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解題囉!地震定位沒有想像中簡單?──地震定位的實作篇(一)

震識:那些你想知道的震事_96
・2018/07/09 ・2431字 ・閱讀時間約 5 分鐘

作者說明:原刊登之版本,其震央的計算方式有誤,重新修改此文章,感謝網友指出錯誤,並提出算法,已修正原錯誤。(編按:2018/8/8 修改)

今 (107) 年學測最後一題,是個有意思的地震題,不但結合了地震波速和震度的概念,還用了兩個地震、分處四個地區的朋友不同的感受來作為情境:

107年大學學科能力測驗自然科第68題。圖/截圖自大考中心

一開始來先解個題目

這題的關鍵在於震度和震波到時的合理性,有個最早的 6 級震度、接著 10 秒後有個 3 級震度,而 17、18 秒有兩個 4 級震度的點,加上題目給的資訊:有 2 個時間接近地震,分別有 4 個點有收到,依照時間、空間和衰減的關係,我們要先找出一個「和另外三個不能視為同一地震的狀況」,而依題目給的地點,理所當然的台北、台中、高雄有感的會是同一次地震,另一個獨立的事件是在洛杉磯才合理。

接著將題目給的資料列成表後,就會發現乙的 3 級震度出現的時間比丙、丁都還早,如果乙和丙、丁是同一個地震的話,那是最不合理的情況,這樣一來,就能先推導出「乙是洛杉磯」的結論。

而剩下的三個點、三個震波到時和震度資訊,最合理就是接近中部地區的某處附近發生地震,先到最近的台中,接著才到北高(想到 921 地震)。這樣最早的「甲是台中」的答案也就出來了,題目只問到這裡,並沒有要學生進一步計算誰是北、誰是高、震央在哪,當然題目給的波速 4~6km 在此也沒有用處了。不對,它有用處!如果我們知道台北─台中、台中─高雄的距離,就可以算出震央了,所以下表中我先把震波到時設了一個未知的 t 變數。在甲的 t 秒前就是地震發生的時間,t 秒就是震波從震源傳來的時間。

根據題目作出的震波行進時間假設,在甲地收到地震波的t秒前就是地震真正發生的時間。 圖/作者提供

題目中「藏」的震央資訊

那麼震央在哪呢?在這之前阿樹先提醒一個常會出現的盲點,那就是:

題目中的「甲」不是在震央!

雖然甲是震波最早到的地方,但因為震央照理說離甲也是有一定距離,所以就如同上表一樣,從震源傳達到甲站還需要有一點時間,所以如果一下子就把甲當作震源,那就會出現以下不合理的狀況:
台北到台中直線大約是131km左右(大概用google map拉的值),而台中到高雄卻近172km,題目給的波速4~6km/s代入是無法求解。如將17、18秒的到時乘上波速6km/s,計算起來最多僅有102、108km,和實際距離相去甚遠。不過,若假設震源深度=0,地震波波速固定行進的話,題目給的資訊還是可以告訴我們震央(因為深度假設為0,這情境下會等同於震源)在哪,但這就要「認真」的算一下了。

不過在動手計算前,我們先用一個影片了解定位的基本原理:

從上面的影片也可發現,影片中的震央和各地震站都有些距離,不過地震發生時,我們從直觀的觀測資料只會看到一個接一個收到震波順序,既不知道地震在哪,也不知道是何時發生的。如果要回推震央(震源),就必需要有地震波速、震波的到時資訊,當然,還要運用每個測站的經緯度資訊,才能計算出震央。

可是,要直接求解的話,用手算可能會算到考試結束鐘響(等等會說明),所以阿樹先用猜想震央可能位置的幾何關係簡單表示:

震源–台中的距離是 vt
震源–台北的距離先假設是早到的 v(t+17)
震源–高雄的距離就假設是晚到的 v(t+18)
用 Google map 測量台北–台中距離為 131km、台中–高雄的距離為 172km
就得到了下圖:

簡易的假設與幾何關係推導,這邊也先簡化假設震波先到台北才到高雄,實際上也有可能是反過來的情況。 圖/作者提供

接著用三角形「兩邊和大於第三邊」的關係來列式,會得到 T 至少要大於 8.2 秒的結果,但也代表這樣的關係存在許多組解。

那麼,假如我們要用進階一點的方式,改用聯立方程式來算的話,求得出來嗎?我們來試試:
假設震源經緯坐標為(x, y),把地球的曲面視為平面,經緯度差 1 度為 105 公里(在此也是簡化處理,因為經緯度會因地球曲面而有距離變化……)

再抓大概的各地坐標為
台中(120.7, 24.1)、台北(121.5, 25.0)、高雄(120.3, 22.6),地震波速為 v
則:

震源–台中的距離 (vt)^2=((x-120.7)*105)^2+((y-24.1)*105)^2
震源–台北的距離 (vt+v*17)^2=((x-121.5)*105)^2+((y-25.0)*105)^2
震源–高雄的距離 (vt+v*18)^2=((x-120.3)*105)^2+((y-22.6)*105)^2

就算把 v 簡化成 5km/s 代入,要解這個方程式也是十分累人,所以建議還是用程式計算,也因為前面已經有很多為了方便而簡化的假設,其實算出來誤差也很大,這邊阿樹就略過不提了。
以下為根據上面的式子,以不同的 v 與 t 設定下求出來的幾個解(感謝友站不會冷大大協助相關計算~~):

那這個震央位置「正確」嗎?

阿樹的答案是「不知道」,因為資訊太少(那前面是在算心酸的嗎?),應該說就目前已知的資訊而言,這樣的計算已經可以大概限縮震央的範圍,而由此我們也可以發現,在地震定位解算時,最麻煩的幾件事:

  1. 不知道地震發生的時間
  2. 不知道地震發生的地點
  3. 地震波在地下行進的速率可能不是定值

而藉由題目的情境,我們還得對 2、3 進行限縮後,才能勉強求出解,因此在地震定位的實務上,我們就需要更多的地震測站收到的資料、更好的地下速度分布情形(往往需要更多其它的地震事件來交叉比對),才能求出更加接近事實的地震發生位置。

因此,在像是不同的定位需求,就會有不同的精確度,我們不可能要求幾秒鐘到幾十秒的速報要定位的很準。而當科學家要研究地震的特性時,反而就要用更多的資訊佐證,有時連一天兩天也不夠呢!這也是為什麼地震測報中心需要觀測地震、科學研究單位也需要觀測地震,他們做的,可以說是同一件事,也是不同件事!

本文轉載自震識:那些你想知道的震事,原文為《地震定位的實作篇之一:比想像中還要麻煩的定位》,也歡迎追蹤粉絲頁震識:那些你想知道的震事了解更多地震事。

文章難易度
震識:那些你想知道的震事_96
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《震識:那些你想知道的震事》由中央大學馬國鳳教授與科普作家潘昌志(阿樹)共同成立的地震知識部落格。我們希望透過淺顯易懂的文字,讓地震知識走入日常生活中,同時也會藉由分享各種地震的歷史或生活故事,讓地震知識也充滿人文的溫度。

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地震規模越大,晃得越厲害?

鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2021/09/16 ・3706字 ・閱讀時間約 7 分鐘

本文由 交通部氣象局 委託,泛科學企劃執行。

某天,阿雲跟阿寶分享了一個通訊軟體上看到的資訊:

阿雲:「欸,你知道最近有個傳言說,花蓮有 7.7 級地震,如果發生的話台北會有 5.0 級的震度耶!」

阿寶:「蛤?那個傳言也太怪了吧,應該是把規模和震度搞混了!」

震度:量度地表搖晃的單位

確實常常有人把地震的規模跟震度搞混,實際上,因為規模指的是地震釋放的能量大小,所以當一個地震發生時,它的規模值已經決定了,只是會因為測量或計算的方式不同,會有些許的數字差異,而一般規模計算會到小數點後第一位,故常會有小數點在裡面。然而震度指的意思是地表搖晃的程度,度量表示方式通常都是以「分級」為主,比如國外常見、分了 12 級震度的麥卡利震度階,就是用 12 種不同分級來描述,而中央氣象局目前所使用的震度則共分十級,原先是從 0 級到 7 級,而自 2020 年起,在 5 級與 6 級又增了強、弱之分,也就是震度由小而大為 0-1-2-3-4-5弱-5強-6弱-6強-7 等分級,所以在表示上我們以整數 + 級或是強、弱等寫法,就可以區分規模和震度,不被混淆了!

而為什麼專家常需要強調震度和規模不一樣?那是因為震度的大小,是受到許多因素的影響。地震發生後,造成地表搖晃的主要原因是「地震波」傳來了大量能量,規模越大的地震,代表的就是地震釋放的能量越大,就像是你把擴音的音量不斷提高時,會有更大的聲音傳出一般。所以當其他的因素固定時,確實會因為規模越大、震度越大。

可是,地震波的能量在傳播過程中也會慢慢衰減,就像在演唱會的搖滾區時,在擴音器旁往往感覺聲音震耳欲聾,但隔了二、三十公尺之外,音量就會變得比較適中,但到了會場外,又會變得不是那麼清楚一樣。所以無論是地震的震源太深、或是震央離我們太遙遠,地震波的能量都會隨著距離衰減,一般來說震度都會變得比較小。

「所以,只要把那個謠言的台北規模 5.0 改為震度 5 弱,說法就比較合理了嗎?」阿雲說。

「可是,影響震度的因素還有很多,像是我們腳下的岩石性質,也是影響震度的重要因素。」阿寶說。

場址效應:像布丁一樣的軟弱岩層放大震波

原本我們都會覺得,如果地震釋放能量的方式就像是聲音或是爆炸一般,照理說等震度圖(地表的震度大小分布圖)上會呈現同心圓分布,但因為地質條件的差異,分布上會稍微不規則一些,只能大致看出震度會隨著離震央越遠而越小。地震學上有一個專有名詞叫做「埸址效應」,指的就是因為某些特殊的地質條件下,反而讓距離震央較遠的地方但震度被放大的地質條件。其中最常見的就是「軟弱岩層」和「盆地」兩種條件,而且這兩種還常常伴隨在一起出現,像是 1985 年的墨西哥城大地震,便是一個著名的例子。

影片:「場址效應」是什麼? 布丁演給你看

墨西哥城在人們開始在這邊發展之前,是個湖泊,湖泊中常有鬆軟的沉積物,而當湖泊乾掉之後,便成了易於居住與發展的盆地。雖然 1985 年發生的地震規模達 8.0,但震央距離墨西哥城中心有 400 公里,照理說這樣的距離足以讓地震波大幅衰減,而地震波傳到盆地外圍時,造成的加速度(PGA)大約只有 35gal,在臺灣大約是 4 級的震度,然而在盆地內的測站,卻觀測到 170gal 的 PGA 值,加速度放大了將近五倍,換算成震度,也可能多了一至二級的程度,也造成了相當程度的災情。盆地裡的沉積物,就像是裝在容器裡的布丁一樣,受到搖晃時,會有更加「Q 彈」的晃動!

1985 年墨西哥城大地震的等震度圖。圖/wikipedia

因此,在臺灣,雖然臺北都會區並沒有比其他區有更多更活躍的斷層,但地震風險仍不容小覷,因為臺北也正是一個過去曾為湖泊的盆地都市,仍有一定程度的地震風險,也需要小心來自稍遠的地震,除了建築需要有更強靭的抗震能力,強震警報能提供數秒至數十秒的預警,也多少讓人們能即時避災。

斷層的方向與震源破裂的瞬間,也決定了等震度圖的模樣

阿雲似懂非懂的接著問:「可是啊,為什麼有的時候大地震的等震度圖長得很奇怪,而且有些時候震度最大的地方都離震央好遠呢!也太巧合了吧?」

「這並不是巧合,因為震央下方的震源,指的其實是地震發生的起始點,並不是地震能量釋放最大的地方啊!」阿寶繼續解釋著。

「蛤!為什麼啊?」阿雲抓抓頭,一邊思考著。

地震是因為地下岩層破裂產生斷層滑動而造成的,雖然不是每個地震都會造成地表破裂,但目前科學家大多認為,地震的破裂只是藏在地底下,沒有延伸到地表而已,而且從地震的震度,也可以看出地底下斷層滑移的特性。

斷層在滑動時,主要的滑動和地震波傳出的地方,會集中在斷層面上某些特定的「地栓」(Asperity)之上,這些地栓又被認為「錯動集中區」,而通常透過傳統的地震定位求出來的震源,其實只是這些地栓中,最早開始錯動的地方。但實際上,整個斷層錯動最大的地方,往往都不會在那一開始錯動的地方,就像是我們跑步時,跑得最快的瞬間,不會發生在起跑的瞬間,而是在起跑後一小段的過程中,而錯動量最大的區域,才會是能量釋放最大的地方。而或許是小地震的地栓範圍小,震央幾乎就在最大滑移區的附近,因此也看不太出來,通常規模越大,震源的破裂行為會隨著時間傳遞,此效應才會越明顯。

震源與震央位置示意圖。圖/中央氣象局

那麼斷層上的地栓位置能否確認?這仍是科學上的難題,但近年來科學進展已經能讓我們透過地震波逆推斷層上的錯動集中區,至少可以透過地震波逆推斷層破裂滑移的型式,得以用來比對斷層破裂方向對震度分布的影響。以 2016 年臺南—美濃地震為例,最大錯動量的地區並不在震央所在的美濃附近,而是稍微偏西北方的臺南地區,也就是因為從地震資料逆推後,發現斷層在破裂時是向西北方向破裂。而更近一點的 2018 年花蓮地震,錯動量大、災害多的地方,也是與斷層破裂方向一致的西南方。

一張含有 地圖 的圖片  自動產生的描述
2016 年臺南美濃地震的等震度圖。圖/中央氣象局

透過更多的分析,現在也逐漸發現破裂方向性對於大地震震度分布的影響確實是重要議題。而雖然我們無法在地震發生之前就預知地栓的位置,但仍可從各種觀測資料作為基礎,針對目前已知的活動斷層進行模擬,就能做出「地震情境模擬」,並且由模擬結果找出可能有高危害度的地區,就能考慮對這些地區早先一步加強耐震或防災的準備工作。

多知道一點風險和危害度,多一份準備以減低災害

但是,直到目前為止,我們仍無法確知斷層何時會錯動、錯動是大是小。科學能給我們的解答,只能先評估出斷層未來的活動性中,哪個稍微大一些(機會小的不代表不會發生),或者像是斷層帶附近、特殊地質特性的場址附近,或許更要小心被意外「放大」的震度。而更重要的是,當地震來臨前,先確保自己的住家、公司或任何你所在的地方是安全還是危險,在室內要小心高處掉落物、在路上要小心掉落的招牌花盆壁磚、在鐵路捷運上要注意緊急煞車對你產生的慣性效應…多一些及早思考與演練,目的就是為了防範不知何時突然出現的大地震,在不恐慌的情況下保持適當警戒,會是對你我都很重要的防震守則!

【參考文獻】

鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
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