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數學是擴充常識的手段-《數學教你不犯錯》推薦序

賴 以威
・2016/03/25 ・2515字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 513 ・六年級
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source:flickr

去書店走一遭,除了新書有機會上平台陳列,數學科普常被擱在角落,多則半櫃少則幾本,不小心錯過了也沒察覺。但數學愛好者都知道,數學科普書相當多,看得速度永遠追不上出版速度。

不過,也不需要每本都看,因為儘管每本書用的例子不同,但背後的數學,特別是為了讓讀者有共鳴,著眼在與生活密切相關的數學知識,機率、統計、估算法、圖論……都很相似。你或許可以想像成綜藝節目的單元劇,儘管每次是不同布景、劇情,可粉墨登場的都是同一批固定班底。一本數學科普書是否好看的標準(至少以我來說),並非數學知識的難度,而是單元劇的腳本是否夠精彩,能讓讀者透過這場單元劇,對所介紹的數學知識留下深刻印象。

我們很容易把數學教得像一長串規則,你照順序學習,且必須遵守規則,如果不遵守,成績就是C-。這不是數學。數學研究事物必然呈現的道理,因為這些事物不可能以其他方式呈現。

從序言開始,讀《數學教你不犯錯》一直讓我覺得,自己想講、或曾經講過的許多話,都被用一種更清楚的形式表達出來。

不只是數學,牽扯到專業知識的文章都不好寫。要嘛知道的太少,要嘛文筆不夠好。雖然前面講到知識難度不是數學科普書的重點,但作者本身一定得具備深厚的數學素養,就好比擁有豐富人生歷練的智者才能說出令人深省的詞句,唯有充分理解,才能深入淺出地講解。

我念博士班時,視寫論文為人生一大無路用之事。都已經懂了,為什麼還要花那麼多功夫去想辦法寫成一篇文章去告訴別人?

「如果你不能讓別人輕易了解你在做什麼,就是你還不了解自己在做甚麼。」

指導教授這樣回答我。

本書作者Jordan Ellenberg是一位出版過小說的數學天才,不論對數學的理解或駕馭文字的能力都非常深厚。再由同樣文理雙棲的中研院李國偉老師執筆翻譯。這樣的作者與譯者組合,讓我在閱讀的過程中,只能不斷用折狗耳朵來代替鼓掌。

即使沒有寫下一條方程式、沒有畫出一幅圖像,但你就是在做數學,你正以額外手段擴充常識。

數學科普書有兩種極端類型:一個特定數學知識作主題,或是許多獨立短篇介紹不同的數學知識。這套書介於中間,上下兩冊看似用較長的篇幅介紹數個觀念,但其實觀念之間都有連結。如果我們把數學知識看作是圖論裡的一個點,知識的關聯性用線來連結,作者深厚的數學底蘊,讓他能看見一般人沒注意到的連結,以及每個知識對應的軼聞、歷史典故、生活實例,他能從樂透一路說到通信原理,間或還穿插著幾何知識。裡面有些部份很簡單,有些會讓你得放下書本反覆思考好幾次才能確定自己真的理解他在說什麼,有時候還會出現幾道計算過程。但它跟考試不一樣,考試是為了檢驗你是否理解概念,這本書則是利用概念去了解、分析某些事件的道理。

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再經過考試教育後,許多人對數學產生了畏懼,但其實若好好學系數學的應用,會讓生活更有趣的。source:flickr

而這也是整本書最主要想傳達的:數學是一種思考方式,是擴充常識的手段。如同有時候我們需要紙筆把腦袋裡想的東西寫出來,才能加以整理。數學是心靈上的工具,幫助我們在思考時能更有條理,能從「有或沒有」的二分法進步到「有多少」的量化,能考慮到那些直覺無法輕易捕捉的真相。比方關於機率,作者在序言裡這麼介紹

我們的內建心智系統可以估計不確定事件發生的可能性,但是那些系統的能力相當弱、也不可靠,對於極為稀有的事件是無能為力。因此我們需要一些穩固的定理與技巧來強化我們的直覺,於是就創造了機率的數學理論。

明天有20%的降雨機率,對中統一發票的期望值是1元多,但明天終究只會晴天或下雨,發票最小獎也是200元,機率跟期望值的物理意義到底是什麼?是100個平行時空,其中20個明天會下雨,80個不會下雨?作者內在的數學家特質,讓他將文字化作數學符號,只需精準地用上幾個字,便能給出答案。

作者與譯者的精準用詞與譬喻讓這本書充滿閱讀樂趣。好比說,書中在解釋不同派別對顯著性檢定的看法,一派認為檢定若為真,表示找到事物的真相,一派則認為不該過度延伸,帶預設立場去看數學結果,檢定為真只提供決策的依據。Fivethirtyeight創辦人Nate Silver撰寫的暢銷書《精準預測》中花了很大的篇幅在討論兩派差異與各自的優劣。在本書,Jordan Ellenberg用了偵探與法官的譬喻,一方是透過線索找出真相,一方只能透過證據宣布判決。讓這個概念瞬間變得清楚、印象深刻。

又或者,作者提到在機率這個概念之下,我們有了「風險」與「不確定性」的差異。風險是已知的未知,例如你知道買樂透,有多少機率(非常的高)你會血本無歸;不確定性則是未知的未知,你連可能會發生什麼狀況都毫無所知。

我很喜歡這種細節的釐清,它吹走了籠罩在知識前方的薄霧,讓你總算不是只窺視輪廓,能清楚地看見全貌。

趁著春節連假,我一口氣讀完上下兩冊,同時也和親友玩了幾場麻將。

或許因為正在讀這本書的緣故,打麻將技術向來拙劣的我,此回彷彿可以看到空中浮著一張巨大的表格,上面寫著各種花色的牌被握在其他玩家手中的機率,每次有一張新的牌被丟到中間,牌的機率值就像傳統非電子式的火車站的時刻表一樣,經過貝式定理的計算(根據新的觀察結果,去重新調整原有的機率值),趴噠趴噠地被更新。

麻將聽起來可能觀感不太好,換成撲克牌、樂透、丟銅板、理財、甚至是等車、去熱門餐廳排隊,貝式定理都能派上用場,它不是什麼新的神奇的潛意識開發,宣稱能用上未曾使用的90%大腦,只是幫助我們在用直覺推理時,能更有邏輯性地評估各個細節。

數學,能讓你用額外的手段擴充常識。

不需要歐基里德(Euclid)的三塊錢[註],光憑著這句話,我想就值得閱讀此書。

  • 註:相傳歐基里德有位學生問他「學幾何能有什麼好處?」,歐基里德轉頭對僕人說「給這傢伙三塊錢,因為他認為一定得從學習中獲益。」

《數學教你不犯錯》上下書封

數學教你不犯錯

作者:Jordan Ellenberg

天下文化出版


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賴 以威
32 篇文章 ・ 8 位粉絲
數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室


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就是想知道十萬個植物的為什麼!解開植物生長之謎的駭客兼翻譯——蔡宜芳專訪

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・2022/04/06 ・3848字 ・閱讀時間約 8 分鐘

本文由 台灣萊雅L’Oréal Taiwan 為慶祝「台灣傑出女科學家獎」15周年而規劃,泛科學企劃執行。

2018 年「台灣傑出女科學家獎」傑出獎第十一屆傑出獎得主

  • 中研院分子生物研究所特聘研究員蔡宜芳,畢業自台灣大學植物系,在美國卡內基美隆大學(Carnegie Mellon University, CMU)取得博士,後於加州大學聖地牙哥分校(University of California, San Diego, UCSD)進行博士後研究,研究專長為植物分子生物學。主要從事細胞膜蛋白的功能研究,在硝酸鹽轉運蛋白研究領域有卓越貢獻。2021 年蔡宜芳特聘研究員榮獲美國國家科學院(National Academy of Sciences, NAS)外籍院士(international members)。

如果妳撿到蔡宜芳掉的手機,可能很難立即知道失主是誰,甚至有點摸不著頭緒:因為她手機裡超過 80% 的照片,都是植物。為何會選擇植物作為研究領域?身為中研院分子生物研究所特聘研究員,在植物分子生物學領域貢獻卓著的她卻說,這個決定其實「不太科學」,因為起心動念是自己「真的很喜歡植物」。

因為喜歡所以好奇,因為好奇而想要知道更多:許多 love story 都是這樣開始的,而研究領域的開展又何嘗不是一場超浪漫故事呢?也因為一般人都不夠認識植物,聽不懂植物的細語呢喃,更需要蔡宜芳這般熱愛植物的科學家,擔任植物駭客兼翻譯,讓不辨菽麥者也能偷聽花開的聲音。

故事,從一株異變的阿拉伯芥開始說起。

植物對於氮肥的攝取機制與調控方法正是蔡宜芳的研究主題。圖/劉志恒攝影

分子生物學突破:發現植物吸收硝酸鹽的關鍵蛋白 CHL1

上世紀 50 年代起的「綠色革命」,大幅提升了糧食生產量,餵飽了激增的地球人口,「氮肥」在其中功不可沒。它對植物開花結果至關重要,然而植物透過什麼機制攝取氮肥?如何調控才能更有效地吸收?蔡宜芳研究的正是其中的分子機制。

氮,是生物存活的重要元素;從推動光合作用的葉綠素、各種代謝反應的酵素,到與遺傳相關的核酸中,都有氮的存在。但對植物來說,要取得氮元素卻出乎意料地困難;大氣的組成中近五分之四為氮氣,但是除了藉由少數有固氮能力的微生物以外,植物只能使用在土壤中非常少量的氮源,吸收的型態有「氨鹽」與「硝酸鹽」,其中又以硝酸鹽為主。

但是,硝酸鹽是帶電離子,無法自行通過脂質構成的細胞膜,那到底植物如何利用硝酸鹽呢?為了解開這個長年來的謎題,蔡宜芳將目光投向一棵無法正常吸收硝酸鹽的阿拉伯芥突變株,並利用當時最新發展出來的分子生物技術,試圖找到出關鍵基因。蔡宜芳表示,這個無法正常吸收硝酸鹽的突變株,在她約 10 歲時就被荷蘭研究者發現,這麼多年來在傳統技術底下被研究得相當透徹;卻直到她開始進行博士後研究,伴隨植物分子生物相關技術發展,才有方法找到關鍵的轉運蛋白。

這樣的研究自然充滿了挑戰,因為新技術還不穩固,就連實驗室老闆都曾勸她放棄。不願投降的她,決定一邊持續研究氮代謝,一邊到其他研究室學細胞膜研究的新技術,1994 年,蔡宜芳從美國回到台灣,持續研究進一步發現, 位在植物細胞膜上的 CHL1 硝酸鹽轉運蛋白,除了作為硝酸鹽的「搬運工」,還有其他異想不到的功能。在你我的印象當中,植物是被動的吸收養分:但其實當土壤中的的硝酸鹽變化時,植物會主動改變硝酸鹽的運作模式,這就是蔡宜芳團隊在 2003 年的重大發現。運作模式的改變正來自於 CHL1 蛋白的磷酸化轉換,因此 CHL1 蛋白也具備作為「傳令兵」的功能。透過 CHL1,植物便能感應周圍的硝酸鹽濃度,幫助植物調控基因表現,以便能更有效率地利用硝酸鹽。

掌握硝酸鹽吸收的調控,在農業領域十分有發展潛力,蔡宜芳的研究進一步轉向,對接實際應用,期盼為農業的永續未來提供新解方。除了 CHL1硝酸鹽轉運蛋白的機制外,她也針對阿拉伯芥如何吸收與輸送硝酸鹽到不同組織的分子機制展開探索。近期更研究探討是否能以育種或基因調控的方式,增進植物吸收硝酸鹽的效率。由於硝酸鹽非常容易在環境中流失,因此多數的氮肥施放到田間後,植物也往往吸收不了;如果可以改善植物的吸收效率,就能減少施肥的浪費,連帶減少製造氮肥耗用的能源,也讓農作物長得更好。

好消息是,透過基因調控,蔡宜芳團隊已經在阿拉伯芥、菸草及水稻上實驗成功,並取得相關專利,期待未來將授權給生物科技公司進行下一步。

培養科學研究必備品:好奇心、科學思辯與毅力

蔡宜芳從事研究的初衷是因為對植物的喜愛與好奇心,對她來說和植物有關的十萬個為什麼,猶如始終永遠拼不完的大型拼圖,從小時候就在蔡宜芳的心中佔據了重要位子,於是她「追根究柢」(如字面上意義),想靠自己解開植物現象背後的秘密。

人們對自己不了解又無法回嘴的植物充滿了誤解,往往覺得植物跟動物一點也不同,然而在蔡宜芳看來絕非如此,她表示,已經有研究發現,當我們這些動物咬下蔬菜的瞬間,植物裡頭負責傳導的的鈣離子就會產生變化。「大家都覺得植物不會動不會叫,但其實植物是有感知的。」蔡宜芳表示,植物其實都知道,只是用我們不懂的方式在表達,要靠研究才能一句一句地破解植物的密語。

圖/劉志恒攝影

當然研究也不能自己埋頭苦幹,交流非常重要。蔡宜芳擔任植物學期刊 《Plant Physiology》 編輯多年,但回憶起剛建立獨立實驗室的階段,面對那麼多來自審稿人的刁鑽問題,當時的自己也難免生氣。一旦轉換身份成為審稿人,被審的經驗也讓她更明白審查論文時該注意的重點,一來一往的思辨與答辯,反而讓她覺得很好玩。

「我自己有個突破,是因為被質疑的時候很生氣,可是不能光氣,也要想辦法解決。就在生氣的時候,想出來的方法,最後變成我們實驗室很新的工具。」而她也認為自己在替《Nature》等重要期刊審稿時,認真地給出言之有物的評論,幫她累積了領域內的信譽,才讓期刊編輯的位置找到了她。

蔡宜芳曾擔任植物學期刊《Plant Physiology》編輯。圖/《Plant Physiology》網頁截圖

像投稿審稿這般來回思辨的訓練,對科學家的養成非常重要,然而蔡宜芳觀察,科學思辨在台灣教育裡比較缺乏。她舉例,在美國課堂上,老師會要學生先讀一篇論文,接下來整堂課則要學生批評論文有什麼問題。「我們在台灣被訓練的人,都會把 paper 當作傳世經書在讀,讀懂它就覺得很開心了——要去批評它,我們真的沒有習慣。」蔡宜芳坦言那過程對她來說曾經非常痛苦,但會痛就代表該變。

她就此改變了思路:面對知識,蔡宜芳要求自己不僅要讀懂,還要有餘力批評它,說出對、錯在哪裡。蔡宜芳認為,科學就是得永遠抱持著質疑的態度,在不疑處有疑,才能找到真正的答案。「在我自己的實驗室裡面,我也一直在逼學生要去思考」。

蔡宜芳在實驗室中,會不斷要求學生思考、批判。圖/劉志恒攝影

而除了好奇心及思辨能力之外,蔡宜芳認為「毅力」也是科學家在科學界持續前進的重要特質。經驗告訴她,在科學研究中遇見失敗比遇見成功的次數多太多了,革命十次稀鬆平常,如何二十次甚至三十次之後還能繼續往前走?那絕對需要強大的毅力來抗壓才行。

說到壓力,身為科學界的女性,蔡宜芳認為,自己的成長環境中,性別造成的影響並不大,以她所在的中研院分生所為例,研究人員性別比例很平均。但若深入細究,「無意識偏見」(unconscious bias)仍難以避免。她以自己帶過的學生為例,生科領域在大學時期男女比例大約是各半,但隨著碩士、博士一路往上,男性的比例逐漸多於女性。因為許多女學生在面臨職涯選擇的時候,往往會被迫以家庭或是男性伴侶的事業為優先,這種狀況回過頭來又讓部分老師覺得「教育女生有時會是浪費」,成為惡性循環。

榮獲過許多科學成就獎項的她,時常是唯一獲獎的女性,而就在接受採訪不久前,她又獲頒一個獎項,直到頒獎當天的照片寄回到所上,「一片黑西裝裡面,就我穿黃色!」她笑道。所上第五屆台灣女科學家傑出獎得主鍾邦柱老師看到照片時,也對她苦笑說:「哎,革命尚未成功,同志仍需努力。」

「先不要去想會有這個東西,做該做的事情。真正不平的時候,不要安靜不講。」儘管環境仍待改變,蔡宜芳建議女科學人自己先跨出一步,就如同她自己一路走來的態度。

一株莫名異變的阿拉伯芥,遇上一位不放棄的科學家兼植物迷,造就了改變農業、甚至是整體生態未來的契機。如果妳的手機也跟蔡宜芳一樣,裝的幾乎全是自己感興趣、想研究的東西的照片,請別質疑自己是不是怪怪的,或許妳也將靠著研究,改變世界,這是我能想到最浪漫的事了。

台灣傑出女科學家獎邁入第 15 年,台灣萊雅鼓勵女性追求科學夢想,讓科學領域能兩性均衡參與和貢獻。想成為科學家嗎?妳絕對可以!傑出學姊們在這裡跟妳說:YES!:https://towis.loreal.com.tw/Video.php

本文由 台灣萊雅L’Oréal Taiwan 為慶祝「台灣傑出女科學家獎」15周年而規劃,泛科學企劃執行。


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