圓錐曲線與射影幾何－《這才是數學》

數學家通常都想很多，這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念，試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時，很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問：形狀是什麼？構成形狀的要素是什麼？我們以形狀分辨物體時，會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的，以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼？當我們說某樣東西是圓形時，看到的是什麼呢？

形狀百百種，可以量化嗎？

當然，這些問題沒什麼意義。就實際用途而言，我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想，形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了，我們或許會問自己這個問題：

這個問題很簡單，但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法，稱為廣義龐卡赫猜想（generalized Poincaré conjecture，或譯龐加萊猜想）。這個猜想提出至今已經超過一百年，目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多，有一位數學家解出這個問題的大部分，因此獲得了100萬美元獎金，但還有許多種形狀沒有找到，所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀？如果沒有更好的點子，有個不錯的方法是畫出一些形狀，看看會有什麼結果。

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎？波浪線（squiggle）應該全部算成一大類，還是應該依彎曲的方式細分？我們需要一種通用規則來解決這類爭議，才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師，通常會希望規則既嚴謹又精確：必須長度、角度和曲線都完全相等，兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學（geometry）這個數學領域。在這個領域裡，形狀嚴格又精確，經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀，但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則，它能夠把所有的形狀分成若干類別，但類別的數量又不至於太多。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

• 作者／Steven Strogatz，本文摘自《無限的力量》，旗標出版，2020 年 09 月 09 日

崛起於東方的代數學

雖然微積分的確是在歐洲達到頂峰，但這支數學的根基其實是從別的地方開始的。比如說代數學，它起源於亞洲和中東地區。代數的英文名稱來自於阿拉伯文 al-jabr，原意為「修復」或「碎片重聚」，這是在平衡一道方程式並求解時所需的操作。舉例而言，在處理方程式時，我們經常將一個數字從等號的某一邊移除並加到另一邊，這便是一種先將方程式的一部分拆下再重新修復的過程。

另外，如同我們之前提過的，幾何學事實上源自於埃及。據傳，希臘的幾何學之父泰利斯（Thales）便是在埃及學到這門學問的。還有，幾何學中最著名的一個理論——「畢氏定理」實際上也不是畢達哥拉斯首先發現的；早在公元前 1800 年前的美索不達米亞泥板上就已經存在，證明巴比倫人知道這個定理的時間點比畢達哥拉斯早了至少一千年。

同時必須要注意的是，當我們提到古希臘時，其實是指一個遠超過雅典（Athens）和斯巴達（Sparta）的超廣大領土。在面積最遼闊的時候，它的南方邊界延伸到了埃及、西至義大利與西西里島、而東邊更是橫跨了地中海至土耳其、中東、中亞、甚至是部分的巴基斯坦與印度。畢達哥拉斯是在薩摩斯島（Samos）出生的，這是一座位於安納托利亞（Asia Minor；屬於今日的土耳其）西部海岸線之外的島嶼。阿基米德生活於敘拉古，它位在西西里島的東南方。而歐幾里得則在亞歷山大城附近活動，這是一座位於埃及尼羅河口的巨大港口，並且是當時的學術重鎮。

但在羅馬攻佔了希臘，特別是當位於亞歷山大城的圖書館被燒毀，以及西羅馬帝國隕落以後，數學研究的中心就又回到了東方。阿基米德、歐幾里得、托勒密、亞里斯多德和柏拉圖的作品都被翻譯成了阿拉伯文，並且被當時的學者和抄寫員流傳了下來。這些人同時也在過去的理論中添加了許多嶄新的想法。

代數如何興起，幾何又為何衰落?

在代數降臨前的幾個世紀，幾何學的進展就已經陷入了龜速慢爬時期。在阿基米德於公元前 212 年去世以後，似乎就沒有人能在這個領域超越他的成就。喔，抱歉，應該說「幾乎」沒有人可以超越。大約在公元 250 年，中國的幾何學者劉徽對阿基米德計算圓周率的方法做了改良。兩個世紀以後，祖沖之（公元 429 – 500 年，南北朝時代）使用劉徽的方法及一個 24,576 條邊的多邊形做計算，並在經過一段想必非常史詩級的算術處理後，成功將 π 值限制在以下的兩個數字之間：

3.1415926 < π < 3.1415927

又過了五個世紀，進步再度來臨，這一次是由一位名為哈桑‧本‧海什木（Al-Hasan Ibn al-Haytham；在歐洲通常寫作 Alhazen）的人完成。他於約公元 965 年時出生在伊拉克（Iraq）的巴斯拉（Basra），在進入伊斯蘭黃金時代後，他來到開羅（Cairo）從事包括神學、哲學、天文、醫學等各式各樣的研究。在海什木的幾何著作中，他思考一種阿基米德從未想過的立體圖形，並嘗試計算它的面積。與這個發現本身同樣令人吃驚的是，關於幾何學的重大進展也就這些了，且中間竟然花了十二個世紀的時間。

而就在這段時間裡，代數與算術正在經歷快速且重大的發展。來自印度的數學家發明了「零」這個概念，並創造了十進制系統。另外，關於如何解方程式的代數技巧也在埃及、伊拉克、波斯和中國遍地開花。這些進展大多源自於解決真實世界中的問題，例如：遺產繼承規則、納稅評估、商業活動、計帳、利息計算、以及其它可能用到數字與方程式的主題。

代數在當時仍是用文字敘述，也因此這些問題的解決方法都被寫成類似處方箋一樣的東西，上面包含了如何一步步得到答案的文字指引。其中一本著名的教科書是由穆罕默德‧伊本‧穆薩‧花拉子米（Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi；公元 780 – 850 年）所編寫的，因此作者的姓氏被用來泛指所有透過一系列步驟達成目的的程序，也就是演算法（algorithm，即 al-Khwarizmi 的拉丁文譯名）這個字的由來。最終，貿易商和探險家把這種以文字敘述為基礎的代數、以及從印度與阿拉伯發源的十進制帶往了歐洲，與此同時，人們也開始將阿拉伯文的文獻轉譯成拉丁文。

到了文藝復興時期的歐洲，除了應用層面的探索以外，將代數學符號化的研究也開始盛行起來，並且在 1500 年代達到頂峰。於是，方程式的樣貌開始類似於我們現今看到的樣子，也就是用字母來取代數字的形式。1591 年時，法國的弗朗索瓦‧韋達（François Viète）以母音字母（如：A 和 E）來代表未知值，並用子音字母（如：B 和 G）來代表常數。而如今我們用 x、y、z 表示未知值；a、b、c 表示常數的的習慣則源自於約五十年後出現的笛卡兒。這種使用符號與字母來取代文字敘述的作法，使得方程式的推導與求解更為容易。

在算術上也有同樣重大的突破，那就是來自荷蘭的西蒙‧斯蒂文（Simon Stevin）將阿拉伯十進制數字從整數擴大運用到了小數上，並藉此成功消除了亞里斯多德思想中關於數字（即今天的整數，兩相鄰整數間沒有更小的單位存在）與大小（一種連續的數量，可以被分割成無限小的單位）之間的差異。

在斯蒂文以前，十進制只適用於整數上，而任何小於一單位的數就用分數來表示；但在斯蒂文的新方法中，一個單位的整數可被切割成更小的單位，也就是小數。這對於今天的我們來說是理所當然的事，但在那時卻是一項革命性的想法。當整數具有可分割性，則整數、分數或無理數便可以被整合到一個被稱為「實數」的大家庭中，這給了微積分描述連續空間、時間、運動與變化一項強大而必需的工具。

就在幾何學即將與代數合而為一的前夕，阿基米德所用的舊幾何學方法還有最後一次成功的應用：克卜勒將帶有弧度的物體（如：酒桶和甜甜圈形狀的物體）在腦中切成無限多片且無限薄的圓盤，並藉此計算它們的體積；另外，伽利略與他的學生埃萬傑利斯塔‧托里切利（Evangelista Torricelli）、博納文圖拉‧卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri）也是透過將物體視為無限多條線或面的堆疊來求得面積、體積或重心。

然而，這些人在對待「無限大」或「無限小」的概念時可以說是漫不經心，因此他們的方法雖然有力且直覺，卻一點兒也不嚴謹。儘管如此，由於這些方法能比窮盡法更容易且更快速地找到答案，所以也不失為一項讓人感到興奮的進步（當然，如今我們已經知道阿基米德早就使用過這種技巧了，他在關於「方法」的論述裡早就提過相同的點子，只不過當時這些敘述被深埋在一本收藏於修道院的祈禱書之中，直到 1899 年才被人發現）。

• 延伸閱讀：【Gene思書齋】無限小如何形塑現代世界？

無論如何，雖然那些新阿基米德派的做法在當時看上去相當有效，但它們卻不足以應付未來的挑戰。而符號代數此時已經蓄勢待發，與之相關的兩支強大分支，即解析幾何與微分，也已如春芽一般呼之欲出。

• 作者：Vicky Neale（牛津大學數學研究所和巴利奧爾學院研究員）、Lizzie Kimber（格羅斯泰特主教大學數學項目負責人）
  編譯：泛科學編輯部（y編）

許多人會說自己沒有「數學腦」，但其實就算是數學家，也是用各式各樣不同的方式思考的。

思考數學的方法不止一種，沒有哪一種是「正確」的，這雖然可能會造成溝通上的障礙：例如如果你是用視覺圖像思考的人，就很難與用方程式思考的人溝通。但它同時也有好處，這表示當你在數學上卡關的時候，或許從另外一個角度來看世界就不一樣了。

以我們身邊隨處可見的橢圓形為例，光是思考它的方式就有很多種（哈哈想不到吧，bazinga！）。以下就介紹幾種不同的方法，來看看不同類型思考方式的數學家，會有哪些不一樣的視角吧。

實際思考

我們能用一根棍子和一條繩子畫出一個圓，其邊上所有的點到中心的距離都是一樣的。同樣的思維，我們也可以利用棍子和繩子畫出橢圓，只是你需要多兩根棍子。

將兩根棍子插在地上，並將繩子綁在第三根棍子上然後拉緊並開始畫圈圈（不用到角落沒關係！），於是你就能得到一個橢圓！只要繩子拉得夠緊，棍子就會沿著橢圓移動，你可以感受到繩子的張力在引導其運動。

直接地畫出一個橢圓，是很實際可以手把手感受橢圓的方式（這是什麼繞口令）。

視覺思考

橢圓屬於曲線中的「圓錐曲線（conic sections）」，圓錐曲線指的是從不同角度切割空心圓錐所得到的曲線。

圓錐曲線有幾種類型：橢圓和圓是其中兩種（或者只能說是一種，廣義來說圓算是一種特殊類型的橢圓）（繞口令again），除此之外，拋物線和雙曲線也是他們的好夥伴。

利用視覺化的方式來思考圓形，我們可以把它視為一系列相關曲線中的一種：於是你可以先理解一般的圓錐曲線，然後再深入理解橢圓。

這雖然涉及到前期理解相關概念需要更多的時間投入，但是當擁有眾多而非只是用於單一曲線的理論時，你會發現眼前的世界不太一樣，其付出也終會有所回報的。

文字思考

不是每個人都會喜歡視覺思維，在思考幾何概念時也是如此。有些人會更喜歡用文字來思考數學，或是認為用文字傳達特定的概念是更方便的。唸數學本科的大學生可能會很驚訝，他們被期待在解答中看到的「文字」的數量比想像的多。

描述數學論證最好的方式通常是用流暢的句子講述連貫的故事，並在適當的位置插入方程式和圖表。

在這篇文章當中我們用了各種方式描述了橢圓形，這些描述都帶出了橢圓各式各樣不同的特徵。於是往下，我們想知道的是，如何才能確定這些描述都是在說同一種曲線，而不是各自表述？所以，我們會希望其描述能更精確一點。

橢圓的定義是：
對於橢圓上的每個點，從該點到兩個焦點（畫圖時的兩根棍子的位置）的距離之和是定值。
我們甚至可以說的更準確點：
橢圓是平面上圍繞兩個焦點的曲線，曲線上每個點到兩個焦點的距離之和是定值。

這種描述對於某些目的來說可能已經足夠了，但是人們還是會試圖在視覺上解釋它的含義，或者測試它以查看它與特定橢圓的關係或將其描述轉化為方程式。

代數思考

有些人喜歡將幾何問題轉化為代數。這可能會引導出不同類型的見解。喜歡在符號中思考的人可能會通過說PS + PS’= C（C為常數）來描述橢圓的概念。

人生很長，事情並沒有到此為止。在坐標系上以0為圓心半徑為1畫圓，其方程為x²+y²= 1。而橢圓的表示方式與此不同：因為大多數橢圓從中心到曲線的距離不是恆定的，它是在兩個數值之間變化（圖中的a和b）。

而a和b的長度決定著橢圓的大小以及它有多「橢圓」，並能以此寫出橢圓形的方程：（x / a）²+（y / b）²= 1。這個方程式和圓密切相關，我們可以透過拉伸一個圓來得到一個橢圓，而上述的橢圓方程式就是這麼來的。

對於探索幾何圖形來說，曲線方程式非常的好用。例如，要找到線與橢圓相交的點，我們透過可以記下兩者的方程式，求解以並找到其坐標系。

以自己的方式思考

找到自己的思考數學概念的方法絕對是關鍵，不論你是利用數手指，畫畫還是大聲喊出來而想通的。數學研究能取得進展，往往是因為有人找到了探索概念的新方法。

所有數學家都有自己喜歡的方法來思考數學問題。有些人本能地傾向於採用某種方法而不是另一種方法：這可能取決於習慣，或者因為曾經採用某種方法而成功，又或是實在與某種方法不對盤。

而也許最成功的數學家是能夠在方法與方法之間流暢切換的人。因為在面對任何的問題時，總是有一些策略比其他策略更好。

那你呢？你又如何思考數學的？

• 本文編譯自The conversation，原文標題為「From visual to verbal – there’s more than one way to understand maths」。

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