伽羅瓦誕辰|科學史上的今天:10/25

「別哭,阿弗瑞德!我需要全部的勇氣才能在二十歲死去。」1832年5月31日,伽羅瓦對身旁的弟弟說出最後的遺言後,終因傷重不治死去,結束他短短悲劇性的一生,猶如燦爛奪目的流星劃過天空,與三年前才26歲就病故的阿貝爾一樣,都是人類數學、乃至科學上的重大損失。

伽羅瓦的論文手稿。圖片來源:wikimedia

與阿貝爾一樣,伽羅瓦也是在家接受啟蒙教育,直到中學才入學就讀;也是來了新的數學老師才鍾情於數學(此時阿貝爾正在巴黎;在他短暫停留的半年期間,兩個不世出的天才彼此相距僅數公里卻未相遇,不免令人覺得惋惜)。

伽羅瓦也跟阿貝爾一樣大量閱讀數學經典原著,並且在高中就大膽挑戰五次方程式的公式解。也同樣自行發現解法有錯後,更堅定破解的決心。但是自行鑽研數學的伽羅瓦可能因為不善於按部就班地解題,1828年參加巴黎綜合理工學院的入學考試時,竟在口試項目慘遭滑鐵盧,無法進入這所以自由學風著稱的名校。伽羅瓦準備第二年重考,同時間他再度思考五次方程式的問題。

阿貝爾雖然證明五次方程式沒有通用的簡單公式解,但這並不表示所有五次方程式都沒有公式解,包括歐拉在內的許多數學家早就找到一些特定型式的公式解。伽羅瓦有更大的雄心:找出判別任一五次方程式是否有公式解的方法。令人咋舌的是,他竟不依循舊有的數學體系,而是自行發明一個全新的概念──「群」。
這概念的關鍵在於對稱性,也就是將方程式之根互相置換後是否結果不變。在伽羅瓦眼中,方程式不再按幾次方來分類,而是根據可以維持對稱性的置換方式有幾種來分類。透過「置換群」、「子群」的運算,伽羅瓦巧妙地解決了五次(以及五次以上)方程式是否有公式解的判別問題。無奈,伽羅瓦竟遭逢與阿貝爾一樣的霉運,先後寄給科學院的兩篇論文都石沉大海。伽羅瓦第二年又逢父喪,還是沒考上巴黎綜合理工學院,只能到管理嚴格的高等師範學院。

不知是否親身經歷的不公不義(兩次入學考試沒過、兩次論文投稿沒下文、自由派的父親被保守派逼到自殺),伽羅瓦成了激進的共和派,屢屢與保守派的校長針鋒相對。1831年初,他被退學後,加入共和派的軍隊,主張革命推翻政權,因而兩度入獄。不過,他並未死於獄中,反而是出獄後與人決鬥,腹部中槍而於第二天身亡。

這場決鬥的起因與對手是誰至今仍是個謎,只知伽羅瓦是極不情願地答應決鬥。而他似乎自知必死,在前一天寫了三封遺書給友人,其中一封附了三篇論文,信中略述論文內容,最後以潦草的字跡寫道:「可是我沒有時間了,而我對那個浩瀚領域還有些不成熟的想法。」

伽羅瓦留給我們的是如今以他為名的「伽羅瓦理論」,後世數學家都對他這宛如天外飛來的創見歎為觀止,認為足以媲美物理中的廣義相對論。事實上,從他的理論衍生出來的群論處理的正是對稱性,因此成為粒子物理標準模型與超弦理論的重要基礎。我們不禁想猜想:倘若他不是20歲就死於非命,他那「不成熟的想法」還會發展出怎樣的深邃見解。

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。


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關於作者

張瑞棋

1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。自小喜愛科學新知,浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,更成為重度閱讀者。當了中年大叔才成為泛科學專欄作者,著有《科學史上的今天》一書,如今又因翻譯《解事者》,而多了個譯者的身分。

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