「軌跡體」重複滾出任何的特定曲線

本文由 建研所 委託，泛科學企劃執行。 

當你走進一棟建築，是否能感受到它對環境的友善？或許不是每個人都意識到，但現今建築不只提供我們居住和工作的空間，更是肩負著重要的永續節能責任。

綠建築標準的誕生，正是為了應對全球氣候變遷與資源匱乏問題，確保建築設計能夠減少資源浪費、降低污染，同時提升我們的生活品質。然而，要成為綠建築並非易事，每一棟建築都需要通過層層關卡，才能獲得標章認證。

為推動環保永續的建築環境，政府自 1999 年起便陸續著手推動「綠建築標章」、「智慧建築標章」以及「綠建材標章」的相關政策。這些標章的設立，旨在透過標準化的建築評估系統，鼓勵建築設計融入生態友善、能源高效及健康安全的原則。並且政府在政策推動時，為鼓勵業界在規劃設計階段即導入綠建築手法，自 2003 年特別辦理優良綠建築作品評選活動。截至 2024 年為止，已有 130 件優良綠建築、31 件優良智慧建築得獎作品，涵蓋學校、醫療機構、公共住宅等各類型建築，不僅提升建築物的整體性能，也彰顯了政府對綠色、智慧建築的重視。

說這麼多，你可能還不明白建築要變「綠」、變「聰明」的過程，要經歷哪些標準與挑戰？

綠建築標章	智慧建築標章	綠建材標章

第一招：依循 EEWH 標準，打造綠建築典範

環境友善和高效率運用資源，是綠建築（green building）的核心理念，但這樣的概念不僅限於外觀或用材這麼簡單，而是涵蓋建築物的整個生命週期，也就是包括規劃、設計、施工、營運和維護階段在內，都要貼合綠建築的價值。

關於綠建築的標準，讓我們先回到 1990 年，當時英國建築研究機構（BRE）首次發布有關「建築研究發展環境評估工具（Building Research Establishment Environmental Assessment Method，BREEAM®）」，是世界上第一個建築永續評估方法。美國則在綠建築委員會成立後，於 1998 年推出「能源與環境設計領導認證」（Leadership in Energy and Environmental Design, LEED）這套評估系統，加速推動了全球綠建築行動。

臺灣在綠建築的制訂上不落人後。由於臺灣地處亞熱帶，氣溫高，濕度也高，得要有一套我們自己的評分規則——臺灣綠建築評估系統「EEWH」應運而生，四個英文字母分別為 Ecology（生態）、Energy saving（節能）、Waste reduction（減廢）以及 Health（健康），分成「合格、銅、銀、黃金和鑽石」共五個等級，設有九大評估指標。

我們就以「台江國家公園」為例，看它如何躍過一道道指標，成為「鑽石級」綠建築的國家公園！

位於臺南市四草大橋旁的「台江國家公園」是臺灣第8座國家公園，也是臺灣唯一的濕地型的國家公園。同時，還是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築，其外觀採白色系列，從高空俯瞰，就像在一座小島上座落了許多白色建築群的聚落；從地面看則有臺南鹽山的意象。

因其地形與地理位置的特殊，生物多樣性的保護則成了台江國家公園的首要考量。園區利用既有的魚塭結構，設計自然護岸，保留基地既有的雜木林和灌木草原，並種植原生與誘鳥誘蟲等多樣性植物，採用複層雜生混種綠化。以石籠作為擋土護坡與卵石回填增加了多孔隙，不僅強化了環境的保護力，也提供多樣的生物棲息環境，使這裡成為動植物共生的美好棲地。

第二招：想成綠建築，必用綠建材

要成為一幢優秀好棒棒的綠建築，使用在原料取得、產品製造、應用過程和使用後的再生利用循環中，對地球環境負荷最小、對人類身體健康無害的「綠建材」非常重要。

這種建材最早是在 1988 年國際材料科學研究會上被提出，一路到今日，國際間對此一概念的共識主要包括再使用（reuse）、再循環（recycle）、廢棄物減量（reduce）和低污染（low emission materials）等特性，從而減少化學合成材料產生的生態負荷和能源消耗。同時，使用自然材料與低 VOC（Volatile Organic Compounds，揮發性有機化合物）建材，亦可避免對人體產生危害。

在綠建築標章後，內政部建築研究所也於 2004 年 7 月正式推行綠建材標章制度，以建材生命週期為主軸，提出「健康、生態、高性能、再生」四大方向。舉例來說，為確保室內環境品質，建材必須符合低逸散、低污染、低臭氣等條件；為了防溫室效應的影響，須使用本土材料以節省資源和能源；使用高性能與再生建材，不僅要經久耐用、具高度隔熱和防音等特性，也強調材料本身的再利用性。

在台江國家公園內，綠建材的應用是其獲得 EEWH 認證的重要部分。其不僅在設計結構上體現了生態理念，更在材料選擇上延續了對環境的關懷。園區步道以當地的蚵殼磚鋪設，並利用蚵殼作為建築格柵的填充材料，為鳥類和小生物營造棲息空間，讓「蚵殼磚」不再只是建材，而是與自然共生的橋樑。園區的內部裝修選用礦纖維天花板、矽酸鈣板、企口鋁板等符合綠建材標準的系統天花。牆面則粉刷乳膠漆，整體綠建材使用率為 52.8%。

在日常節能方面，台江國家公園也做了相當細緻的設計。例如，引入樓板下的水面蒸散低溫外氣，屋頂下設置通風空氣層，高處設置排風窗讓熱空氣迅速排出，廊道還配備自動控制的微噴霧系統來降溫。屋頂採用蚵殼與漂流木創造生態棲地，創造空氣層及通風窗引入水面低溫外企，如此一來就能改善事內外氣溫及熱空氣的通風對流，不僅提升了隔熱效果，減少空調需求，讓建築如同「與海共舞」，在減廢與健康方面皆表現優異，展示出綠建築在地化的無限可能。

在綠建材的部分，另外補充獲選為 2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學新建工程，其採用生產過程中二氧化碳排放量較低的建材，比方提高高爐水泥（具高強度、耐久、緻密等特性，重點是發熱量低）的量，並使用能提高混凝土晚期抗壓性、降低混凝土成本與建物碳足跡的「爐石粉」，還用再生透水磚做人行道鋪面。

同樣入選 2023 年綠建築的還有雲林豐泰文教基金會的綠園區，首先，他們捨棄金屬建材，讓高爐水泥使用率達 100%。別具心意的是，他們也將施工開挖的土方做回填，將有高地差的荒地恢復成平坦綠地，本來還有點「工業風」的房舍告別荒蕪，無痛轉綠。

等等，這樣看來建築夠不夠綠的命運，似乎在建材選擇跟設計環節就決定了，是這樣嗎？當然不是，建築是活的，需要持續管理–有智慧的管理。

第三招：智慧管理與科技應用

我們對生態的友善性與資源運用的效率，除了從建築設計與建材的使用等角度介入，也須適度融入「智慧建築」（intelligent buildings）的概念，即運用資通訊科技來提升建築物效能、舒適度與安全性，使空間更人性化。像是透過建築物佈建感測器，用於蒐集環境資料和使用行為，並作為空調、照明等設備、設施運轉操作之重要參考。

為了推動建築與資通訊產業的整合，內政部建築研究所於 2004 年建立了「智慧建築標章」制度，為消費者提供判斷建築物是否善用資通訊感知技術的標準。評估指標經多次修訂，目前是以「基礎設施、維運管理、安全防災、節能管理、健康舒適、智慧創新」等六大項指標作為評估基準。
以節能管理指標為例，為了掌握建築物生命週期中的能耗，需透過系統設備和技術的主動控制來達成低耗與節能的目標，評估重點包含設備效率、節能技術和能源管理三大面向。在健康舒適方面，則在空間整體環境、光環境、溫熱環境、空氣品質、水資源等物理環境，以及健康管理系統和便利服務上進行評估。

樹林藝文綜合大樓在設計與施工過程中，充分展現智慧建築應用綜合佈線、資訊通信、系統整合、設施管理、安全防災、節能管理、健康舒適及智慧創新 8 大指標先進技術，來達成兼顧環保和永續發展的理念，也是利用建築資訊模型（BIM）技術打造的指標性建築，受到國際矚目。

在興建階段，為了保留基地內 4 棵原有老樹，團隊透過測量儀器對老樹外觀進行精細掃描，並將大小等比例匯入 BIM 模型中，讓建築師能清晰掌握樹木與建築物之間的距離，確保施工過程不影響樹木健康。此外，在大樓啟用後，BIM 技術被運用於「電子維護管理系統」，透過 3D 建築資訊模型，提供大樓內設備位置及履歷資料的即時讀取。系統可進行設備的監測和維護，包括保養計畫、異常修繕及耗材管理，讓整棟大樓的全生命週期狀況都能得到妥善管理。

智慧建築導入 BIM 技術的應用，從建造設計擴展至施工和日常管理，使建築生命周期的管理更加智慧化。以 FM 系統 ( Facility Management，簡稱 FM ) 為例，該系統可在雲端進行遠端控制，根據會議室的使用時段靈活調節空調風門，會議期間開啟通往會議室的風門以加強換氣，而非使用時段則可根據二氧化碳濃度調整外氣空調箱的運轉頻率，保持低頻運作，實現節能效果。透過智慧管理提升了節能效益、建築物的維護效率和公共安全管理。

總結

綠建築、綠建材與智慧建築這三大標章共同構建了邁向淨零碳排、居住健康和環境永續的基礎。綠建築標章強調設計與施工的生態友善與節能表現，從源頭減少碳足跡；綠建材標章則確保建材從生產到廢棄的全生命週期中對環境影響最小，並保障居民的健康；智慧建築標章運用科技應用，實現能源的高效管理和室內環境的精準調控，增強了居住的舒適性與安全性。這些標章的綜合應用，讓建築不僅是滿足基本居住需求，更成為實現淨零、促進健康和支持永續的具體實踐。

身為一名訓練師，你真的了解你的寶貝們嗎？寶可夢圖鑑讀熟了沒？

其實圖鑑告訴你的比想像中的還多喔！每個星期周末跟著 R 編一起來上一門訓練師的科學課吧！來跟大家分析這些寶可夢們是如何使用科學力來戰鬥的。

體重成謎、上山請小心#76 隆隆岩

雖然標題只寫著隆隆石，但這一個「小拳石–隆隆石–隆隆岩」的石頭三人組值得更多檢視。因為當我一如往常在檢視每一隻寶可夢的基本數據時，馬上遇到了一個……不～三個問題。

沒錯～又是身高體重出事了。

圖鑑中，這三隻神奇寶貝的數據如下：

我們先假設牠們都是一顆完整的球體，以方便計算牠們的體積（註1），並直接以牠們的體重除以體積來求密度。你覺得這些數據看起來很正常嗎？

別說一般岩石的密度 2,515 kg/m³ 了，我們的石頭三人組中密度最大的小拳石才只不過比水的密度一半大了一點點而已，連木材（700 kg/m³）都比不上！最悲劇的是進化之後連軟木塞的密度（240 kg/m³）都比牠們大。注意！我們這裡的單位是公斤/立方公尺（kg/m³），水的密度在這單位下是 1,000 kg/m³。

這該怎麼解釋呢？有幾個可能，一個是小拳石、隆隆岩牠們的表面是石頭構成的沒錯，但牠們骨子裡其實是由某種密度相當低的物質所組合的；二是圖鑑根本寫錯了。

我們先拿第一個假說來檢驗一下，並只以形狀最接近球形的隆隆岩作為範本。為了滿足體重 300 公斤的結果，貨真價實的岩石只能覆蓋隆隆岩全身 2 公分厚，而這一層石頭就重 250 公斤，剩下的 50 公斤則是留給半徑 0.68 公尺的球形身體。經過計算，這種情況下構成隆隆岩身體的物質密度為 37 公斤/立方公尺。

就連保麗龍的密度都有 70 公斤/立方公尺喔~ 這樣子在山上橫衝直撞真的好嗎？先別說薄的可憐、毫無岩石系寶可夢尊嚴的 2 公分厚岩石身體，只要隆隆岩稍微碰撞一下，體內器官不會就這麼碎一地嗎？只好打消 300 公斤的念頭、打臉這位記錄隆隆岩的博士，用紙筆重新判定隆隆岩的體重。

一樣拿隆隆岩為範例，既然身為一脈岩石系神奇寶貝的最終進化版，我想外皮至少有 20 公分厚的岩石應該算蠻合理的，而身體為剩下的半徑 50 公分圓球。這樣隆隆岩體內肌肉和岩石體積比例剛好差不多是 1:1，分別為 0.7 和 0.737 立方公尺，所以乘上密度、相加之後隆隆岩的理想體重應該要是 2553.56 公斤，他圖鑑體重的 8 倍多。（註2）

可以請這位負責的博士出面一下嗎？你的飯碗岌岌可危啊~

討論了一大堆之後，回歸到這次的主角隆隆岩，就算體重成謎，牠的圖鑑敘述中還是有幾個輕忽不得的點。（註3）

隆隆岩的豐功偉業之一是牠「能夠爆發出很強的能量，從這座山跳到另一座山」（銀、魂銀）

在不過度誇張的情況下，筆者從大屯火山群的地圖中找到了理想的地點：從七星山頂（1,120 公尺）飛越中湖戰備道路，跳到七股山頂（890 公尺），這兩座山頭只相差 1.2 公里，相對於從玉山跳到合歡山、從聖母峰跳到 k2 峰我想這是比較「合理」的情況了，所以這下子隆隆岩要怎麼跳呢？

根據拋物線運動公式，我們能夠得出如果隆隆岩要飛過這 1.2 公里的距離，牠必須以 108.4 m/s 的速度呈 45⁰ 起跳，整個過程費時 18.2 秒後，落在七股山頭，牠著地時時速為 127 m/s，釋放出 2,430,000 焦耳左右的能量。如果有一個不幸的傢伙剛好站在七股山頭看著冷水坑的美景，他會被相當於 2 輛 2 噸重的汽車以時速 115 公里同時撞上，或是 2 公斤的 TNT 炸藥爆炸的能量，而隆隆岩自己這樣還能毫髮無傷的話，那就表示牠是貨真價實的堅硬啊！（註4）

另一個隆隆岩的特性是牠 「時常從山上滾下來，留下一道深溝」（紅寶石、藍寶石、珍珠、終極紅寶石、始原藍寶石）

其實這是個一脈相傳的特性（註5），不管是小拳石還是隆隆石的圖鑑中都有如此記載，應該說從山上滾下來這件事對他們而言在正常不過，但牠們之中最重的隆隆岩從山上滾下來是會造成多大的影響呢？

既然會危害到人類表示隆隆岩經過的地方應該是道路，所以首先我們得知道山坡段到底該有多陡。一段道路有多陡有個時常出現的說法為「坡度」，如果你是單車愛好者一定知道。「坡度」並不是指道路的角度，而是這段道路每前進 100 公尺會上升多少公尺，再換算成百分比，跟斜率相當類似。而從台灣交通部的資料中我們知道一旦道路的坡度 >7% ，就會設下警告標示，所以我們就當隆隆岩沿著坡度 7% 的道路滾下，在水平移動 100 公尺之後撞到某個不幸的路人。

經過計算之後，隆隆岩帶著 0.684 m/s² 的加速度衝下道路，當牠在 4.523 秒之後到達道路尾端時，時速為 11 公里，帶著總能量 55,350 焦耳，這能量差不多是高速公路上行駛的車子的一半，人直接被撞上大概會內傷吧….好消息是時速 11 公里跟腳踏車差不多，所以要閃開應該相當容易。

但別忘記這只是 7% 的路段，如果是新竹五指山的 17% 斜坡又另當別論了（註6）。如果隆隆岩從這裡滾下，在 100 公尺之後牠的時速會高達 85.5 公里，能量高達 334,400 焦耳，相當於被 3 輛 2 噸重的汽車以時速 115 公里同時撞上。

而且以上的狀況都是在只有一隻隆隆岩的情況下，如果加上牠的後輩們，成群的小拳石、隆隆岩一起沿著斜坡滾下來…….在寶可夢世界登山或騎單車真的是在玩命啊！真希望牠們的實際體重在少一點，一點點就好～

註解：

1. 大家我沒忘記牠們都有手，隆隆岩甚至還有腳，小拳石更有跟自己臉一樣大的拳頭，但這樣只會徒增體積而已。
2. 這裡我們假設構成隆隆岩身體的物質跟肌肉相似，也就是密度約等於水。經過一樣的計算之後隆隆岩的理想體重應該為 909 公斤，而最不球形的小拳石我沒有計算，但可能也是 8~9 倍，想像一下小剛把小拳石抱在手上…
3. 除了以下會提到的幾點之外，8 成的隆隆岩介紹是 「每年會退一次皮，然後身體會迅速硬化」（黃、金、火紅、綠寶石、鑽石、心金、….等）、 「連炸藥都無法對牠造成損傷」（紅、藍、水晶、鑽石、葉綠、白金、鑽石….等），從這些介紹我們可以得知兩點：隆隆岩真的是生物；牠的皮應該不只是岩石，可能是更堅固的東西，但在更堅固只會讓牠的體重更不合理。
4. 從註 3 我們提到了炸藥對隆隆岩一點用都沒有，所以這圖鑑敘述完全合乎常理，全寶可夢世界可能只有這傢伙能這樣玩了。
5. 小拳石的介紹幾乎圍繞著牠「長得很像一般的石頭，登山客常踩到牠，小心牠會生氣」和「用粗壯的手臂爬到山頂」，至於爬到山頂幹嘛呢？我們從隆隆石的介紹知道了「時常從山上滾下來，路上壓過任何東西，停不下來」、「慢慢走回山頂，在滾下來」，還有最有趣的介紹是「牠一天能吃下 1 噸的石頭，尤其喜歡長滿苔蘚的」，從這個介紹我們知道牠們是貨真價實的動物，要吃下 1 噸的石頭大概是要過濾苔蘚吧~這樣根本多此一舉啊，直接肯苔蘚不就好了，幹嘛沒事吃比自己體重多那麼多倍的石頭啊~ 不會消化不良嗎？大便怎麼辦？
6. R 編隊單車一竅不通，所以有任何讀者想要補充的嗎？似乎台灣還有 27％ 的坡道，但那基本上少數人才會經過吧～

參考資料：

1. Pokemon Database
2. Wikipedia（能量數量級、密度、坡度）
3. CalculatorSoup
4. Simetric 密度表
5. 陽明山國家公園官方網站（交通系統圖）
6. 單車 01 論壇

要一顆黏土球順著緩坡直線滾下，輕而易舉！若是畫一條斜線，令球換個方向前進，就稍微困難一點。為了怕走偏，我們使出力氣，壓著它滾動，於是把黏土球推成柱狀。現在它有左、右兩頭和一個曲面。接下來滾動的時候，它總是曲面接觸地面，直直向前。不過，如果先前施力不均，黏土球變成一邊大一邊小，得到的形狀就可能類似圓錐體，或是接近紙杯般圓錐台體的模樣。這個時候滾出來的路線，會是曲線，而非直線。^[1]如果想要滾得更華麗，形狀又該長怎樣呢？

形狀與軌跡

假設剛才這樣滾來滾去，各位讀者沒暈的話，還可以看看過去科學家設計出來的，各種奇形怪狀的固體，例如：oloid、sphericon、platonicon 和 two-circle roller 等。它們雖然形狀迥異，但是都能滾出特定重複的軌跡。^[2]比方說，oloid是兩個呈直角，分別插入一半，結合在一起的等大圓盤，外面包覆平滑的曲面（如圖）。其中一個圓盤的邊緣，會通過另一個的圓心。^{[3, 4]}數學家 Paul Schatz 於 1929 年首次描述 oloid 的特質：曲面的形狀會在它滾動時，順勢呈現出來；而質量中心的高度，雖然有所起伏，但是變化不大，所以滾起來還算平順。^[3]換句話說，在滾動的過程中，oloid 宛如繞著軸心旋轉，其曲面的每個地方，幾乎都會接觸地面，於是畫出來的軌跡，就是表面展開的模樣。^{[3, 5]}聽起來很酷吧？有沒有超想做一個來當玩具？（模板）（教學）不過，任職於南韓基礎科學研究院（Institute for Basic Science）的 Yaroslav Sobolev 等科學家，覺得這樣還不夠看。^[2]

軌跡體

以前那些能滾出漂亮波浪的造型，其實已經很厲害了。然而研究團隊懷抱更宏大的野心，決定提高挑戰性：他們想開發一個程式，來演算各種形狀的固體。讓這些固體在從斜坡滾下去的時候，理論上可以依循任何特定的軌跡，而且無限重複。以此程式設計，再 3D 列印出來的新東西，被稱為「軌跡體」（trajectoid）。最後在中心塞入 1 顆鋼珠，加重較容易滾動，然後實測它們的路徑是否順暢。^[2]

研究團隊在模擬的平面上，畫了一條歪七扭八，毫無規則可言的短線。將此短線複製貼上幾次，連成一條非常難看，還永無止盡繼續醜下去的長線。再把平面的一邊稍微提高，製造出坡度，方便之後在上面滾東西。這就是最終要滾的目標醜線，但是萬丈高樓平地起：先從簡單的圓柱體於水平面上滾直線開始，之後才調整形狀、方向和坡度等變因。^[2]圓柱體質量中心相對於平面的高度，是它始終如一的半徑，所以能穩定前行；^{[1, 2]}而軌跡體的質量中心，是比3D列印材質沉重許多的鋼珠，因而不太受外型設計影響。^[2]

在塑形的時候，要注意諸多條件，比方說：軌跡體每次滾完短線，得毫無偏頗地回歸原始方向，準備再滾下一段完全相同的短線。想像軌跡體與平面接觸的地方，若會壓出紋路，那麼滾完第一段短線後，這條紋路的頭尾必要相接，才能滾得出下一段同樣的短線。此時，紋路在軌跡體上，區隔出來的兩邊表面積必須相等，各佔 1/2。要是紋路的長度，不夠繞軌跡體一周，就重複延長一倍，好令頭尾互碰。在這個情況下，需要特別控制的表面積只有 1/4，使設計更為容易。另外，軌跡體的尺寸，絕對不能做得太大。不然會像大卡車難走九彎十八拐，三兩下就前進某個距離，卻畫不出其中細微的蜿蜒。^[1]

經過多番嘗試之後，研究團隊終於成功了。他們不僅於 2023 年 8 月的《自然》（Nature）期刊發表論文，^[2]在 YouTube 釋出簡介影片，^{[1, 6]}還開放程式原始碼，給想擁有軌跡體的人自行 3D 列印。^{[2, 5]}有興趣的讀者，趕快來試試吧！

參考資料

1. NCCR SwissMAP. (10 AUG 2023) ‘Solid-body trajectoids shaped to roll along desired pathways’. YouTube.
2. Sobolve Y, Dong R, Tlusty T, et al. (2023) ‘Solid-body trajectoids shaped to roll along desired pathways’. Nature, 620, 310–315.
3. Hirsch D, Seaton KA. (2020) ‘The polycons: the sphericon (or tetracon) has found its family’. Journal of Mathematics and the Arts, 14(4):345-359.
4. Coope MB. (2019) ‘Manufacturing of the Oloid. CAD/CAM Workflow’. Journal of Physics: Conference Series, 1425(1):012106.
5. Orf D. (20 OCT 2023) ‘Scientists Figured Out How to Design Dice to Roll Any Way You Want’. Popular Mechanics.
6. Nature Video. (10 AUG 2023) ‘These shapes roll in peculiar ways thanks to new mathematics’. YouTube.