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亞里斯多德的單人版維基百科:科學何須計算?--《科學大歷史》

azothbooks_96
・2017/08/04 ・4382字 ・閱讀時間約 9 分鐘 ・SR值 554 ・八年級
  • 【科科愛讀書】人類花了數百萬年學習和思考,才從那個連「科學」怎麼寫都還沒一撇的古早時代,到今天能夠運用科技超越肉身的限制,探索小粒子的無窮和大宇宙的廣袤。但是人類的璀璨成就絕非是一蹴可幾,而是建立在無數先人的跌跌撞撞之上,這過程其中也不乏許多學校沒教、卻相當有趣的故事。就讓《科學大歷史》帶你坐上時光機重回科學史萌芽的年代,來一趟精彩的發現之旅吧!
亞里斯多德像。圖/WikimediaCommons

亞里斯多德的研究方法,和後來的科學還有一個重要的衝突:他是做定性研究(qualitative),而不是做定量研究(quantitative)。如今的物理學,即使是簡單的高中物理,都是計量的科學。

修基礎物理學的學生會學到,時速六十英里的汽車每秒移動八十八英尺;蘋果每掉落一秒鐘,加速度是每平方秒三十二英尺;他們會以數學計算你一屁股坐進椅子時,椅子對你的脊椎所產生的瞬間反作用力可能大於一千磅。亞里斯多德的物理學完全不是那樣,而且他還大聲抨擊有些哲學家試圖把哲學「變成數學」。

圖/cea +@Flickr

比起計算,更重視目的

當然,在亞里斯多德那個年代,想把自然哲學轉變成計量學術,會因為古希臘的知識有限而受到阻礙。亞里斯多德沒有碼錶,沒有秒針,他甚至沒想過用精確的時間間隔來思考事件。此外,那個年代的代數和算術,跟泰勒斯的年代相比,也沒有進步多少。那時連加號、減號、等號都還沒發明出來,也沒有數字系統或「時速幾英里」的概念。

不過,十三世紀以及後來的學者在計量物理學上的進步,也沒有用到多麼先進的工具和數學,可見工具和數學不是方程式、衡量、數字預測等科學的唯一阻礙。更重要的因素在於,亞里斯多德跟其他人一樣,對計量描述不感興趣。

即便是在研究運動時,亞里斯多德的分析也只限於定性分析。例如,他對速度只有模糊的概念,比如「同樣的時間內,有些東西跑得比較遠」,這種說法讀起來好像幸運餅乾裡的籤文,但是在亞里斯多德那個年代,大家覺得那樣的描述已經夠精確了。既然他對速度只有定性分析,就更不可能知道我們在中學裡學到的「加速度」了。尤其古今差異那麼大,如果有人有時光機可以回到古代,把牛頓的物理學文件拿給亞里斯多德看,那對他來說也只是天書罷了。他不僅無法瞭解牛頓所謂的「力」或「加速度」是什麼意思,而且也沒有興趣。

亞里斯多德對速度只有模糊的概念,比如「同樣的時間內,有些東西跑得比較遠」,就像「在同樣的時間內,兔子就是比烏龜跑得比較遠」。圖/Pixabay

亞里斯多德進行深入的觀察時,真正讓他感興趣的是:運動和其他的改變似乎都會朝著某個目的發生。例如,他所瞭解的動作不是一種應該衡量的東西,而是一種現象,其目的是可以辨識的,比如馬拉動車子以便在路上行進,羊四處走動以尋找食物,老鼠奔跑以免遭到捕食,公兔與母兔交配以繁衍更多的兔子。

亞里斯多德認為宇宙是一個和諧運作又龐大的生態系統,各種目的隨處可見。例如,降雨是因為植物需要水分才會成長,植物成長才能供動物食用。葡萄籽長出葡萄藤,雞蛋孵出小雞,都是讓種子和雞蛋裡的潛力展現出來。打從遠古時代開始,人類就根據個人經驗來瞭解世界。所以,在古希臘時代,分析實體世界中各種事件的目的,遠比用畢達哥拉斯及其追隨者所發明的數學定律去解釋那些事件還要自然。

亞里斯多德所瞭解的動作,不是一種應該衡量的東西,而是一種現象,他認為宇宙是一個和諧運作又龐大的生態系統,各種目的隨處可見。圖/Pixabay

科學進展停滯兩千年

這裡我們再次看到,在科學中,你「問對問題」很重要。即使亞里斯多德接受畢達哥拉斯的概念,即使他相信自然是依循計量定律,但他依然不會注意到那個概念,因為他對定律的計量細節不感興趣。他比較在乎的問題是,為什麼物體會依循那些定律。什麼原因迫使琴弦或掉落的石頭以某種數字規律地運作?這才是讓亞里斯多德感興趣的問題。而這就是他的理念和現今的科學研究最大的差異-—他注意的是自然界裡的「目的」,現今的科學不是注意那些東西。

亞里斯多德分析的特質—-尋找目的-—對後來的人類思維有極大的影響。這讓他深受古往今來許多基督教哲學家的喜愛,但是那也阻礙了科學進步長達兩千年,因為和指引現代研究的科學原則完全不符。兩顆撞球相碰時,牛頓率先提出的定律(那背後沒什麼宏大的目的)可用來判斷接下來會發生的狀況。

科學的興起,最初是源自於人類想要瞭解世界及尋求意義的根本慾望,所以當初亞里斯多德為了尋找目的而研究的動機, 如今依然引起許多人的共鳴。對想要瞭解天災或其他悲劇的人來說, 「事出並有因」的概念也許可以帶給他們一些慰藉。相較之下,科學家堅持宇宙不受任何「目的」的指引,可能會讓那些人覺得科學似乎很冷酷無情。

科學源自於人類想要瞭解世界及尋求意義的根本慾望。圖/Pixabay

不過,這還有另一種看法,也是我很常從父親那邊聽來的一種見解。每次談到「目的」時,我父親通常不會提起發生在他身上的事,而是提起他和我母親相識之前,我母親經歷過的某件事。那時她才十七歲, 納粹占領了她的家鄉。 其中一個納粹不知道是基於什麼原因,下令幾十個猶太人(包括我媽)排成整齊的隊伍,跪在雪地上。接著,那個人從每一排的排頭走到排尾,每走幾步就往其中一個俘虜的頭部開槍。如果這是上帝或自然的宏大計畫,我父親一點都不想跟那種上帝扯上關係。對我父親這樣的人來說,相信我們的人生無論有多悲慘或多成功,其實和恆星爆炸都是受制於同一套定律,而且這些事情無論是好是壞,最終都是一種恩賜、一種奇蹟,都是源自於那些支配世界的枯燥方程式。這樣想的話,對他們來說反而是一種解脫。

儘管亞里斯多德的理論主宰了自然界的相關思維、一直到牛頓那個年代,但是那段期間還是有許多的觀察家質疑他的理論。

一顆砲彈的飛行,是因為空氣的推進?

以「物體不做自然運動下,唯有對它施加外力才會移動」這個概念為例,亞里斯多德自己也發現,這個說法讓人不禁想問:用力射箭、擲標槍,或是扔出拋射體之後,是什麼力量繼續推動它們。他的解釋是,由於自然「厭惡」真空的狀態,拋射體射出去以後,空氣粒子會衝到拋射體的後方,繼續推進那個拋射體。日本似乎把這個概念成功套用在把乘客塞進東京地鐵內。不過,連亞里斯多德本人對這個理論也沒有多大的熱情。該理論的缺陷到了十四世紀變得更加明顯,因為那時大砲大量地出現,空氣粒子在沉重的砲彈後面推著砲彈前進,這種說法似乎很荒謬。

同樣重要的是,發射大砲的士兵其實也不太在乎究竟是空氣粒子、還是無形的小精靈推著砲彈前進。他們真正想知道的是,砲彈會循著怎樣的軌跡飛行,尤其是那個軌跡最後是否會抵達敵人的頭上。這種理論和實務的脫節,顯現出亞里斯多德和後代科學家之間的實質鴻溝:對亞里斯多德來說,拋射體軌跡(不同瞬間的位置和速度)之類的議題根本無關緊要。但是如果有人想運用物理學定律來做預測,這些議題就很重要了。所以,後來取代亞里斯多德物理學的科學(亦即可以計算砲彈軌跡的科學)和流程的計量細節有關,它們會衡量力道、速度、加速度,而不管那些流程的目的或哲理。

十四世紀大砲大量地出現,使得空氣粒子在沉重的砲彈後面推著砲彈前進,這種說法似乎很荒謬。圖/wikipedia

亞里斯多德知道他的物理學並不完美。他寫道:

「我的是第一步,只是一小步,不過我也花了很多心思和勞力。這應該以第一步來看待,並寬容對待。諸位讀者或聽講者,如果你認為我在這個起步已經盡力而為了······就會肯定我所做的,並容我把它留給其他人去完成。」

這裡,亞里斯多德說出了他和後來許多物理學天才都有的一種感覺。我們認為牛頓、愛因斯坦等人無所不知,對其知識充滿了自信,甚至有些自大。但後面我們會看到,他們就像亞里斯多德一樣,對很多事情感到不解,而他們自己也都有自知之明。

「研究亞里斯多德的學說,就是研究自然」

公元前三二二年,亞里斯多德過世,享年六十二歲,死因似乎是胃病。一年前,他以前的學生亞歷山大死後,那個親馬其頓的政府遭到推翻,他逃離了雅典。雖然亞里斯多德在柏拉圖的學苑裡待了二十年,他在雅典始終感覺像外人一樣。關於雅典,他寫道:「同樣的事情,對外地人和本地人來說並非一樣恰當,讓人無所適從。」不過,亞歷山大過世後,要不要繼續留下來變得很重要,因為任何和馬其頓有關的人都可能遭到攻擊,他很清楚蘇格拉底遭到政治處決已經有了先例,一杯毒芹汁就足以徹底反駁任何哲學論點。亞里斯多德始終是一個深謀遠慮的思想家,他想要逃離雅典,不想冒著犧牲成仁的風險。他為自己的決定提出了一個崇高的理由--避免雅典人再次犯下「反哲學」的罪過。不過,那個決定就像亞里斯多德的人生態度一樣,其實非常務實。

亞里斯多德過世以後,萊西姆學苑的學生以及評論其著作的人把他的思想代代相傳。中世紀初期,他的理論連同所有的相關知識逐漸沒落,但是在中世紀盛期又受到阿拉伯哲學家的重視,西方學者就是從阿拉伯哲學家那裡得知亞里斯多德的學說。他的思想經過一些修改後,最後變成羅馬天主教會的官方哲學。所以,接下來的十九個世紀,研究自然就是指研究亞里斯多德的學說。

希臘薩摩斯二世,計算太陽,月球和地球的相對尺寸。圖/wikimedia commons

我們已經看到人類如何發展出發問及充滿求知慾的大腦,以及發明那些用來解題的工具 (書寫、數學和定律的概念)。希臘人學習運用理性來分析宇宙以後,人類因此抵達「科學」這個輝煌新世界的岸邊。不過,那只是展開更大探險的起點。


 

 

本文摘自《科學大歷史:人類從走出叢林到探索宇宙, 從學會問「為什麼」到破解自然定律的心智大躍進》漫遊者文化出版。


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azothbooks_96
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遲來報到的質數——《數學,這樣看才精采》

天下文化_96
・2022/05/20 ・2868字 ・閱讀時間約 5 分鐘

2013 年國際數學界最轟動的新聞,應屬中國留美學者張益唐在孿生質數問題上所作出的突破。他個人的經歷更增加了整件事的傳奇性。

數學家張益唐。圖/VOA, 公有領域

張益唐雖然是北大數學系的高材生,但是 37 歲從美國普渡大學拿到博士學位之後,因與指導教授意趣不合,一時在學界無法發展,多年靠打工餬口。1999 年才好不容易至新罕布夏大學數學系任講師。在張益唐長期不得意的歲月裡,他雖然沒有發表什麼數學論文,但是也不曾喪失志氣,還是堅持研究自己喜歡的數學問題。

張益唐在 58 歲暴得大名,各種獎項與頭銜接踵而來,在最是少年逞英豪的數學世界裡,真成為一個異數。英國數學家哈代在他著名的小冊子《一個數學家的辯白》裡曾說:「我不知道有任何一項數學的主要進展,是由超過五十歲的人所啟動。」張益唐正好給哈代的偏見一個反例。

張益唐研究的是關於質數的性質。

一個自然數 p 是質數(也稱為素數)的條件有二:其一,p 大於 1;其二,除了 1 與 p 自己之外,沒有別的自然數能整除 p。全體質數可以從小到大排成一個數列 2, 3, 5, 7, 11, 13, …,通常把排在第 n 個位置的質數記作 pn。如果 pn 與 pn+1 相差為2,則稱質數對 (pn, pn+1) 為一對孿生質數,例如 3 與 5,5 與 7,11 與 13。

圖/envato elements

「孿生質數猜想」就說這樣的質數對有無窮多組。因為古希臘的歐幾里得在他的巨著《原本》裡,曾經證明質數有無窮多個,所以有人以為也是歐幾里得最先提出孿生質數猜想。其實不然,目前從文獻中所見, 1879 年英國數學家格萊舍(James Whitbread Lee Glaisher)在《數學信使》(Messenger of Mathematics)雜誌上的一篇文章,才是第一次將孿生質數猜想見諸文字。

張益唐的大突破是證明有無窮多組質數對 (pn, pn+1) 使得 pn 與 pn+1 相距不超過 7 千萬。

為什麼這是一個大突破呢?因為在張益唐之前,不管給出什麼固定數 m,完全不知道相差在 m 之內的質數對,到底是有限多個還是無窮多個。自從 2013 年 5 月他的成就在國際媒體上廣為流傳之後,世界上很多數學家努力要把 7千萬的差距往下壓縮,目前已經改善到 246 之內。但是距離孿生質數猜想所需的 2,還有巨大而艱困的鴻溝。

一般人從媒體得知張益唐對數學做出了重大貢獻,可能會好奇問他的結果有什麼用?這裡「用」當然是指實際的應用。其實,他的成果目前還只有純學術價值,與國計民生毫不相干。自從古希臘人辨識出質數,在兩千多年的時間裡,除了數學家關心質數外,質數一直缺乏任何應用價值。二十世紀電腦發達之後,才利用因數分解成質數的超級困難特性,產生了某些幾乎無法有效破解的密碼系統,廣泛的應用到金融、通信、資料保密上。

圖/envato elements

在中國古算裡缺席?

一個基本的數學概念,經歷了兩千多年的滄桑,才顯現出它的實用價值,這不是一件平凡的成就。因此,我們不得不佩服希臘人研究質數的真知灼見,並且感嘆十八世紀前的中國傳統數學裡卻不見質數的蹤跡。質數為什麼會在中國遲來報到?實在是一個令人費解的現象。

歐幾里得的《原本》約在西元前 300 年左右成書,是古希臘數學集大成之作。第七卷討論數的性質,是使用幾何的觀點來理解數。也就是從「單位」的概念出發,以度量直線段的方式引入「數」。第七卷定義 2 說「一個數是由許多單位合成的。」因此,1 代表單位而不算作「數」。定義 11 說「質數是只能為一個單位所量盡者。」定義 16 說「兩數相乘得出的數稱為面,其兩邊就是相乘的數。」所以質數只能是線,而不能稱為面。

歐幾里德畫像。圖/wiki, 公有領域

從這些定義可看出來,古希臘人所謂的「數」是依附在幾何的體系裡而得以操作。中國古代缺乏像《原本》這種按照邏輯次序鋪陳結果的數學書,通常是以解決實際問題的風貌來書寫,因此不太可能探討與闡述「數」的純粹性質。

例如,以《九章算術》為代表的中國古算裡,數字是與矩形、直角三角形的面積緊密相連結,但卻沒有像希臘人那樣分辨,有些數是可以表現為面,而有些數卻不可以。

也許古代中國缺乏一項歐幾里得所擁有的知識背景,因而造成了雙方關注問題的差異。古希臘有一位重要的哲人德謨克利特(Democritus),他主張萬物皆由不可分割的「原子」所構成。在「原子論」的知識背景下,數目 1 就不會與其他數目等量齊觀了,1 是「單位」,是數的「原子」。

圖/envato elements

中國古代沒有明確的「原子論」,《墨子.經說下》所說:「非半,進前取也。前,則中無為半,猶端也。」其中切得不能再切的「端」在《墨子.經說上》解釋為「端,體之無序而最前者也。」也只是類似「原子」的概念,並未發展到德謨克利特的思想程度。「原子論」思想的欠缺,或許是質數在中國古算裡缺席的因素之一。

難以望其項背

康熙敕編的《御製數理精蘊》(簡稱《數理精蘊》)是融合中西數學的百科全書,其中將質數譯為「數根」,並且在附表〈對數闡微〉中列有質數表。雖然質數已經在中國現身,但是數學家並沒有感到相見恨晚而深入探討。

晚清數學名家李善蘭在翻譯歐幾里得《原本》後九卷時,第一卷第一界說為:「數根者唯一能度而他數不能度」,也把質數翻譯成「數根」。

數學家李善蘭。圖/傅任敢 《中華教育界》 1936 -1937年, 公有領域

李善蘭很可能受《數理精蘊》的影響,而去研究判別給定數是否為質數的方法。英國傳教師偉烈亞力(Alexander Wylie)將其中一法,以給編輯的信公布在香港一家英文雜誌上,其敘述為「以 2 的對數乘給定的數,求出其真數,以 2 減同數,以給定數除餘數,若能除盡,則給定數為質數;若不能除盡,則不是質數。」

此命題常被稱為「中國定理」,其實是歐洲早已知道的「費馬小定理」的逆命題,該定理斷言若 p 為質數,則 2p − 2 ≣ 0 (mod p)。

其實李善蘭的方法並不永遠正確,例如:2341 − 2 是 341 的整倍數,但是 341 = 11 × 31 並不是一個質數。1872 年李善蘭在《中西聞見錄》報刊發表了〈考數根法〉一文,成為清末關於質數研究的重要成果,但是他並沒有收錄「中國定理」,應該是他已經知道命題並不為真。

要知道李善蘭與高斯的生命是有重疊的時期,因此當西方以質數為基礎所建立的數論,已經繁複深刻美不勝收之時,也許連李善蘭都不曾完全清楚中國落後的程度是多麼巨大!


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天下文化_96
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