該如何讓孩子學會自動自發？認識自律發展三階段

本文與 Panasonic 合作，泛科學撰文 

●以下科學研究內容作為知識分享，不直接與Panasonic A La Uno全自動洗淨馬桶產品功能連結

在做家務的痛苦排行榜上，「刷馬桶」絕對名列前茅。明明天天都在沖水，但過不了幾天，馬桶內壁邊角總會浮現黃黃的水垢、角落發黑的霉斑，甚至是那些刷掉又長出來的粉紅色污垢（黏質沙雷氏菌）。

許多市售衛浴設備常標榜「神奇抗污」或「永久不沾」，讓人誤以為安裝後便能永保潔淨。然而從材料科學的角度來看，世上並無能使污垢憑空消失的魔法。所謂「耐污」的實質機制，並非打造完全不沾染髒污的材質，而是調整表面的物理與化學屬性，使水垢和微生物難以強力附著。一旦降低了污垢與內壁之間的附著力，透過日常水流沖刷，便能輕易地將髒污帶走。

為什麼污垢「黏不住」？ 

要搞懂為什麼某些特殊表面能做到「耐污」，我們得先像偵探一樣，拆解馬桶裡的髒污究竟是怎麼「抓緊」材料表面的。馬桶內壁的污垢主要有兩大難纏的元兇：

1. 水垢與礦物沉積*1：我們日常使用的自來水中含有鈣、鎂等金屬離子。當水滴在表面經歷反覆的濕潤與蒸發乾燥循環時，這些離子會逐漸結晶析出，變成硬度極高、緊緊「卡」在微觀縫隙裡的礦物質水垢。
2. 生物膜與有機物*2：包含尿液中的無機鹽、油脂殘留，以及細菌入侵後分泌出像超強膠水一般的聚合物，所組成的黏滑防禦大本營。

這兩大類污垢想要在材料上「落腳」，前提是它們必須能在表面找到足夠的附著點與黏合力。那麼，材料科學家是如何讓這些髒污「站不穩」的呢？答案就藏在「表面能（Surface Energy）」與「濕潤性（Wettability）」這兩個核心概念中。

當我們把水滴在某個表面上時，水滴會聚成一顆圓滾滾的水珠，還是迅速攤平開來？這取決於表面的特性：

• 疏水路線（Hydrophobic）*1：具備低表面能的疏水表面，能顯著減少水分子或污染物與表面之間的極性作用力與氫鍵。水滴在這種表面上會因為表面張力而收縮成水珠，當水珠滾動滑落時，就能順便把表面的灰塵與礦物質顆粒帶走，這就是著名的「自清潔效應」。
• 親水路線（Hydrophilic / Superhydrophilic）*2：相反地，極度親水的超親水表面則會強烈地吸引水分子，在材料最外層形成一層薄薄的「水化層（Hydration Layer）」。這層水化層就像是實體的液體盾牌，讓油污、蛋白質或細菌無法直接接觸到材料基底，只能漂浮在水膜上方。

如果要用攀岩來比喻：傳統粗糙的表面就像是有許多凹槽的攀岩牆，髒污就像攀岩者，需要找到落腳點並用力撐住才能攀附；而我們做的是抽掉把手點，或是在把手上塗上潤滑油，讓髒污找不到施力點，自然難以停留。

不給細菌「握手」的機會

解決了水垢，下一個更棘手的對手是「細菌」。

馬桶內壁那些黑黑粉粉、摸起來滑滑的污垢，在微生物學中被稱為「生物膜（Biofilm）」。細菌並不是孤立生長的，當單顆細菌落在表面後，如果覺得環境舒適，它就會開始分泌胞外聚合物（EPS），這是一種天然的超強膠水。細菌們用這種膠水把自己與同伴緊緊黏在一起，並築起堅固的防禦堡壘，這時一般的沖水就很難把它們沖洗乾淨了。

根據《Nature Communications》與《Microsystems & Nanoengineering》的學術期刊研究指出，要阻止生物膜形成，除了化學上的抗菌，材料的「表面微幾何結構」扮演了至關重要的角色。

材料科學領域中有一個著名的「附著點理論（Attachment Point Theory）」：

1. 粗糙與微孔洞表面：如果材料表面存在許多微小的裂縫、氣孔或微米級凹洞，細菌（體積通常約 1 到 3 微米）就會興高采烈地鑽進這些小凹槽裡。這些凹槽不僅提供了極佳的機械咬合支點，還能幫細菌擋掉水流的沖刷。
2. 極致平滑與微結構表面：相反地，如果材料表面做到極致平滑，完全沒有微米級的缺陷；或者反過來設計出尺寸遠小於細菌的奈米結構，細菌的足跡構造（如鞭毛或纖毛）就無法在表面找到穩固的「接觸附著點（Contact Points）」。

當細菌發現自己在這個表面上連「手都握不緊」、隨時會被水流吹走時，它就無法順利定殖並分泌膠水築巢。此外，現代衛浴結構在設計時，也越來越強調「一體成形」與「無接縫工藝」。消除接縫與死角，等於直接拔除了細菌與水垢最喜歡的避風港。

當材料、結構與流體科技組隊聯防 

了解了材料化學與微觀幾何，我們就能勾勒出一座現代耐污馬桶的完整防禦體系：【材料層（低附著力）】+【結構層（無縫平滑）】+【動態流體層（泡沫與水流剪切力）】= 高效清潔！

以市面上備受矚目的 Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶為例，就是將材料科學、結構工程與流體力學發揮到極致的典型代表：

1. 材料層：有機玻璃系新素材

A La Uno 全自動洗淨馬桶採新開發的「有機玻璃系新素材」（以壓克力高分子為基礎研發的衛浴專用材料，這類高分子成形技術亦被廣泛運用於大型水族館高壓觀景窗與飛機機艙罩）。這種材料表面具備極佳的疏水性與耐水垢特性，水滴不易長時間攤平停留；材質堅固、不易破裂，耐刮、不易造成細小傷痕。通過實驗測試，這種素材配合泡沫洗淨，在沖洗後能有效沖刷掉高達 99.99% 的大腸桿菌，從源頭阻斷細菌定殖。

2. 結構層：無接縫工藝與三重防濺防護

在宏觀結構上，A La Uno 全自動洗淨馬桶採用無水箱沖水與便器、溫水洗淨便座一體成型設計，減少傳統水箱與座體之間的結構層次及接縫，並搭配可動迴轉式排水系統完成沖洗。更貼心的是其「三重防護」設計：

• 泡沫防護：在水面上製造一層充沛的泡沫緩衝層，有效抑制男性站立小便時的尿液與污水飛濺；
• 外圍防護：馬桶邊界特別設計了高約 3mm 的水檔，防止液體延著外壁滴落至地板；
• 測漏防護：便座與馬桶本體採用不外露的防護設計，避免液體從縫隙飛濺滲漏。

3. 動態流體層：雙效泡沫洗淨、漩渦水流與 nanoe™ X

當污垢降落在馬桶內壁時，A La Uno全自動洗淨馬桶 的動態流體科技便接手進行徹底打掃。其「雙效泡沫洗淨」會先釋放直徑約 5mm 的「毫米泡沫」包裹並帶走大塊髒污，再透過直徑約 60微米的「微米泡沫」深入微觀縫隙，徹底溶解殘餘的油脂與細微污垢。接著，配合高度清潔力的「漩渦型強力水流」，利用旋轉產生的流體剪切力，一口氣將附著力已被削弱的污垢剝離並沖走。此外，Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶還搭襯了 nanoe™ X 健康科技，釋放氫氧離子有效抑制異味與髒污，維持空氣與內壁的良好衛生狀態。

科技讓生活變輕鬆，但物理法則依然誠實

從材料化學的低表面能設計，到微觀幾何的附著點控制，再到流體力學的水流沖刷，一座現代抗污馬桶的演進，縮影了人類如何運用基礎科學來解決日常生活痛點的智慧。

我們習慣將衛生清潔想像成一場與細菌髒污的硬碰硬死鬥。然而，A La Uno全自動洗淨馬桶 等現代衛浴技術的突破，展示了材料科學的另一種聰明思維：不靠強酸強鹼硬打，而是透過物理與化學邏輯，將「污垢固著」的機率降到最低。

當材料科學與現代衛浴技術結合，刷馬桶不再是一件令人頭痛的辛苦瑣事。透過這些前沿科技的加持，我們得以從繁重的家務勞動中解放，享受更加乾淨、舒適且有品質的日常生活。

*1 參考論文：A metallic anti-biofouling surface with a hierarchical topography containing nanostructures on curved micro-riblets

*2 參考論文：Brushing up functional materials

• 作者／西摩爾．派普特 (Seymour Papert)；譯者／張安昇、駱莊奇

柏拉圖在他的學院門口放了個標識，「只有幾何學家可入」。時代變了，多數試圖進入柏拉圖精神世界的人既不懂數學，對他的禁令也心安理得地視而不見。「人文文化」和「科學文化」之間精神分裂式的鴻溝使他們認為柏拉圖是個哲學家，哲學就屬於文科，就像數學就屬於理科。

「人文」和「科學」之間的巨大鴻溝貫穿於我們的語言、世界觀、社會組織構架、教育系統，在近年來甚至影響神經生理學理論。這一鴻溝還能自生自存：文化越分裂，分裂的各方越朝著相反的方向生長，進一步擴大分裂。

如我之前所說，電腦可以打破這兩種文化間的間隔。雖然文科學者覺得自己的工作是洞悉人性，冷冰冰的科學技術也幫不上忙。理科學者覺得文科太空泛，不具備科學研究要求的嚴謹性。但在我看來，電腦的出現可以從認知層面減少這兩種文化間的疏離。

當代文化對數學的集體恐懼其實來自於其疏離性。「人文主義」數學的誕生說明數學可以和人文研究相結合。在這本書中，我試圖解釋電腦如何讓數學知識更為人性化，讓兒童喜歡上數學。我想探討的不止是數學這門學科，更是重新看待學習過程的視角。

你是害怕數學，還是對學習感到恐懼？

許多成年人消極看待自己的能力短處，最常見的莫過於「放棄數學」了。數學沒學好的直接影響是就業受限，但其間接影響更為深遠。他們建立了一種世界觀，不同的知識被割裂開來，中間出現無法穿越的鐵幕。

我這裡主要想做的工作，不是要挑戰一塊塊知識領土的主權完整，而是清除人們跨學科思考的障礙。我不是要混淆數學和文學，他們雖然是不同的學科，但數學和文學在思維方式上的差異並沒有人們想的那麼大。所以在這本書裡我用了「數學國」這樣一個概念。在數學國，數學就是自然語言。

我用這個概念闡釋電腦的出現將如何把人文與數學／科學相結合。從數學國這個概念出發，我將論證電腦如何改變兒童數學教學方式，乃至於從根本上改變我們處理知識和學習的方式。

在我看來有兩種「數學恐懼症」。一種是對數學的恐懼已經達到心理學上「恐懼症」的程度，另一種與其說是害怕數學，不如說是害怕學習¹。

在我們的文化中，患上厭學病的人不少於患厭數學病的人。兒童一開始讀書都很有幹勁，結果學習時受挫不斷，尤其是在學數學的時候。這磨滅了他們的熱情，使他們從一開始熱愛學習、喜歡數學，變得厭學且害怕數學。

我們要探索這一轉變是如何發生的，而電腦將如何避免兒童厭學，就要先回顧兒童學習的過程。兒童學得快是無庸置疑。以口語詞彙為例，兩歲時他們只會幾百個單詞，四年後一年級的孩子已經會說數千個單詞了。顯然，他們每天都在學習新詞彙。

孩子不是生來就有跟成人一樣思維

相對於詞彙量的積累，他們學數學的進度就沒那麼直觀了。皮亞傑畢生研究兒童智力的產生和發展，他的發現之一是成人往往不能理解兒童學習的內容和深入程度，因為從成人視角，從理所當然的知識結構出發，我們就看不見兒童究竟學到了什麼。皮亞傑的守恆（conservations）²理論就很好地解釋了這一點（見下圖）。

大人可以一眼看出把液體從一個容器倒進另一個容器裡，液體總量不變（灑出或殘餘在原杯中的少量水可忽略不計），這就是質量守恆。然而經皮亞傑的研究之後，人們才知道質量守恆這麼簡單的道理四歲的孩子可能完全不理解³。存量不因容器而改變，這個道理兒童要經過一定程度的智力發育才能理解。

此外還有數量守恆，大人知道計數時只要點清楚有多少件物品，用一個數字反映物品的件數，按什麼順序清點不會影響最終數額。但是兒童就不能把數額和物品脫離，他們的認識能力和世界觀無法理解為什麼不同的算數過程得到的結果都是相同的。

守恆的概念背後有一套看不見的龐大數學知識體系，需要兒童自己學習。要是叫四、五歲的孩子憑直覺回答，他們會說兩點之間距離最短的路線不一定是直線，兩點之間走得慢不見得就比走得快更花時間。他們這麼想不僅是因為缺乏「這項知識」，而是無法把最短線段、行走方式這兩個概念分離開來。

我們不能說孩子們無法理解這些概念是因為沒知識。皮亞傑發現兒童其實有一套自己的邏輯，雖然他們給的不是習以常見的答案，他們也能自圓其說。這些道理是兒童自發習得的，自成體系也非常完善。

習得的過程包括至少兩階段：早在學齡前時期兒童就有一套關於世界的理論；隨著他們成長，這套理論慢慢接近成人思維。這就是我所說的皮亞傑式學習法，它有效（所有孩子都學得了），成本低（不需要老師和教學大綱），人性化（不需要外部的獎懲措施，兒童自然而然就學會了）。

而許多人越長大越失去這種學習能力。有一部分人幾乎完全放棄學習，很少進行刻意學習。他們覺得自己沒有學習能力，也感受不到學習的快樂。這給個人和社會帶來巨大損失：在精神上和物質上，學習恐懼症都是個人發展的攔路虎。

其實你有能力，但卻被自己打敗！

大多數人沒有學習恐懼症，但他們或多或少會否定自己在某些方面的能力，說自己「就是學不好法語，聽都聽不懂」；「我肯定不會做生意，我對數字沒概念」；「我怎麼會雙板滑雪啊，我就是肢體不協調」。這些論調被他們奉為信條不斷重複，越發認定自己就是不行。

對於學習恐懼症的受害者來說，他們就認定自己學不了。這一章和第三章中的一系列實驗表明在友好的學習環境下，給予恰當的情緒支持和智力支持，四肢不協調的人也會雜耍，對數學沒概念的人不僅能學好，還會愛上數學。

自我強化的力量是很可怕的，要是一個人堅信自己不懂數學，一看到跟數學相關的事就躲，自暴自棄的下場就是進一步強化「不懂數學」的信念。最糟糕的是，這樣的信念不僅存在於個體中，更植根進我們的文化裡。

我們的文化把人分成了「聰明人」和「笨蛋」。每個人都會偏科，不同科目的學習能力強弱構成一個人的社會身分。有的人叫「數學天才」，有的人叫「數學白癡」。兒童最開始的學習經歷往往決定了他們的偏科傾向。哪科沒學好，一受挫就覺得自己成了笨蛋，或者某科白癡（最常見的就是數學白癡）。他們一認定了自己是笨蛋，再不斷強化這個信念，自己也很難跳出這個死循環。

每個人的學習能力不同，各有各的局限。我們很難破除這種說法，不僅因為這個說法已被廣泛接受，還因為它貌似科學，心理學家也設計了學習能力量表對此進行證明。但我們用以下這個思維實驗，質疑現有測試學習能力的手段，究竟測到什麼。

現有的數學能力測試真的能分辨出真正的數學恐懼症患者嗎？

我們換一個角度，要是每天逼孩子花一小時在方格紙上畫舞步，參加舞步繪圖測試，考試沒通過就不能跳舞。孩子們會不會被逼成「跳舞恐懼症」？我們可以說那些通過舞步繪圖測試的孩子就是「舞蹈學習能力強」？反之，孩子們不情不願地做算術題，沒日沒夜地練習然後通過測試，這就算「數學能力強」了嗎？不太對吧。

有人說這麼類比不恰當，應該用心理學方法收集「科學依據」。然而當代教育心理學研究的，都是身處現實世界「反數學國」的兒童，是怎麼學數學，或者更恰當的說怎麼放棄學數學。我們可以用另一個寓言來比喻這種研究方法。

想像一下，十九世紀的時候有個人覺得馬車太慢，想要改進交通工具。他深信要創造新的交通工具，首先要研究透澈現有交通工具。他仔細研究各類馬車的異同，研究不同輪子、軸承和套馬方式怎麼提高馬車的速度。我們知道後來真的誕生了新的交通工具——汽車和飛機。

汽車和飛機是怎麼來的？是通過研究馬車怎樣跑得快就發明出來的嗎？並不是。

我們今天的教學研究探討的是現有的教學方法。很多研究探討了學生在理科教育上頗為受挫的現實問題，人性化地提出「好的」教學法需要適應學生學不好理科這一現實。

雖然這聽起來頗為人道，但我認為正是這樣的想法讓教育機制停滯不前。這就像研究什麼樣的軸承可以提升馬車車速，而真正解決問題的是用汽車取代馬車。教育界需要發明出自己的「汽車」——突破性的教學法，而這也是本書的主題。

註解：

1. Mathematic 的詞根 math、或 mathetic 出自希臘，有學習之意，例如 polymath 指博學之人。
2. 譯注：心理和教育學界則常譯為「保留」。
3. 自從有人類以來就有孩子，但我們居然要等待皮亞傑的出現，來解釋兒童如何思考，以及成人是如何忘記自己作為兒童時是如何思考。這不禁讓人聯想到佛洛伊德的認知壓抑理論。

——本書摘自《MINDSTORMS：Children,Computers,And Powerful Ideas 思維風暴：兒童如何用電腦建構無限可能》，2020 年 3 月，台科大圖書。

• 文／雞湯來了黃珮甄
  校稿／雞湯來了張芷晴、陳世芃
  製圖／雞湯來了黃珮甄
  編輯／雞湯來了蕭子喬

「早上孩子總是愛賴床，自己也在忙碌還要三叫四請把他挖起床！」
「我家孩子做事總是慢吞吞，不論寫作業或洗澡、刷牙、睡覺這種小事都要拖到最後……」
「孩子一碰到3C就離不開，約定好的時間總是不遵守，搞到眼睛都要近視了……」

我家的孩子也有以上的壞習慣嗎？這樣的壞習慣總是讓自己跟孩子的生活亂糟糟？其實只是孩子還沒有達到「自律」階段。有人說「有自律才有自由」，又自律是通往成功的關鍵要素，到底自律是什麼？又該怎麼幫助孩子，才能讓他慢慢養成自律呢？

沒有孩子天生自律！認識自律發展三階段

瑞士著名的發展心理學家皮亞傑（Piaget），觀察兒童行為發現孩子的道德觀發展具有以下三個階段：無律階段（Stage of Anomy）、他律階段（Stage of Heternomous）以及自律階段（Stage of Autonomy）。

由此可知，自律是隨著孩子的發展慢慢養成，需從生物本能反應開始，漸漸的受他人約束，其後發展到能夠自我判斷、為自我行為負責的階段。

自律五要素：是種態度也是種歷程

彙整多位學者的論點，歸結出自律是一種為自己負責的態度，也是一種不斷自我覺察、修正的歷程，在過程具備 「強烈動機」、「擬定計畫」、「積極執行」、「時機地點」以及「省思修正」五個要素。

整體來說，自律的人在面對任務時會充滿動機、想要達成，因此在事前會規劃如何執行，讓自己在操作時能有個方向。不過自律的人也不是一板一眼，他們在執行過程中保有持續修正的彈性。

若一開始規劃的方式不合適，也會重新調整自己的步調，重新操作直到達成任務。以下舉「寫作業」為例：

能夠自動自發完成作業的孩子，代表的是他在學習上很自律，或許寫作業對他來說並不是件有趣的事，但將「寫作業」視為他必須要完成的任務，因此他會有動力要快點把這個任務達成的責任感。過程中他可能也嘗試過先玩耍再做作業，但最後他發現先完成作業，之後才可以好好做其他想做的事。

兩個方法教出自律的孩子

由上述可知，自律需要透過循序漸進的發展養成，勿操之過急，否則容易使孩子因為懼怕或挫折而停留在他律階段。

依照發展來看，在進入小學前就可以開始培養，並在小學階段透過更多的學習任務進行練習，因此身為家長的我們是很重要的引導者。

1. 適時放手，給予學習空間
   人的本能是對世界的好奇與探索，因此從孩子出生後，就可以陪著孩子一起探索，鼓勵他好奇自發的反應，不急著讓孩子學會做事的方法或對錯。適時給予鼓勵跟獎勵，讓孩子可以從過程中學習怎麼做才順利，並且保持對世界、各種事情充滿熱誠的態度。這樣有助於讓孩子未來在面對事情時，更願意積極嘗試，不害怕會做錯，同時願意不斷嘗試、修正，調整到最適合的做法。
2. 以身作則，身教加上引導
   在面對不熟悉的事情，孩子很自然的會透過模仿來進行學習，像是孩子會觀察爸媽一回家會做什麼，如果爸媽都在看電視、滑手機，在孩子的世界會認為，辛苦上課一整天後，我也想要放鬆。

自律是我們一生的功課，希望能引導孩子的同時，身為家長的我們就得先思考，自己需要做完的事情是否都完成了。

若無，則需要先調整自己的狀態；若是，可以帶著孩子思考，可以如何安排生活以達到自律，例如：自己需要完成的任務有哪些？可以怎麼安排？並跟孩子說，如果把需要做的事都完成了，就可以像爸爸媽媽這樣休息放鬆。透過以身作則，讓孩子透過模仿漸漸學習，成為自律好寶貝。

參考資料

• 林建平（2005）。自律學習的理論與研究趨勢。國教新知，52(2)，8-25。doi/10.6701/TEEJ.200506_52(2)
• 張文哲（2013）。教育心理學：理論與實際。台北市：學副文化。
• Pintrich, P. R. (2000). The role of goal orientation in self-regulated learning. In M., Boekaerts & P. R.,
• Pintrich (Eds.), Handbook of self- regulation (pp. 13-39). San Diego: Academic Press.
• Schunk, D. H. (1996). Learning theories: an educa- tional perspective. New Jersey: Pentice-Hall.
• Stone, N. J. (2000).Exploring the relationship be-tween calibration and self-regulated learning.
• Educational Psychology Review, Vol. 12, No. 4, 437-475.
• Zimmerman, B. J., & Risemberg, R. (1992). Self- regulated learning in gifted students. Roeper Review, Vol. 15, 2, 98-101.
• Zimmerman, B. J. (2000). Attaining self-regulation: A social cognitive perspective. In M. Boekaerts,P. R. Pintrich, & M. Zeidner (Eds.), Handbook of self-regulation (pp. 13- 39). New York: Academic.

本文轉載自雞湯來了，原文標題：從孩子發展弄懂自律的妙招

如何改變學生對犯錯的看法？

老師或家長能夠採取的行動當中，最有效的就是改變在孩子出錯和答錯時所表現的態度。最近我收到一個令我很感動的影片，是一位老師寄來的，這位老師參加過我的線上課程，而從這個學年開始，把錯誤的重要性和價值教給一班成績不好的學生。這班學生在一年之間改頭換面，讓自己從過去的失敗中重振，和數學重新建立興趣。

這個老師寄來的影片是這些學生的反響，在影片中，他們說到「錯誤可以增長大腦」這個觀念讓自己完全改變了。他們說，過去他們覺得自己是個失敗者，這種思維阻礙了他們進步，新來的老師給他們很多觀念和教法，讓他們擺脫長久以來對數學的恐懼，用新的態度跟數學打交道。如果我們讓學生知道錯誤是正面的，就能給他們一種如釋重負的解脫感。

如何重新定位錯誤？

在我開給老師和家長的線上課程中，我分享了關於錯誤的新觀念，也提出一個難題給大家當作課堂活動。我請上課的人設計一個新的活動，這個活動要能夠在教室或家裡重新定位「錯誤」這件事。

有位老師的回應我很喜歡，她告訴我她會在上課一開始，要學生把一張紙揉成紙團，然後一邊想著數學做錯時的感受，一邊朝黑板丟紙團。她請這些學生藉由丟紙團來發洩他們的感受─通常是挫折感。

接著，她要學生撿回自己的紙團，把它攤平，然後用色筆描出紙上所有的摺痕，這些紋路就代表他們的大腦增長。最後，她要這些學生把這張紙收進文件夾，保管一整個學年，隨時提醒他們錯誤的重要性。

幾年前我開始和金．哈莉維爾（Kim Halliwell）合作，她善於鼓舞學生，是維斯塔聯合學區（Vista Unified School district）的老師，我和該學區的一群老師已經密切合作兩年多，哈莉維爾也是其中一位。去年我去參觀哈莉維爾的教室，看到牆上貼滿學生畫的漂亮大腦圖畫，畫紙上寫滿了跟大腦成長和錯誤有關的正面訊息。

哈莉維爾向我解釋，他們先一起複習跟大腦成長有關的訊息，然後她要學生挑出自己最喜歡的部分，寫在自己的畫裡。

分享錯誤並了解錯誤帶來的好處

另外一個在課堂上讚揚錯誤的方法，是要求學生交功課，形式不拘─即使是測驗卷也行（但給學生做測驗的次數越少越好），然後老師再特別標出他們「最喜歡的錯」。老師應該跟學生分享，而且這些錯應該是觀念錯誤，而非數字算錯。

接下來老師還可以跟全班分享，同時讓大家討論錯誤是從哪裡產生的，以及為什麼是錯的。這也是加深重要觀念的好時機。有學生犯錯是好事，因為他們正處於努力認知的階段，他們的大腦在放電與增長。分享並討論錯誤也是有好處的，因為只要有一個學生犯某個錯，也會有其他人出同樣的錯，所以讓每個人都重新思考錯誤是非常有幫助的。

如果替學生的數學功課打分數（我在後面會討論到，這是毫無益處的做法），而且一犯錯就扣分，學生就會接收到對犯錯和數學學習很負面的訊息。若要灌輸成長型思維，傳達數學學習的普遍正面觀念，老師應該盡可能捨棄測驗和打分數；假如非得繼續測驗打分數，針對錯誤的地方就應該給一樣的分數或是更高分，同時附上一個訊息，指出這個錯是學習和大腦成長的絕佳機會。

透過一對一互動建立成長型思維

在課堂上公開重視錯誤雖然重要，但老師也必須一對一給予正面訊息。我的女兒剛開始上學的那幾年，老師給予的都是相當負面的回饋，讓她在很小的時候就產生僵固型思維。她四、五歲時患有聽力障礙，就因為這樣，老師認定她能力不足，所以給她做簡單的功課。當時她才四歲，但心裡非常明白，回家後問我為什麼老師給其他小朋友做的功課比較難。

我們知道，學生在學校會花很多時間弄清楚老師對他們的評價，所以我的女兒感覺得到她的老師不很看重她，正因如此，她開始相信自己很笨。但自從三年前，她進了一間很棒的小學就讀，這間學校的老師很快就發現她的僵固型思維，看出這種思維讓她退縮。現在她十二歲，整個人脫胎換骨，變得很喜歡數學。

我的女兒念四年級的時候，仍然持著僵固型思維，有一次我和她在她的學校旁聽三年級生上課。老師把兩個數字問題寫在白板上，我的女兒答對一題，另一題答錯。當她發現自己答錯之後，馬上表現出負面情緒，說自己數學很差，連三年級生都不如。我便乘機傳遞很直接又重要的東西給她。

我說：「妳知不知道剛才發生了什麼事？妳答錯的時候，妳的大腦會增大，可是答對時腦袋裡什麼事也沒發生；大腦沒有增大。」這就是老師在學生犯錯時，可以跟他們進行的一對一互動。她瞪大眼睛看著我，我知道她明白了這個觀念的重要性。現在她上六年級了，已經是個很不一樣的學生：她欣然接受錯誤，肯定自己。有這種改變並不是因為教她更多數學或其他功課，而是教她要有成長型思維。

皮亞傑：「對學習來說讓心智模型產生不平衡狀態是必要的。」而錯誤能引發不平衡狀態。

在一九三○年代，世界頂尖的瑞士心理學家尚．皮亞傑（Jean Piaget）駁斥了「學習即熟記程序」的看法；他指出，真正的學習是需要去理解觀念如何結合在一起。他提到，學生的心智模型會規畫統整觀念的方式，當這些心智模型對學生來說有道理時，他們就處於平衡（equilibrium）狀態（可參考 Piaget, 1958 , 1970 等）。

當學生遇到新觀念時，他們會努力地把新的觀念放進現有的心智模型，但若是看起來放不進去，或是他們既有的模型需要改變，就會進入不平衡（disequilibrium）狀態。處於不平衡狀態的人明白新的資訊無法納入他們的學習模型，不過因為新資訊解釋得通，所以也沒辦法摒棄，於是他們就必須盡力更改模型。

不平衡的過程會讓學習者很不自在，但皮亞傑主張，不平衡狀態才能帶來真正的智慧。皮亞傑告訴我們，學習是從平衡狀態進入不平衡狀態的過程，在平衡狀態，一切觀念都融合得很好，而在不平衡狀態，則有新的觀念無法融入。皮亞傑指出，這個過程對於學習來說是必要的（Haack, 2011）。

重視錯誤、學會與不平衡狀態共處

在第 4 章談到數學演練和哪些演練形式有益、哪些無益的時候，我還會多加說明。現行數學教育的一大問題就是，學生接收到重複簡單的觀念並不會幫助他們進入關鍵的不平衡狀態。我們很清楚，能容忍模稜兩可的人會讓不平衡狀態更容易過渡到平衡狀態──這是我們必須給學生經歷更多數學上的模稜兩可與冒險的另一個理由。

針對錯誤與不平衡狀態的研究對數學課堂有極大的影響，不只是影響了處理錯誤的方式，還包括給學生的功課。如果我們希望學生犯錯，就必須給他們具挑戰性、有難度的作業，引發不平衡狀態。這種功課也應該要附帶與錯誤有關的正向訊息，讓學生在解決難題、犯錯及繼續下去時能夠覺得自在。

這對很多老師來說會是重大的轉變，因為他們目前在數學課上設計給學生的活動，是為了確保他們能夠順利完成，因而給學生一些通常能正確作答的問題。這就表示，學生並未充分施展能力，沒有獲得足夠的機會學習並讓大腦成長。

和杜維克一起參與工作坊的時候，我常聽到她告訴家長，要讓孩子知道：把功課做對並不是特別優秀的事，因為這表示他們不是在學習。

杜維克提到，假如孩子回家之後說他們在上課或小考時答對了所有的題目，家長應該要說：「噢，真是可惜，那表示你沒機會學到東西。」這雖然是個激進的回饋，不過我們有必要給學生強烈的訊息，去壓過他們經常在學校得到的想法──做得對最重要、正確是智力的表現。我和杜維克都企圖扭轉老師的目標，讓他們少重視正確成果，多重視錯誤。

本文摘錄自《幫孩子找到自信的成長型數學思維》， 2018 年 12 月，臉譜 出版