伽羅瓦誕辰｜科學史上的今天：10/25

本文由 建研所 委託，泛科學企劃執行。 

當你走進一棟建築，是否能感受到它對環境的友善？或許不是每個人都意識到，但現今建築不只提供我們居住和工作的空間，更是肩負著重要的永續節能責任。

綠建築標準的誕生，正是為了應對全球氣候變遷與資源匱乏問題，確保建築設計能夠減少資源浪費、降低污染，同時提升我們的生活品質。然而，要成為綠建築並非易事，每一棟建築都需要通過層層關卡，才能獲得標章認證。

為推動環保永續的建築環境，政府自 1999 年起便陸續著手推動「綠建築標章」、「智慧建築標章」以及「綠建材標章」的相關政策。這些標章的設立，旨在透過標準化的建築評估系統，鼓勵建築設計融入生態友善、能源高效及健康安全的原則。並且政府在政策推動時，為鼓勵業界在規劃設計階段即導入綠建築手法，自 2003 年特別辦理優良綠建築作品評選活動。截至 2024 年為止，已有 130 件優良綠建築、31 件優良智慧建築得獎作品，涵蓋學校、醫療機構、公共住宅等各類型建築，不僅提升建築物的整體性能，也彰顯了政府對綠色、智慧建築的重視。

說這麼多，你可能還不明白建築要變「綠」、變「聰明」的過程，要經歷哪些標準與挑戰？

綠建築標章	智慧建築標章	綠建材標章

第一招：依循 EEWH 標準，打造綠建築典範

環境友善和高效率運用資源，是綠建築（green building）的核心理念，但這樣的概念不僅限於外觀或用材這麼簡單，而是涵蓋建築物的整個生命週期，也就是包括規劃、設計、施工、營運和維護階段在內，都要貼合綠建築的價值。

關於綠建築的標準，讓我們先回到 1990 年，當時英國建築研究機構（BRE）首次發布有關「建築研究發展環境評估工具（Building Research Establishment Environmental Assessment Method，BREEAM®）」，是世界上第一個建築永續評估方法。美國則在綠建築委員會成立後，於 1998 年推出「能源與環境設計領導認證」（Leadership in Energy and Environmental Design, LEED）這套評估系統，加速推動了全球綠建築行動。

臺灣在綠建築的制訂上不落人後。由於臺灣地處亞熱帶，氣溫高，濕度也高，得要有一套我們自己的評分規則——臺灣綠建築評估系統「EEWH」應運而生，四個英文字母分別為 Ecology（生態）、Energy saving（節能）、Waste reduction（減廢）以及 Health（健康），分成「合格、銅、銀、黃金和鑽石」共五個等級，設有九大評估指標。

我們就以「台江國家公園」為例，看它如何躍過一道道指標，成為「鑽石級」綠建築的國家公園！

位於臺南市四草大橋旁的「台江國家公園」是臺灣第8座國家公園，也是臺灣唯一的濕地型的國家公園。同時，還是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築，其外觀採白色系列，從高空俯瞰，就像在一座小島上座落了許多白色建築群的聚落；從地面看則有臺南鹽山的意象。

因其地形與地理位置的特殊，生物多樣性的保護則成了台江國家公園的首要考量。園區利用既有的魚塭結構，設計自然護岸，保留基地既有的雜木林和灌木草原，並種植原生與誘鳥誘蟲等多樣性植物，採用複層雜生混種綠化。以石籠作為擋土護坡與卵石回填增加了多孔隙，不僅強化了環境的保護力，也提供多樣的生物棲息環境，使這裡成為動植物共生的美好棲地。

第二招：想成綠建築，必用綠建材

要成為一幢優秀好棒棒的綠建築，使用在原料取得、產品製造、應用過程和使用後的再生利用循環中，對地球環境負荷最小、對人類身體健康無害的「綠建材」非常重要。

這種建材最早是在 1988 年國際材料科學研究會上被提出，一路到今日，國際間對此一概念的共識主要包括再使用（reuse）、再循環（recycle）、廢棄物減量（reduce）和低污染（low emission materials）等特性，從而減少化學合成材料產生的生態負荷和能源消耗。同時，使用自然材料與低 VOC（Volatile Organic Compounds，揮發性有機化合物）建材，亦可避免對人體產生危害。

在綠建築標章後，內政部建築研究所也於 2004 年 7 月正式推行綠建材標章制度，以建材生命週期為主軸，提出「健康、生態、高性能、再生」四大方向。舉例來說，為確保室內環境品質，建材必須符合低逸散、低污染、低臭氣等條件；為了防溫室效應的影響，須使用本土材料以節省資源和能源；使用高性能與再生建材，不僅要經久耐用、具高度隔熱和防音等特性，也強調材料本身的再利用性。

在台江國家公園內，綠建材的應用是其獲得 EEWH 認證的重要部分。其不僅在設計結構上體現了生態理念，更在材料選擇上延續了對環境的關懷。園區步道以當地的蚵殼磚鋪設，並利用蚵殼作為建築格柵的填充材料，為鳥類和小生物營造棲息空間，讓「蚵殼磚」不再只是建材，而是與自然共生的橋樑。園區的內部裝修選用礦纖維天花板、矽酸鈣板、企口鋁板等符合綠建材標準的系統天花。牆面則粉刷乳膠漆，整體綠建材使用率為 52.8%。

在日常節能方面，台江國家公園也做了相當細緻的設計。例如，引入樓板下的水面蒸散低溫外氣，屋頂下設置通風空氣層，高處設置排風窗讓熱空氣迅速排出，廊道還配備自動控制的微噴霧系統來降溫。屋頂採用蚵殼與漂流木創造生態棲地，創造空氣層及通風窗引入水面低溫外企，如此一來就能改善事內外氣溫及熱空氣的通風對流，不僅提升了隔熱效果，減少空調需求，讓建築如同「與海共舞」，在減廢與健康方面皆表現優異，展示出綠建築在地化的無限可能。

在綠建材的部分，另外補充獲選為 2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學新建工程，其採用生產過程中二氧化碳排放量較低的建材，比方提高高爐水泥（具高強度、耐久、緻密等特性，重點是發熱量低）的量，並使用能提高混凝土晚期抗壓性、降低混凝土成本與建物碳足跡的「爐石粉」，還用再生透水磚做人行道鋪面。

同樣入選 2023 年綠建築的還有雲林豐泰文教基金會的綠園區，首先，他們捨棄金屬建材，讓高爐水泥使用率達 100%。別具心意的是，他們也將施工開挖的土方做回填，將有高地差的荒地恢復成平坦綠地，本來還有點「工業風」的房舍告別荒蕪，無痛轉綠。

等等，這樣看來建築夠不夠綠的命運，似乎在建材選擇跟設計環節就決定了，是這樣嗎？當然不是，建築是活的，需要持續管理–有智慧的管理。

第三招：智慧管理與科技應用

我們對生態的友善性與資源運用的效率，除了從建築設計與建材的使用等角度介入，也須適度融入「智慧建築」（intelligent buildings）的概念，即運用資通訊科技來提升建築物效能、舒適度與安全性，使空間更人性化。像是透過建築物佈建感測器，用於蒐集環境資料和使用行為，並作為空調、照明等設備、設施運轉操作之重要參考。

為了推動建築與資通訊產業的整合，內政部建築研究所於 2004 年建立了「智慧建築標章」制度，為消費者提供判斷建築物是否善用資通訊感知技術的標準。評估指標經多次修訂，目前是以「基礎設施、維運管理、安全防災、節能管理、健康舒適、智慧創新」等六大項指標作為評估基準。
以節能管理指標為例，為了掌握建築物生命週期中的能耗，需透過系統設備和技術的主動控制來達成低耗與節能的目標，評估重點包含設備效率、節能技術和能源管理三大面向。在健康舒適方面，則在空間整體環境、光環境、溫熱環境、空氣品質、水資源等物理環境，以及健康管理系統和便利服務上進行評估。

樹林藝文綜合大樓在設計與施工過程中，充分展現智慧建築應用綜合佈線、資訊通信、系統整合、設施管理、安全防災、節能管理、健康舒適及智慧創新 8 大指標先進技術，來達成兼顧環保和永續發展的理念，也是利用建築資訊模型（BIM）技術打造的指標性建築，受到國際矚目。

在興建階段，為了保留基地內 4 棵原有老樹，團隊透過測量儀器對老樹外觀進行精細掃描，並將大小等比例匯入 BIM 模型中，讓建築師能清晰掌握樹木與建築物之間的距離，確保施工過程不影響樹木健康。此外，在大樓啟用後，BIM 技術被運用於「電子維護管理系統」，透過 3D 建築資訊模型，提供大樓內設備位置及履歷資料的即時讀取。系統可進行設備的監測和維護，包括保養計畫、異常修繕及耗材管理，讓整棟大樓的全生命週期狀況都能得到妥善管理。

智慧建築導入 BIM 技術的應用，從建造設計擴展至施工和日常管理，使建築生命周期的管理更加智慧化。以 FM 系統 ( Facility Management，簡稱 FM ) 為例，該系統可在雲端進行遠端控制，根據會議室的使用時段靈活調節空調風門，會議期間開啟通往會議室的風門以加強換氣，而非使用時段則可根據二氧化碳濃度調整外氣空調箱的運轉頻率，保持低頻運作，實現節能效果。透過智慧管理提升了節能效益、建築物的維護效率和公共安全管理。

總結

綠建築、綠建材與智慧建築這三大標章共同構建了邁向淨零碳排、居住健康和環境永續的基礎。綠建築標章強調設計與施工的生態友善與節能表現，從源頭減少碳足跡；綠建材標章則確保建材從生產到廢棄的全生命週期中對環境影響最小，並保障居民的健康；智慧建築標章運用科技應用，實現能源的高效管理和室內環境的精準調控，增強了居住的舒適性與安全性。這些標章的綜合應用，讓建築不僅是滿足基本居住需求，更成為實現淨零、促進健康和支持永續的具體實踐。

你覺得，宇宙是唯一的嗎？又提到這個想起來就令人頭疼的問題了。每每思考「宇宙之外」、「時間流逝」，總是覺得這是思維所不能及的問題，然後停止思考。那麼，究竟科學家們是怎麼看待「宇宙是否唯一」的這一問題呢？

這個問題，是科學界仍在探索的問題之一，和複雜的「超弦理論」有關。我想，我們可以在宏觀層面上和大家說一說，讓大家對超弦理論有一個基本的認知。當然，也有的物理學家就直接了當地說，宇宙大霹靂時有太多的能量，僅創造出我們單一的宇宙，這股能量是絕對用不完的。於是，在我們的宇宙外，應該還要有幾乎數不完的宇宙；大霹靂和暴脹之聲此起彼落，不絕於耳。所以，宇宙太多了，我們的宇宙絕對不是唯一的。

持這種觀點，沒有人能說得過你，可以算你贏了這場辯論。但是即便你贏了，從理論上看來，還是有許多令人不滿意又充滿懸念的地方解釋得不清楚。所以呢，今天我們厲害一點，從人類發明出來、另外一個比較嚴謹的理論思維，來討論一下「我們的宇宙是否是唯一存在的宇宙」這個大問題。

我們一再強調，人類目前科學的兩大理論——量子力學和相對論，都不是宇宙的終極理論；因為它們在宇宙大尺度轉接到核子小尺度的過渡中，無法嚴絲合縫地達到無間隙連接的境界。但自然界並不需要理會人類不完美版的理論，它一定是僅由一種理論來控制的。

目前，人類在宏大和高速的部分以相對論來解釋，細微的地方則用量子力學來解釋；兩者各行其道，生死不相往來，這就是現狀。

愛因斯坦從 1930 年左右開始研究，嘗試著想把兩種理論合併到一起，但直至他過世，都沒有成功。量子力學和相對論，現在仍然各樹其幟，了無瓜葛。

目前，我們瞭解的力有四種：引力、電磁力、原子核裡的弱力、夸克之間的強力。除了引力外，其餘三種力都已經合併起來，並且有多位物理學家因此獲得了諾貝爾獎；唯獨引力，不好處理。早在 1960 年，科學家就提出：一定要有新的理論。

科學家的「另闢蹊徑」

科學家們指出，新的理論不能再用粒子的概念了。因為質子、電子、光子這些都是粒子的概念，這樣的思維已經提出好一陣子了，但卻不能解決把四種力合起來的問題。

聰明的科學家就想，如果把宇宙最基礎的普朗克長度（10^-35公尺）視為一條會震動的「弦」，並用它作為構建宇宙萬物的最基本單位——即我們說的「弦理論」——就可以把引力放進來了，因為弦的震動可以很好地解釋引力。

於是，弦理論就開始蓬勃發展。但沒過多久，弦理論也碰到了「鐵板」，即弦是如何形成質子、中子、夸克的？這些物質又是如何凝聚、如何變動，才能形成現今含有很多黑洞的宇宙？弦理論並不能解決這些問題，這就很尷尬了。因為目前的量子力學、相對論，至少可以解釋宇宙的形成。

弦不夠，那就超弦

弦不夠，科學家們就提出了「超弦理論」。這裡面的「超」，意思為「超對稱」，因為我們身處的世界本應是對稱的，而此理論就是希望能夠回答在我們理論世界中，目前無法解釋的問題。鼻子和肚臍眼在身體中央線上、耳朵和眼睛左右各一、左右手鏡像對應、物質中晶體有規律的結構、角動量的守恆等等，都是因自然界對稱而產生的物理現象。至於超對稱更厲害了，要求費米子 （fermions）和玻色子 （bosons）需要一對一、成雙成對出現，成為宇宙中更深層的對稱現象，企圖回答出目前人類無法解決的物理問題，並且尋找人類尚不知道的物理世界。

我們的世界有很多普遍對稱的規則擺在那兒。但規矩的存在，就是為違反規則準備的，就像交通法規是放在那兒，當人違規時才會用上的一樣。如果我們的宇宙是完美的宇宙，那就是超對稱的宇宙。不過，事實上宇宙自大霹靂那天，就已經不完美了。

宇宙大霹靂之初，出現了許多物質與反物質，它們本應是一樣多的；但反物質幾乎全部消失，僅剩餘了一部分物質，約是原來總量的十億分之一，這就是我們現在的物質世界。假如這個對稱沒有被破壞掉，那麼現在的宇宙就全部都是能量了，也就沒有我們現在的物質世界。

雖然從宇宙大霹靂的 0 時起，這個完美對稱就被破壞了約十億分之一，但宇宙的本質仍是想擁有超對稱完美的特性，所以我們現在就忽略宇宙那麼一丁點的缺陷，仍然用超對稱震動的弦，將宇宙描述出來。

愛因斯坦的相對論描述了四度空間，即三度空間加時間。但是在四度空間，我們沒辦法建造出這麼一個「弦」，以滿足物理在自洽條件下，形容現在的宇宙。經過科學家的研究，如果用超弦製造現在的宇宙，需要九個空間加上一個時間，共十度空間才能夠滿足物理從頭到尾自洽條件。

十度空間，其中六個我們看不見

在這裡，我們就必須要提到一位為超弦理論做出巨大貢獻的華裔數學家——丘成桐。他在 1978 年提出：用目前的四度空間，再加上六個高度壓縮的空間，即變成了十度空間，便可以使用在超弦理論上，解決所有的物理問題。這個理論所創造出來的六度空間，就被稱為「卡拉比―丘流形」。

卡拉比―丘流形，形容的是除去我們四度空間以外的另外6個空間。由於宇宙的能量非常大，卡拉比―丘流形的長度單位是用普朗克長度為基礎單位。

我們可以想像一下，這個高度壓縮的卡拉比―丘流形，可以有很複雜的幾何結構，比如說，它可以擁有很多的洞。至於它能擁有多少洞，超弦物理學家看法不一，10 個不算少，1,000 個不算多。為了在這篇小文章討論方便著想，我們就算它有 500 個洞吧。現在把能由震動產生大小不等的能量的超弦引進來，假設它震動能量有 10 個量子層次，則這個超弦在每個流形的洞中，就能以 10 種不同的能量出現。如果總共有 500 個洞，則這個流形的總能量就有 10×10×10×⋯⋯，即 10 乘以 500 次的變化。換言之，這個有 500 個洞的流形，總共可能有 10⁵⁰⁰ 種不同能量的內涵，也就等於有這麼多不同流形幾何結構的變化。

這些不同的幾何結構，即便各有不同的超弦震動能量內涵，但結構本身沒有道理不是穩定的。就像一座形狀複雜的山體，雖然因局部坑洞使得地勢變化的高度不同，造成各處局部勢能相異，但因為有局部坑洞的結構，滾石也有可能在半山腰就因為局部勢能穩定而被攔住，不再往下滾。所以，一個巨大的山體，可以有很多穩定的勢能位置；我們也可以說，它有很多不同勢能的幾何結構。

宇宙之外還有很多宇宙

回到有 500 個洞的卡拉比―丘流形，也就是說，它可以有 10⁵⁰⁰ 的穩定結構。並且，我們可以將構建超弦理論所需要的所有東西放進去，包括引力場、電磁力、強核力、弱核力等等。其實，在滿足把量子理論和相對論嚴絲合縫、自洽無礙地結合在一起後，它竟然拉扯出了一個附帶的產品，即這個流形可以有龐大數目的不同幾何結構。也就是說，超弦理論也創造出了各種不同能量的宇宙。所以，以超弦理論角度看來，在我們的宇宙之外，應該還有很多宇宙，如 10⁵⁰⁰ 那麼多，數目可能幾近無窮。所以，平行宇宙和多重宇宙的概念，就應運而生。

那麼，我們把所有理論放到超弦理論中，不是就可以了？並沒這麼簡單。因為要檢驗超弦理論所需要的能量太高了，已經高到可能永遠無法以人類科技文明所能產生的能量來驗證它的正確性。

科學家在地球上建立的「大型強子對撞機」，能夠創造短暫的巨大能量，但離檢驗超弦理論所需的能量，至少低了上億億倍。

超弦理論可能永遠超出人類能力能夠去驗證的範圍，所以我們仍需要繼續尋找在我們認知的範圍內，能夠解釋宇宙大霹靂及目前所有現象的單一理論。但依目前的理解，擁有不同結構和能量的宇宙數目應該有很多。所以說，我們生存其間的宇宙，也不是唯一的。

——本文摘自《把手伸出宇宙之外：成為宇宙公民》，2023 年 6 月，三民出版，未經同意請勿轉載。

如果你打算替浴室鋪瓷磚，顏色的選擇相當多，但瓷磚的形狀可就沒那麼多了。在特力屋絕對能找到正方形和長方形的瓷磚，或許還有六邊形，幸運的話可能找得到三角形瓷磚。不過，如果你最喜歡的數字是5，就沒輒了；因為沒有正五邊形的瓷磚。

正五邊形……就是不太合群

原因很簡單：正五邊形無法鋪滿浴室牆面或任何一種平面，因為正五邊形的每個角都是 108 度。

在正多邊形鑲嵌中，幾塊瓷磚可以剛好擺在共同頂點的周圍，因此每個角加起來一定為一圈，也就是 360 度。如果你把三個正五邊形擺在一個頂點的周圍，只有 3× 108=324 度，會留下縫隙。假如拿四個正五邊形來擺看看，就變成 4 × 108=432，超過 360 度，所以會重疊。即使讓正五邊形彼此交疊，角度計算一下很快就會發現行不通。

附帶一提，這也解釋了為什麼沒有超過六邊的正多邊形（所有的邊長及內角都相等）瓷磚。如果一個正多邊形（瓷磚的形狀）適合用來鋪滿平面（能夠緊密擺在一起覆蓋平面而不留下空隙），就必定如剛才看到的，內角能整除 360。由於一定會有至少三塊瓷磚在頂點相交，所以角度不可能大於　　= 120，這剛好是正六邊形的內角，可以排出大家熟悉的蜂巢圖樣。但你不妨畫出幾個正多邊形看看，邊數愈多，內角愈大，因此邊數超過六的正多邊形內角會大於 120；這就太大了。

謹慎起見，你可以用正三角形來排看看，因為正三角形的內角是 60 度。360=6 × 60，在頂點的周圍可以擺六個正三角形；正方形的內角是 90 度，而360=4 × 90，所以頂點的周圍可以擺四個正方形。正方形鋪起來又比長方形容易得多，因此絕大部分的浴室瓷磚是正方形的。

還有可以無限延續五重對稱性的機會嗎？

難道喜歡數字 5 的人一絲希望都沒有嗎？

正五邊形只是具有五重對稱的許多形狀之一。另一個是五角星，而且還有正十邊形，這兩個形狀在繞中心點轉五分之一圈（72 度）後，看起來都跟原來的形狀一模一樣。說不定你可以混合使用具有五重對稱的形狀來鑲嵌瓷磚？

其實不妨試試看，事實上嘗試的人還不少。許多大數學家，包括 17 世紀的天才約翰尼斯．克卜勒（Johannes Kepler，以三大行星運動定律著稱），都嘗試過五重對稱鑲嵌問題，但所有的人都被考倒了。

克卜勒在 1619 年的著作《宇宙的和諧》（Harmonices Mundi）中，展示了一個著名的鑲嵌圖案，當中用到五邊形、五角星和十邊形，還有一種他稱為「怪物」的形狀，也就是把兩個十邊形的其中一側黏合起來所成的形狀，但他不得不承認這破壞了五重對稱性。目前為止還沒有人想出任何鑲嵌法，能夠無限延續五重對稱性，但也沒有人能證明，這樣的鑲嵌法不存在。所以，鑲嵌浴室瓷磚的單純想望，引導出一個懸而未決的數學問題。

啊~對稱就是讓人心情舒爽

要避開五重對稱鑲嵌問題，其中一種方法就是鋪其他類型的曲面。在球面上，12個正五邊形可以密合得剛剛好，而在雙曲平面上（第3章介紹過這種平面），可以排出4個正五邊形的鑲嵌，在頂點處都能夠密合。這兩種曲面都是彎曲的，所以5和平坦的面似乎合不來。

另外一種方法則是乾脆放下對於5的偏愛，或是別再限制只能用一種瓷磚。譬如在格拉納達的阿爾罕布拉宮或伊斯坦堡的托卡比皇宮所看到的伊斯蘭藝術：豔麗馬賽克。雖然是由各式各樣的形狀拼貼而成，但仍舊極其對稱。就連小朋友都能一眼看出當中的對稱性，就如同顯微鏡下看到的蝴蝶或雪花的對稱性。

可是若要問究竟什麼是對稱性，小孩子很可能會遲疑一下才回答，即使問成年人也一樣。因為這個問題需要稍微思考一下才答得出來，所謂對稱性是指不會受改變而影響的特性。把正五邊形旋轉72度，看起來跟原來一樣，所以具有五重旋轉對稱性。把蝴蝶對著中心線做鏡射，看起來沒變，所以具有鏡射（或反射）對稱性。住宅區沿街一整排一模一樣的房子，則有平移對稱性；假若有巨人把整排房子一起搬移一棟或多棟的距離，這條街看起來仍然沒變。

這麼一來，圓形就成了最對稱的幾何形狀。你可以把圓形繞著圓心旋轉任意角度，看起來都和原來的形狀一樣。你也可以把圓形對著通過圓心的任意直線做鏡射，形狀還是不會改變。有趣的是，很少人注意到圓形完美的對稱性，大多數人腦袋裡跳出的第一個對稱物件是正方形或蝴蝶。也許吸引人目光的，是對稱性的個別特質。

若以人和動物為例，我們最容易注意的通常是遭破壞的對稱性：撇嘴一笑，微歪一邊的鼻子，稍微左右高低的眼睛。有些人認為，對稱是美的先決條件。不對稱的身體或臉孔，可能會暴露出人類本能上想要逃避的某種健康或基因缺陷，因為生物都只想繁衍最適者。但另一方面，撇嘴一笑可能非常性感，讓展現笑容的人從平板的眾多對稱臉孔中脫穎而出。由舊傷造成的不對稱，也許會吸引那些希望另一半身經百戰的人。就對稱性與人類的美感而言，或許還沒有一致的看法。

數學家眼中的磁磚與壁紙

理解什麼是對稱（不受改變而影響的特性）之後，就可以回頭談談室內裝潢。

規則的浴室貼磚模式正是數學家所謂的壁紙圖樣（wallpaper pattern），這和一般人常說的壁紙圖樣是一樣的意思。這種圖樣會根據對稱性，在兩個方向上重複出現。唯一的差別是，數學家不在乎圖樣是紙做的還是瓷磚做的。他們看待這類模式的方法，是把所有的對稱寫下來，不去想壁紙上那些玫瑰花、泰迪熊或其他的精細圖案，只把注意力集中在讓圖樣維持不變的變換上，諸如大家熟悉的鏡射、平移及旋轉，還有所謂的滑移鏡射，就是先做鏡射，再沿著平行於鏡射軸的方向平移。沙灘上的足跡，就是一種滑移鏡射變換下對稱的圖樣。

壁紙圖樣有沒有可能具有五重旋轉對稱性呢？既然對貼瓷磚而言5是很難搞的數字，你八成會猜答案是不可能吧，而且你猜得沒錯。但真正令人意外的是，雖說壁紙圖案千變萬化，能夠產生的對稱構形卻有精確的上限：壁紙群（wallpaper group）只有17 種，其中沒有任何一種牽涉到數字5。

很早以前就有人發現17種壁紙圖樣了。阿爾罕布拉宮裡已有幾百年歷史的裝飾牆面上，可以找到幾乎所有的圖樣（上一次計算是在西班牙舉行的2006年國際數學家大會上，與會的數學家斷定有14種）。不過，直到1891年才有人證明只有這17種圖樣。

本文摘自《數學好有事》，麥田出版。