網站更新隱私權聲明
本網站使用 cookie 及其他相關技術分析以確保使用者獲得最佳體驗,通過我們的網站,您確認並同意本網站的隱私權政策更新,了解最新隱私權政策

0

0
0

文字

分享

0
0
0

我的老天鵝啊!一個驚嘆號竟能為你掌握世界?──《數學大觀念》

貓頭鷹出版社_96
・2017/04/30 ・3111字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 514 ・六年級
  • 【科科愛看書】無論何時,只要想到數學就一個頭兩個大?那你肯定還沒看過《數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的 12 大觀念》!此書從簡單加減到高深微積分,用嶄新的視角連結密碼般的數字和真實人生,循序漸進去探索數學的規律和其中令人讚嘆的美好。讓我們一起將數學砍掉重練,邁向數學偉大的航道吧!

想算連續相乘?先來個驚嘆號!

請問:從 1 加到 100 等於多少?

經過計算,我們得出總和為 5050,並找到一個能算出首 n 個數字之和的公式。

現在換個角度,假設我們想要找出從 1 乘到 100 的乘積,會得到什麼答案呢?這可是一個很大的數目!如果你感到好奇,我可以告訴你答案是下面這個有 158 位數的數目:
933262154439441526816992388562667004907159682643816214685929638952175999932299156
08941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

在本文中,我們會了解為什麼像這樣的數字會是排列組合問題的基礎。這些數字可以讓我們得到一些答案,比如說書架上的一打書籍有多少排列方式(幾乎有五億種),或是在發撲克牌的時候至少會出現一對的機率(不低),還有贏得樂透彩的機率(不高)。

圖/Tom Simpson @Flickr

當我們從 1 一直乘到 n,會產生出的乘積是 n!,稱作「n 階乘」。換言之:
n! = n × (n − 1) × (n − 2)×· · ·×3 × 2 × 1

舉例來說,5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

我認為驚嘆號是個很合適的符號,因為 n! 會成長得非常快,而且接下來我們也會看到它有些令人驚喜的應用。為了方便起見,數學家定義 0!=1,而 n! 在 n 是負數的時候則無定義。

掌握驚嘆號,你就掌握了各種可能

從定義來看,許多人會預期 0! 等於 0,但讓我來試著說服你為什麼 0!=1 這樣是合理的。請注意,當 n≥ 2,n!=n×(n− 1)!,因此 (n-1)!=n!/n;如果我們希望這個論述在 n=1的時候依然成立,則需要 0!=1!/1=1

如下所示,階乘的數目以驚人的速度成長:

0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40,320
9! = 362,880
10! = 3,628,800
11! = 39,916,800
12! = 479,001,600
13! = 6,227,020,800
20! = 2.43 × 1018
52! = 8.07 × 1067
100! = 9.33 × 10157

這些數目有多大?據估計,世界上大約有 1022 顆沙粒,宇宙中大約有 1080 個原子,而你能看到階乘的數目可大的多了。如果你徹底洗亂一副 52 張的牌,可行的方法共有 52! 種。就算在接下來的一百萬年中,每一分鐘裡的每一個人都創造出一個新的組合,你還是非常有可能會得到某種從未見過而且也無緣再見的牌組!

在本文的開頭,你大概注意到了 100! 的後面是大量的零,這些零是從哪裡來的呢?當我們從 1 乘到 100 時,五的倍數和二的倍數每相乘一次就會得到一個零。在 1 到 100 之間共有 20 個五的倍數和 50 個偶數,這表示最後應該會得到 20 個零,但因為 25、50、75 和 100 分別多貢獻 x 一個五的倍數,所以 100! 最後會有 24 個零。

有許多美麗的數字規律運用了階乘,以下是我最喜歡的一個:

1 · 1! = 1 = 2! − 1
1 · 1! + 2 · 2! = 5 = 3! − 1
1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! = 23 = 4! − 1
1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + 4 · 4! = 119 = 5! − 1
1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + 4 · 4! + 5 · 5! = 719 = 6! – 1
……

▲ 用上階乘的數字規律。

出門可以穿什麼?讓驚嘆號告訴你

圖/Jose Camões Silva @Flickr

大部分的計數問題本質上可以歸結為兩個規則:加法規則和乘法規則。當你有不同的選項時,加法規則可以讓你知道自己總共有多少種選擇。

舉例來說,如果你有 3 件短袖襯衫和 5 件長袖襯衫,那麼對於要穿哪件襯衫,你就有 8 個不同的選項。一般說來,如果你有兩種物品,第一種有 a 個選項而第二種有 b 個選項,那就是總共有 a+b 個不同的選項(假設 b 選項中沒有任何一個與 a 選項重複)。

如上所述,加法規則是假定兩種各有數個的物品中沒有任何重複。但如果有 c 個物品同時屬於這兩種,這些物品就會被重複計算,因此總數會是 a+b−c 個。

舉例來說,如果班上的學生中有 12 個人養狗、19 個人養貓,而同時養狗和貓的有 7 個人,那麼有養狗或養貓的學生總數會是 12+19− 7=24 個人。再舉一個偏數學的例子,在一到一百之間有 50 個二的倍數、33 個三的倍數,還有 16 個數同時是二和三的倍數(也就是六的倍數)。因此在一到一百之間,總共有 50+33− 16=67 個二或三的倍數。

乘法規則說明如果一個動作包含了兩部分,且執行第一部分有 a 種方式,執行第二部分有 b 種方式,那麼這個動作總共有 a×b 種完成的方式。比方說,如果有 5 件不同的長褲和 8 件不同的襯衫,而且假設我不在乎配色的問題(只怕大部分的數學家可能都符合這一點),那麼總共會有 5×8=40 種不同的搭配。如果我有 10 條領帶,而一組套裝包含襯衫、長褲,和領帶,那麼總共會有 40×10=400 種搭配。

在一副普通的撲克牌中,每一張都是四種花色的其中一種(黑桃、紅心、方塊或梅花)和十三個數值之一(A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q 或 K),所以一副牌裡有 4×13=52 張牌。我們也可以將 52 張牌排成一個 4×13 的長方形,這是另外一種能看出總數是 52 張牌的方式。

圖/《數學大觀念

用階乘看世界,處處都充滿驚奇

現在讓我們運用乘法規則來計算郵遞區號,理論上可行的五位數郵遞區號有多少個呢?郵遞區號中的每一位數都可以是 0 到 9 之間的任何一個,所以最小的郵遞區號是 00000 而最大的是 99999,也就是總共有 100,000 種可能。但你也可以藉由乘法規則來看出這個答案:你對第一位數有 10 個選擇(從 0 到 9),第二位數有 10 個選擇,第三、四、五位數也都各有 10 個選擇,因此總共有 105=100,000 種可能的郵遞區號。

計算郵遞區號的總量時,數字是可以重複的。現在我們來看看不能重複的情況,比如說要將所有物品排成一排的時候。兩種物品有 2 種排列方式,這點很容易就能看出來,例如字母 A 和 B 的排列方式只會是 AB 或 BA 其中之一;而三種物品則有 6 種排列方式:ABC、ACB、BAC、BCA、CAB 和 CBA。至於四種物品,如果不逐一列出,你能夠直接看出來排列方式總共有 24 種嗎?第一個字母的選擇有四種(A、B、C 或 D),挑好了之後,第二個字母的選擇就剩下三種,然後第三個字母的選擇只剩下兩種,而最後一個字母就只有一種可能了。也就是說總共有 4×3×2×1=4!=24 種可能。一般來說,n 種不同的物品總共有 n! 種排列方式。

在下一個例子中,我們將結合乘法和加法規則。假設某一州設計兩種不同的車牌,第壹種車牌是 3 個字母接著 3 個數字,第貳種車牌是 2 個字母接著 4 個數字,那麼可能的車牌總共會有幾種呢?(26 個字母和 10 個數字統統都可以使用,並忽略相似字型造成的混淆,比如說字母 O 和數字 0。)從乘法規則看來,第壹種車牌的數量有:26×26×26×10×10×10=17,576,000;第貳種車牌的數量有:26×26×10×10×10×10=6,760,000。

既然車牌只可能是壹或貳其中一種(不會都是),那麼加法規則就能表示出車牌的可能總數就是兩數之和:24,336,000。

六個位數的車牌就包含了上千萬種的排列組合。圖/chris @Flickr

計數問題(數學家稱為數學組合學的分支)的樂趣之一就是通常一個問題可以用好幾種方式來解決。(我們可以看出再心算的算術問題上也是如此。)上述問題其實可以只用一步就解決,也就是車牌的數量總共有:26×26×36×10×10×10=24,336,000,因為車牌的前兩個字各有 26 種選擇,後三個字也各有 10 種選擇,而第三個字可以是字母或是數字,所以共有 26+10=36 種選擇。


數學大觀念》書封

 

 

 

 

本文摘自《數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的 12 大觀念》,貓頭鷹出版

 

文章難易度
貓頭鷹出版社_96
41 篇文章 ・ 14 位粉絲
貓頭鷹是智慧的象徵。1992年創社,以出版工具書為主。經過十多年的耕耘,逐步擴及各大知識領域的開發與深耕。現在貓頭鷹是全台灣最重要的彩色圖解工具書出版社。最富口碑的書系包括「自然珍藏、文學珍藏、台灣珍藏」等圖鑑系列,不但在國內贏得許多圖書獎,市場上也深受讀者喜愛。貓頭鷹的工具書還包括單卷式百科全書,以及「大學辭典」等專業辭典。貓頭鷹還有幾個個性鮮明的小類型,包括《從空中看台灣》等高成本的視覺影像書;純文字類的「貓頭鷹書房」,是得獎連連的知性人文書系;「科幻推進實驗室」則是重新站穩台灣科幻小說市場的新系列,其中艾西莫夫的科幻小說,已經成為台灣讀者的口碑選擇。


0

9
3

文字

分享

0
9
3

揭開人體的基因密碼!——「基因定序」是實現精準醫療的關鍵工具

科技魅癮_96
・2021/11/16 ・1998字 ・閱讀時間約 4 分鐘

為什麼有些人吃不胖,有些人沒抽菸卻得肺癌,有些人只是吃個感冒藥就全身皮膚紅腫發癢?這一切都跟我們的基因有關!無論是想探究生命的起源、物種間的差異,乃至於罹患疾病、用藥的風險,都必須從了解基因密碼著手,而揭開基因密碼的關鍵工具就是「基因定序」技術。

揭開基因密碼的關鍵工具就是「基因定序」技術。圖/科技魅癮提供

基因定序對人類生命健康的意義

在歷史上,DNA 解碼從 1953 年的華生(James Watson)與克里克(Francis Crick)兩位科學家確立 DNA 的雙螺旋結構,闡述 DNA 是以 4 個鹼基(A、T、C、G)的配對方式來傳遞遺傳訊息,並逐步發展出許多新的研究工具;1990 年,美國政府推動人類基因體計畫,接著英國、日本、法國、德國、中國、印度等陸續加入,到了 2003 年,人體基因體密碼全數解碼完成,不僅是人類探索生命的重大里程碑,也成為推動醫學、生命科學領域大躍進的關鍵。原本這項計畫預計在 2005 年才能完成,卻因為基因定序技術的突飛猛進,使得科學家得以提前完成這項壯舉。

提到基因定序技術的發展,早期科學家只能測量 DNA 跟 RNA 的結構單位,但無法排序;直到 1977 年,科學家桑格(Frederick Sanger)發明了第一代的基因定序技術,以生物化學的方式,讓 DNA 形成不同長度的片段,以判讀測量物的基因序列,成為日後定序技術的基礎。為了因應更快速、資料量更大的基因定序需求,出現了次世代定序技術(NGS),將 DNA 打成碎片,並擴增碎片到可偵測的濃度,再透過電腦大量讀取資料並拼裝序列。不僅更快速,且成本更低,讓科學家得以在短時間內讀取數百萬個鹼基對,解碼許多物種的基因序列、追蹤病毒的變化行蹤,也能用於疾病的檢測、預防及個人化醫療等等。

在疾病檢測方面,儘管目前 NGS 並不能找出全部遺傳性疾病的原因,但對於改善個體健康仍有積極的意義,例如:若透過基因檢測,得知將來罹患糖尿病機率比別人高,就可以透過健康諮詢,改變飲食習慣、生活型態等,降低發病機率。又如癌症基因檢測,可分為遺傳性的癌症檢測及癌症組織檢測:前者可偵測是否有單一基因的變異,導致罹癌風險增加;後者則針對是否有藥物易感性的基因變異,做為臨床用藥的參考,也是目前精準醫療的重要應用項目之一。再者,基因檢測後續的生物資訊分析,包含基因序列的註解、變異位點的篩選及人工智慧評估變異點與疾病之間的關聯性等,對臨床醫療工作都有極大的助益。

基因定序有助於精準醫療的實現。圖/科技魅癮提供

建立屬於臺灣華人的基因庫

每個人的基因背景都不同,而不同族群之間更存在著基因差異,使得歐美國家基因庫的資料,幾乎不能直接應用於亞洲人身上,這也是我國自 2012 年發起「臺灣人體生物資料庫」(Taiwan biobank),希望建立臺灣人乃至亞洲人的基因資料庫的主因。而 2018 年起,中央研究院與全臺各大醫院共同發起的「臺灣精準醫療計畫」(TPMI),希望建立臺灣華人專屬的基因數據庫,促進臺灣民眾常見疾病的研究,並開發專屬華人的基因型鑑定晶片,促進我國精準醫療及生醫產業的發展。

目前招募了 20 萬名臺灣人,這些民眾在入組時沒有被診斷為癌症患者,超過 99% 是來自中國不同省分的漢族移民人口,其中少數是臺灣原住民。這是東亞血統個體最大且可公開獲得的遺傳數據庫,其中,漢族的全部遺傳變異中,有 21.2% 的人攜帶遺傳疾病的隱性基因;3.1% 的人有癌症易感基因,比一般人罹癌風險更高;87.3% 的人有藥物過敏的基因標誌。這些訊息對臨床診斷與治療都相當具實用性,例如:若患者具有某些藥物不良反應的特殊基因型,醫生在開藥時就能使用替代藥物,避免病人服藥後產生嚴重的不良反應。

基因時代大挑戰:個資保護與遺傳諮詢

雖然高科技與大數據分析的應用在生醫領域相當熱門,但有醫師對於研究結果能否運用在臨床上,存在著道德倫理的考量,例如:研究用途的資料是否能放在病歷中?個人資料是否受到法規保護?而且技術上各醫院之間的資料如何串流?這些都需要資通訊科技(ICT)產業的協助,而醫師本身相關知識的訓練也需與時俱進。對醫院端而言,建議患者做基因檢測是因為出現症狀,希望找到原因,但是如何解釋以及病歷上如何註解,則是另一項重要議題。

從人性觀點來看,在技術更迭演進的同時,對於受測者及其家人的心理支持及社會資源是否相應產生?回到了解病因的初衷,在知道自己體內可能有遺傳疾病的基因變異時,家庭成員之間的情感衝擊如何解決、是否有對應的治療方式等,都是值得深思的議題,也是目前遺傳諮詢門診中會詳細解說的部分。科技的初衷是為了讓人類的生活變得更好,因此,基因檢測如何搭配專業的遺傳諮詢系統,以及法規如何在科學發展與個資保護之間取得平衡,將是下一個基因時代的挑戰。

更多內容,請見「科技魅癮」:https://charmingscitech.pse.is/3q66cw

文章難易度
科技魅癮_96
1 篇文章 ・ 2 位粉絲
《科技魅癮》的前身為1973年初登場的《科學發展》月刊,每期都精選1個國際關注的科技議題,邀請1位國內資深學者擔任客座編輯,並訪談多位來自相關領域的科研菁英,探討該領域在臺灣及全球的研發現況及未來發展,盼可藉此增進國內研發能量。 擋不住的魅力,戒不了的讀癮,盡在《科技魅癮》