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別被自己的眼睛騙了!-神奇的幾何學

活躍星系核_96
・2014/11/20 ・3909字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 571 ・九年級

文/ Rinus Roelofs
譯/余筱嵐

「立面化」(elevation)

在《神聖比例》(La Divina Proportione)一書中,盧卡・帕西奧利(Luca Pacioli)及李奧納多・達文西(Leonardo Da Vinci)介紹了立面化的柏拉圖立體及部分立面化的阿基米德多面體。圖一及圖二正是達文西所繪製的柏拉圖立體及立面化的柏拉圖立體。

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圖一、柏拉圖立體(由左至右分別是:正4面體、正6面體、正8面體、正20面體及正12面體)
1-2
圖二、立面化的柏拉圖立體

何謂多面體的立面化結構?在《神聖比例》第49章中第6及第7段,帕西奧利描述正6面體的立面化結構如下:“⋯⋯它被24個三角形的面包圍,這個多面體的外觀是由6個四角錐所構成,內含一個正6面體,這6個四角錐即分別放置在此正6面體的6個面上。然而,我們只能想像這個正6面體的存在,因為在外觀上,它被6個四角錐緊密包覆,而這6個正方形的面正是這6個四角錐的底面。”

總和而言,這個物體是由24個正三角形的面加上6個隱藏的正方形的面所構成,如圖三分解圖所示。

關於立面化的八面體(octahedron elevatus),帕西奧利寫道(第50章中第19及第20段):“這個物體的外觀是由8個三角錐所構成,內含一個正8面體。”表示這個物體是由32個正三角形的面所構成。當然,其中8個是隱藏的。

1-3
圖三、立面化正6面體(左)及立面化正8面體(右)分解圖

「星狀化」(stellation)

帕西奧利並沒有真的給「立面化」下一個定義,但是他的描述是非常明確的。在1619年,大約一個世紀後,克卜勒為多邊形及多面體定義「星狀化」:這是一個延伸邊或面的過程,直到這些延伸的邊或面相遇而產生新的多邊形或多面體。

根據克卜勒的定義,星狀化的正8面體的面數和正8面體的面數一樣,因為正8面體中8個三角形的面延伸成為8個較大三角形的面,這些較大三角形的面兩兩相交成為星狀8面體(Stella Octangula),或者也稱為克卜勒星狀多面體(Kepler Star)。艾雪(M.C. Escher)的作品「兩個世界」(Two worlds,圖四)可以讓我們看見這個物體,事實上,正是由兩個互穿的正4面體組合而成。

1-4
圖四、艾雪「兩個世界」    圖五、克卜勒星狀多面體    圖六、艾雪「重力」

「立面化」vs. 「星狀化」

立面化正8面體與星狀化正8面體有一個根本的差異,立面化正8面體有32個面,而星狀化正8面體則有相交的8個面。除此之外,還有一個重要的差異,在克卜勒的定義中談及了一個過程,但帕西奧利的描述則僅止於最終的結果,然而,我們可以重新定義立面化的過程為:多面體立面化的過程,是一個將多面體上每個面的中點向外提升,直到提升的中點與原來多面體的面相鄰的兩個頂點構成正三角形為止。

推廣這個定義,可以不必要求這些三角形必須是正三角形。根據這個定義,帕西奧利的立面化正12面體,可視為在正12面體與克卜勒星狀12面體之間的一個步驟。艾雪(M.C. Escher)作品「重力」挪去部分星狀結構的面,讓我們更清楚看見這個構造。關於這個作品,艾雪寫道:“在正12面體的每個面上,我們可以看到各有一隻怪獸,牠的身體被五角錐所捕獲。”這和帕西奧利描述的立面化多面體十分相似。採用立面化的新定義,我們可以比較由正12面體構成立面化正12面體的過程,以及由正12面體構成克卜勒星狀12面體的過程。

圖七及圖八顯示正12面體上半部(僅顯示正12面體其中6個五邊形的面)立面化及星狀化的過程,在立面化的過程中,第三個步驟顯示的物體即為《神聖比例》書中發表的物體。但是,當我們繼續這個立面化的過程,我們將得到與星狀12面體相似的結果。因為,此時立面化形成的三角形的面,與原來正12面體的面共面。兩個最終物體最大的不同在於面的個數,立面化正12面體仍然保有五邊形的面,所以,兩個物體都是雙層的結構。

1-5
圖七、立面化
1-6
圖八、星狀化

二次星狀化

由正20面體三角形的面開始延伸產生星狀20面體,圖九顯示動態過程中的四個步驟,在星狀化的過程中,這是我們得到一個新的多面體,每個面的(第一個位置)單元構件。(圖十)

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圖九、一次星狀化正20面體,每個面形狀的形成過程
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圖十、一次星狀化正20面體

不過,我們可以繼續這個過程,並且進一步延伸這些面(圖十一),將得到(第二個位置)每個面的單元構件,所構成的多面體,如圖十二所示。

1-9
圖十一、二次星狀化正20面體,每個面形狀的形成過程
1-10
圖十二、二次星狀化正20面體

就像艾雪的作品「重力」,我除去了每個面的一部份,讓構造更顯而易見。我十分著迷於現在每個面上所呈現的結構,它並不是一個三角錐,而是三個某個程度變形的三角錐彼此相交的結構。所以,再一次星狀化過程的結果產生非常有趣的結構。現在引發的問題是:在立面化的操作中,也有可能產類似的情形嗎?我們可以定義二次立面化嗎?我們可以期待將會生成什麼樣的物體呢?

二次立面化

採用推廣的立面化定義並應用於正8面體,向外提升正8面體每個面的中點,直到所產生的新形體類似於另一個多面體為止。在這個操作下,第一個得到的是菱形12面體。在這個菱形12面體上,再次採用同樣的操作,並且稱其結果為正8面體的二次立面化,我們停止此操作於:所提升的面與原來菱形12面體的面共面。

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圖十三、正8面體的一次及二次立面化

最右邊的圖形與艾雪所建構的其中一個多面體一樣(圖十四),並且使用於其作品「瀑布」(Waterfall)中(圖十五)。

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圖十四、艾雪多面體的輪廓               圖十五、「瀑布」(Waterfall)

「立邊化」

進一步探討最終的圖形(圖十三),讓我得到一個結論,我們也可以將此圖形視為:在正8面體的每個邊上,都有一個某個程度變形的菱形角錐,而這十二個角錐圍繞此正8面體。意思是說,我們也可以提升正8面體每個邊的中點,得到一樣的圖形。因此,我們可以定義一種新的變換:「立邊化」(Edge Elevation)。立邊化的操作方式為:每個邊的中點與每個面的中點連接,接著提升每個邊的中點,伸展直至此連結(在原來每個邊的位置上)形成由周圍(不包括底面,底面為菱形)四個三角形構成的角錐為止。

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圖十六、立邊化正8面體的形成過程
1-14
圖十七、顯示模組化元件之立邊化正8面體的形成過程

圖十六描述的正是這個操作的過程。圖十七則顯示同樣的過程,但是採用艾雪在作品「重力」(圖六)中的手法,展示其結構。

正4面體及正20面體

當我們應用立邊化於其他多面體,比如說:正4面體及正20面體,這些物體發展的過程如圖十八及圖十九。立邊化正20面體最終的狀態與二次星狀化正20面體類似。至於正4面體經由立邊化的操作後,我們則得到一個新的物體。

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圖十八、立邊化正4面體的形成過程
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圖十九、立邊化正20面體的形成過程

構造元件

縱使立邊化正20面體看起來與二次星狀化正20面體類似,然而,其中卻有很大的不同點。當我們分析兩個物件的構造,我們會發現它們的面是不一樣的。圖二十的左邊是二次星狀化正20面體的一個面,而右邊是兩個相鄰的立邊化正20面體的面。為了建構立邊化的多面體,我用鐳射切出了這些面,兩個面一組,兩面共用的邊即為其上的摺線,紙的模型顯得相對容易建構。

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圖二十、二次星狀正20面體的面及立邊化正20面體的相鄰兩個面

我首先連接三組面,開始建構立面化正20面體。

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圖二十一、構造元件、三組連接元件頂視圖及三組連接元件底視圖

如同各位所見,當我們連接越多元件,外部的結構變得十分複雜,然而,多面體的內部結構則一直是菱形的圖案。(圖二十二及圖二十三)

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圖二十二、連接十組面              圖二十三、連接二十組面

例子:測地線球面(Geodesic Sphere)

提升多面體邊的中點之操作方式,可應用於更多不同的物體。比如說:我限定自己嘗試三角形所構成的物體,這些三角形並不需要是正三角形,如圖二十四至圖二十七的測地線球面。因為這些構造都是雙層的,所以十分堅固,甚至可以建構穹頂構造。

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圖二十四、測地線球面(內部)               圖二十五、測地線球面(外觀)
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圖二十六、測地線球面                圖二十七、半球面(穹頂)

例子:柱面(Cylinders)

最後一個例子,我想呈現柱面的構造。(圖二十八及圖二十九)其根本的多面體是螺旋狀的三角化多面體(helical deltahedra)。我想我們可以總結:「立邊化」是一個有趣的新操作,讓我們可以產生出許多有趣的構造。

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立邊化柱面                         立邊化柱面

參考資料:

  1. Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, UK, 1997.
  2. Luca Pacioli – Leonardo da Vinci, La Divina Proportione, 1509, Ed. Akal, S.A., Madrid, 1991
  3. Luca Pacioli, Divina Proportione: Die Lehre Vom Goldenen Schnitt, 1509, Ed. Carl Graeser, Wien, 1896.
  4. Red. J.W. Vermeulen, Hetoneindige, M.C. Escher over eigen werk, Meulenhoff, Amsterdam, 1986.
  5. Magnus J. Wenninger, Polyhedron Models, Cambridge University Press, UK, 1971.

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活躍星系核_96
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每人要種多少棵樹,才能抵銷一年所排放的二氧化碳?大約 20 棵

ntucase_96
・2022/01/02 ・2822字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文轉載自 CASE 科學報你一年的碳排放量,要用幾棵樹來抵?單木材積及固碳量計算

氣候變遷是近年最受重視的議題之一,十九世紀以來,由於工業化的開展,人類製造的二氧化碳量年年攀升,造成地球氣候的劇烈改變。你知道你一年當中,上廁所、煮飯,上網搜尋資料,還有雙十一和黑色星期五的網購和外送,以及其他所有日常行為,共排放多少二氧化碳嗎?

根據行政院環保署的報告,2019 年台灣每人每年平均排放二氧化碳當量約為 10.96 公噸/人[1]。十公噸大約等於一台大卡車的重量,聽起來相當驚悚,不過,你有沒有想過,要種多少棵樹,才能抵銷你排放的二氧化碳業障呢?

圖/Pexels

計算一棵樹的材積量

將碳排放量換算成樹木材積,並不是一件太難的事情,但需要一些計算步驟。你可能會覺得,一棵樹的材積量有什麼難的?阿不就一根長長圓柱體,底面積乘上樹高就打完收工了。

如果抱著這樣的想法,那就大錯特錯了!因為樹幹不是圓柱體,而是類似圓錐的形狀,並且可以切分成轆轤體、圓柱體、拋物線體和圓錐體四個部分計算(圖 1),如果用圓柱體計算,會出現很大的誤差!

(圖 1)單木縱剖面圖。 圖/Case 科學報

為了盡可能計算出正確的材積,林業領域有一套特定的計算方式。根據行政院農業委員會辦理國有林林產物處分作業要點,材積式的公式如下:

立木材積=(胸高直徑)2×0.79×樹高×形數

上面的算式中,胸高直徑、樹高為測量值,0.79為固定數,而形數指的是「立木材積形態常數」,下面用更白話的方式說明專有名詞所代表的涵意。

  • 胸高直徑(DBH , diameter at breast height,後簡稱胸徑)是林木測量時,最重要的測量值,它不但與樹幹材積的關係相關,且測量容易、誤差也較少,因此是調查時相當重要的一項參數。顧名思義,胸高直徑指的是人類站立時,胸高位置處,該處樹圍的直徑長,臺灣胸高直徑位置,指的是距離地面 1.3 公尺處,與歐洲各國相同。
  • 樹高,很直觀,就是樹的高度。測量樹高的方式不少,有直接測量、三角測量法等,雖然觀念簡單,但實際上測量作業卻相當不容易,一棵樹動輒十幾公尺,知名的【撞到月亮的樹】台灣杉(Taiwania cryptomerioides),甚至可以高達 70 公尺。因此,測量樹高遠比測量胸徑要花更多時間和力氣[2]
  • 立木材積形態常數,是考慮前述樹幹並非圓柱體的狀態,將計算值乘以此常數,使材積數值趨近於真實的情況。形數可藉由查閱「臺灣林產處分調查用立木材積表」(簡稱立木材積表)得知,若想要測量的樹種類形並沒有列在立木材積表上,則形數以 0.45 計算。
台灣杉(Taiwania cryptomerioides)。圖/iNaturalist

現在,假設我們要測量路邊一棵行道樹的材積,我們需要先測量它的胸徑、樹高。一棵胸徑 47 公分,樹高 11.01 公尺的行道樹[3],材積為:

(0.47)2×0.79×11.01×0.45≒0.8646(m3)

也就是說,這棵行道樹的材積量為 0.8646 立方公尺。[4]

如何換算碳儲存量?

一棵活生生的樹木跟人一樣,含有許多水分,且並非通通由碳所構成,所以單位材積同樣要經過換算,才能知道這棵樹到底含有多少公斤的碳。材積換算成固碳量的算式如下:

固碳能力 = 材積×絕乾比重×碳含量比例

絕乾比重,指的是木材經過烘乾,水分完全蒸發後,剩下的重量比例,而碳量百分比代表絕乾狀態的木材中,所含有碳的比例。如果要從頭算起,需要花不少的時間,不過這裡提到的兩個數據,都有現成的文獻可以參考(表 1)[5]

(表 1)臺灣常見造林樹種絕乾比重、碳含量百分比及轉換係數。
學名依照TaiCOL網站紀載,註記 * 號者,代表與原文獻不同。 圖/Case 科學報

因此,假設剛剛我們量的那棵行道樹為樟樹(Cinnamomum camphora),那麼,絕乾比重為 0.37,含碳量為 47%,那麼,這棵樹所含的碳重為:

0.8646×0.37×0.47 ≒ 0.150(t) = 150(kg)

也就是說,今天路邊一棵胸徑 47 公分,樹高 11 公尺左右的樟樹,它的固碳量僅有 150 公斤(而已)。

答案揭曉啦!

到這邊,你每年燒掉的樹木數量,已經呼之欲出了,1 公斤的碳,完全燃燒後約會產生 3.67 公斤的二氧化碳[6],讓我們繼續沿用那棵樟樹的數據,一棵樹可以儲存 150 公斤的碳量,則燃燒一棵樹,可以產生 550.5 公斤的二氧化碳。

一開始提到,台灣人每年平均排放 10.96 公噸的二氧化碳,因此:

10.96×1000÷550.5≒19.91(棵)

也就是說,你一年的碳排放量,大約等於燒掉 20 棵一個人無法合抱的大樟樹。當然,環保署的報告是將全台灣工業、製造業排放量都一起平均,對於小老百姓來說,可能有點不公平,不過不可否認,這樣的數字仍然很驚人。

一棵樹能長成大樹,需要花很多的時間,相當不容易,所以,還是不免俗的呼籲大家,減少垃圾排放,落實永續生活,並且,有機會就多種樹,對地球、環境來說,才是更友善的做法!

註解

  1. 行政院環境保護署(2001)我國國家溫室氣體排放清冊報告
  2. 外業調查中,因為逐棵測量樹高過於花費時間和人力成本,所以會使用胸徑與樹高間的換算公式,讓測量人員只要量胸徑,就可以推斷出樹的高度,此函式即稱為樹高曲線式。樹高曲線式的函式不只一種,藉由量測樣區內樣木的胸徑及樹高資料,配適(fit)若干個樹高曲線式,再用其他樣區的資料,找出預測表現最好的樹高曲線式,接下來的調查,就可用胸徑量測值推估樹高。
  3. 此數值參照台北市行道路燈資訊網,樹籍編碼 DA0070211149 之行道樹。https://geopkl.gov.taipei/
  4. 算式中的胸徑單位為公尺(0.47 公尺 = 47 公分)
  5. 林裕仁(1998)森林減碳能力之推算方法。《農政與農情》第 193 期。https://www.coa.gov.tw/ws.php?id=17871&print=Y
  6. 1 莫耳的純碳重量為 12 克,1 莫耳的二氧化碳重量為 44 克,比例為 44÷12≒3.67

參考文獻:

  1. 中華民國國家溫室氣體排放清冊報告
  2. 中興大學森林系空間資訊研究室彙編講義-林木測計學 第五章 立木測計
  3. 行政院農業委員會辦理國有林林產物處分作業要點
  4. 森林減碳能力之推算方法
  5. 攀上70公尺高「撞到月亮的樹」 澳洲團隊首度為台灣杉攝下「等身照」——環境資訊中心
  6. 臺灣物種名錄

ntucase_96
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CASE的全名是 Center for the Advancement of Science Education,也就是台灣大學科學教育發展中心。創立於2008年10月,成立的宗旨是透過台大的自然科學學術資源,奠立全國基礎科學教育的優質文化與環境。