波。

2008 年 10 月 24 至 27 日,案件開庭。[1, 11]辯護律師以圖表說明,夢遊者跟正常人在非快速動眼期的慢波差異。陪審團專注聆聽,Bonnstetter如何意識矇矓地誤闖民宅。檢察官則以Bonnstetter在燈亮後,還能自我介紹為由,駁斥此番論述。律師隨即強調夢遊後的失憶,證明被告當時的精神狀態不佳。雙方一來一往,嚴密攻防。[1]26日《每日東部新聞》立場轉變,大量引用Rosalind Cartwright醫師等專家證人的說法,解釋夢遊的可能性。[4]27日,陪審團採信醫學證據,在傍晚6點做出無罪判定。[11]

洗清冤屈的Bonnstetter,後來繼續在原部門服務,並逐步升遷。[3]Rosalind Cartwright和Christian Guilleminault醫師,則於2013年7月的《臨床睡眠醫學期刊》(Journal of Clinical Sleep Medicine)上,介紹此案背後的學理根據。[1]

  

參考資料

  1. Cartwright RD, Guilleminault C. (2013) ‘Defending sleepwalkers with science and an illustrative case’. Journal of Clinical Sleep Medicine, 9(7):721-6.
  2. Daniels M. (12 JAN 2007) ‘Bonnstetter working despite charges’. The Daily Eastern News, Eastern Illinois University, U.S.
  3. Mark Bonnstetter’. The Eastern Illinois Panthers, Eastern Illinois University, U.S. (Accessed on 14 NOV 2023)
  4. Di Benedetto S. (26 OCT 2008) ‘Doctor says Bonnstetter was likely sleepwalking’. The Daily Eastern News, Eastern Illinois University, U.S.
  5. Parasomnias: Sleepwalking’. Johns Hopkins Medicine. (Accessed on 15 NOV 2023)
  6. American Psychological Association. ‘Sleepwalking Disorder’. APA Dictionary of Psychology. (Accessed on 15 NOV 2023)
  7. Polysomnography (sleep study)’. (17 FEB 2023) Mayo Clinic.
  8. Srijithesh PR, Aghoram R, Goel A, et al. (2019) ‘Positional therapy for obstructive sleep apnoea’. Cochrane Database Systematic Review, 5(5):CD010990.
  9. Patel AK, Reddy V, Shumway KR, et al. (07 SEP 2022) ‘Physiology, Sleep Stages’. In: StatPearls. Treasure Island (FL): StatPearls Publishing.
  10. Newsome R, Singh A. (15 May 2023) ‘Slow-Wave Sleep’. Sleep Foundation.
  11. Mellendorf K. (27 OCT 2008) ‘Bonnstetter found not guilty’. The Daily Eastern News, Eastern Illinois University, U.S.
胡中行_96
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曾任澳洲臨床試驗研究護理師,以及臺、澳劇場工作者。 西澳大學護理碩士、國立台北藝術大學戲劇學士(主修編劇)。邀稿請洽臉書「荒誕遊牧」,謝謝。