天燈飛不出平溪，真的嗎？

2016/10/10 |

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文／周鑑恆｜萬能科技大學光電工程系副教授

天燈相傳是三國時期諸葛亮發明的。孔明先生為了傳遞軍情，利用熱空氣向上升的原理，以開口朝下的輕質大紙袋，兜住大紙袋下方燃燒燃料而產生的熱空氣，使整個紙袋和其中熱空氣所受到的浮力大於其總重量，紙袋於是冉冉升空，彷彿高掛蒼穹的燈籠。稱之為天燈，恰如其景。

約從上世紀 90 年代台北平溪重新恢復了在元宵節放天燈的活動，放天燈遂逐漸成為台灣家喻戶曉的觀光盛宴，天燈的用途則由傳遞消息轉變成祈福或許願。時至今日放天燈已不僅僅流行於台灣及中國大陸，日本、泰國、波蘭、墨西哥、俄羅斯（聖彼得堡的海邊）等國家，都有放天燈的習俗。

波蘭 Łódź 地區的天燈。圖／Kamil Porembiński @ Flickr

天燈到底怎麼飛起來？

簡單來說，天燈可以飛是因為受到空氣浮力作用。

大家應該記得阿基米德浮力原理——物體在液體中所受的浮力和它所排開的液體重量相等。而空氣浮力和水的浮力原理相同，物體在空中受到的空氣浮力就等於它排開空氣的重量。但還有另外一個重要的因素，那就是「密度」，物體要在空中飛起來，它的密度必須小於空氣的密度。因此使得物體受到的空氣浮力，亦即物體排開空氣的重量，大於物體的重量。

空氣和水不同，因為水的密度隨水深淺變化不明顯，很容易計算一定體積水的重量，進而算出物體在水中所受的幾乎不變浮力。空氣密度卻會隨著高度而遞減，也會受氣壓、氣溫、溼度的影響，地表上的空氣密度約為 1.29 公斤 / 立方公尺。

一立方公尺物體所受的空氣浮力約為 1.29 公斤重，其實並不是很小。但因為日常生活中的物體密度都比空氣大很多，所以不容易察覺空氣有浮力。例如：木材所受的空氣浮力，只有木材重量的數百分之一。就算是一立方公尺，重約 12 公斤的輕質保麗龍，受到 1.29 公斤重的浮力，也不過是約十分之一的重量。即使世界上最輕的物質——氣溶膠（Aerogel），又稱固態烟，它的密度也比空氣的密度大 1、2 倍以上，還是不能在空氣中漂浮起來。

製作天燈的紙密度比空氣密度大，單只有這一層紙當然飛不起來，但這層紙包住的空氣，卻是讓天燈飛起來的主要原因。這並不是一般的空氣，而是加熱後的熱空氣，因為天燈內的溫度上升，使得其中的空氣分子活動範圍變大了，天燈的體積有限，因此活動空間不足的空氣分子就會開始往外跑。在這個過程中，天燈內的體積不變，但是空氣分子數量下降了，因此空氣的密度也就下降了。而天燈所受之浮力大小等於天燈體積所排開的一般空氣的重量，正比於天燈的體積，當這個浮力，大於天燈材料與其中熱空氣的總重量時，天燈就可以騰空了。

天燈內包住的熱空氣是讓它能升空的主要原因。圖／Jean-Marie Hullot @ Flickr

天燈所在位置的空氣密度越高，天燈也越容易升空。雖然在天燈尺寸高度範圍內（只有一、兩公尺），空氣密度變化的確不大，但是在天燈飛行的高度範圍內（約幾百公尺），空氣密度的變化就較明顯。

筆者有實際經驗，同樣大小的天燈（其尺寸比平溪天燈稍小），在臺灣平地能飛，在海拔約 1000 公尺的蒙古高原上就飛不起來了。民間方便製做、尺寸高度在一、兩公尺的天燈，在海拔不高的地區才能夠升空，所以放天燈的習俗多流行在低海拔地區。

平溪的天燈飛不出平溪，合理嗎？

前幾個月，新北市觀光局為回應社會大眾因製造垃圾、生態破壞等理由，對於「放天燈」的反彈，他們表示：平溪當地的天燈燃料量控制在 12~14 張金紙以下，只能飛行最高 800 公尺，最遠 5 公里，並不會飛出平溪以外，而燃料也會在天燈落地前燒完，不會造成火災。這在理論上合不合理？

依照規定平溪當地使用的天燈，要符合以下條件：

1. 底座直徑 60~70 公分

2. 高度 130~140 公分

3. 外圍 360~370 公分

4. 重量不得超過 300 公克

我們嘗試來算算看，這樣的天燈可以飛多高。記得我們前面所說的，天燈要飛起來的條件：天燈所受浮力＞天燈本身材料重量＋熱空氣重量。

天燈受到的浮力：V（天燈體積）× ρ_out（天燈外空氣密度）× g（重力加速度）

天燈總重量：mg（天燈材料重）＋ V × ρ_in（天燈內空氣密度）× g

所以 Vρ_out g ＞ mg＋ Vρ_in g，又可記為 V(ρ_out－ρ_in)g ＞ mg

其中空氣密度的影響因素，我們考慮兩項：溫度和高度，其餘的氣壓、濕度這邊就暫時略過不提了。在溫度上，密度與溫度成反比：

所以，上面計算天燈浮力的不等式，又可以調整為

另外，考慮高度如何影響空氣密度，天燈飛到 800 公尺左右高度時，空氣密度約為地面空氣密度的 90%，也就是 1.29 公斤 / 立方公尺乘以 0.9，約等於 1.16 公斤 / 立方公尺。而根據規定的天燈尺寸，可以估計天燈體積大約一立方公尺。天燈中燃燒的金紙可能高達 170℃，我們假設天燈內的空氣被加熱到 100℃（430K）；而外在的氣溫約以 25℃（298K）來計算。在 800 公尺的高度，浮力（見下式）

已經接近規定的天燈重量（約 300 公克重 = 0.3 × 9.8 牛頓）了。如果天燈再往上飄，空氣密度更小，浮力就小於天燈重量了，更別說可能燃料已經燃燒殆盡，天燈內的溫度也沒辦法維持了。

那麼，天燈可以飛多遠呢？

在無風的條件下，天燈就只會從原地垂直升空，但有風的時候就會造成它水平位移，風速越大水平位移的速度越快、距離越遠。平溪的平均風速約 4 公尺 / 秒，風速不大，在 12~14 張金紙燃燒的時間，也就是天燈滯空的時間，約為七、八分鐘，以 500 秒來計算，大約只能飛 2 公里遠；即使風速到 10公尺 / 秒，天燈大約也只能飛 5 公里（事實上風速到 10 公尺 / 秒的狀況，根本很難放天燈，也失去放天燈的樂趣，不會有人在這種風速狀況下放天燈）。而且平溪周圍環山，終年多雨，基本上天燈也難以飛離終年潮溼的平溪，這也是為什麼要規定：燃料的數量、施放地點、以及風速過大不適合施放的原因。

因為平溪的自然條件得天獨厚，再加上審慎根據科學原理，並結合多年的經驗之後，仔細訂定平溪放天燈的規定。如果遊客遵守這些規定，在規定的範圍內（平溪區師功橋到十分遊客中心，106 號縣道基隆河流域沿岸周界範圍二百公尺內）施放，就不太可能出現意外。

此外，如果天燈不破損，燃料持續燃燒，就能使天燈內的空氣溫度足夠高，即便金紙燃燒完畢，天燈內的空氣溫度也會維持一段時間，還能滯留空中。天燈內的空氣溫度開始降低後，天燈也只會緩緩下降，所以說燃料基本上也會在天燈落地之前燒完。