超酷數學博物館

本文轉載自中央研究院「研之有物」，為「中研院廣告」

• 採訪撰文｜李芊
• 責任編輯｜田偲妤
• 美術設計｜蔡宛潔

考試制度是怎麼從科舉變成今天這個樣子的？

我們從小到大經歷過無數次考試，但你是否有想過，這個影響我們求學與就業的重要制度是因何而起？究竟考試制度背後隱藏哪些驚人內幕？中央研究院「研之有物」專訪院內近代史研究所徐兆安助研究員，帶我們回到清末民初的教育現場，探索政府與教育界如何應用考試，挽救岌岌可危的新式教育制度，雙方又如何相互制衡與合作，讓考試及學校成為管控社會秩序的利器。

對於在臺灣準備升高中的九年級學生、準備升大學的高三生來說，也許一年的劃分就是以冬季與夏季的升學考試為依據。在競爭激烈的職場中，優秀學歷成為社會新鮮人的最佳利器，但想謀得好學歷就必須力拚考試高分，讓考試成為跨世代臺灣人共同的記憶。

儘管持續有教改團體針對考試的內容、形式、公平性等提出改革建議，但數十年來，眾多考生與家長依然接受了升學考試制度，投入大量時間、精力備考，更不惜砸重金搶補教名師課程。

我們的一生經歷過大大小小的考試，卻不一定清楚這些考試制度當初成立的目的。

事實上，在民國初年，新式教育剛施行的 1920、1930 年代，曾經考試除了用來測驗學生，更被用來監督學校的辦學成效。

專長明清及近代思想史、制度史的中研院近代史研究所徐兆安助研究員，深入探討 1905 年科舉廢除後的新式教育制度，訴說一段政府與學校透過考試相互制衡與合作的詭譎歷史。

要怎麼讓社會接受新式學校的文憑？來考個試吧！

在談現代考試制度之前，讓我們先回到清末科舉存廢的關鍵時刻。

1900 至 1901 年八國聯軍攻佔北京，科舉考場「貢院」遭到破壞，當時受科舉宰制的教育與選才方式已成眾矢之的，該將有限的國家資源拿來修復貢院，還是發展新式教育制度，在 1905 年成為各方人馬的爭論焦點。在這次辯論中，廢除科舉最終定案，新式教育制度成為肩負國家教育大業的主要系統。

然而，科舉與新式教育的不同目的與學習過程，卻帶來新的價值觀混亂。

首先，在科舉制度下，為了一舉成名而寒窗苦讀者，不需在私塾或書院待滿固定年限，大半時間是靠自學通過層層考試關卡。但是，接受新式教育的學生必須依序就讀小學、中學、大學等學校，一級一級往上累積學歷，且每個學歷都有固定的修業年限。

身處當代教育環境的我們已經很習慣循序漸進的學習制度，但清末民初的人們卻一時難以適應。新式學校不像傳統書院會發學習津貼給學生，還要收取相對高額的學雜費。畢業後還要面臨社會對學校文憑的不信任，一時難以成為求職的有效助力。

許多學生一開始受政府鼓吹而進入學校就讀，卻經常未完成修業年限即離開校園，「教育破產」很快成為政府與社會各界的共識，而學校便成為被究責的單位。

廢除科舉後的十多年間，各界的討論開始聚焦於該如何監督學校、管制學生。到了 1920 年代，政府與教育界推出了各種校外考試的實驗方案。這些方案大同小異，都預設考試可以成為規範學校、解決「教育破產」的重要手段。

是什麼讓考試成為評鑑辦學效率的方法？——「以簡馭繁」的法家精神

支持考試論的學者以史學家呂思勉、厚黑學作者李宗吾為首，面對民國初年的教育破產危機，他們為何都倡議由國家透過集體考試來監督學校呢？

一方面，用監察態度面對學校起因於對教育界的不信任，這可追溯至廢除科舉後的教育改革過程並不公開透明。新式教育的推行牽涉政府官員、半官方與非官方代表，包含辦學人員、民間教育會、教科書出版商等，他們彼此拉扯出錯綜複雜的利害關係、形成勢力龐大的教育界。

李、呂二人身涉教育事務，看到學校各種圖利卻未自我要求的行為，因而認為一個審核學校的機制勢在必行。

李、呂二人更主張，考試制度還能讓教育過程更有彈性，學生只要通過考試即可證明自己的實力。因此，學生可以選擇私塾或新式學校等不同的學習方式，不需受到學校修業年限的硬性規範。而且不同學習機構並存還可強化競爭力，促使學校為了招生而更積極辦學。

另一方面，對當時的國民政府來說，在國家資源有限的情況下，國家只需負擔統一大考即可由上而下監督學校，提醒學校要維持該有的教學品質。這樣秉持法家「以簡馭繁」精神的手段，使考試制度最終受到執政當局的採用。

「我不要考試啦！」學生的反彈與思想控制的開始

1932 年政府正式頒布《中小學學生畢業會考暫行規程》，卻受到各地師生的反抗。對於參加會考的學生來說，會考對取得學歷、升學和職涯發展都沒有明顯好處。

首先，單就畢業資格來說，不參加會考也能在修業期滿後獲得學歷，一旦參加會考卻成績不及格，反倒會被留級。再來，許多大學並不以通過會考作為入學資格。最後，除非想要成為公務員或任職國營機構，畢業生沒有會考成績也可直接應聘私人單位。整體看來，不參加會考才是比較聰明的選擇。

面對反抗考試的學生，一意推行會考制度的國民政府，採用相當直接的手段回應：以武力逼迫學生就範。

臺灣在 1970 年代出了一位拒絕聯考的小子，時間回到 1930 年代的中國，不願考試的可不只一、二位學生。1932 年，山東濟南高中學生因反對會考而與校方展開對峙，最終在教育廳長出動軍警武力鎮壓後落幕，卻造成大批學生受傷、被勒令退學。

隔年 1933 年，政府再根據實施情況及各方意見修改規程，最大的改變是取消小學畢業會考，轉而針對初級和高級中學制定《中學畢業會考規程》、《中學畢業會考委員會規程》。針對中學施行會考的原因之一是，當局認為小學生還年幼，不像中學生會發起學運，至此，會考除了監督學校以外，更加上了控制學生思想行為的功能。

學校各自為政，會考制度名存實亡

至於考試論支持者最重視的「以考試監督並制衡學校」卻反而沒有達成。預設的中央化考試制度、標準化知識內容，實際執行時卻面臨經費與人力嚴重不足的困境。真正負責考試業務的單位並非中央政府，而是非官方、地方仕紳聯合形成的教育會，或者資源多寡不一的各地省政府。

地方資源的多寡深刻影響考試的舉行。例如，大規模考試為了防堵作弊，通常不讓考生在原校就考，但在不可能另撥經費建造考場的情況下，仍舊得仰賴學校提供大量考場。如果一個地方沒有足夠的學校，學生往往就在原校就考，在熟悉的環境享受主場優勢，甚至發生老師協助作弊等醜聞。

此外，照理來說，各校的考生名單應該由中央政府統一管理，但無力建立管理機制的政府只好交由學校來處理報考業務。有些學校因而私下篩選成績好的學生參加考試。

不久，隨著 1937 年抗日戰爭的全面爆發，各省行政資源逐漸耗竭、多地交通中斷、學生四散，集中考試變得難以辦理，改以「抽考」部分學生作為學校整體畢業標準指標，甚至讓學校自行辦理會考，政府僅派代表監臨。

自此，會考可說名存實亡。雖曾短暫於 1957 年在臺灣復辦，將國文、史地、三民主義的會考成績與聯考合併計算，試圖鼓勵學生重視中華民族主義的相關知識。但會考與聯考的標準無法整合，在各方反對之下，僅一年時間便告終，結束近 20 年的政府與學校角力之爭。

為了什麼而考？不同治理方法中有不同目的

徐兆安出生於英國殖民時代末期的香港，身處的教育制度仍然相對寬鬆，通常上午 8 點半上課、下午 4 點即放學，在升學上並未經歷臺灣式的考試高壓。來臺求學與就業的過程中，他逐漸體會臺灣教育與升學考試之間緊密的關係，印象最深刻的是補習班門口榜單滿掛的盛況！

如今在臺灣結婚生子的徐兆安，開始想像女兒長大後必經的升學考試歷程，研究近代中國考試制度，有助了解臺灣過去 70 多年的考試發展脈絡，讓他更認識臺灣親友的生長背景。

徐兆安想深入探討的是：「廢了科舉以後，為什麼我們現在還這麼相信考試？中間發生什麼事？作為一個歷史學家，我覺得現有的解釋還不完整，跳過很多具體的事件。」

我們需要了解細節，以避免誤解的延續。今日我們在臺灣所共同面對的升學體制，並不是直接延續自科舉的產物。對歷史的誤解，會讓我們無法確切把握教育問題的病源。

事實上，在科舉與現代考試之間還有一段歷史需要填補。校外中央化考試的立意不僅是監督學校的辦學成效，更隱含執政者對學生的高度不信任。尤其在五四運動後，一連串的學運讓學生被視為動搖社會秩序者，因而以考試制衡學校、也間接淘汰反抗的學生。

國民政府遷臺後，1949 年起在臺灣實施長達 38 年又 56 天的戒嚴令，也連帶改變過去制衡學校與淘汰學生的作法，轉而讓學校成為吸納大批學生、管控社會秩序的幫手。考試的目的之一遂變成把學生依照分數高低分發至不同學校予以教導。

目前徐兆安正著手進行科舉與近代考試制度的研究出版計畫，他認為近代史的研究難題在於材料「既多又少」。所謂「多」是指，各種出版與轉引的材料往往多到難以處理。所謂「少」則是指，特定材料宛如試金石，讓研究者理解眾多一般材料背後的真正意義，但這些關鍵材料卻相當稀少，且分散在兩岸以至歐美的各個機構中。

徐兆安生動比喻自己的研究過程：「就像跳探戈一樣，周旋在多與少之間，這是近代史學者比古代史學者更困難的地方。」

即使困難重重，近代史學者仍持續蒐集並解讀每筆文獻，修正對過往事件的刻板印象，讓歷史盡可能以貼近事實的方式呈現，我們因而能更明白自己承續的故事和當下的處境。

劉邦（漢高祖）打敗項羽，取得天下，建立漢朝。一天舉行盛大宴會，他問群臣：「我為什麼會勝？項羽為什麼會敗？」群臣都說劉邦善於用人，項羽恰恰相反。劉邦點頭稱是，司馬遷在《史記‧高祖本紀》記下劉邦說的一段話

夫運籌帷幄之中，決勝於千里之外，吾不如子房。

帷幄，指營帳。子房，是張良的字。籌，指算籌，是古時的運算工具。這段話的意思是說，張良在營帳中運用算籌計算，就能決勝千里之外，這方面我（劉邦）不如張良。因此，這個成語的原意是在營帳中策劃謀略，後來泛指謀劃或指揮。讓我們造兩個句吧。

要不是孔明運籌帷幄，劉備哪有三分天下的機會！

在里長的運籌帷幄下，為社區更新取得有利的條件。

不用筆，那用什麼？

成語的出典說了，句子也造了，接下去就要談談這個成語的科學意義。我們現在演算數學，都是用筆在紙上運算，也就是筆算。古人呢？古人從來不用筆算，而是使用工具運算。元代以前使用算籌，元代以後使用算盤。

算盤一直使用到 1980 年代，小朋友家裡可能還有。至於算籌，只有少數博物館裡才能看到。

其實算籌只是一根根小竹棍，外形和筷子差不多。小朋友千萬不要看輕這些小竹棍，中國古代的數學曾經輝煌一時，就是用這些小竹棍運算出來的。

驚人的運算能力 曾經輝煌一時的數學成就

算盤被木框框住，計算能力受到限制。凡是算盤能算的，算籌一定能算。反過來，算籌所能算的，算盤就不見得勝任。算盤主要是生意人用的，算籌可作各種運算，數學家喜歡用它。中國的數學宋代發展到顛峰，元代以後不進反退，到了明代已沒人懂得宋代的數學了。

算籌平時放在算袋裡，繫在腰上，運算時取出，在席子上或桌子上擺弄。除了加減乘除，還能開平方、開立方，甚至解高次方程等高中才學得到的數學！關於算袋，有個小故事，傳說秦皇島東巡時，把算袋扔到海裡，變成了烏賊，所以烏賊又稱算袋魚。

數學家用算籌運算時，有時擺弄得極快，不要說外行人，連內行人的眼睛幾乎都跟不上，所以古人用「運籌如飛」來形容。因此，用算籌運算，運算過程不會留下記錄，一陣擺弄之後，最後得出答案。這對一般才質的人來說，學起來的確有點困難。

• id S. Moore、諾茨 William I. Notz
• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則？

期望值的定義是：它是可能結果的一種平均，但在計算平均時，機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果，它代表了如果我們重複賭很多次，或者隨機選出很多家戶，實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明，用機率模型算出來的期望值，真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中，每個可能結果的發生比例會接近它的機率，而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的，它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了：為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博，對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值，並且知道長期下來收入會是多少，所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具，讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多，大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場，他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡，但是保險公司知道機率，並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高，來保證有利潤。

• 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播，看到號碼球上下亂跳，然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢？ 1980 年的時候，賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆，這樣做會把球變重，因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候，他們贏了 120 萬美元。是的，他們後來全被逮到。

深入探討期望值

跟機率一樣，期望值和大數法則都值得再花些時間，探討相關的細節問題。

• 多大的數才算是「大數」？

大數法則是說，當試驗的次數愈來愈多，許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說，究竟需要多少次試驗，才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大，就需要愈多次的試驗，來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大，才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭，結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博，例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券，需要極多次的試驗，幾乎要多到不可能的次數，才能保證平均結果會接近期望值。

（州政府可不需要依賴大數法則，因為樂透彩金不像賭場的遊戲，樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面，彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說，各州所辦的樂透彩金，是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。）

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化，但要回答大數法則的適用範圍，較實際的答案就是：賭場的贏錢金額期望值是正的，而賭場玩的次數夠多，所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是，你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話，當然和賭場一樣多，但因為期望值是負的，所以以賭客整體來看，長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢，有些人輸很多，而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑，大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是：對賭場來說，結果並非不可測的。

• 有沒有保證贏錢的賭法？

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法，這種賭法每次下注的金額，是看前幾次的結果而定。比如說，在賭輪盤時，你可以每次把賭注加倍，直到你贏為止—或者，當然，直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶，這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎？不行，數學家建立的另一種大數法則說：如果你沒有無窮盡的賭本，那麼只要遊戲的各次試驗（比如輪盤的各次轉動）之間是獨立的，你的平均獲利（期望值）就會是一樣的。抱歉啦！

• 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎（拉霸）。從前，你丟硬幣進去再拉下把手，轉動三個輪子，每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲，會閃出許多很炫的畫面，而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣，有各種讓你眼花撩亂的中獎結果，還可以多台連線，共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法，但是長期下來，隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。