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我的老天鵝啊!一個驚嘆號竟能為你掌握世界?──《數學大觀念》

貓頭鷹出版社_96
・2017/04/30 ・3111字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 514 ・六年級

  • 【科科愛看書】無論何時,只要想到數學就一個頭兩個大?那你肯定還沒看過《數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的 12 大觀念》!此書從簡單加減到高深微積分,用嶄新的視角連結密碼般的數字和真實人生,循序漸進去探索數學的規律和其中令人讚嘆的美好。讓我們一起將數學砍掉重練,邁向數學偉大的航道吧!

想算連續相乘?先來個驚嘆號!

請問:從 1 加到 100 等於多少?

經過計算,我們得出總和為 5050,並找到一個能算出首 n 個數字之和的公式。

現在換個角度,假設我們想要找出從 1 乘到 100 的乘積,會得到什麼答案呢?這可是一個很大的數目!如果你感到好奇,我可以告訴你答案是下面這個有 158 位數的數目:
933262154439441526816992388562667004907159682643816214685929638952175999932299156
08941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

在本文中,我們會了解為什麼像這樣的數字會是排列組合問題的基礎。這些數字可以讓我們得到一些答案,比如說書架上的一打書籍有多少排列方式(幾乎有五億種),或是在發撲克牌的時候至少會出現一對的機率(不低),還有贏得樂透彩的機率(不高)。

圖/Tom Simpson @Flickr

當我們從 1 一直乘到 n,會產生出的乘積是 n!,稱作「n 階乘」。換言之:
n! = n × (n − 1) × (n − 2)×· · ·×3 × 2 × 1

舉例來說,5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

我認為驚嘆號是個很合適的符號,因為 n! 會成長得非常快,而且接下來我們也會看到它有些令人驚喜的應用。為了方便起見,數學家定義 0!=1,而 n! 在 n 是負數的時候則無定義。

掌握驚嘆號,你就掌握了各種可能

從定義來看,許多人會預期 0! 等於 0,但讓我來試著說服你為什麼 0!=1 這樣是合理的。請注意,當 n≥ 2,n!=n×(n− 1)!,因此 (n-1)!=n!/n;如果我們希望這個論述在 n=1的時候依然成立,則需要 0!=1!/1=1

如下所示,階乘的數目以驚人的速度成長:

0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40,320
9! = 362,880
10! = 3,628,800
11! = 39,916,800
12! = 479,001,600
13! = 6,227,020,800
20! = 2.43 × 1018
52! = 8.07 × 1067
100! = 9.33 × 10157

這些數目有多大?據估計,世界上大約有 1022 顆沙粒,宇宙中大約有 1080 個原子,而你能看到階乘的數目可大的多了。如果你徹底洗亂一副 52 張的牌,可行的方法共有 52! 種。就算在接下來的一百萬年中,每一分鐘裡的每一個人都創造出一個新的組合,你還是非常有可能會得到某種從未見過而且也無緣再見的牌組!

在本文的開頭,你大概注意到了 100! 的後面是大量的零,這些零是從哪裡來的呢?當我們從 1 乘到 100 時,五的倍數和二的倍數每相乘一次就會得到一個零。在 1 到 100 之間共有 20 個五的倍數和 50 個偶數,這表示最後應該會得到 20 個零,但因為 25、50、75 和 100 分別多貢獻 x 一個五的倍數,所以 100! 最後會有 24 個零。

有許多美麗的數字規律運用了階乘,以下是我最喜歡的一個:

1 · 1! = 1 = 2! − 1
1 · 1! + 2 · 2! = 5 = 3! − 1
1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! = 23 = 4! − 1
1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + 4 · 4! = 119 = 5! − 1
1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + 4 · 4! + 5 · 5! = 719 = 6! – 1
……

▲ 用上階乘的數字規律。

出門可以穿什麼?讓驚嘆號告訴你

圖/Jose Camões Silva @Flickr

大部分的計數問題本質上可以歸結為兩個規則:加法規則和乘法規則。當你有不同的選項時,加法規則可以讓你知道自己總共有多少種選擇。

舉例來說,如果你有 3 件短袖襯衫和 5 件長袖襯衫,那麼對於要穿哪件襯衫,你就有 8 個不同的選項。一般說來,如果你有兩種物品,第一種有 a 個選項而第二種有 b 個選項,那就是總共有 a+b 個不同的選項(假設 b 選項中沒有任何一個與 a 選項重複)。

如上所述,加法規則是假定兩種各有數個的物品中沒有任何重複。但如果有 c 個物品同時屬於這兩種,這些物品就會被重複計算,因此總數會是 a+b−c 個。

舉例來說,如果班上的學生中有 12 個人養狗、19 個人養貓,而同時養狗和貓的有 7 個人,那麼有養狗或養貓的學生總數會是 12+19− 7=24 個人。再舉一個偏數學的例子,在一到一百之間有 50 個二的倍數、33 個三的倍數,還有 16 個數同時是二和三的倍數(也就是六的倍數)。因此在一到一百之間,總共有 50+33− 16=67 個二或三的倍數。

乘法規則說明如果一個動作包含了兩部分,且執行第一部分有 a 種方式,執行第二部分有 b 種方式,那麼這個動作總共有 a×b 種完成的方式。比方說,如果有 5 件不同的長褲和 8 件不同的襯衫,而且假設我不在乎配色的問題(只怕大部分的數學家可能都符合這一點),那麼總共會有 5×8=40 種不同的搭配。如果我有 10 條領帶,而一組套裝包含襯衫、長褲,和領帶,那麼總共會有 40×10=400 種搭配。

在一副普通的撲克牌中,每一張都是四種花色的其中一種(黑桃、紅心、方塊或梅花)和十三個數值之一(A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q 或 K),所以一副牌裡有 4×13=52 張牌。我們也可以將 52 張牌排成一個 4×13 的長方形,這是另外一種能看出總數是 52 張牌的方式。

圖/《數學大觀念

用階乘看世界,處處都充滿驚奇

現在讓我們運用乘法規則來計算郵遞區號,理論上可行的五位數郵遞區號有多少個呢?郵遞區號中的每一位數都可以是 0 到 9 之間的任何一個,所以最小的郵遞區號是 00000 而最大的是 99999,也就是總共有 100,000 種可能。但你也可以藉由乘法規則來看出這個答案:你對第一位數有 10 個選擇(從 0 到 9),第二位數有 10 個選擇,第三、四、五位數也都各有 10 個選擇,因此總共有 105=100,000 種可能的郵遞區號。

計算郵遞區號的總量時,數字是可以重複的。現在我們來看看不能重複的情況,比如說要將所有物品排成一排的時候。兩種物品有 2 種排列方式,這點很容易就能看出來,例如字母 A 和 B 的排列方式只會是 AB 或 BA 其中之一;而三種物品則有 6 種排列方式:ABC、ACB、BAC、BCA、CAB 和 CBA。至於四種物品,如果不逐一列出,你能夠直接看出來排列方式總共有 24 種嗎?第一個字母的選擇有四種(A、B、C 或 D),挑好了之後,第二個字母的選擇就剩下三種,然後第三個字母的選擇只剩下兩種,而最後一個字母就只有一種可能了。也就是說總共有 4×3×2×1=4!=24 種可能。一般來說,n 種不同的物品總共有 n! 種排列方式。

在下一個例子中,我們將結合乘法和加法規則。假設某一州設計兩種不同的車牌,第壹種車牌是 3 個字母接著 3 個數字,第貳種車牌是 2 個字母接著 4 個數字,那麼可能的車牌總共會有幾種呢?(26 個字母和 10 個數字統統都可以使用,並忽略相似字型造成的混淆,比如說字母 O 和數字 0。)從乘法規則看來,第壹種車牌的數量有:26×26×26×10×10×10=17,576,000;第貳種車牌的數量有:26×26×10×10×10×10=6,760,000。

既然車牌只可能是壹或貳其中一種(不會都是),那麼加法規則就能表示出車牌的可能總數就是兩數之和:24,336,000。

六個位數的車牌就包含了上千萬種的排列組合。圖/chris @Flickr

計數問題(數學家稱為數學組合學的分支)的樂趣之一就是通常一個問題可以用好幾種方式來解決。(我們可以看出再心算的算術問題上也是如此。)上述問題其實可以只用一步就解決,也就是車牌的數量總共有:26×26×36×10×10×10=24,336,000,因為車牌的前兩個字各有 26 種選擇,後三個字也各有 10 種選擇,而第三個字可以是字母或是數字,所以共有 26+10=36 種選擇。


數學大觀念》書封

 

 

 

 

本文摘自《數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的 12 大觀念》,貓頭鷹出版

 

文章難易度
貓頭鷹出版社_96
47 篇文章 ・ 20 位粉絲
貓頭鷹是智慧的象徵。1992年創社,以出版工具書為主。經過十多年的耕耘,逐步擴及各大知識領域的開發與深耕。現在貓頭鷹是全台灣最重要的彩色圖解工具書出版社。最富口碑的書系包括「自然珍藏、文學珍藏、台灣珍藏」等圖鑑系列,不但在國內贏得許多圖書獎,市場上也深受讀者喜愛。貓頭鷹的工具書還包括單卷式百科全書,以及「大學辭典」等專業辭典。貓頭鷹還有幾個個性鮮明的小類型,包括《從空中看台灣》等高成本的視覺影像書;純文字類的「貓頭鷹書房」,是得獎連連的知性人文書系;「科幻推進實驗室」則是重新站穩台灣科幻小說市場的新系列,其中艾西莫夫的科幻小說,已經成為台灣讀者的口碑選擇。

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原來數學也可以用在這裡?生物巧妙運用數學模式,克服了移動上的物理限制——《生物世界的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/10/26 ・1541字 ・閱讀時間約 3 分鐘

步調模式千變萬化

生物體移動時所受的限制是屬於物理學的。如果該生物使用的是肢體,這些肢體必須強壯到可以支撐作用在牠們上面的力量。(我看過不少設計較差的機器人在移動時散掉。)其他形態的移動也一樣,如果是游泳,該動物就要全力對付流體力學的定律。物理定律影響動物的移動是很明顯的,不值得奇怪。顯然,在這個情形當中,數學提供了各式各樣的模式,而被生物學拿來運用。很少不會用到,不管多麼奇特。

游泳時要全力對付流體力學定律。圖/Pexels

物理學的影響還要更深入。單有腿也沒有用,除非你有可以控制腿的神經系統。運動與神經網路是一體的,兩者一定要一起演化,而不是個別的。另外,正如負責感覺的神經網路一定會模擬外在世界的模式,因此負責運動的神經網路,必定會模擬動物身體的機械性模式。

我很懷疑這種共同演化真的有可能或很容易發生,因為下面這個顯著的事實:像肢體這樣的物理系統的自然振盪模式,跟神經網路的振盪模式是一樣的。早在肢體和腦變成完整的生物結構之前,就已經有一種普遍的步調韻律存在了,潛在地將動物的肢體關聯到腦。步調節奏提供了存在於演化相空間中、等待被使用的模式。

形形色色的生物移動

這模式的確一直被應用。差不多所有的生物都會移動,甚至連最固定不動的植物也會向光彎曲,最微小的浮游生物也會隨波逐流——但是,獵豹在追逐獵物時,可以跑到每小時一百一十公里,這移動真是快速啊!

生物體的種類這麼多,而移動的方式也是千變萬化。細菌利用會旋轉的微小螺旋槳使自己在水中推進,就像船一樣;像草履蟲(Paramecium)這類單細胞生物,則能藉由揮動鞭毛來選擇運動的方向。

(圖七○)Centronotus gunnellus 這種鰻魚肌肉收縮的波形。圖/《生物世界的數學遊戲》

運動的數學模式形形色色,更是令人印象深刻:草履蟲鞭毛的移動有如行進波,就像是玉米田在微風吹拂下產生的浪波;細菌的旋轉螺旋所成幾何圖案之美是無可比擬的;蛇和鰻是靠肌肉收縮做波狀蠕動行進(圖七○);響尾蛇在熱燙的沙漠中滾動,像一個捲曲的彈簧;尺蠖走動時是尾巴頂到頭部,整個身子呈 ∩ 狀,然後前端再向前行並伸展成-字形。

信天翁滑翔時羽翼僵直不動,偶爾慵懶地鼓翼一下,以有蹼的腳劃過水面,而後用笨拙卻迷人的方式飛跑而起;大象拖著沉重的腳步,緩慢橫過空曠的熱帶大草原,一次移動一隻腳(圖七一),模式就像那隻在海邊市鎮漫步的拉布拉多獵犬。

(圖七一)大象的慢步行走。圖/《生物世界的數學遊戲》

駱駝行走的模式又不一樣了:先同時移動兩隻左腿,然後是兩隻右腿〔稱為「溜蹄」(pace)〕,身子左右搖擺有如醉漢一般。松鼠又是另外一種模式:跳一下,停一下,然後再跳一下;如果遇到警訊,就省掉「停」的步驟。

Carparachneaureoflava 這種車輪蜘蛛會像一個有八個輪輻的輪子般,滾過沙漠。世界上有一種會跳躍的蛆〔較正式的稱呼為Ceratitis capitata(地中海果實蠅)的幼蟲〕,會把自己扭曲成 ∩ 形,然後再伸直,就像一顆砲彈般跳入空中,形成一個完美的拋物線。

——本文摘自《生物世界的數學遊戲》,2022 年 9 月,天下文化,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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比大還要再大!比「無窮」還要更大是什麼概念?——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/28 ・2660字 ・閱讀時間約 5 分鐘

我們都知道無窮(infinity)是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時,一定會想知道一件事:

什麼事物比無窮大?圖/經濟新潮社

比無窮還大?有可能嗎?

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題,也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」,而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看,但我們或許應該先訂好遊戲規則,讓大家知道該怎麼思考。

具體說來,我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物?如果是有限的量,要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易,但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷,所以必須選擇簡單明瞭的規則,用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼,在一般、有限的狀況下,我們通常怎麼判定「較大」?我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思?

右邊這一堆比左邊的更大圖/經濟新潮社

沒錯,用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人,這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念,我們該如何解釋右邊這堆較大?真的,試試看就知道。這個概念太基本了,其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時,數學中有個常用的技巧,就是提出完全相反的問題,看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?

我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?圖/經濟新潮社

我們不能用「相等」這個詞,因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思,以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來,一個對一個。如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。

如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。圖/經濟新潮社
圖/經濟新潮社

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來,就能得到「較大」的定義。

圖/經濟新潮社

現在問題已經定義清楚了,答案也隨之確定。那麼,世界上有什麼事物比無窮更大?答案是「是」還是「否」?世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘?現在我們可以思考之後猜猜看。

無窮跟無窮 +1 誰比較大?

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子,裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體,袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大?好吧,如果是無窮加一呢?

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響,但我們用配對規則來確認看看。首先,我們可以把無窮袋中的物體排成一排,這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

如果我們以最顯而易見的方式配對,無窮加一看起來當然更大。

不過要小心!規則指出,兩個事物必須無法正好兩兩配對,才會有一者較大。(最好經常回頭看清楚規則!)還有一種配對方法確實可行,而且兩方都不會有剩餘:

如果你覺得這樣好像在騙人,請花點時間告訴自己,這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對,而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體,不會有物體配對不到,所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮!

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

無窮大飯店!如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊,沿著走廊有一排房門,連綿不絕地延續下去,無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭,所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房,每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌,飯店裡每間房間都住滿了(對,這個世界裡有無限多個人)。如果沿走廊隨意走一段距離,選一扇門敲幾下,就會聽到:「有人!請勿打擾!」無限多間房間,裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說:「請問還有房間嗎?」我們不是第一天在無窮大飯店工作,當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說:「各位來賓,抱歉打擾一下,請各位來賓搬到下一間房間。沒錯,請收拾好行李,走出房門,朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作,祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後,就有房間給新住客了。

無限多間房間,無限多加一位住客,房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

無窮加五、無窮加一兆……都沒關係,這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對,可以多裝進一位客人。無窮非常大,任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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圓形 = 三角形?形狀之間的秘密關係——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/27 ・1427字 ・閱讀時間約 2 分鐘

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數學家通常都想很多,這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念,試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時,很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問:形狀是什麼?構成形狀的要素是什麼?我們以形狀分辨物體時,會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的,以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼?當我們說某樣東西是圓形時,看到的是什麼呢?

形狀百百種,可以量化嗎?

當然,這些問題沒什麼意義。就實際用途而言,我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想,形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了,我們或許會問自己這個問題:

世界上有多少形狀?圖/經濟新潮社

這個問題很簡單,但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法,稱為廣義龐卡赫猜想(generalized Poincaré conjecture,或譯龐加萊猜想)。這個猜想提出至今已經超過一百年,目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多,有一位數學家解出這個問題的大部分,因此獲得了100萬美元獎金,但還有許多種形狀沒有找到,所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀?如果沒有更好的點子,有個不錯的方法是畫出一些形狀,看看會有什麼結果。

我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社
我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎?波浪線(squiggle)應該全部算成一大類,還是應該依彎曲的方式細分?我們需要一種通用規則來解決這類爭議,才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師,通常會希望規則既嚴謹又精確:必須長度、角度和曲線都完全相等,兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學(geometry)這個數學領域。在這個領域裡,形狀嚴格又精確,經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

決定兩個形狀是否相同的規則相當多。圖/經濟新潮社

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀,但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則,它能夠把所有的形狀分成若干類別,但類別的數量又不至於太多。

所以三角形可以等於圓形。圖/經濟新潮社




——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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