隱馬可夫模型：探索看不到的世界的數學工具

文 / T.S.Yo

這篇要討論的可不是哲學議題，而是希望以一個「數學工具」的角度來看隱馬可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）是什麼，它的背後假設、長處與限制，以理解這樣的工具可以拿來做什麼用，而不是只與特定的應用綁在一起。

Hidden Markov Model 是機器學習（Machine Learning）領域中常常用到的理論模型，從語音辨識（Speech Recognition）、手勢辨識（gesture recognition），到生物資訊學（Bioinformatics）裡的種種應用，都可以見到這個工具的身影。

既然名字裡有「馬可夫」，想當然耳的，這又是一個馬可夫模型（Markov model）的延伸。之前在介紹 n-gram 的文章裡已經提到過，馬可夫模型所描述的，是一連串事件接續發生的機率：

馬可夫鏈，用白話說，就是同類型的事件（不同的狀態）依序發生的機率，舉例來說，假設天氣有三種狀態：「晴天」、「陰天」跟「雨天」。如果昨天是雨天，那麼今天是「雨天」的機率，會跟昨天是「晴天」而今天是「雨天」的機率有所不同，這是因為我們相信天氣現象在時間上有某種連續性，前面發生的狀態會影響到後面發生的狀態，而馬可夫模型就是描述這種前後關係的數學語言。

那麼，「隱馬可夫模型」，顧名思義的，約莫就是有什麼東西「隱藏」起來了。我們沿用之前天氣的例子，假設我因為腳受傷，必須住在一個房間裡，看不到外面的天氣（我知道這聽起來不太合理，但是我實在不想把自己關在禁閉室裡，所以請通融一下），但是我可以看到我隔壁房間的室友每天從事的運動：「跑步」、「健身操」或是「游泳」三者之一。

如果把室友每天從事的運動項目記錄下來，就是他「運動」這個事件的馬可夫鏈，這是我可以觀察的到的現象。然後，我又依照過去的經驗，知悉在每種天氣狀況下，他從事各項運動的機率，那麼我是不是可以透過我的觀察和知識，去推測每天的天氣？

在這個例子裡，有兩個事件的序列：一個是我觀察得到的，室友每天所從事的運動項目；另一個是我看不到的，也就是對我來說是隱藏的，外面每天的天氣。由於我知悉這兩個馬可夫鏈之間的關係，所以我便可以由其中一個馬可夫鏈的狀態，去預測另一個馬可夫鏈的狀態。而「隱馬可夫模型」，便是描述這樣的兩個序列的關係的統計模型。

簡單的說，「隱馬可夫模型」提供了一套數學的理論以及工具，讓我們可以利用「看得到的」連續現象去探究、預測另一個「看不到的」連續現象。

當然，這裡的「看不到」並不表示真的無從觀察，以前面所舉的例子來說，我在腳沒受傷的時候，還是可以到外面去觀察天氣的，只是在某個特定的條件之下，天氣對我來說被隱藏起來了。

文章的附圖，講的是柏拉圖的洞穴預言（Allegory of Cave），講的是「我們看到的世界」跟「真實的世界」的關係，或許恰好可以用來比喻一下隱馬可夫模型的作用。

我們還可以進一步用「語音辨識」當做例子，來說明 HMM 的用處。

在語言學上，我們可以把人說話發出的聲音分成各種音節（syllable），所以理論上，我們如果有一段錄音，只要能分辨每一個音節發的音是哪些母音與子音，就能夠把這個人講的話辨識成文字。

任何「理論上」可行的事情，必然伴隨著實務上的困難。

這種「音節對應」的工作看似容易，但是實際上會遇到很多「模稜兩可」的情況。以中文為例，兩個三聲的字連著念，前面的會讀成二聲，加上同音字、破聲字，同字的語音與讀音…等等，都增加了這個「分辨」過程的難度。

那麼，HMM 是怎麼跑進來的呢？試想，「語音」，是一連串的「音節」，而我們想要辨識成的文字，則是一連串的「字」；對語音辨識系統而言，語音這個「音節序列」是看得到的訊號，而系統想要做的是推測出與其相對應的，看不到的「文字序列」，所以正好是 HMM 所模擬的狀況。隱馬可夫模型在語音辨識的的應用，大抵始於1970年代晚期的 IBM 計畫(Jelinek)，時至今日，我們生活中可以看到的各種語音辨識系統，例如 Apple 的 siri，Google 的 voice search，微軟前不久在北京展示的中英同步口譯，背後都是以 HMM 作為基礎技術。至於技術的細節，有興趣可以參考 MIT 的教材，這裡就不討論了。

生物資訊學（bioinformatics）是另一個大量使用到 HMM 的領域，從 DNA 序列的比對到演化歷程的推論，只要是跟基因序列有關的，幾乎都看得到 HMM 的應用。以DNA定序為例，一段採集到的DNA序列，包含了「外顯子」（exon）和「內隱子」（intron）兩種段落，兩者在細胞複製上有不同的功能，但都是由眾多的基因（gene，有A, T, C, G 四種）排列成的序列，因此在一串看得到的基因序列中，要如何標記出哪一段是「外顯子」，哪一段又是「內隱子」，這些看不到的段落，也是 HMM 可以發揮作用之處。簡單的說，「外顯子」和「內隱子」各自包含 A，T，C，G基因的比例不同，於是我們可以利用 HMM 相關的演算法，找出哪一個基因是「外顯子」和「內隱子」的起點或終點。

現實中，股票的價格變化也是一個「序列」，這是另一個充滿經濟誘因的預測標的，想當然耳的，也有不少人把 HMM 運用在預測股價的狀態上，不過文獻就不如前述兩個領域那麼豐富了。

隱馬可夫模型當然也有它使用上的限制。例如，觀測與模擬的現象必須是「序列」（或者該說是馬可夫鏈），兩個序列之間的關係要夠明確等等，否則很容易就變成用十字螺絲起子去轉六角螺絲：或許可以運作，但是結果不盡然是原本想要的。

如果有這樣的數學工具，你會想要用來預測什麼看不到的現象呢？