伽羅瓦誕辰｜科學史上的今天：10/25

本文與財團法人臺灣生活美學基金會合作。 

AI 有可能造成人們失業嗎？還是 AI 會成為個人專屬的超級助理？

隨著人工智慧技術的快速發展，AI 與人類之間的關係，成為社會大眾目前最熱烈討論的話題之一，究竟，AI 會成為人類的取代者或是協作者？決定關鍵就在於人們對 AI 的了解和運用能力，唯有人們清楚了解如何使用 AI，才能化 AI 為助力，提高自身的工作效率與生活品質。

有鑑於此，目前正於臺灣當代文化實驗場 C-LAB 展出的「2024 未來媒體藝術節」，特別將展覽主題定調為奇異點（Singularity），透過多重視角探討人工智慧與人類的共生關係。

C-LAB 策展人吳達坤進一步說明，本次展覽規劃了 4 大章節，共集結來自 9 個國家 23 組藝術家團隊的 26 件作品，帶領觀眾從了解 AI 發展歷史開始，到欣賞各種結合科技的藝術創作，再到與藝術一同探索 AI 未來發展，希望觀眾能從中感受科技如何重塑藝術的創造範式，進而更清楚未來該如何與科技共生與共創。

從歷史看未來：AI 技術發展的 3 個高峰

其中，展覽第一章「流動的錨點」邀請了自牧文化 2 名研究者李佳霖和蔡侑霖，從軟體與演算法發展、硬體發展與世界史、文化與藝術三條軸線，平行梳理 AI 技術發展過程。

藉由李佳霖和蔡侑霖長達近半年的調查研究，觀眾對 AI 發展有了清楚的輪廓。自 1956 年達特茅斯會議提出「人工智慧（Artificial Intelligence））」一詞，並明確定出 AI 的任務，例如：自然語言處理、神經網路、計算學理論、隨機性與創造性等，就開啟了全球 AI 研究浪潮，至今將近 70 年的過程間，共迎來三波發展高峰。

第一波技術爆發期確立了自然語言與機器語言的轉換機制，科學家將任務文字化、建立推理規則，再換成機器語言讓機器執行，然而受到演算法及硬體資源限制，使得 AI 只能解決小問題，也因此進入了第一次發展寒冬。

之後隨著專家系統的興起，讓 AI 突破技術瓶頸，進入第二次發展高峰期。專家系統是由邏輯推理系統、資料庫、操作介面三者共載而成，由於部份應用領域的邏輯推理方式是相似的，因此只要搭載不同資料庫，就能解決各種問題，克服過去規則設定無窮盡的挑戰。此外，機器學習、類神經網路等技術也在同一時期誕生，雖然是 AI 技術上的一大創新突破，但最終同樣受到硬體限制、技術成熟度等因素影響，導致 AI 再次進入發展寒冬。

走出第二次寒冬的關鍵在於，IBM 超級電腦深藍（Deep Blue）戰勝了西洋棋世界冠軍 Garry Kasparov，加上美國學者 Geoffrey Hinton 推出了新的類神經網路算法，並使用 GPU 進行模型訓練，不只奠定了 NVIDIA 在 AI 中的地位， 自此之後的 AI 研究也大多聚焦在類神經網路上，不斷的追求創新和突破。

從現在看未來：AI 不僅是工具，也是創作者

隨著時間軸繼續向前推進，如今的 AI 技術不僅深植於類神經網路應用中，更在藝術、創意和日常生活中發揮重要作用，而「2024 未來媒體藝術節」第二章「創造力的轉變」及第三章「創作者的洞見」，便邀請各國藝術家展出運用 AI 與科技的作品。

例如，超現代映畫展出的作品《無限共作 3.0》，乃是由來自創意科技、建築師、動畫與互動媒體等不同領域的藝術家，運用 AI 和新科技共同創作的作品。「人們來到此展區，就像走進一間新科技的實驗室，」吳達坤形容，觀眾在此不僅是被動的觀察者，更是主動的參與者，可以親身感受創作方式的轉移，以及 AI 如何幫助藝術家創作。

而第四章「未完的篇章」則邀請觀眾一起思考未來與 AI 共生的方式。臺灣新媒體創作團隊貳進 2ENTER 展出的作品《虛擬尋根-臺灣》，將 AI 人物化，採用與 AI 對話記錄的方法，探討網路發展的歷史和哲學，並專注於臺灣和全球兩個場景。又如國際非營利創作組織戰略技術展出的作品《無時無刻，無所不在》，則是一套協助青少年數位排毒、數位識毒的方法論，使其更清楚在面對網路資訊時，該如何識別何者為真何者為假，更自信地穿梭在數位世界裡。

透過歷史解析引起共鳴

在「2024 未來媒體藝術節」規劃的 4 大章節裡，第一章回顧 AI 發展史的內容設計，可說是臺灣近年來科技或 AI 相關展覽的一大創舉。

過去，這些展覽多半以藝術家的創作為展出重點，很少看到結合 AI 發展歷程、大眾文明演變及流行文化三大領域的展出內容，但李佳霖和蔡侑霖從大量資料中篩選出重點內容並儘可能完整呈現，讓「2024 未來媒體藝術節」觀眾可以清楚 AI 技術於不同階段的演進變化，及各發展階段背後的全球政治經濟與文化狀態，才能在接下來欣賞展區其他藝術創作時有更多共鳴。

「畢竟展區空間有限，而科技發展史的資訊量又很龐大，在評估哪些事件適合放入展區時，我們常常在心中上演拉鋸戰，」李佳霖笑著分享進行史料研究時的心路歷程。除了從技術的重要性及代表性去評估應該呈現哪些事件，還要兼顧詞條不能太長、資料量不能太多、確保內容正確性及讓觀眾有感等原則，「不過，歷史事件與展覽主題的關聯性，還是最主要的決定因素，」蔡侑霖補充指出。

舉例來說，Google 旗下人工智慧實驗室（DeepMind）開發出的 AI 軟體「AlphaFold」，可以準確預測蛋白質的 3D 立體結構，解決科學家長達 50 年都無法突破的難題，雖然是製藥或疾病學領域相當大的技術突破，但因為與本次展覽主題的關聯性較低，故最終沒有列入此次展出內容中。

除了內容篩選外，在呈現方式上，2位研究者也儘量使用淺顯易懂的方式來呈現某些較為深奧難懂的技術內容，蔡侑霖舉例說明，像某些比較艱深的 AI 概念，便改以視覺化的方式來呈現，為此上網搜尋很多與 AI 相關的影片或圖解內容，從中找尋靈感，最後製作成簡單易懂的動畫，希望幫助觀眾輕鬆快速的理解新科技。

吳達坤最後指出，「2024 未來媒體藝術節」除了展出藝術創作，也跟上國際展會發展趨勢，於展覽期間規劃共 10 幾場不同形式的活動，包括藝術家座談、講座、工作坊及專家導覽，例如：由策展人與專家進行現場導覽、邀請臺灣 AI 實驗室創辦人杜奕瑾以「人工智慧與未來藝術」為題舉辦講座，希望透過帶狀活動創造更多話題，也讓展覽效益不斷發酵，讓更多觀眾都能前來體驗由 AI 驅動的未來創新世界，展望 AI 在藝術與生活中的無限潛力。

展覽資訊：「未來媒體藝術節——奇異點」2024 Future Media FEST-Singularity 
展期 ▎2024.10.04 ( Fri. ) – 12.15 ( Sun. ) 週二至週日12:00-19:00，週一休館
地點 ▎臺灣當代文化實驗場圖書館展演空間、北草坪、聯合餐廳展演空間、通信分隊展演空間
指導單位 ▎文化部
主辦單位 ▎臺灣當代文化實驗場

你覺得，宇宙是唯一的嗎？又提到這個想起來就令人頭疼的問題了。每每思考「宇宙之外」、「時間流逝」，總是覺得這是思維所不能及的問題，然後停止思考。那麼，究竟科學家們是怎麼看待「宇宙是否唯一」的這一問題呢？

這個問題，是科學界仍在探索的問題之一，和複雜的「超弦理論」有關。我想，我們可以在宏觀層面上和大家說一說，讓大家對超弦理論有一個基本的認知。當然，也有的物理學家就直接了當地說，宇宙大霹靂時有太多的能量，僅創造出我們單一的宇宙，這股能量是絕對用不完的。於是，在我們的宇宙外，應該還要有幾乎數不完的宇宙；大霹靂和暴脹之聲此起彼落，不絕於耳。所以，宇宙太多了，我們的宇宙絕對不是唯一的。

持這種觀點，沒有人能說得過你，可以算你贏了這場辯論。但是即便你贏了，從理論上看來，還是有許多令人不滿意又充滿懸念的地方解釋得不清楚。所以呢，今天我們厲害一點，從人類發明出來、另外一個比較嚴謹的理論思維，來討論一下「我們的宇宙是否是唯一存在的宇宙」這個大問題。

我們一再強調，人類目前科學的兩大理論——量子力學和相對論，都不是宇宙的終極理論；因為它們在宇宙大尺度轉接到核子小尺度的過渡中，無法嚴絲合縫地達到無間隙連接的境界。但自然界並不需要理會人類不完美版的理論，它一定是僅由一種理論來控制的。

目前，人類在宏大和高速的部分以相對論來解釋，細微的地方則用量子力學來解釋；兩者各行其道，生死不相往來，這就是現狀。

愛因斯坦從 1930 年左右開始研究，嘗試著想把兩種理論合併到一起，但直至他過世，都沒有成功。量子力學和相對論，現在仍然各樹其幟，了無瓜葛。

目前，我們瞭解的力有四種：引力、電磁力、原子核裡的弱力、夸克之間的強力。除了引力外，其餘三種力都已經合併起來，並且有多位物理學家因此獲得了諾貝爾獎；唯獨引力，不好處理。早在 1960 年，科學家就提出：一定要有新的理論。

科學家的「另闢蹊徑」

科學家們指出，新的理論不能再用粒子的概念了。因為質子、電子、光子這些都是粒子的概念，這樣的思維已經提出好一陣子了，但卻不能解決把四種力合起來的問題。

聰明的科學家就想，如果把宇宙最基礎的普朗克長度（10^-35公尺）視為一條會震動的「弦」，並用它作為構建宇宙萬物的最基本單位——即我們說的「弦理論」——就可以把引力放進來了，因為弦的震動可以很好地解釋引力。

於是，弦理論就開始蓬勃發展。但沒過多久，弦理論也碰到了「鐵板」，即弦是如何形成質子、中子、夸克的？這些物質又是如何凝聚、如何變動，才能形成現今含有很多黑洞的宇宙？弦理論並不能解決這些問題，這就很尷尬了。因為目前的量子力學、相對論，至少可以解釋宇宙的形成。

弦不夠，那就超弦

弦不夠，科學家們就提出了「超弦理論」。這裡面的「超」，意思為「超對稱」，因為我們身處的世界本應是對稱的，而此理論就是希望能夠回答在我們理論世界中，目前無法解釋的問題。鼻子和肚臍眼在身體中央線上、耳朵和眼睛左右各一、左右手鏡像對應、物質中晶體有規律的結構、角動量的守恆等等，都是因自然界對稱而產生的物理現象。至於超對稱更厲害了，要求費米子 （fermions）和玻色子 （bosons）需要一對一、成雙成對出現，成為宇宙中更深層的對稱現象，企圖回答出目前人類無法解決的物理問題，並且尋找人類尚不知道的物理世界。

我們的世界有很多普遍對稱的規則擺在那兒。但規矩的存在，就是為違反規則準備的，就像交通法規是放在那兒，當人違規時才會用上的一樣。如果我們的宇宙是完美的宇宙，那就是超對稱的宇宙。不過，事實上宇宙自大霹靂那天，就已經不完美了。

宇宙大霹靂之初，出現了許多物質與反物質，它們本應是一樣多的；但反物質幾乎全部消失，僅剩餘了一部分物質，約是原來總量的十億分之一，這就是我們現在的物質世界。假如這個對稱沒有被破壞掉，那麼現在的宇宙就全部都是能量了，也就沒有我們現在的物質世界。

雖然從宇宙大霹靂的 0 時起，這個完美對稱就被破壞了約十億分之一，但宇宙的本質仍是想擁有超對稱完美的特性，所以我們現在就忽略宇宙那麼一丁點的缺陷，仍然用超對稱震動的弦，將宇宙描述出來。

愛因斯坦的相對論描述了四度空間，即三度空間加時間。但是在四度空間，我們沒辦法建造出這麼一個「弦」，以滿足物理在自洽條件下，形容現在的宇宙。經過科學家的研究，如果用超弦製造現在的宇宙，需要九個空間加上一個時間，共十度空間才能夠滿足物理從頭到尾自洽條件。

十度空間，其中六個我們看不見

在這裡，我們就必須要提到一位為超弦理論做出巨大貢獻的華裔數學家——丘成桐。他在 1978 年提出：用目前的四度空間，再加上六個高度壓縮的空間，即變成了十度空間，便可以使用在超弦理論上，解決所有的物理問題。這個理論所創造出來的六度空間，就被稱為「卡拉比―丘流形」。

卡拉比―丘流形，形容的是除去我們四度空間以外的另外6個空間。由於宇宙的能量非常大，卡拉比―丘流形的長度單位是用普朗克長度為基礎單位。

我們可以想像一下，這個高度壓縮的卡拉比―丘流形，可以有很複雜的幾何結構，比如說，它可以擁有很多的洞。至於它能擁有多少洞，超弦物理學家看法不一，10 個不算少，1,000 個不算多。為了在這篇小文章討論方便著想，我們就算它有 500 個洞吧。現在把能由震動產生大小不等的能量的超弦引進來，假設它震動能量有 10 個量子層次，則這個超弦在每個流形的洞中，就能以 10 種不同的能量出現。如果總共有 500 個洞，則這個流形的總能量就有 10×10×10×⋯⋯，即 10 乘以 500 次的變化。換言之，這個有 500 個洞的流形，總共可能有 10⁵⁰⁰ 種不同能量的內涵，也就等於有這麼多不同流形幾何結構的變化。

這些不同的幾何結構，即便各有不同的超弦震動能量內涵，但結構本身沒有道理不是穩定的。就像一座形狀複雜的山體，雖然因局部坑洞使得地勢變化的高度不同，造成各處局部勢能相異，但因為有局部坑洞的結構，滾石也有可能在半山腰就因為局部勢能穩定而被攔住，不再往下滾。所以，一個巨大的山體，可以有很多穩定的勢能位置；我們也可以說，它有很多不同勢能的幾何結構。

宇宙之外還有很多宇宙

回到有 500 個洞的卡拉比―丘流形，也就是說，它可以有 10⁵⁰⁰ 的穩定結構。並且，我們可以將構建超弦理論所需要的所有東西放進去，包括引力場、電磁力、強核力、弱核力等等。其實，在滿足把量子理論和相對論嚴絲合縫、自洽無礙地結合在一起後，它竟然拉扯出了一個附帶的產品，即這個流形可以有龐大數目的不同幾何結構。也就是說，超弦理論也創造出了各種不同能量的宇宙。所以，以超弦理論角度看來，在我們的宇宙之外，應該還有很多宇宙，如 10⁵⁰⁰ 那麼多，數目可能幾近無窮。所以，平行宇宙和多重宇宙的概念，就應運而生。

那麼，我們把所有理論放到超弦理論中，不是就可以了？並沒這麼簡單。因為要檢驗超弦理論所需要的能量太高了，已經高到可能永遠無法以人類科技文明所能產生的能量來驗證它的正確性。

科學家在地球上建立的「大型強子對撞機」，能夠創造短暫的巨大能量，但離檢驗超弦理論所需的能量，至少低了上億億倍。

超弦理論可能永遠超出人類能力能夠去驗證的範圍，所以我們仍需要繼續尋找在我們認知的範圍內，能夠解釋宇宙大霹靂及目前所有現象的單一理論。但依目前的理解，擁有不同結構和能量的宇宙數目應該有很多。所以說，我們生存其間的宇宙，也不是唯一的。

——本文摘自《把手伸出宇宙之外：成為宇宙公民》，2023 年 6 月，三民出版，未經同意請勿轉載。

如果你打算替浴室鋪瓷磚，顏色的選擇相當多，但瓷磚的形狀可就沒那麼多了。在特力屋絕對能找到正方形和長方形的瓷磚，或許還有六邊形，幸運的話可能找得到三角形瓷磚。不過，如果你最喜歡的數字是5，就沒輒了；因為沒有正五邊形的瓷磚。

正五邊形……就是不太合群

原因很簡單：正五邊形無法鋪滿浴室牆面或任何一種平面，因為正五邊形的每個角都是 108 度。

在正多邊形鑲嵌中，幾塊瓷磚可以剛好擺在共同頂點的周圍，因此每個角加起來一定為一圈，也就是 360 度。如果你把三個正五邊形擺在一個頂點的周圍，只有 3× 108=324 度，會留下縫隙。假如拿四個正五邊形來擺看看，就變成 4 × 108=432，超過 360 度，所以會重疊。即使讓正五邊形彼此交疊，角度計算一下很快就會發現行不通。

附帶一提，這也解釋了為什麼沒有超過六邊的正多邊形（所有的邊長及內角都相等）瓷磚。如果一個正多邊形（瓷磚的形狀）適合用來鋪滿平面（能夠緊密擺在一起覆蓋平面而不留下空隙），就必定如剛才看到的，內角能整除 360。由於一定會有至少三塊瓷磚在頂點相交，所以角度不可能大於　　= 120，這剛好是正六邊形的內角，可以排出大家熟悉的蜂巢圖樣。但你不妨畫出幾個正多邊形看看，邊數愈多，內角愈大，因此邊數超過六的正多邊形內角會大於 120；這就太大了。

謹慎起見，你可以用正三角形來排看看，因為正三角形的內角是 60 度。360=6 × 60，在頂點的周圍可以擺六個正三角形；正方形的內角是 90 度，而360=4 × 90，所以頂點的周圍可以擺四個正方形。正方形鋪起來又比長方形容易得多，因此絕大部分的浴室瓷磚是正方形的。

還有可以無限延續五重對稱性的機會嗎？

難道喜歡數字 5 的人一絲希望都沒有嗎？

正五邊形只是具有五重對稱的許多形狀之一。另一個是五角星，而且還有正十邊形，這兩個形狀在繞中心點轉五分之一圈（72 度）後，看起來都跟原來的形狀一模一樣。說不定你可以混合使用具有五重對稱的形狀來鑲嵌瓷磚？

其實不妨試試看，事實上嘗試的人還不少。許多大數學家，包括 17 世紀的天才約翰尼斯．克卜勒（Johannes Kepler，以三大行星運動定律著稱），都嘗試過五重對稱鑲嵌問題，但所有的人都被考倒了。

克卜勒在 1619 年的著作《宇宙的和諧》（Harmonices Mundi）中，展示了一個著名的鑲嵌圖案，當中用到五邊形、五角星和十邊形，還有一種他稱為「怪物」的形狀，也就是把兩個十邊形的其中一側黏合起來所成的形狀，但他不得不承認這破壞了五重對稱性。目前為止還沒有人想出任何鑲嵌法，能夠無限延續五重對稱性，但也沒有人能證明，這樣的鑲嵌法不存在。所以，鑲嵌浴室瓷磚的單純想望，引導出一個懸而未決的數學問題。

啊~對稱就是讓人心情舒爽

要避開五重對稱鑲嵌問題，其中一種方法就是鋪其他類型的曲面。在球面上，12個正五邊形可以密合得剛剛好，而在雙曲平面上（第3章介紹過這種平面），可以排出4個正五邊形的鑲嵌，在頂點處都能夠密合。這兩種曲面都是彎曲的，所以5和平坦的面似乎合不來。

另外一種方法則是乾脆放下對於5的偏愛，或是別再限制只能用一種瓷磚。譬如在格拉納達的阿爾罕布拉宮或伊斯坦堡的托卡比皇宮所看到的伊斯蘭藝術：豔麗馬賽克。雖然是由各式各樣的形狀拼貼而成，但仍舊極其對稱。就連小朋友都能一眼看出當中的對稱性，就如同顯微鏡下看到的蝴蝶或雪花的對稱性。

可是若要問究竟什麼是對稱性，小孩子很可能會遲疑一下才回答，即使問成年人也一樣。因為這個問題需要稍微思考一下才答得出來，所謂對稱性是指不會受改變而影響的特性。把正五邊形旋轉72度，看起來跟原來一樣，所以具有五重旋轉對稱性。把蝴蝶對著中心線做鏡射，看起來沒變，所以具有鏡射（或反射）對稱性。住宅區沿街一整排一模一樣的房子，則有平移對稱性；假若有巨人把整排房子一起搬移一棟或多棟的距離，這條街看起來仍然沒變。

這麼一來，圓形就成了最對稱的幾何形狀。你可以把圓形繞著圓心旋轉任意角度，看起來都和原來的形狀一樣。你也可以把圓形對著通過圓心的任意直線做鏡射，形狀還是不會改變。有趣的是，很少人注意到圓形完美的對稱性，大多數人腦袋裡跳出的第一個對稱物件是正方形或蝴蝶。也許吸引人目光的，是對稱性的個別特質。

若以人和動物為例，我們最容易注意的通常是遭破壞的對稱性：撇嘴一笑，微歪一邊的鼻子，稍微左右高低的眼睛。有些人認為，對稱是美的先決條件。不對稱的身體或臉孔，可能會暴露出人類本能上想要逃避的某種健康或基因缺陷，因為生物都只想繁衍最適者。但另一方面，撇嘴一笑可能非常性感，讓展現笑容的人從平板的眾多對稱臉孔中脫穎而出。由舊傷造成的不對稱，也許會吸引那些希望另一半身經百戰的人。就對稱性與人類的美感而言，或許還沒有一致的看法。

數學家眼中的磁磚與壁紙

理解什麼是對稱（不受改變而影響的特性）之後，就可以回頭談談室內裝潢。

規則的浴室貼磚模式正是數學家所謂的壁紙圖樣（wallpaper pattern），這和一般人常說的壁紙圖樣是一樣的意思。這種圖樣會根據對稱性，在兩個方向上重複出現。唯一的差別是，數學家不在乎圖樣是紙做的還是瓷磚做的。他們看待這類模式的方法，是把所有的對稱寫下來，不去想壁紙上那些玫瑰花、泰迪熊或其他的精細圖案，只把注意力集中在讓圖樣維持不變的變換上，諸如大家熟悉的鏡射、平移及旋轉，還有所謂的滑移鏡射，就是先做鏡射，再沿著平行於鏡射軸的方向平移。沙灘上的足跡，就是一種滑移鏡射變換下對稱的圖樣。

壁紙圖樣有沒有可能具有五重旋轉對稱性呢？既然對貼瓷磚而言5是很難搞的數字，你八成會猜答案是不可能吧，而且你猜得沒錯。但真正令人意外的是，雖說壁紙圖案千變萬化，能夠產生的對稱構形卻有精確的上限：壁紙群（wallpaper group）只有17 種，其中沒有任何一種牽涉到數字5。

很早以前就有人發現17種壁紙圖樣了。阿爾罕布拉宮裡已有幾百年歷史的裝飾牆面上，可以找到幾乎所有的圖樣（上一次計算是在西班牙舉行的2006年國際數學家大會上，與會的數學家斷定有14種）。不過，直到1891年才有人證明只有這17種圖樣。

本文摘自《數學好有事》，麥田出版。

「別哭，阿弗瑞德！我需要全部的勇氣才能在二十歲死去。」1832年5月31日，伽羅瓦對身旁的弟弟說出最後的遺言後，終因傷重不治死去，結束他短短悲劇性的一生，猶如燦爛奪目的流星劃過天空，與三年前才26歲就病故的阿貝爾一樣，都是人類數學、乃至科學上的重大損失。

與阿貝爾一樣，伽羅瓦也是在家接受啟蒙教育，直到中學才入學就讀；也是來了新的數學老師才鍾情於數學（此時阿貝爾正在巴黎；在他短暫停留的半年期間，兩個不世出的天才彼此相距僅數公里卻未相遇，不免令人覺得惋惜）。

伽羅瓦也跟阿貝爾一樣大量閱讀數學經典原著，並且在高中就大膽挑戰五次方程式的公式解。也同樣自行發現解法有錯後，更堅定破解的決心。但是自行鑽研數學的伽羅瓦可能因為不善於按部就班地解題，1828年參加巴黎綜合理工學院的入學考試時，竟在口試項目慘遭滑鐵盧，無法進入這所以自由學風著稱的名校。伽羅瓦準備第二年重考，同時間他再度思考五次方程式的問題。

阿貝爾雖然證明五次方程式沒有通用的簡單公式解，但這並不表示所有五次方程式都沒有公式解，包括歐拉在內的許多數學家早就找到一些特定型式的公式解。伽羅瓦有更大的雄心：找出判別任一五次方程式是否有公式解的方法。令人咋舌的是，他竟不依循舊有的數學體系，而是自行發明一個全新的概念──「群」。
這概念的關鍵在於對稱性，也就是將方程式之根互相置換後是否結果不變。在伽羅瓦眼中，方程式不再按幾次方來分類，而是根據可以維持對稱性的置換方式有幾種來分類。透過「置換群」、「子群」的運算，伽羅瓦巧妙地解決了五次（以及五次以上）方程式是否有公式解的判別問題。無奈，伽羅瓦竟遭逢與阿貝爾一樣的霉運，先後寄給科學院的兩篇論文都石沉大海。伽羅瓦第二年又逢父喪，還是沒考上巴黎綜合理工學院，只能到管理嚴格的高等師範學院。

不知是否親身經歷的不公不義（兩次入學考試沒過、兩次論文投稿沒下文、自由派的父親被保守派逼到自殺），伽羅瓦成了激進的共和派，屢屢與保守派的校長針鋒相對。1831年初，他被退學後，加入共和派的軍隊，主張革命推翻政權，因而兩度入獄。不過，他並未死於獄中，反而是出獄後與人決鬥，腹部中槍而於第二天身亡。

這場決鬥的起因與對手是誰至今仍是個謎，只知伽羅瓦是極不情願地答應決鬥。而他似乎自知必死，在前一天寫了三封遺書給友人，其中一封附了三篇論文，信中略述論文內容，最後以潦草的字跡寫道：「可是我沒有時間了，而我對那個浩瀚領域還有些不成熟的想法。」

伽羅瓦留給我們的是如今以他為名的「伽羅瓦理論」，後世數學家都對他這宛如天外飛來的創見歎為觀止，認為足以媲美物理中的廣義相對論。事實上，從他的理論衍生出來的群論處理的正是對稱性，因此成為粒子物理標準模型與超弦理論的重要基礎。我們不禁想猜想：倘若他不是20歲就死於非命，他那「不成熟的想法」還會發展出怎樣的深邃見解。

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。