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超空間迷航記(西元1921年)

波達亞納(Baudhayana,約西元前800年),

薩莫斯的畢達哥拉斯(Pythagoras of Samos,約西元前580年~約西元前500年)

 

想像在一條扭曲的水管中有一隻機器甲蟲,而且這個小傢伙就在水管內不限次數隨機地往前或往後移動,並假設這是一條無限長的水管,請問這隻機器甲蟲無論如何隨機亂走,最終卻還是回到起點的機率,是多少?

匈牙利數學家波利亞在西元1921年證明該機率為1──在一維空間內不限次數隨機亂走後,最終一定會回到原點。如果把這隻機器甲蟲放到二維空間(平面)中的原點,同樣也是朝東西南北任一方向不限次數地隨機亂走,則機器甲蟲最終回到原點的機率還是一樣是1。

波利亞也同時證明了我們所處三維空間世界的特殊性:三維空間是第一個有可能讓機器甲蟲永遠迷航的歐幾里得空間。將機器甲蟲置於三維空間不限次數隨機亂走的話,最終還能回到原點的機率只有百分之三十四。在更高維度的n維空間裡,機器甲蟲回到原點的機率就更低了,大約只剩 1/(2n) 的機率;這1/(2n) 的機率恰巧也是機器甲蟲第二步就走回原點的機率,換句話說,如果機器甲蟲在更高維度空間裡無法盡早退回原點的話,恐怕就得永遠迷航下去了。

雖然波利亞的雙親都是猶太人,但是兩人在波利亞出生前一年就改信羅馬天主教。波利亞誕生於匈牙利布達佩斯,隨後在西元1940年代成為史丹佛大學數學系教授。波利亞所著《怎樣解題》(How to Solve it)一書不但賣出超過一百萬冊,他本人更被許多人視為二十世紀最具有影響力的數學家之一。

摘自《數學之書》,由時報出版

 

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