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從古典熱力學跨足到量子時代!探索普朗克黑體輻射定律——《大話題:量子理論》

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・2023/04/15 ・1411字 ・閱讀時間約 2 分鐘

古典熱力學的擁護者——馬克斯.普朗克

普朗克的故事始於柏林的威廉皇帝學會物理系,就在 20 世紀到來之前。

普朗克是普魯士科學院的院士,非常保守。他沉浸在古典物理的傳統方法中,並且是熱力學的熱情擁護者。

事實上,從 1879 年(愛因斯坦誕生的那一年)發表的博士學位論文,到 20 年後他在柏林的教授生涯,他幾乎只致力於熱力學定律相關的問題。他認為熵的第二定律比一般所認為的還要更深入、廣博。

普朗克想以熱力學解開黑體問題。圖/《大話題:量子理論》

黑體問題的絕對性和普遍性吸引了普朗克。看來合理的論證表明,在熱平衡狀態下,輻射強度和頻率的關係曲線應該與腔體的大小或形狀無關,也應該與腔體的材料無關。

該公式應該只包含溫度、輻射頻率和一個或多個通用常數,這些常數在任何腔體或腔體顏色下,都是相同的。

找到這個公式,就意味著在理論中發現一個相當根本的關係。

歷史已經證明普朗克的見解甚至比他所想的要深入得多。1990 年,科學家使用 COBE 衛星測量了宇宙邊緣的背景輻射(即大爆炸遺留的輻射),並發現與他的黑體輻射定律完全吻合。

科學家後來發現宇宙背景輻射與普朗克定律完全符合。圖/《大話題:量子理論》

前原子時代的物質模型

普朗克知道他的朋友海因里希・魯本斯和費迪南德・科爾鮑姆的測量結果非常可靠。

普朗克首先在腔壁上引入電振子*的概念,在熱攪動下來回振動腔體壁。(*注意!此時對原子仍一無所知。)普朗克假定所有可能的輻射頻率都會出現。他也預期溫度更高時,平均輻射頻率也會增加,因為腔壁受熱會使振子振動得愈來愈快,直到達成熱平衡為止。

普朗克假設頻率會隨溫度增加。圖/《大話題:量子理論》

電磁學完整解釋了輻射的放射、吸收與傳播,卻沒有說明熱平衡時的能量分布。這是熱力學的問題。普朗克做出了某些假設,找出振子的平均能量與熵之間的關係,從而得出一個計算輻射強度的公式,他希望這個公式能符合實驗結果。

普朗克試著利用歸納的方式,改變對輻射熵的表達方式,最後得出了可描述整個頻率範圍輻射強度的新公式。

普朗克以歸納的方式得到了能描述整個頻率範圍的新公式。圖/《大話題:量子理論》

海因里希・魯本斯也參與了這場歷史性的研討會。他立刻回家將自己的測量結果與普朗克的公式比對。經過一整晚的努力,他發現數據與公式完全符合,隔天一早便通知普朗克。

普朗克找到了正確描述輻射定律的公式,很好。但他現在能利用這個公式,找出潛藏其中的物理嗎?

普朗克的新公式能符合實驗數據。圖/《大話題:量子理論》

——本文摘自《大話題:量子理論》,2023 年 3 月,大家出版出版,未經同意請勿轉載。

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從粒子變成波動?物理學界最偉大的統一理論!——《大話題:量子理論》
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・2023/04/16 ・1537字 ・閱讀時間約 3 分鐘

提出物質波的法國王族

1923 年,巴黎索邦大學的研究生路易・德布羅意親王(1892 – 1987)提出一個驚人的觀點,即粒子可能具有波的性質。愛因斯坦認為必須以二象性來理解光,這個觀點深深影響了德布羅意。

德布羅意在 1924 年的博士論文中寫道……

德布羅意親王的博士論文深受愛因斯坦的影響。圖/《大話題:量子理論》

愛因斯坦的光粒子能引起光電效應(將電子從金屬中撞擊出來),同時能攜帶「週期性」的訊息,在不同的環境(例如雙狹縫實驗)下產生干涉效應。這令德布羅意印象深刻。

接下來就是鉅作了。德布羅意在論文的第一部分,提出了物理學中最偉大的統一原理之一……

德布羅意認為波的傳遞一定與粒子運動有關。圖/《大話題:量子理論》

引導粒子運動的波

德布羅意所做的事情是給定一個頻率,但不是針對粒子(例如他想像中的愛因斯坦光子)內部的週期性行為,而是一種伴隨粒子穿越時間和空間的波,讓這種波可以與「內部」的過程保持同方向。

這樣的波可以偵測得到嗎?也就是說,這些神祕的波可能和粒子實際的運動有關,並且可以測量嗎?

能引領粒子運動的「領波」。圖/《大話題:量子理論》

可以,德布羅意這樣說。這些波不僅僅是抽象的。這個新的顛覆性想法在物理上的重要結果是,與領波相關的速度有兩種。

德布羅意確認了群速度就如同一個粒子的速度,並證明增強區域展現了粒子所有的力學性質,例如能量和動量。(這類似疊加許多不同頻率的波會產生一道脈衝。)

與領波相關的兩種速度。圖/《大話題:量子理論》

將物質波公式帶入各類公式中!

當他寫下簡單的數學關係式來描述這些由光子類推而得的想法時,更戲劇性的結論出現了。

他從愛因斯坦著名的方程式 E=mc2 開始,著手計算所有東西的總能量。在這種情況下,光子……

現在看看德布羅意一連串的代換……

由於mc就是質量乘以速度,也就是光子的動量 p……

運用波的關係式 c(速度)= f(頻率)乘以 λ(波長)

將普朗克/愛因斯坦的方程式 E = hf 與上述式子畫上等號,我們可以得到:並透過簡單的代數可以得到……

德布羅意將物質波的公式代入愛因斯坦的公式中。圖/《大話題:量子理論》

德布羅意用直接類比的方式,主張他的關係式不僅適用於光子,也適用於電和所有粒子。

λ = h/p ……

也就是(波長)=(普朗克常數除以動量)

對電子來說,下式

動量 p = (m)(v) =(質量)(速度)

可以很輕易地以實驗驗證,因此可以從德布羅意的方程式來預測波長。

對大多數物理學家來說,這個概念看似荒謬。電子是一種粒子,自從湯姆森 1897 年發現電子以來,古典物理學家一直都這樣認為!

德布羅意的公式可適用於所有粒子中。圖/《大話題:量子理論》

——本文摘自《大話題:量子理論》,2023 年 3 月,大家出版出版,未經同意請勿轉載。

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標誌物理學新頁的會議:一場顛覆古典物理的寧靜革命——《大話題:量子理論》
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・2023/04/14 ・2428字 ・閱讀時間約 5 分鐘

被挑戰的古典物理世界觀

古典物理學家建立了一系列的假設,將他們的思想統整起來,這使得他們很難接受新的概念。以下列出他們對物質世界有哪些確定不疑⋯⋯

  1. 宇宙就像一臺放在絕對時空框架中的巨型機器。複雜的運動可以理解為機器內部各零件的簡單運動,即使這些零件並不可見。
  2. 牛頓的理論說明一切運動都有原因。如果一個物體表現出運動,人們一定能找出運動的原因。這是單純的因果關係,沒有人質疑這一點。
  3. 如果我們知道物體在某一點(例如現在)的運動狀態,就能判斷它在未來甚至過去任何時刻的運動狀態。沒有什麼不確定,一切都是先前的一些因素造成的結果。這是決定論
  4. 馬克士威電磁波理論完全描述了光的性質,並可由湯瑪士・楊格在 1802 年簡單的雙狹縫實驗中觀察到的干涉圖樣加以證實。
  5. 運動中的能量可以用兩種物理模型來表達:一種是粒子,其表現就像無法穿透的球體,例如撞球;另一種是,其表現就像在海面上朝著岸邊打去的海浪。這兩者是互相排斥的,即能量必定只以其中一種方式表現。
  6. 一個系統的性質,如溫度或速度等,要測量得多準確都可以。只要降低觀察者的探測強度或根據理論來校正即可。原子級的系統也不例外。
古典物理學家建立了一系列的假設。 圖/《量子理論

古典物理學家認為以上這些事情都是千真萬確的。但這六個假設最終都會被證明是有疑慮的。首先體認到這一點的,是 1927 年 10 月 24 日在布魯塞爾大都會飯店會面的一群物理學家。

1927 年索爾維會議──量子理論的成形

第一次世界大戰爆發前幾年,比利時實業家歐內斯特・索爾維(1838-1922)在布魯塞爾主辦了一系列國際物理會議,延請來賓傾全力討論某項預訂的題目。只有獲得特別邀約的人才能出席,人數通常限制在30人左右。

1911 年至 1927 年舉行的前五次會議,以最令人大開眼界的方式記錄了 20 世紀物理學的發展。1927 年的會議專門討論量子理論,每場至少都有 9 位理論物理學家出席,他們對量子理論做出了根本貢獻,並且最終都因而獲得諾貝爾獎。

1927 年索爾維會議的合照。影響 20 世紀物理學發展的巨擘都齊聚一堂,其中包含許多在教科書中耳熟能詳的物理學家,包括第一排的馬克斯・普朗克(左二)、瑪麗・居禮(左三)、阿爾伯特・愛因斯坦(正中)。圖/大話題:量子理論

要介紹有哪些人推動了最現代的物理理論,這張 1927 年的索爾維會議照片是很好的起點。後代將會驚歎,1927 年這些量子物理巨擘竟然在這麼短的時間、這麼小的地方齊聚一堂。

寥寥數人在這麼短的時間內就釐清了這麼多事情,在科學史上可說是空前絕後。

看看第一排坐在瑪麗・居禮(1867-1934)旁邊那位愁眉苦臉的馬克斯・普朗克(1858-1947)。普朗克拿著帽子和雪茄,看來有氣無力,好像在花了這麼多年試圖反駁自己對物質和輻射的革命性想法後,他已筋疲力盡。

馬克斯・普朗克(1858-1947,第一排左二,即對話框所指處),提出了「能量量子化」的革命性理論。圖/大話題:量子理論

幾年後,在 1905年,瑞士一位名叫阿爾伯特・愛因斯坦(1879-1955)的年輕專利事務員對普朗克的概念進行推論。

前排正中間穿著禮服拘謹地坐著的就是愛因斯坦,他自從 1905 年發表早期論文之後,二十多年來一直苦思量子問題,但未得出任何真實的見解。他一直出力推動量子理論的發展,並以驚人的信心支持其他人的獨創見解。他最偉大的理論「廣義相對論」使他成為國際知名學者,那已是十年前的事了。

在布魯塞爾,愛因斯坦為了量子理論奇怪的結論,和最受敬重、最堅定的量子理論支持者尼爾斯・波耳(1885-1962)爭辯。之後波耳將比任何人都更嘔心瀝血,致力於解釋和理解量子理論。波耳在照片中間那排的最右邊,這位時年 42 歲的教授正如日中天,顯得輕鬆自信。

阿爾伯特・愛因斯坦(第一排左三)與尼爾斯・波耳(第二排右一)。圖/大話題:量子理論

愛因斯坦後方最後一排的埃爾溫・薛丁格(1887-1961)身穿獵裝,戴著領結,顯得非常隨意。他的左邊跳過一人後是「少壯派」的沃夫岡・包立(1900-58)、維爾納・海森堡(1901-76)──兩人當時才二十幾歲。第二排則有保羅・狄拉克 (1902-84)、路易・德布羅意(1892-1987)、馬克斯・波恩(1882-1970)和波耳。這些人的發現與微觀世界的基本性質息息相關,因此名留青史,像是薛丁格方程式包立不相容原理海森堡測不準原理,以及波耳原子等等。

他們都聚在這裡──從 69 歲、年紀最大的普朗克(他在 1900 年開啟了一切),到 25 歲、年紀最小的狄拉克(他在 1928 年完成了這個理論)。

1927 年 10 月 30 日,拍下這張照片的隔天,與會者的腦海中還縈繞著波耳與愛因斯坦的歷史性交鋒。他們在布魯塞爾中央車站坐上了火車,各自返回柏林、巴黎、劍橋、哥廷根、哥本哈根、維也納和蘇黎世。

他們帶著科學家所創造出最離奇的一套理論離開。大多數人私底下可能同意愛因斯坦的觀點,認為這種被稱為量子理論的瘋狂想法,只是通往更完整理論的一步,以後會被更好、更符合常識的理論推翻。

——本文摘自《大話題:量子理論》,2023 年 3 月,大家出版,未經同意請勿轉載。

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一樣都是「work」,物理的「work」定義好像比較簡單?——《撞出上帝的粒子》
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・2023/01/25 ・2489字 ・閱讀時間約 5 分鐘

功與工作

有些大家慣用的字彙常常會被專業學科借用,專家賦予這些字新的定義,比平常的意思更具體、也更有技術性。物理學有個例子是「功」(work)。如果向一個粒子施加定力,並推動一段距離,你所做的功就定義為施力(沿著粒子運動方向的分量)乘上粒子移動的距離。

這是個很具體的物理量,實際上也是能量的一種形式。做多少功,物體的能量就會增加多少。顯而易見的,這個定義和日常生活中我們對工作(work)的理解有點相關:世人為了完成一些目標(大多是想獲取金錢報酬),而費心費力工作。

世人為了完成一些目標(大多是想獲取金錢報酬),而費心費力工作。圖/pixabay

不過,物理所講的功有明確的意義,使用的範圍也很清楚;相較之下,平常大家說的工作的意思就有些模糊,泛指很多事情。

動力與動量

動量(momentum)這個字看來不太一樣。物理學的動量是 γmv(相對論的珈瑪符號乘上物體靜止質量、再和物體速度相乘),是一種量化方式,用來描述粒子以已知速率往某個固定方向持續前進的傾向。若粒子的速率遠比光速小,γ會非常接近一, 所以能省略掉。

而更廣義的動力(momentum)用來指稱政治運動,或其他社會變動及政策背後的推力。同樣的,一件事的動力愈大,也暗示它愈難停下。不過,這些領域都沒有明確定義何謂「動力」。

物理學中的「場」

到目前為止,我試著不要太常用一些字,但在之後的章節這些字會很常出現。其中一個就是「場」(-eld)。通常場是一片平坦土地的代稱,上頭種了些植物,可能有農夫在照顧,也許還會有幾頭乳牛。

此外這個字也可以代表特定的研究領域或專業,往前翻你就會知道我已經用過這個意思了。這兩個意思其實也可以合併使用,像在解釋稻草人為什麼可以獲得終生教職的時候,就會用到。

物理學的「場」有個更技術性,但還是和前面意義相關的定義。物理學家說的場是個物理量,在空間中某個區域的每個點上都有特定的對應值。如果你待在一個房間內,就可以用各式各樣的場來描述這個環境。身為一位物理學家,你或許會這麼做:

首先你要想出一個方式來明確指出房間中的每一個點。有個好辦法是先選定房間地面的某個角落為「原點」。

首先你要想出一個方式來明確指出房間中的每一個點。有個好辦法是先選定房間地面的某個角落為「原點」。圖/pixabay

然後選取交於原點的其中一個牆面,沿著地面平行於這面牆的方向走過一段距離(稱為x);接著再順著平行另一面牆的方向走一段(稱為y),你就能碰到地上所有的點。進一步的,只要往上走段距離(叫作z),就可以抵達房間內所有的點了。你需要的只有三個數字:x、y、z。

幾種有用的場

現在可以來談談幾種有用的場了。舉例來說,溫度就是一種場,房間裡的每一點都有一個溫度值。假設平均來看,我們說房內的溫度是攝氏二十一度;如果房間中每一處的溫度都和平均值一樣,那麼你得到的就是一個常量場(constant field):場的值和點的位置無關,也就是和x、y、z沒有關係。

溫度就是一種場。圖/pixabay

然而,天花板附近的溫度很有可能比地面的高出一點,因為熱空氣的密度比冷空氣小,會升向天花板。我們可以用某個場來描述溫度與高度的關係,好比T(z),換句話說,溫度T只和高度z有關。

T是z的函數(function。另一個生活常用字「功能」,這次是被數學家借去用了),可能像T(z) =20.5 + 0.5z,這裡的z以公尺為單位、而T以攝氏溫標(℃)為單位,舉例來說。在兩公尺高的房間內,地面的溫度是 20.5 + 0.5×0 = 20.5℃,而天花板的溫度則是 20.5 + 0.5×2 =21.5℃。

至於天花板和地板之間其他每一點的溫度,都可以用這個溫度場的函數計算出來。其他的場可以用來描述不同的事情,好比空氣密度,或甚至是噪音量。

以上所談的場在每個點都只由一個數字代表。這些場有大小,卻沒有方向。因此我們稱它為「純量場」(scalar -eld)。「純量」(scalar)代表只有大小、卻沒有方向的東西。

某些種類的場則擁有方向,我們叫這種場為「向量場」(vector field)。我之前有提到一些向量場的例子,像是大型強子對撞機的磁鐵製造的電場與磁場。這個房間也有重力場這個向量場。重力場在房內的每一點都有個值(力的大小大約是每公斤九.八牛頓),以及方向(指向地面)。

實際上,電場和磁場都是量子場,重力場可能也是,但科學家還不清楚相關理論。在日常用途中這件事常被忽略掉,但如果你在極小的尺度下觀察這些場,就會發現它其實不是個數值連續體,而是底層的量子場中一連串離散(discrete,意思是不連續,如階梯般一級一級,而不是如漸層色彩一樣柔和變化)的量子、或激發(excitation)的總和(疊加)。

discrete,意思是不連續,如階梯般一級一級,而不是如漸層色彩一樣柔和變化。圖/pixabay

這些激發有點像是波又有點像粒子。電磁學的量子理論―量子電動力學擁有兩個場,分別是光子場以及電子場。我們量測到的電磁波,或是獨立的光子及電子,都是這兩個場的激發。這裡我們又看到一個科學家借用日常名詞的例子。很明顯「激發」和平常我們的用法緊密相關,因為量子場論是個扣人心弦(exciting)的理論。

無論是不是量子理論,場的概念都是一樣的。場是個物理量,在你感興趣的空間範圍內的每一點,都擁有對應的值,可能是單純的數值或是很多個量子的總和。

——本文摘自《撞出上帝的粒子:深入史上最大實驗現場》,2022 年 12 月,貓頭鷹出版,未經同意請勿轉載。

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貓頭鷹自 1992 年創立,初期以單卷式主題工具書為出版重心,逐步成為各類知識的展演舞台,尤其著力於科學科技、歷史人文與整理台灣物種等非虛構主題。以下分四項簡介:一、引介國際知名經典作品如西蒙.德.波娃《第二性》(法文譯家邱瑞鑾全文翻譯)、達爾文傳世經典《物種源始》、國際科技趨勢大師KK凱文.凱利《科技想要什麼》《必然》與《釋控》、法國史學大師巴森《從黎明到衰頹》、瑞典漢學家林西莉《漢字的故事》等。二、開發優秀中文創作品如腦科學家謝伯讓《大腦簡史》、羅一鈞《心之谷》、張隆志組織新生代未來史家撰寫《跨越世紀的信號》大系、婦運先驅顧燕翎《女性主義經典選讀》、翁佳音暨曹銘宗合著《吃的台灣史》等。三、也售出版權及翻譯稿至全世界。四、同時長期投入資源整理台灣物種,並以圖鑑形式陸續出版,如《台灣原生植物全圖鑑》計八卷九巨冊、《台灣蛇類圖鑑》、《台灣行道樹圖鑑》等,叫好又叫座。冀望讀者在愉悅中閱讀並感受知識的美好是貓頭鷹永續經營的宗旨。