混沌使我們了解，遵循簡單規則的系統可以表現出驚人的複雜行為，這對每個人都是很重要的教訓，包括那些以為嚴謹管束的公司就能自動平穩營運的經理階層；自以為針對問題立法，便能消滅問題的政治人物；以為替某個系統找出模型，就等於完工的科學家。
但這個世界也不可能完全混沌一片，否則我們根本無法生存。事實上，混沌現象遲至今日才被發現的原因之一，就是我們這個世界在許多方面仍舊相當單純。當我們向深層探索時，這種單純性通常就會消失，可是在事物的表面它依然存在。
我們用來描述這個世界的語言，即奠基在這些單純性之上。例如，「狐狸追逐兔子」這個敘述之所以有意義，只是因為它掌握了動物互動的一般模式。狐狸的確會追逐兔子，這也就是說，當一隻餓狐狸看到兔子時，牠就很有可能窮追不捨。
看似簡單，實則複雜
然而，我們若是開始注意細節，單純性很快就會消失，一切都會變得複雜無比。比如說，為了進行「窮追不捨」這簡單的行動，狐狸必須先能認出兔子，然後還得做好拔腿飛奔的準備。想要了解這些行動，我們必須先了解視覺、模式辨識（pattern recognition）與運動。
在第七章中，我們探討了第三點：運動，發現它牽涉到生理學與神經學的複雜現象，包括骨骼、肌肉、神經與腦部。而肌肉的行動又由細胞生物學與化學決定；化學則由量子力學主宰；至於量子力學，又可能受制於千呼萬喚始出來的萬有理論（Theory of Everything）。在萬有理論之中，所有的物理定律都統一於整體架構之下。
如果我們暫且忽略運動，改為研究視覺或模式辨識所開拓的領域，我們仍將發現同樣不斷開枝散葉的複雜性。
由於只有我們的出發點具有單純性，所以，若非大自然的確利用了複雜無比的因果網絡，就是自然界的機制與大部分複雜性無關。看來，想要一探究竟似乎毫無希望。
直到最近為止，科學研究的自然途徑都是順著複雜性這棵大樹，不斷向下挖掘。這就是寇恩與我所謂的「化約論者（reductionist）的噩夢」。沿著這條傳統路徑，我們學到很多關於大自然的知識，尤其是如何操控大自然為我們服務的知識。
但是我們再也無法見到巨大的單純性，因為我們不能再將它們視為單純的現象。
近年來，有人提出一個根本不同的途徑，統稱為「複雜理論」（complexity theory）。它的中心課題，是眾多成分之間的複雜交互作用所產生的大尺度單純性。
在本書這最後一章，我準備介紹三個複雜性產生單純性的例子。它們並非取材自複雜理論學家的著作，而是我從當代應用數學的主流「動力系統理論」所選出來的。
我這樣做有兩個原因：一來是想證明複雜理論的中心思想已出現在所有科學中，與任何刻意提倡它的行動無關；一場寧靜革命已經接近沸點，其實我們都能看得出來，因為不少氣泡都開始冒出了水面。
另一個原因是，它們各自解決了自然界數學模式的一個歷史大謎，讓我們因此眼界大開；如果不是藉著這些問題，我們根本無法體會自然界的這些特色。這三個題目分別是：液滴的形狀、動物群體的動態行為，以及花瓣數目的奇異數字模式（我在第一章曾提到會在這裡揭曉謎底）。
你真的知道水滴的形狀嗎？
首先，讓我們再回到水滴從水龍頭緩緩滴下的問題。
這是個天天可見的簡單現象，但它已為我們提供了混沌的知識。現在，我們還要藉它來了解複雜性的一些面貌。這一回，我們注意的焦點不再是水滴的時間間隔，而是準備研究當水滴脫離水龍頭時，它的形狀究竟是什麼樣子。
這難道不是很明顯嗎？ 它一定是個眾所周知的「淚珠」狀，有點像隻蝌蚪，前頭是圓形，漸漸彎成尖尖的尾巴。畢竟淚珠就是這種形狀。但它並不明顯，事實上，它根本不正確。
當我首次聽到這問題的時候，我主要的驚訝來自這個答案並沒有太長的歷史。有關流體的科學研究簡直汗牛充棟，說它們占據圖書館中數英里的書架絕不誇張，當然其中應該已有人費心觀察過水滴的形狀。
然而，早期文獻中只有一張圖畫正確，那是在超過一個世紀之前，由物理學家瑞利男爵 （John William Strutt,Lord Rayleigh, 1842-1919）所繪製的。由於那張圖畫太小了，所以幾乎沒有人注意到。一九九○年，英國布里斯陀大學（Bristol University）的數學家佩里格萊恩（Howell Peregrine）等人將這個過程拍攝下來，發現它比任何人想像中的還要複雜得多，但是也有趣得多。
一滴水滴形成之初，是懸掛在水龍頭尾端水面的一個鼓脹部分。它會慢慢形成一個腰身，這個腰身愈變愈細，下端的水滴則漸趨傳統的淚珠狀。在一般人的想像中，這個腰身會被掐斷，形成一個又短又尖的尾巴。可是事實上，腰身卻會愈拉愈長，變成一根細長的圓柱，下端則懸掛著一個幾乎接近球形的水滴。
接下來，圓柱與球形接觸的部位開始變得更細，最後成為一個尖點。在這個階段中，整體的形狀看來像是一支毛線針按在一個橘子上。「橘子」隨後便從針尖處脫離，然後它一面墜落，一面還在進行輕微的脈動。
不過故事並沒有結束。現在，毛線針尖銳的尾部開始變圓，還會有微小的波動向上傳到它的頂端，使它看起來好像一串愈上面愈小的珍珠。最後，這根圓柱的頂端收縮成一個尖點，然後整根圓柱也掉了下來。在墜落的過程中，它的頂端變成了球形，並有了一系列複雜的波動沿著它上下傳遞。
我希望各位讀者也像我一樣感到驚奇，我從沒有想到墜落的水滴會這麼「忙碌」。
這些觀察解釋了為何過去沒有人研究這問題的數學細節，因為它實在太過複雜了。當水滴脫離時，系統會產生一個奇異點（singularity），該處的數學將變得十分棘手。毛線針的針尖就是這個系統的奇異點。可是為什麼會有一個奇異點呢？為什麼水滴要以這麼複雜的方式脫離呢？
一九九四年，艾格斯（J. Eggers）與杜邦（T. F. Dupont）證明這是流體力學方程式的必然結果。他們利用電腦模擬這些方程式的演化，在電腦中重現了佩里格萊恩發現的情節。
——本文摘自《大自然的數學遊戲 》，2022 年 11 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。
