「雙子質數無限說」，初步論證

十六世紀初的環球航行

既然史上第一次環球航行到十六世紀初才完成，埃拉托斯特尼在公元前 240 年又是用什麼方法，這麼準確估算出地球周長呢？他顯然不可能用捲尺繞地球一圈。他的替代做法是先測量地球表面上的一小段距離，再利用一些巧妙的數學運算，省去必須測量整段長度的麻煩。

埃拉托斯特尼掌管古代最好的亞歷山卓圖書館，在幾個科學領域都有極有趣的貢獻，包括數學、天文學、地理學、音樂等等。不過，儘管他有新穎的工作成果，同時代的人卻瞧不起他的能力，還給他「第二名」（Beta）這個綽號，暗示他不是第一流的思想家。

質數表的誕生

他提出的聰明想法之一是，用有系統的方式產生一系列質數。為了找出從 1 到 100 之間的所有質數，埃拉托斯特尼提出以下的程序。從 2 這個數開始，刪掉隨後所有 2 的倍數，只要在數字表中刪除每走 2 步遇到的整數就行了。接著走到 2 以後還沒刪掉的下一個整數，顯然是 3，現在要有系統的刪除每走 3 步遇到的所有數字，就刪掉了 3 的所有倍數。這個方法在此刻開始顯出自己的本領。整數表中還沒有刪掉的下一個數是 5，重複我們在前面兩個數所用的方法，把每走 5 步遇到的數字全部淘汰掉。

這個程序的要訣是：移到下一個還保留著的數字，然後往後面刪掉這個新數字的所有倍數。如果你做得很有系統，把 7 的倍數都淘汰之後，就會產生一個小於 100 的質數表。

這個程序極為聰明，省去了必須考慮很多的麻煩，非常適合電腦執行，但若要大量產生質數，它的問題是很快就會變得效率低落。它是思考的捷徑，可以讓你像機器般產生質數表，但這不是我想在本書裡頌揚的那種捷徑。我想要的是發掘質數的聰明策略。

利用太陽的位置計算地球周長

不過，我要給埃拉托斯特尼的地球周長計算工作打高分，因為太巧妙了。他聽說斯溫尼特（Swenet）城裡有一口井，太陽每年會有一天在它的天頂。太陽在夏至正午直射井底，不會在井邊投下任何影子。斯溫尼特就是今天的亞斯文（Aswan），離北回歸線不遠，北回歸線位於北緯 23.4 度，是我們發現太陽能夠從頭頂直射的最遠位置。

埃拉托斯特尼知道可以利用這個和太陽位置有關的資訊，在夏至這天進行實驗，讓他算出地球的周長。雖然這樣他就不必用捲尺繞地球一圈，但這項實驗還是需要走走路。他相信亞歷山卓位於斯溫尼特的正北方，於是在夏至那天，他在亞歷山卓豎起一根竿子。兩地的經度實際上差了 2 度，雖然沒有百分之百準確，不過我要為他的實驗精神鼓掌。

那天，太陽直射斯溫尼特，沒在那口井投下影子，但卻讓亞歷山卓的竿子產生一道影子。埃拉托斯特尼測量了影子長度和竿子長度，就能畫出一個具同樣比例的三角形，然後量出角度，這會告訴他亞歷山卓在地球周長上與斯溫尼特距離多遠。他量出的角度是 7.2 度，也就是一整個圓的 1/50，現在他只須知道亞歷山卓到斯溫尼特的實際距離。

他沒有親自走到斯溫尼特，而是雇了一位專門丈量距離的人員，稱為測距員（bematist），他們會在兩座城鎮之間走直線，當中只要有任何偏差都會把估算搞砸。丈量結果會用更大的計量單位來記錄：斯塔德。結果，亞歷山卓在斯溫尼特以北 5,000 斯塔德，倘若這是繞地球一整圈的 1/50，那麼地球的周長就會等於 250,000 斯塔德。

今天我們並不確定，埃拉托斯特尼所雇的測量員到底是用多少步來計量他的斯塔德，但就如我在前面解釋過的，這個丈量結果好極了。用一點幾何學，他就省去了雇人走地球一圈的需求。

幾何學的英文字 geometry 正源自這個實驗，因為拆解之後，它是意指「丈量地球」的希臘文：geo=地球，metry=丈量。

——本文摘自《數學就是這樣用：找出生活問題的最佳解》，2022 年 11 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

本期的《NATURE》刊載了一篇受到矚目的研究，指出一個數學史上最古老的問題：「雙子質數無限說」有可能證明。

「質數」是指一個大於1的自然數中，除了 1 和自身數外，無法被其他自然數整除的數（也可定義為只有1和本身兩個因數的數）。質數在數學史上的一個重要意義在於是：他必須被證明是無限的。希臘時代的哲學家對於這質數充滿好奇與神妙，早在歐幾里德的《幾何原本》時代便試圖證明，當然，這一證明的在當時，哲學宇宙論中，人與自然的思辨意義更大於實際的數學意義。

目前科學能夠指認的最大質素是「2^57,885,161-1」，匯集了全球網路志願者的電腦，共計三十六萬顆CPU，以每秒150兆的速度運算得出。這項計畫「 GIMPS （Great Internet Mersenne Prime Search）」結果已經於今年 2 月上旬公開於網路上，也剛好是梅森質數（Mersenne prime），有興趣的可以參見：http://mersenne.org/various/57885161.htm

那什麼是「雙子質數（孿生質數，twin primes）」呢，舉例而言，3 和 5、11  和 13，這樣彼此相差為二，又剛好是質數的，就稱為「孿生質數或雙子質數」。

因為質數不可能是偶數，所以剛好是質數，又彼此差二就成為最短距離，故被賦予「雙胞胎」。另外，兩個質數之間若差六（例如 2011 和 2017），也恰好為質數的話，就稱為「性感質數」。

數學家已經證明「質數」是無限的，但是雙子質數是否是無限則尚未證明，這一問題從歐幾里德的希臘時代便已經存在，成為數學史上最古老未解的問題之一。

這一期的《NATURE》則刊載了華裔數學家張益唐（Yitang Zhang）的論文，證明兩數差在七千萬以內，則雙子質數無限。換言之，這證明了有無窮多對相差小於 70,000,000 的質數存在。這是首次證明確實存在常數，使得有無限對質數相差小於該常數。在質數猜想的研究上有巨大突破。

資料來源：First proof that infinitely many prime numbers come in pairs

2013 年國際數學界最轟動的新聞，應屬中國留美學者張益唐在孿生質數問題上所作出的突破。他個人的經歷更增加了整件事的傳奇性。

張益唐雖然是北大數學系的高材生，但是 37 歲從美國普渡大學拿到博士學位之後，因與指導教授意趣不合，一時在學界無法發展，多年靠打工餬口。1999 年才好不容易至新罕布夏大學數學系任講師。在張益唐長期不得意的歲月裡，他雖然沒有發表什麼數學論文，但是也不曾喪失志氣，還是堅持研究自己喜歡的數學問題。

張益唐在 58 歲暴得大名，各種獎項與頭銜接踵而來，在最是少年逞英豪的數學世界裡，真成為一個異數。英國數學家哈代在他著名的小冊子《一個數學家的辯白》裡曾說：「我不知道有任何一項數學的主要進展，是由超過五十歲的人所啟動。」張益唐正好給哈代的偏見一個反例。

張益唐研究的是關於質數的性質。

一個自然數 p 是質數（也稱為素數）的條件有二：其一，p 大於 1；其二，除了 1 與 p 自己之外，沒有別的自然數能整除 p。全體質數可以從小到大排成一個數列 2, 3, 5, 7, 11, 13, …，通常把排在第 n 個位置的質數記作 pn。如果 pn 與 pn+1 相差為2，則稱質數對 (pn, pn+1) 為一對孿生質數，例如 3 與 5，5 與 7，11 與 13。

「孿生質數猜想」就說這樣的質數對有無窮多組。因為古希臘的歐幾里得在他的巨著《原本》裡，曾經證明質數有無窮多個，所以有人以為也是歐幾里得最先提出孿生質數猜想。其實不然，目前從文獻中所見， 1879 年英國數學家格萊舍（James Whitbread Lee Glaisher）在《數學信使》（Messenger of Mathematics）雜誌上的一篇文章，才是第一次將孿生質數猜想見諸文字。

張益唐的大突破是證明有無窮多組質數對 (pn, pn+1) 使得 pn 與 pn+1 相距不超過 7 千萬。

為什麼這是一個大突破呢？因為在張益唐之前，不管給出什麼固定數 m，完全不知道相差在 m 之內的質數對，到底是有限多個還是無窮多個。自從 2013 年 5 月他的成就在國際媒體上廣為流傳之後，世界上很多數學家努力要把 7千萬的差距往下壓縮，目前已經改善到 246 之內。但是距離孿生質數猜想所需的 2，還有巨大而艱困的鴻溝。

一般人從媒體得知張益唐對數學做出了重大貢獻，可能會好奇問他的結果有什麼用？這裡「用」當然是指實際的應用。其實，他的成果目前還只有純學術價值，與國計民生毫不相干。自從古希臘人辨識出質數，在兩千多年的時間裡，除了數學家關心質數外，質數一直缺乏任何應用價值。二十世紀電腦發達之後，才利用因數分解成質數的超級困難特性，產生了某些幾乎無法有效破解的密碼系統，廣泛的應用到金融、通信、資料保密上。

在中國古算裡缺席？

一個基本的數學概念，經歷了兩千多年的滄桑，才顯現出它的實用價值，這不是一件平凡的成就。因此，我們不得不佩服希臘人研究質數的真知灼見，並且感嘆十八世紀前的中國傳統數學裡卻不見質數的蹤跡。質數為什麼會在中國遲來報到？實在是一個令人費解的現象。

歐幾里得的《原本》約在西元前 300 年左右成書，是古希臘數學集大成之作。第七卷討論數的性質，是使用幾何的觀點來理解數。也就是從「單位」的概念出發，以度量直線段的方式引入「數」。第七卷定義 2 說「一個數是由許多單位合成的。」因此，1 代表單位而不算作「數」。定義 11 說「質數是只能為一個單位所量盡者。」定義 16 說「兩數相乘得出的數稱為面，其兩邊就是相乘的數。」所以質數只能是線，而不能稱為面。

從這些定義可看出來，古希臘人所謂的「數」是依附在幾何的體系裡而得以操作。中國古代缺乏像《原本》這種按照邏輯次序鋪陳結果的數學書，通常是以解決實際問題的風貌來書寫，因此不太可能探討與闡述「數」的純粹性質。

例如，以《九章算術》為代表的中國古算裡，數字是與矩形、直角三角形的面積緊密相連結，但卻沒有像希臘人那樣分辨，有些數是可以表現為面，而有些數卻不可以。

也許古代中國缺乏一項歐幾里得所擁有的知識背景，因而造成了雙方關注問題的差異。古希臘有一位重要的哲人德謨克利特（Democritus），他主張萬物皆由不可分割的「原子」所構成。在「原子論」的知識背景下，數目 1 就不會與其他數目等量齊觀了，1 是「單位」，是數的「原子」。

中國古代沒有明確的「原子論」，《墨子．經說下》所說：「非半，進前取也。前，則中無為半，猶端也。」其中切得不能再切的「端」在《墨子．經說上》解釋為「端，體之無序而最前者也。」也只是類似「原子」的概念，並未發展到德謨克利特的思想程度。「原子論」思想的欠缺，或許是質數在中國古算裡缺席的因素之一。

難以望其項背

康熙敕編的《御製數理精蘊》（簡稱《數理精蘊》）是融合中西數學的百科全書，其中將質數譯為「數根」，並且在附表〈對數闡微〉中列有質數表。雖然質數已經在中國現身，但是數學家並沒有感到相見恨晚而深入探討。

晚清數學名家李善蘭在翻譯歐幾里得《原本》後九卷時，第一卷第一界說為：「數根者唯一能度而他數不能度」，也把質數翻譯成「數根」。

李善蘭很可能受《數理精蘊》的影響，而去研究判別給定數是否為質數的方法。英國傳教師偉烈亞力（Alexander Wylie）將其中一法，以給編輯的信公布在香港一家英文雜誌上，其敘述為「以 2 的對數乘給定的數，求出其真數，以 2 減同數，以給定數除餘數，若能除盡，則給定數為質數；若不能除盡，則不是質數。」

此命題常被稱為「中國定理」，其實是歐洲早已知道的「費馬小定理」的逆命題，該定理斷言若 p 為質數，則 2p − 2 ≣ 0 (mod p)。

其實李善蘭的方法並不永遠正確，例如：2341 − 2 是 341 的整倍數，但是 341 = 11 × 31 並不是一個質數。1872 年李善蘭在《中西聞見錄》報刊發表了〈考數根法〉一文，成為清末關於質數研究的重要成果，但是他並沒有收錄「中國定理」，應該是他已經知道命題並不為真。

要知道李善蘭與高斯的生命是有重疊的時期，因此當西方以質數為基礎所建立的數論，已經繁複深刻美不勝收之時，也許連李善蘭都不曾完全清楚中國落後的程度是多麼巨大！

• 總有小朋友問我，科學家為什麼要研究 1+1=2 這麼簡單的問題？要討論什麼是「 1+1 」，得從十八世紀說起。

什麼是「一加一」？

十八世紀初，也就是中國的清朝時期。俄羅斯偉大的君主彼得大帝修建了一座新城——聖彼德堡，並全面學習歐洲。

彼得大帝從歐洲引進了一批科學家來建設新的國家，其中就有德國數學家哥德巴赫，他最初是一名中學教師，後來在聖彼德堡擔任聖彼德堡帝國科學院教授， 1728 年開始擔任彼得二世（彼得大帝的孫子）的宮廷教師。

哥德巴赫在研究中發現：很多偶數都可以分解成兩個質數的和。

什麼是質數呢？質數也被稱為「素數」，只有 1 和它本身兩個因數。例如 2 、 3 、 5 、 7 、 11 、 13 、 17 等都是質數，因為除了 1 和它本身外，這些數都沒有其他因數。

與之對應的另外一種數是合數：除了1和它本身，還有其他因數。例如 6 是合數，因為它有因數 1 、 2 、 3 、 6 ； 8 是合數，因為它有因數 1 、 2 、 4 、 8 ； 9 是合數，因為它有因數  1 、 3 、 9 。

哥德巴赫的猜想就是：任何一個大偶數 ( x≥4) 都可以被分解成兩個質數的和。

例如， 4=2+2 ， 6=3+3 ， 8=3+5 ， 10=3+7 。

是不是所有偶數都能這樣呢？這就構成了一個猜想，並被稱為「 1+1 」。

種下去了！科學家兩百多年來的心頭刺

然而，哥德巴赫無法證明這個猜想，於是寫信向著名數學家歐拉求助。歐拉是堪稱「超群絕倫」的科學家，到目前為止，還沒有哪位數學家的成就能超過歐拉，但連這麼厲害的人也無法解答這個問題。

於是這個問題流傳下來，並困擾數學界二百多年。二十世紀，人們對這個問題展開圍攻。

1920 年，挪威的布朗證明了「 9+9 」。

1924 年，德國的拉特馬赫證明了「 7+7 」。

1932 年，英國的埃斯特曼證明了「 6+6 」。

1937 年，義大利的蕾西證明了「 5+7 」。

1938 年，蘇聯的布赫夕太勃證明了「 5+5 」。

1940 年，蘇聯的布赫夕太勃證明了「 4+4 」。

1956 年，中國的王元證明了「 3+4 」。

1962 年，中國的潘承洞證明了「 1+5 」。

1962 年，中國的王元證明了「 1+4 」。

1965 年，蘇聯的布赫夕太勃證明了「 1+3 」。

什麼是「 1+3 」呢？

就是說一個大偶數一定可以分解成一個質數和不超過三個質數乘積之和的形式，即證明了對於任何一個大偶數 x ，一定可以分解成 x=a+b 、 x=a+bc 或 x=a+bcd 的形式，其中 a 、 b 、 c 、 d 都是質數。

陳景潤：古今以來最接近「1+1」的人物

中國數學家陳景潤又做了些什麼呢？

陳景潤是中國著名數學家，他的中學數學老師是國立清華大學航空系的主任，上課時喜歡講一些科學故事，例如哥德巴赫猜想。老師說：「數學是科學的王后，而數論是王后的王冠，哥德巴赫猜想就是王冠上一顆璀璨的明珠。」

陳景潤對這顆明珠非常感興趣，一直致力於研究這個問題，後來到廈門大學讀書，畢業後被分配到北京一所中學當數學老師。

陳景潤不善於與人交流，講課講得很差，和學生的關係也不好，還經常生病， 有人說他是高分低能。但是廈門大學校長慧眼識珠，認定陳景潤是廈大最優秀的畢業生，便將他調回廈大工作。

回到廈大後，陳景潤專心研究數學，並把他的研究成果寄給了北京的華羅庚。華羅庚當時已是享譽全球的數學家，一眼看中陳景潤，便把他調到中科院數學所擔任研究員。

回到北京後，陳景潤還是不與人交流，而且當時正在「文革」期間，學術環境很不好。但是就在這樣艱苦的條件下，他卻用幾麻袋的演算紙證明了「 1+2 」。任何一個大偶數都可以分解成一個質數及不超過兩個質數的乘積之和。即證明了對於一個大偶數x，可以被分解成 x=a+b 或 x=a+bc ，其中 a 、 b 、 c 都是質數。

從「 1+3 」到「 1+2 」，看似是一小步，但實際是一個很大的成就，被稱為「陳氏定理」，獲得了國際公認，也受到了周恩來總理和毛主席的肯定。

遺憾的是，陳景潤依然沒有證明「 1+1 」，雖然看起來他距離「 1+1 」只有一步之遙，但直到今天，「 1+1 」仍然是一個謎。我們也正期待著新的科學巨匠的出現。

所以，「 1+1 」的含義是一個質數加一個質數，而不是「 1+1 」為什麼等於 2 。

——本文摘自《跟著網紅老師玩科學》，2019 年 4 月，時報出版。