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數字人生

Write Science
・2012/06/08 ・2564字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 517 ・六年級

圖片來源:圖片來源:lrargerich@Flickr,根據創用CC-By 2.0條款使用

作者 Shane L. Larson

五十年前,1962 年 3 月 2 日那天,有個數字名留青史:100。籃球猛將張伯倫(Wilt Chamberlain)在美國賓州赫許鎮(Hershey, Pennsylvania)的球場上,帶領費城勇士隊(Philadelphia Warriors)以 169 比 147 戰勝紐約尼克隊(New York Knicks),一人獨得 100 分。當時只有 4100 名觀眾有幸在場目睹這場空前絕後的驍勇戰績。1997 年 10 月 15 日,安迪.格林(Andy Green)在內華達州黑岩沙漠(Black Rock Desert)的鹽地平原上,創下每小時 763.035 英哩(譯註:1227.985 公里)陸上疾速記錄,為人類史上首度達到的超音速陸上速度。2012 年 2 月 26 日,喬伊.阿猶布(Joe Ayoob)在加州麥克倫空軍基地(McClellan Air Force Base)的飛機棚內,擲出紙飛機,以 226 英呎 10 英吋的飛行距離粉碎 2003 年以來保持的 207 英呎 10 英吋的舊記錄。

用既定標準比較,這些數字大極了─你或我周六上午臨時湊隊的籃球平均得分、你的本田喜美(Honda Civic)在 80 號州際公路上呼嘯馳騁的速度,又或者是我們用上個月電話帳單摺出來的紙飛機平均飛行距離,跟這些數字相比可都是小巫見大巫了。這些數字就是我們用來衡量與誇耀成就的象徵代表。這類應用數字的方式,也就是量化能力的名詞,反映出一股深植於內心,與生俱來的渴望,想擁有一套萬無一失,無懈可擊的方法,用來比較對照同屬的兩者,甚麼都可以比。數字就是入場券。

數字充斥於我們的生活中。有些數字很小:年紀、上班通勤的距離、家中寵物鬣蜥的數目等。有些數字來得大些:新車的標價、住家坪數大小、去找姑婆米拉共進下午茶必得行經的距離。有些數字你可能知道,但從未留神注意:家裡每月的用電量、1985 年出廠 Yugo(譯註:南斯拉夫瓦解前進口美國的廉價國民車款)目前的里程數、你在臉書上的「朋友」數目。有些數字實際上並不當作數字來用:電話號碼、社會安全碼、信用卡號碼等。有些數字你可能連想都沒想過,但是只要用百科知識庫(Google/維基百科)稍微查一下就可以知道了:每人頭髮的平均數目、北美洲湖泊的總淡水蓄水量、內華達州威納穆卡市(Winnemuca)方圓 120 英哩內的輪胎行有幾間等等。有些數字非常極端,對我們的認知領域來說是個大挑戰:到銀河系中心的距離、可見天體(visible Universe)內的原子數、目前寄居地球上的微生物數目等。

數字超越其他的科學概念,無所不在,推動著我們日常生活的運作。但並非自古就是如此。即便追溯到羅馬帝國的巔峰時代,你我所熟知的數字也不存在於西方文化中。眾所皆知,數字「0」對古希臘與羅馬人來說,還是個不確定的概念,0 究竟是不是個數字,對他們來說仍是懸而未決的問題。這樣的想法是不是很讓人大吃一驚呢。沒有「0」的概念的話,你的生活還過得下去嗎?想像一下,如果你去參加超級盃的賽前派對,為野馬隊(Bronco)該球季成績高聲歡呼(更多數字),此時若有個人拿了一盤點心走向你,問道「你要吃多少羊雜碎餡(譯註:haggis,又譯哈吉斯,蘇格蘭國菜,羊內臟剁碎後混和牛肉、蔬菜、辛香料,再塞入羊胃袋中烹煮)配豬頭皮肉凍方塊夾心餅?」除非你是個怪咖,不然大概會答「零!」謝天謝地,我想古羅馬人從沒接觸羊雜碎餡、豬頭皮肉凍或是體驗過丹佛野馬隊球迷的悲慘人生。

我的書架上有本有趣的書叫做《有趣怪數企鵝大辭典》(The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers),該書照數字順序排列條目,從數字 1 開始詳述各式各樣有趣透頂,令人頭昏眼花的事實、歷史故事以及你可能會遇上的日常數字應用。你知道如果一個整數的各個位數加總起來可以被 3 整除,那這個數字就可以被 3 整除嗎?試試看吧!我最喜歡的條目是 51,書上宣稱這是第一個「無聊的」數字,這點不用說就很有趣了!51 是第一個同時有趣又無聊的數字!細讀這本書時,就會遇到許多關於數字的概念,那些你的中學數學老師試圖說服你很重要的概念。你可能不知道,其中一個概念在你的日常生活中有舉足輕重的影響力,那就是因數質數的概念。

還記得因數嗎?因數就是相乘起來會得到另一個數目的數字。小熊隊(Cubs)贏得棒球世界大賽(World Series)到現在已過了 104 年了(最後一次是在 1908 年,與底特律老虎隊對打),拿 104 的其中兩個因數 8 跟 13 來說:104 = 8 x 13。你每天都會用到因數。當你站在標靶商場(Target)裡尋找新的全套餐具,想要的是 12 人份,一盒共有四套,所以你買了三盒:12 = 4 x 3。質數是只有兩個因數的數字:該數字本身與數字 1。7 是個很棒的例子。除了 7 x 1 之外,就沒有其他兩個整數相乘可以得出 7 了。

我對不是書呆子的朋友們做了個非正式調查,看樣子許多人都記得學過質數,但大概從八年級某個時候開始就不大思考質數了。但是還是有些人常把質數擺在心上。你知道這些人是誰嗎?駭客。因為質數是電腦安全的核心組成,駭客們花很多時間努力找出破解大質數的簡單方法,好讓他們竊取你的線上身分,用亞馬遜網路書店帳號上訂購價值美金 25,000 元情節聳動袒胸露乳的羅曼史小說。

質數又與電腦安全何干?每次你的電腦連上網絡或是與網路上的安全網站交換訊息,就要通過一套共同認證程序,稱為「握手協定」,很像是參加完丹佛野馬隊季賽向新朋友打招呼握手一樣:你先自我介紹,兩人直視彼此,接著找出可以幫你辨認新朋友的識別特質:額前削短後留長的髮型、藍眼、門牙鑲鑽、眼罩等。換成是電腦,有種安全模式採用包含兩個質因數的大數字─也就是說,該大數目數字的唯二因數都是質數。這些質數是用來加密數據的,要解密數據就一定得知道該質數。

就超級大的數字來說,質因數是很難找出來的─是找得到,不過只能用電腦把所有的已知質數都相乘看看能不能得出你要的大數字。舉例來說,你要不要試試看找出 552,277,573 的兩個質因數是甚麼。不用擔心,我可以等你算……

厭倦乘數字了嗎?好吧,質因數就是 6007 x 91,939 = 552,277,573。找出電腦安全加密演算法的質數可以花上大把時間,大部分的駭客都不願意花這麼多時間。數學保護著你的線上生活,時時刻刻,日日夜夜不停歇。

我們可以落落長地列出一大串讓你暈頭轉向的例子,告訴你數字影響我們生活的各種方式,就如質數對我們的影響。這麼一來有件事就顯而異見了:數字是種特別的魔法,用來掌握我們的印象、知識、對周遭世界的感知,給特殊的力量表達自己,理解周遭世界,保護你對抗黑暗邪惡勢力(駭客或是要拐你下注賭野馬隊明年比數的騙子)。把握這股力量,決不放手。

本文經作者 Shane L. Larson 同意,翻譯為中文,刊登於此。原文網址為:Numbers to Measure Our Lives [2012-03-08]

譯者:黃思瑜(專職口筆譯者英國巴斯大學口筆譯碩士 ,合譯有《未來一百年大預測》等書)

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原來數學也可以用在這裡?生物巧妙運用數學模式,克服了移動上的物理限制——《生物世界的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/10/26 ・1541字 ・閱讀時間約 3 分鐘

步調模式千變萬化

生物體移動時所受的限制是屬於物理學的。如果該生物使用的是肢體,這些肢體必須強壯到可以支撐作用在牠們上面的力量。(我看過不少設計較差的機器人在移動時散掉。)其他形態的移動也一樣,如果是游泳,該動物就要全力對付流體力學的定律。物理定律影響動物的移動是很明顯的,不值得奇怪。顯然,在這個情形當中,數學提供了各式各樣的模式,而被生物學拿來運用。很少不會用到,不管多麼奇特。

游泳時要全力對付流體力學定律。圖/Pexels

物理學的影響還要更深入。單有腿也沒有用,除非你有可以控制腿的神經系統。運動與神經網路是一體的,兩者一定要一起演化,而不是個別的。另外,正如負責感覺的神經網路一定會模擬外在世界的模式,因此負責運動的神經網路,必定會模擬動物身體的機械性模式。

我很懷疑這種共同演化真的有可能或很容易發生,因為下面這個顯著的事實:像肢體這樣的物理系統的自然振盪模式,跟神經網路的振盪模式是一樣的。早在肢體和腦變成完整的生物結構之前,就已經有一種普遍的步調韻律存在了,潛在地將動物的肢體關聯到腦。步調節奏提供了存在於演化相空間中、等待被使用的模式。

形形色色的生物移動

這模式的確一直被應用。差不多所有的生物都會移動,甚至連最固定不動的植物也會向光彎曲,最微小的浮游生物也會隨波逐流——但是,獵豹在追逐獵物時,可以跑到每小時一百一十公里,這移動真是快速啊!

生物體的種類這麼多,而移動的方式也是千變萬化。細菌利用會旋轉的微小螺旋槳使自己在水中推進,就像船一樣;像草履蟲(Paramecium)這類單細胞生物,則能藉由揮動鞭毛來選擇運動的方向。

(圖七○)Centronotus gunnellus 這種鰻魚肌肉收縮的波形。圖/《生物世界的數學遊戲》

運動的數學模式形形色色,更是令人印象深刻:草履蟲鞭毛的移動有如行進波,就像是玉米田在微風吹拂下產生的浪波;細菌的旋轉螺旋所成幾何圖案之美是無可比擬的;蛇和鰻是靠肌肉收縮做波狀蠕動行進(圖七○);響尾蛇在熱燙的沙漠中滾動,像一個捲曲的彈簧;尺蠖走動時是尾巴頂到頭部,整個身子呈 ∩ 狀,然後前端再向前行並伸展成-字形。

信天翁滑翔時羽翼僵直不動,偶爾慵懶地鼓翼一下,以有蹼的腳劃過水面,而後用笨拙卻迷人的方式飛跑而起;大象拖著沉重的腳步,緩慢橫過空曠的熱帶大草原,一次移動一隻腳(圖七一),模式就像那隻在海邊市鎮漫步的拉布拉多獵犬。

(圖七一)大象的慢步行走。圖/《生物世界的數學遊戲》

駱駝行走的模式又不一樣了:先同時移動兩隻左腿,然後是兩隻右腿〔稱為「溜蹄」(pace)〕,身子左右搖擺有如醉漢一般。松鼠又是另外一種模式:跳一下,停一下,然後再跳一下;如果遇到警訊,就省掉「停」的步驟。

Carparachneaureoflava 這種車輪蜘蛛會像一個有八個輪輻的輪子般,滾過沙漠。世界上有一種會跳躍的蛆〔較正式的稱呼為Ceratitis capitata(地中海果實蠅)的幼蟲〕,會把自己扭曲成 ∩ 形,然後再伸直,就像一顆砲彈般跳入空中,形成一個完美的拋物線。

——本文摘自《生物世界的數學遊戲》,2022 年 9 月,天下文化,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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比大還要再大!比「無窮」還要更大是什麼概念?——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/28 ・2660字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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我們都知道無窮(infinity)是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時,一定會想知道一件事:

什麼事物比無窮大?圖/經濟新潮社

比無窮還大?有可能嗎?

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題,也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」,而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看,但我們或許應該先訂好遊戲規則,讓大家知道該怎麼思考。

具體說來,我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物?如果是有限的量,要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易,但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷,所以必須選擇簡單明瞭的規則,用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼,在一般、有限的狀況下,我們通常怎麼判定「較大」?我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思?

右邊這一堆比左邊的更大圖/經濟新潮社

沒錯,用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人,這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念,我們該如何解釋右邊這堆較大?真的,試試看就知道。這個概念太基本了,其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時,數學中有個常用的技巧,就是提出完全相反的問題,看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?

我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?圖/經濟新潮社

我們不能用「相等」這個詞,因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思,以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來,一個對一個。如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。

如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。圖/經濟新潮社
圖/經濟新潮社

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來,就能得到「較大」的定義。

圖/經濟新潮社

現在問題已經定義清楚了,答案也隨之確定。那麼,世界上有什麼事物比無窮更大?答案是「是」還是「否」?世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘?現在我們可以思考之後猜猜看。

無窮跟無窮 +1 誰比較大?

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子,裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體,袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大?好吧,如果是無窮加一呢?

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響,但我們用配對規則來確認看看。首先,我們可以把無窮袋中的物體排成一排,這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

如果我們以最顯而易見的方式配對,無窮加一看起來當然更大。

不過要小心!規則指出,兩個事物必須無法正好兩兩配對,才會有一者較大。(最好經常回頭看清楚規則!)還有一種配對方法確實可行,而且兩方都不會有剩餘:

如果你覺得這樣好像在騙人,請花點時間告訴自己,這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對,而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體,不會有物體配對不到,所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮!

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

無窮大飯店!如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊,沿著走廊有一排房門,連綿不絕地延續下去,無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭,所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房,每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌,飯店裡每間房間都住滿了(對,這個世界裡有無限多個人)。如果沿走廊隨意走一段距離,選一扇門敲幾下,就會聽到:「有人!請勿打擾!」無限多間房間,裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說:「請問還有房間嗎?」我們不是第一天在無窮大飯店工作,當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說:「各位來賓,抱歉打擾一下,請各位來賓搬到下一間房間。沒錯,請收拾好行李,走出房門,朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作,祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後,就有房間給新住客了。

無限多間房間,無限多加一位住客,房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

無窮加五、無窮加一兆……都沒關係,這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對,可以多裝進一位客人。無窮非常大,任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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圓形 = 三角形?形狀之間的秘密關係——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/27 ・1427字 ・閱讀時間約 2 分鐘

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數學家通常都想很多,這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念,試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時,很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問:形狀是什麼?構成形狀的要素是什麼?我們以形狀分辨物體時,會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的,以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼?當我們說某樣東西是圓形時,看到的是什麼呢?

形狀百百種,可以量化嗎?

當然,這些問題沒什麼意義。就實際用途而言,我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想,形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了,我們或許會問自己這個問題:

世界上有多少形狀?圖/經濟新潮社

這個問題很簡單,但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法,稱為廣義龐卡赫猜想(generalized Poincaré conjecture,或譯龐加萊猜想)。這個猜想提出至今已經超過一百年,目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多,有一位數學家解出這個問題的大部分,因此獲得了100萬美元獎金,但還有許多種形狀沒有找到,所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀?如果沒有更好的點子,有個不錯的方法是畫出一些形狀,看看會有什麼結果。

我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社
我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎?波浪線(squiggle)應該全部算成一大類,還是應該依彎曲的方式細分?我們需要一種通用規則來解決這類爭議,才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師,通常會希望規則既嚴謹又精確:必須長度、角度和曲線都完全相等,兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學(geometry)這個數學領域。在這個領域裡,形狀嚴格又精確,經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

決定兩個形狀是否相同的規則相當多。圖/經濟新潮社

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀,但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則,它能夠把所有的形狀分成若干類別,但類別的數量又不至於太多。

所以三角形可以等於圓形。圖/經濟新潮社




——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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