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亂灑一地的針其實有意義!布豐實驗與蒙地卡羅方法——《數學的故事》

時報出版_96
・2019/10/07 ・4325字 ・閱讀時間約 9 分鐘 ・SR值 548 ・八年級

文/蔡天新,本文摘錄自《數學的故事》,2019年時報出版

風格即人。
寫作能力包括思想、感覺和表達,內心的明晰,味覺和靈魂。

——布豐

投擲小針的實驗

十八世紀某日,法國博物學家布豐(Comte de Buffon)邀請了許多朋友來家中做客,席間一起做了個實驗。布豐先在桌上鋪好一張大白紙,白紙上畫滿了等距離的平行線,再拿出很多等長的小針,小針的長度剛好是相鄰平行線間距的一半。布豐說:「請大家隨意把這些小針往白紙上扔!」客人們紛紛照他所說的做。

用火柴重複布豐實驗 。圖/wikimedia

他們總共投擲了二千二百一十二枚小針。統計結果表明,與紙上平行線相交的有七百零四枚,2210÷704≈3.142。布豐說:「這是 π 的近似值。每次實驗都會得到圓周率的近似值,而且投擲次數愈多,求出的圓周率近似值就愈精確。」這就是著名的「布豐實驗」。

布豐發現,如果選用的小針長度固定,那麼有利扔出(扔出的針與平行線相交)與不利扔出(扔出的針與平行線不相交)的次數之比,就是一個包含 π 的運算式。特別的是,如果小針的長度是平行線距離的一半,那麼有利扔出的概率恰好為 1/π。

布豐投針問題的實驗數據

下面是利用這個公式,用概率法獲得圓周率近似值的歷史資料。

布豐實驗的歷史資料表。圖/時報出版提供

其中,義大利人拉澤里尼在一九○一年投針三千四百零八次後,得出的圓周率近似值為 3.1415929,精確到小數點後六位。只不過他的實驗資料遭到了美國猶他州韋伯州立大學的巴傑教授的質疑。但無論如何,透過幾何、概率、微積分等不同領域和多種管道均可求取 π 的值,這仍然令人驚訝。

布豐投針實驗是第一個用幾何方式來表達概率問題的例子,也是首次利用隨機實驗來處理確定性的數學問題,它推動和促進了概率論的發展。

布豐投針問題的證明

找一根鐵絲做成圓圈,使其直徑恰好等於兩條平行線的間距 d。不難想像,對於這樣的圓圈來說,不管怎麼扔,都會與平行線有兩個交點。這兩個交點可能在一條平行線上,也可能在兩條平行線上。因此,如果投擲圓圈的次數為 n,那麼交點總數必為 2n。

現在把圓圈打開,變成一根長度為 πd 的鐵絲。顯然,這根鐵絲投擲後與平行線相交的情形要比圓圈複雜,共有五種情況:四個交點,三個交點,兩個交點,一個交點,無交點。

一個圓圈的直徑等於平行線之間是 d,不論怎麼仍都會與平行線有兩個交點。圖/wikimedia

由於圓圈和直線的長度同為 πd,根據機會均等原理,當投擲較多次且投擲次數相等時,兩者與平行線交點的總期望值應該是一樣的。也就是說,當長度為 πd 的鐵絲被投擲 n 次時,與平行線的交點總數也應該約為 2n。

現在來討論鐵絲長度為 l 的情形。隨著投擲次數 n 的增加,鐵絲與平行線的交點總數 m 應當與長度 l 成正比,因而有 m=kl,其中 k 是比例係數。

為了求出 k,考慮到當 l=πd 時的特殊情形,有 m=2n。由此可得

\( k= \frac{2n}{\pi d} \)

代入上式 (m=kl),有

\( \frac{m}{n}= \frac{2l}{\pi d} \)

特別地,取 l=d/2,便可得到布豐的結果,即 m/n=1/π。這個證明多多少少比較直觀,若學了高等數學,還可以用概率論和微積分的方法提出更嚴格的證明。

布豐,身兼多職的皇家植物園園長

有趣的是,布豐的名字與義大利尤文圖斯守門員兼義大利足球隊隊長布馮的名字拼法相同,均為 Buffon,只不過前者是法國人,後者是義大利人;前者生活在十八世紀,後者則與我們同年代。

布豐出生於盛產美酒的勃艮第小官吏之家,母親頗有人文修養。他十六歲時前往第戎的學院讀書,雖然喜歡數學,卻不得不遵從父命學習法律。此番經歷與他的同齡人、瑞士數學家歐拉相似,那會兒歐拉在離第戎不遠的巴塞爾大學,聽從父親之意攻讀神學和希伯來語。

原因在於,對於非顯貴家庭出身的年輕人來說,牧師、醫生和律師不失為安身立命的三個好職業,歐拉卻偏偏對數學情有獨鍾。

歐拉二十歲時隻身前往俄國的聖彼得堡科學院,先在醫學部,後來轉到數理學部,憑藉自己的鑽研和努力,成為十七世紀最偉大的數學家,也被譽為歷史上最偉大的四位數學家之一。布豐同樣是在二十一歲時,轉往法國西部的昂熱大學攻讀醫學、植物學和數學,並結識了一位在歐洲大陸旅行的英國公爵,陪他去了不少地方,也多次隨他前往英國,後來還成為英國皇家學會會員。

法國博物學家布豐。 圖/wikimedia

二十五歲時,布豐的母親去世,他回到故鄉經營自家農場。他經常去巴黎,是文學和哲學沙龍的常客,並結識了伏爾泰等知識分子,自己也著作等身。他認為,寫作能力包括思想、感覺和表達,內心的明晰,味覺和靈魂。布豐在四十六歲那年當選為法蘭西學院院士,就像二十世紀的數學天才龐加萊(Henri Poincaré),同時站在科學與人文兩大領域的頂峰。

布豐三十二歲時被任命為巴黎皇家植物園園長,直到去世都擔任此職。他致力於把植物園辦成學術和研究中心,從世界各地購買或獲取新的植物和動物標本。布豐翻譯過英國植物學家黑爾斯(Stephen Hales,第一個測量血壓的人)的《植物志》(Vegetable Staticks)和牛頓的《流數法與無窮級數》(Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum),並探索了牛頓和萊布尼茨發現微積分的歷史過程。布豐還主編巨著《自然史》,原計畫出五十卷,在他去世前出了三十六卷。

布豐生前以博物學家的身分和自然史方面的著作聞名,並以「風格即人」的理念為人稱道和傳世。這就像北宋的政治家沈括,因為寫了《夢溪筆談》而被公認是偉大的博物學家,在數學、物理學、地質學等方面同樣卓有成就。布豐的興趣也非常廣泛,且在多個領域均有重要建樹。

布豐是最早提出要將地質史按照時期劃分,並發表太陽與彗星碰撞產生行星此一理論的人。他還率先提出物種絕跡說,促進了古生物學的研究。不過,他說新世界(指美洲)的物種之所以不如歐亞大陸,缺乏大型和強大物種,男子氣概的人也少於歐洲,是因為美洲大陸沼澤的氣味和茂密的森林,大大激怒了湯瑪斯.傑佛遜(Thomas Jefferson),派出二十個士兵去新罕布夏州森林尋找公鹿,好向布豐展示「美國四足動物的雄壯和威嚴」。

布豐四十五歲時娶了一位來自故鄉沒落貴族世家的小姐,他們的第二個孩子倖免夭折,五年後卻面臨母喪,布豐又在他八歲時病重,幸好隔年病情就好轉,從此父子平安無事。布豐後來活到八十一歲,晚年當選為美國藝術與科學學院的外籍院士。

蒙地卡羅方法是什麼?

如同前文提到的布豐投針試驗,透過概率實驗的方法來估計某一個隨機變數的期望值,這樣的方法被稱為蒙地卡羅方法

蒙地卡羅全景。圖/wikimedia

蒙地卡羅是全球馳名的賭城,位於法國國界內離義大利不遠的摩納哥,傍依地中海海濱,屬於風景如畫的「蔚藍海岸」一部分。奧斯卡電影《蝴蝶夢》曾在這裡取景,一級方程式賽車在這裡也設有一站。我年輕時遊歷此地,發現它與美國的拉斯維加斯和大西洋城不同,要求客人西裝革履,穿短褲或拖鞋者謝絕入內。

蒙地卡羅方法是美國在二戰期間執行研製原子彈的「曼哈頓計畫」時提出來的,主要歸功於波蘭人烏拉姆(Stanislaw Ulam)和匈牙利人馮.諾依曼這兩位猶太籍數學家。馮.諾依曼以賭城蒙地卡羅之名為此方法命名,也為它罩上了一層神祕面紗。其實在此之前,蒙地卡羅方法就已存在,比如布豐實驗。

如今,蒙地卡羅方法在原子物理學、固態物理學、化學、生態學、社會學與經濟行為學等領域均獲得廣泛應用。下面,我們再舉兩個例子。

例一:把布豐實驗做個推廣,利用鈍角三角形的邊長計算圓周率。

三角形~圖/GIPHY

任意給三個正數,以它們為邊長,可以圍成一個鈍角三角形的概率 P 也與 π有關,這個概率為(π–2)/4。證明如下:

設這三個正數為 xyz,而且 xyz。對於每一個確定的 z,考慮到一個三角形任意一邊的長度小於另外兩邊的長度之和,故滿足

x+y>z, x2+y2<z2

後一個不等式成立是因為鈍角三角形和畢氏定理。我們很容易證明,這兩個不等式即為以這三個正數為邊長可圍成鈍角三角形的充分必要條件。

因此,滿足假設條件的(x, y)的可行區域為直線x+y=z 與圓 x2+y2<z所圍成的小弓形,而(x, y)的總可行區域為一個邊長為 z 的正方形。這樣一來,以三個正數為邊長可以圍成一個鈍角三角形的概率為

由此可見,這個概率與 z 的選取無關。因此,對於任意正數 xyz,均有 P=(π–2)/4,命題得證。

為了估算 π 的值,我們得透過實驗來估計其概率,過程可交由電腦程式設計來實現。事實上,x+y>zx2+y2<z2等價於(x+yz)(x2+y2z2)<0,因此只需檢驗後一個不等式是否成立即可。

若進行了 m 次隨機實驗,有 次滿足該不等式,那麼當 m 夠大時,n/m 會趨近於 (π–2)/4。而若令 n/m=(π–2)/4,可求得 π=4n/m+2,由此即能估計出 π 的近似值。

例二:利用蒙地卡羅方法,求任意曲邊梯形的池塘面積。

蒙地卡羅方法的基本概念是:先建立一個概率模型,使所求問題的解正好是該模型的參數或其他相關的特徵量。再透過模擬某個統計實驗,即多次隨機抽樣實驗(確定 m n),統計出該事件發生的百分比。只要實驗次數夠多,該百分比便近似於事件發生的概率,這其實就是概率的統計學定義。

可以說,蒙地卡羅方法屬於實驗數學的一種。它的適用範圍很廣泛,既能求解確定性的問題,也能求解隨機性的問題,甚至可以探索科學研究中的理論問題。

例二告訴我們,如何利用蒙地卡羅方法近似計算定積分,這屬於數值積分問題。那麼,任意曲邊梯形形狀的池塘面積,應該怎樣測算呢?

設計方案是:如下圖所示,假定池塘位於一塊面積已知的矩形農田中央,隨機朝農田扔泥巴,泥巴可能會濺起水花(落在池塘內),也可能不會(落在池塘外)。估計「濺起水花」的泥巴數占總泥巴數的百分比,便可根據該比例和農田面積近似算出池塘的面積。

用蒙地卡羅方法計算曲邊梯形的池塘面積。圖/時報出版提供

——本文摘自《數學的故事》,2019 年 5 月,時報出版

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數學有多好用?從種馬鈴薯到上太空,那些我們沒發現的數學——《大自然的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/12/25 ・2278字 ・閱讀時間約 4 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

數學的共振系統存在於太陽系中

太陽系的動力系統充滿了共振。

月球的自轉由於受到其他天體的攝動(perturbation),因而有輕微的起伏,不過它的自轉週期與它環繞地球的公轉週期相同,這是自轉週期與軌道週期的「一:一」共振。因此,我們在地球上總是看到月球的同一側,從來無法看到月球的「背面」。

水星每隔五十八.六五日自轉一周,每隔八十七.九七日公轉太陽一周。二乘八十七.九七等於一七五.九四,而三乘五十八.六五等於一七五.九五,因此水星的自轉週期與軌道週期是一個「二:三」共振。事實上,長久以來,天文學家一直以為兩者構成「一:一」共振,以為兩個週期大約都是八十八日。

因為想要觀察像水星這麼接近太陽的行星,實在是一件很困難的事情。這使得天文學家相信,水星的一側熱得不可思議,而另一側則冷得不可思議,最後卻發現事實並非如此。不過共振還是存在,而且比單純的「一:一」更有意思。

在火星與木星之間,有一個寬闊的小行星帶(asteroid belt),其中包含了數千個微小的天體。這些小行星的分布並不均勻,在某些與太陽距離固定的軌道上,我們發現還有些「小行星子帶」,在其他距離上則幾乎找不到它們的蹤跡。這兩者都得歸因於與木星的共振。

火星與木星間的小行星帶。圖/wikipedia

希耳達群(Hilda group)小行星就位在小行星子帶,它們與木星形成「二:三」共振。也就是說,這群小行星所處的位置,剛好使它們在木星公轉兩圈的時間中環繞太陽三圈。而最有名的小行星帶隙(gap of asteroid),則是「一:二」、「一:三」、「一:四」、「二:五」與「二:七」的共振。

各位讀者也許有些擔心,為什麼共振同時能夠解釋小行星帶的叢聚與間隙呢? 答案是每一個共振都具有本身的動力學特徵,某些會造成叢聚效應,某些的作用則剛好相反,全都由共振比例數字來決定。

用數學來預測未來

數學的另一項功能是進行預測。

在了解天體的運動之後,天文學家便能預測月食、日食,以及彗星的回歸等等。他們知道應該將望遠鏡對準何處,才能重新發現運行到太陽背面、暫時無法觀測的小行星。由於潮汐主要是由日、月與地球的相對位置所控制,所以他們也能預測許多年後的潮汐。

(但這種預測的主要困難並非來自天文學,而是大陸的形狀與海底的地形,它們都能使某個高潮提前或延後。然而,即使過了一個世紀,這些地理因素也幾乎不會有什麼改變,因此一旦了解它們造成的效應之後,將這些效應考慮在內只是例行公事。)

反之,想要預測天氣則困難無數倍。對於控制天氣的數學,我們知道的跟控制潮汐的數學一樣多,可是天氣天生就有一種不可預測性。縱使如此,氣象學家仍能做出有效的短期預測,比方說三、四天以後的天氣。不過,天氣的不可預測性與隨機性毫無關聯。在第八章中,當我們討論到混沌概念的時候,將會詳加探討這個題目。

數學所能做的遠不止於預測。一旦了解某個系統如何運作,我們就不必再做個被動的觀察者了。我們可以試圖控制這個系統,讓它照我們的意思行事。可是最好不要野心太大,例如天氣控制就仍處於嬰兒期,我們還無法隨心所欲地造雨,即使天上有一大團現成的雨雲。

控制系統的例子不勝枚舉,從保持汽鍋溫度固定的恆溫器(thermostat)到中世紀式的造林。還有,假如沒有精妙的數學控制系統,太空梭就會在空中橫衝直撞,因為任何太空人絕對沒有足夠迅速的反應,可矯正它固有的不穩定性。至於使用電子式心律調節器幫助心臟病患者,則是控制的另一項實例。

這些例子,讓我們看到數學最為實際的一面,也就是它的實際應用:數學如何造福人群。

隱身文化幕後的數學工具

我們的世界奠立在數學基礎上,數學不可避免地深植於全球文化中。我們並非總能夠了解數學對我們的生活有多大影響,理由是它被人盡可能藏在幕後。

這是很合理的,譬如您找旅行社安排一次度假旅遊時,不必了解設計電腦或電話線的數學與物理理論,也不必了解使某座機場能起降最多架次飛機的最佳化(optimization)程式,或是為駕駛員提供正確雷達影像的信號處理方法。

當您收看電視節目的時候,也不必了解在螢幕上製造特殊效果的三維幾何、藉由衛星傳送電視訊號的編碼方式、解出衛星軌道運動方程式的數學技巧,以及在製造可將衛星送到定位的太空的各個零組件時,每個步驟所應用的數千種不同的數學工具。

還有,農夫在種植新品種的馬鈴薯時,也不必知道遺傳學統計理論,不必知道這理論如何幫助育種學家找出何種基因使這品種具有抗病性。

然而,以前一定有人了解這一切,否則飛機、電視、太空船、抗病性的馬鈴薯都不可能發明出來。現在也需要有人了解這一切,否則它們就不會繼續運作。而將來也需要有人發明新的數學,以便解決新出現的或迄今尚未有解的難題,否則當我們面對某種改變,必須解決新的問題,或是舊問題需要新的解答時,我們的社會便會崩潰。

假如數學以及所有植基其上的發展,突然之間從我們的世界消失,人類社會將在瞬間四分五裂。又假如數學從此停滯不前,再也不會向前邁出一步,我們的文明便會很快開始倒退。

——本文摘自《大自然的數學遊戲 》,2022 年 11 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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將數學具象化!從複雜數學世界中看見規則——《大自然的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/12/24 ・2696字 ・閱讀時間約 5 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

我還有另一個夢想。

我的第一個夢想「虛擬幻境機」只是個科技產物,它能幫助我們將抽象的數學視覺化,促使我們建立新的直覺,讓我們得以忽略數學問題中冗長沉悶的數字結構。

尤其重要的是,它能使數學家對心靈世界的探索變得更容易。但是,由於數學家在數學園地流連忘返時,偶爾也會創造出新景觀,因此虛擬幻境機也可扮演創造性的角色。

事實上,虛擬幻境機或者類似的產品,很快就會問世。

將數學的複雜運作歸類成簡單的模式

我將第二個夢想稱為「形態數學」(morphomatics),它並不是一種科技,而是思考方式。就創造性而言,形態數學具有極為重大的意義。但我卻不知道它是否真會出現,甚至不知道是否有此可能。

我希望答案是肯定的,因為我們都需要它。

上一章的三個例子「液滴、狐與兔、花瓣」彼此間的結構有很大的差異,可是對於這個宇宙如何運作,它們都顯示了相同的哲學觀。它們不像運動定律導出行星橢圓軌道那樣,能直接從簡單的定律導出簡單的模式。相反的,它們貫穿枝葉茂密的複雜性巨樹,最後在適當的尺度下,才終於陷縮成相當簡單的模式。

「水龍頭滴水」這個簡單的敘述,伴隨著極端複雜而不可思議的一連串變遷。

雖然我們已有了電腦模擬的證據,我們還是不知道從流體定律中「為何」會導致這些變遷。這是個簡單的結果,可是起因卻不單純。

在狐狸、兔子與草地構成的數學電腦遊戲中,則包含了許多複雜而隨機的規則。然而,這個人工生態的重要特徵,卻能以四個變數的動力系統來表現,精確度高達百分之九十四。

花瓣的數目是所有原基進行複雜交互作用的結果,但是藉著黃金角,這些作用卻剛好導致各種費布納西數。費布納西數是每位數學福爾摩斯的線索,而不是躲在幕後的元兇。在這個問題中,數學莫里亞提(Moriarty,譯注:福爾摩斯的死對頭)並非費布納西,而是動力學;是自然界的機制,而不是「自然界的數」。

花瓣的數目剛好是費布納西數。圖/envatoelements

在這三個數學故事中,蘊含著一個共同的訊息:自然界的模式都是「突現的現象」,它們從複雜性海洋中突然冒出來,就像波提且利(Sandro Botticelli, 1445-1510)的維納斯乍現於貝殼中,毫無預兆,而且超越了母體。

它們不是自然律的深層單純性帶來的直接結果,那些自然律在這個層級並不適用。它們無疑是從自然界的深層單純性間接衍生而來,但由於因果之間的路徑太過複雜,以致沒有人能夠追尋每一步足跡。

創造一種嶄新的數學

如果我們真想掌握模式的突現,首先需要擁有一個嶄新的科學方法,它要能跟重視定律與方程式的傳統方法並駕齊驅。電腦模擬就是其中一環,可是我們還需要更多。僅由電腦告訴我們某個模式存在,這樣並不能令人滿意,我們還想知道「為什麼」。

這就代表我們必須建立一種新的數學,這種數學能將模式當作模式處理,而不會僅視為細微尺度交互作用的偶然結果。

我並不想改變現存的科學思考方式,它已經帶我們走了很長、很長的一段路,我呼籲的是建立另一個與它相輔相成的體系。

晚近數學最驚人的特色之一,就是開始注重一般性原則與抽象的結構,重心已由定量問題轉移到了定性問題。偉大的物理學家拉塞福(Ernest Rutherford,1871-1937)曾經說過:「定性是差勁的定量描述」,但是這種心態現在已經沒什麼道理。

拉塞福的名言剛好應該倒過來說:定量是差勁的定性描述。因為,能幫助我們了解並描述自然的數學性質種類繁多,數字只不過是其中一種。我們若想將所有的自由度都擠進局限的數值體系,就絕對無法了解樹木的生長或沙丘的形成。

建立一種新數學的時機業已成熟。拉塞福對定性推理的批評,主要在於失之草率;而這種新數學則擁有相當的嚴密性,卻又包含了更多觀念上的靈活性。

我們的確需要一種研究模式的有效數學理論,這就是我將我的夢想稱為「形態數學」的原因。令人遺憾的是,科學的許多分支如今正朝相反方向發展。

舉例來說,DNA常被視為生物體形態與模式的唯一解答,然而當今的生物發育理論,卻不足以解釋為何有機與無機世界分享了那麼多的數學模式。或許,DNA是將動力學規則編入了密碼,而非僅僅控制發育完成的模式。假如真是這樣,當今理論顯然忽視了發育過程的許多關鍵步驟。

建立適當的自然數學體系

數學與自然形態有密切關聯的想法源自湯普生,事實上,還可以遠溯到古希臘人,甚至巴比倫人。然而,直到最近這些年,我們才開始發展堪稱適當的數學。

過去的數學體系本身都太死板,都是為了遷就鉛筆與紙張的限制而創製的。

比如說,湯普生注意到,有多種生物體的形狀與流體的形態極為相似,可是如果想要模擬生物體,當今的流體力學使用的方程式卻嫌簡單得過分。

如果我們在顯微鏡下觀察一個單細胞生物,最不可思議的就是它的運動顯得有明確的目的,看來好像真的知道該往哪裡走。事實上,它是以一種非常特殊的方式,對周遭的環境與內在的狀態做出回應。

生物學家正逐步揭開細胞運動機制的神祕面紗,這些機制比起傳統的流體力學可要複雜許多。細胞最重要的特色之一,是擁有所謂的「細胞骨架」(cytoskeleton),它是某種互相糾纏的管狀網絡,看起來就像一捆稻草,功能是做為細胞內部的剛性支架。

細胞骨架具有驚人的靈活性與動態結構,在某些化學物質的影響下,它可以完全消失無蹤;而不論任何地方需要支撐,又都可以在該處生長。

細胞質中的微管。圖/wikipedia

其實,細胞運動所憑藉的,就是拆卸某些骨架而改搭在另一處。

細胞骨架的主要成分是微管,在討論對稱時我曾經提到它。我在那一章說過,這種不尋常的分子呈長管狀,是由兩種單元:α─微管蛋白與β─微管蛋白組成的,兩者排列成如同西洋棋盤的黑白相間圖樣。

微管可藉增加新單元而生長,也能像香蕉皮那樣從頂端向後捲縮。它的捲縮速率遠大於生長速率,但這兩種傾向都可用適當的化學物質來刺激產生。

——本文摘自《大自然的數學遊戲 》,2022 年 11 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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水滴其實不是水滴狀?看似單純的現象下,暗藏數條複雜規則——《大自然的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/12/23 ・2724字 ・閱讀時間約 5 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

混沌使我們了解,遵循簡單規則的系統可以表現出驚人的複雜行為,這對每個人都是很重要的教訓,包括那些以為嚴謹管束的公司就能自動平穩營運的經理階層;自以為針對問題立法,便能消滅問題的政治人物;以為替某個系統找出模型,就等於完工的科學家。

但這個世界也不可能完全混沌一片,否則我們根本無法生存。事實上,混沌現象遲至今日才被發現的原因之一,就是我們這個世界在許多方面仍舊相當單純。當我們向深層探索時,這種單純性通常就會消失,可是在事物的表面它依然存在。

我們用來描述這個世界的語言,即奠基在這些單純性之上。例如,「狐狸追逐兔子」這個敘述之所以有意義,只是因為它掌握了動物互動的一般模式。狐狸的確會追逐兔子,這也就是說,當一隻餓狐狸看到兔子時,牠就很有可能窮追不捨。

看似簡單,實則複雜

然而,我們若是開始注意細節,單純性很快就會消失,一切都會變得複雜無比。比如說,為了進行「窮追不捨」這簡單的行動,狐狸必須先能認出兔子,然後還得做好拔腿飛奔的準備。想要了解這些行動,我們必須先了解視覺、模式辨識(pattern recognition)與運動。

狐狸作跳躍運動時的軌跡。圖/envatoelements

在第七章中,我們探討了第三點:運動,發現它牽涉到生理學與神經學的複雜現象,包括骨骼、肌肉、神經與腦部。而肌肉的行動又由細胞生物學與化學決定;化學則由量子力學主宰;至於量子力學,又可能受制於千呼萬喚始出來的萬有理論(Theory of Everything)。在萬有理論之中,所有的物理定律都統一於整體架構之下。

如果我們暫且忽略運動,改為研究視覺或模式辨識所開拓的領域,我們仍將發現同樣不斷開枝散葉的複雜性。

由於只有我們的出發點具有單純性,所以,若非大自然的確利用了複雜無比的因果網絡,就是自然界的機制與大部分複雜性無關。看來,想要一探究竟似乎毫無希望。

直到最近為止,科學研究的自然途徑都是順著複雜性這棵大樹,不斷向下挖掘。這就是寇恩與我所謂的「化約論者(reductionist)的噩夢」。沿著這條傳統路徑,我們學到很多關於大自然的知識,尤其是如何操控大自然為我們服務的知識。

但是我們再也無法見到巨大的單純性,因為我們不能再將它們視為單純的現象。

近年來,有人提出一個根本不同的途徑,統稱為「複雜理論」(complexity theory)。它的中心課題,是眾多成分之間的複雜交互作用所產生的大尺度單純性。

在本書這最後一章,我準備介紹三個複雜性產生單純性的例子。它們並非取材自複雜理論學家的著作,而是我從當代應用數學的主流「動力系統理論」所選出來的。

我這樣做有兩個原因:一來是想證明複雜理論的中心思想已出現在所有科學中,與任何刻意提倡它的行動無關;一場寧靜革命已經接近沸點,其實我們都能看得出來,因為不少氣泡都開始冒出了水面。

另一個原因是,它們各自解決了自然界數學模式的一個歷史大謎,讓我們因此眼界大開;如果不是藉著這些問題,我們根本無法體會自然界的這些特色。這三個題目分別是:液滴的形狀、動物群體的動態行為,以及花瓣數目的奇異數字模式(我在第一章曾提到會在這裡揭曉謎底)。

你真的知道水滴的形狀嗎?

首先,讓我們再回到水滴從水龍頭緩緩滴下的問題。

這是個天天可見的簡單現象,但它已為我們提供了混沌的知識。現在,我們還要藉它來了解複雜性的一些面貌。這一回,我們注意的焦點不再是水滴的時間間隔,而是準備研究當水滴脫離水龍頭時,它的形狀究竟是什麼樣子。

這難道不是很明顯嗎? 它一定是個眾所周知的「淚珠」狀,有點像隻蝌蚪,前頭是圓形,漸漸彎成尖尖的尾巴。畢竟淚珠就是這種形狀。但它並不明顯,事實上,它根本不正確。

當我首次聽到這問題的時候,我主要的驚訝來自這個答案並沒有太長的歷史。有關流體的科學研究簡直汗牛充棟,說它們占據圖書館中數英里的書架絕不誇張,當然其中應該已有人費心觀察過水滴的形狀。

然而,早期文獻中只有一張圖畫正確,那是在超過一個世紀之前,由物理學家瑞利男爵 (John William Strutt,Lord Rayleigh, 1842-1919)所繪製的。由於那張圖畫太小了,所以幾乎沒有人注意到。一九九○年,英國布里斯陀大學(Bristol University)的數學家佩里格萊恩(Howell Peregrine)等人將這個過程拍攝下來,發現它比任何人想像中的還要複雜得多,但是也有趣得多。

水滴掉落時。圖/envatoelements

一滴水滴形成之初,是懸掛在水龍頭尾端水面的一個鼓脹部分。它會慢慢形成一個腰身,這個腰身愈變愈細,下端的水滴則漸趨傳統的淚珠狀。在一般人的想像中,這個腰身會被掐斷,形成一個又短又尖的尾巴。可是事實上,腰身卻會愈拉愈長,變成一根細長的圓柱,下端則懸掛著一個幾乎接近球形的水滴。

接下來,圓柱與球形接觸的部位開始變得更細,最後成為一個尖點。在這個階段中,整體的形狀看來像是一支毛線針按在一個橘子上。「橘子」隨後便從針尖處脫離,然後它一面墜落,一面還在進行輕微的脈動。

不過故事並沒有結束。現在,毛線針尖銳的尾部開始變圓,還會有微小的波動向上傳到它的頂端,使它看起來好像一串愈上面愈小的珍珠。最後,這根圓柱的頂端收縮成一個尖點,然後整根圓柱也掉了下來。在墜落的過程中,它的頂端變成了球形,並有了一系列複雜的波動沿著它上下傳遞。

我希望各位讀者也像我一樣感到驚奇,我從沒有想到墜落的水滴會這麼「忙碌」。

這些觀察解釋了為何過去沒有人研究這問題的數學細節,因為它實在太過複雜了。當水滴脫離時,系統會產生一個奇異點(singularity),該處的數學將變得十分棘手。毛線針的針尖就是這個系統的奇異點。可是為什麼會有一個奇異點呢?為什麼水滴要以這麼複雜的方式脫離呢?

一九九四年,艾格斯(J. Eggers)與杜邦(T. F. Dupont)證明這是流體力學方程式的必然結果。他們利用電腦模擬這些方程式的演化,在電腦中重現了佩里格萊恩發現的情節。

水滴脫離前後的形狀變化。圖/《大自然的數學遊戲 》

——本文摘自《大自然的數學遊戲 》,2022 年 11 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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