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布爾與邏輯--《科學月刊》

科學月刊_96
・2015/12/12 ・5223字 ・閱讀時間約 10 分鐘 ・SR值 560 ・八年級

董世平/中原大學應用數學系教授,美國伊利諾大學數學博士,專長數理邏輯,曾任符號邏輯協會東亞委員會委員九年。

布爾追尋真理的熱忱,導引他發現思想的法則。他以代數的手法將思想法則表現為後人所稱的布爾代數,不僅成為電腦硬體設計的基礎理論,更開創了數理邏輯學的深刻發展。

天上的星星,依照牛頓所發現的「萬有引力定律」而運動;而人的思想,也有它運作的法則嗎?1854年,布爾出版了他的著作《思想法則之探討》,在這本書中,布爾給了上述問題的答案:人的思想是有法則可循的。不僅如此,我們可用數學的方式來描述這些法則。這本書出版之時,能明瞭的人甚少,但這本書對人類影響之大,絕對是當時的人,甚至布爾本人都難以想像的。

理性是人行事的基礎,如巴斯卡(Blaise Pascal, 1623~1662)所說:「人是會思考的蘆葦。」我們也說:「物有本末,事有先後。知所先後,則近道矣。」雖然人人做事都有其背後的邏輯,但意識到邏輯本身,應是後來的事,正如人人都呼吸,但意識到呼吸,乃至知道空氣的存在,都是相當後來的事了。一個人沒學過邏輯,甚至沒聽過邏輯,並不表示這人做事沒有邏輯,或不需要邏輯。

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巴斯卡。 Source: shutterstock

邏輯學門的發展

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亞里士多德(左)與他的學生亞歷山大。Source: shutterstock

一般來說,把邏輯或理則學當作一門系統知識來學習,是從亞里士多德開始,故傳統邏輯被稱為亞里士多德邏輯,大家最熟悉的即所謂的「三段論」。

大前提:人會死
小前提:蘇格拉底是人
結論:蘇格拉底會死

當我們從所知或已知的事物而得到結論時,這個思考或邏輯過程,皆使用三段論。人會犯錯,也會犯邏輯的錯誤,有可能是前提錯,即他的認知就是錯的,但也常發生的是,推論的過程產生錯誤:

大前提:人會死
小前提:蘇格拉底死了
結論:蘇格拉底是人

我們也許會說這種錯誤太不應該了,但犯這種錯誤的人比比皆是,在報章雜誌及電視上不時可見這些錯誤的推論。因這些人的心態是先有結論,再為結論找理由,也難怪會犯這種錯誤。希望我們能如孟子所說:「淫辭知其所陷」,而不為其所陷。邏輯在希臘哲學時期的建立,也就是為了分辨辯士在辯論時,何者是講理,何者是狡辯,進而使個人能合理的思考,正確的判斷。

邏輯不僅在希臘發展,在同時期的中國亦現其蹤跡。春秋戰國時期的名家及墨家的論述中也都有「邏輯詭論」,或如莊子所說:「一尺之杖,日取其半,萬世不竭。」;在希臘有完全相同的說法,如「飛矢不動」,也與「阿基里斯詭論」有相通之處。但可惜的是,中國的邏輯後來未有系統性的發展,僅留下了「矛盾」這個有趣的典故:楚人有鬻盾與矛者,譽之曰:「吾盾之堅,物莫能陷之。」以譽其矛曰:「吾矛之利,於物無不陷也。」或曰:「以子之矛陷子之盾,何如?」其人弗能應也。夫不可陷之盾與無不陷之矛,不可同世而立。」─《韓非子》。

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邏輯數學化

人類用亞里士多德的方式學習邏輯,至今已2500 年了。然而,我們必須用「理性」,才能得到邏輯正確的結果嗎?唯有「理性」,才能知道「理」之「則」嗎?

布爾提出兩個突破性觀念:其一,用符號表示邏輯命題;其二,可用代數作符號運算。總體來說,我們可先用符號代表命題,用公理表示邏輯的規則,再以代數的方式運算。在運算的過程中,不需考慮符號本身及運算的意義,運算完畢,將符號再帶回原本的命題,即為邏輯正確的結果。至此,推論的過程完全被公式的運算取代,不僅大大增加處理命題的能力,完全避免人有意無意的錯誤,藉著公理的選擇,可發現命題之間的關聯,亦可清楚看見邏輯的本質,其好處不勝枚舉,更有許多後世才發現的益處。

布爾在他著作中未曾提出一套完整的公理系統,也因此現今我們有許多種不同的布爾代數系統,本文僅列出一個較簡潔的系統,我們藉此來討論布爾將邏輯符號化及代數化的意義。

在討論符號化的意義之前,我們先引用布爾在他1847年所出版《邏輯之數學分析》中所說的:「認識現今符號代數情形的人都明瞭,分析過程的正確性並非建立在對符號所用的解釋,而是在它們組合的定律上。」使用符號不僅為方便表示,亦使我們不再受限於特定的解釋,因此可擴展應用的範圍,也才有現今各樣的數位產品。

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我們藉由布爾曾用的交換律b+a=a+b 來說明。你可把ab視為兩個集合,+為聯集,=為集合相同;亦可把ab視為整數,+為加法,=為數字相等;亦可把ab視為命題,+視為邏輯連辭「或」,而=視為意義相等。在應用時我們固然需要對這些符號賦予特定的意義,但在推導性質時,我們只需按著他們組合的定律來做,如交換律,如此所得的性質可用在集合、數字或命題及其他可能的解釋上。

03

對於邏輯的數學化,我們可用布爾所用的另一個例子來說明:

x2 = x xx2 = 0 → x(1-x)=0

這個過程相信是任何學過解方程式的人都明白的,當把0視為空集合,1視為包含所有個體的宇集(universalclass),1-x為包含所有不在集合x內個體的集合,x2=x 則意義為「具性質P 且具性質P 的集合,即為具性質P的集合」,因此布爾用上述的代數過程得到了古典邏輯中集合的「矛盾原則」,即不可能有一個集合同時具有性質P及性質非P,亞里士多德視矛盾原則為邏輯的基礎公理,但布爾則用數學方法顯示矛盾原則可由另一個看來更直觀的x2=x 公理所導出。

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邏輯的符號化及數學化並非始自布爾,有不少的先驅者,最著名的當是萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646~1716),較布爾早生了約170 年。萊布尼茲曾期望當兩個人辯論時,兩個人能坐下來說:「我們算一算。」也就是用數學方法來解決爭論。符號化及數學化的威力已為現今所認知,但這兩者也意謂著抽象化,離人的直觀與經驗越來越遠。這似乎為認識事物本質所必要的,我們亦見此於物理的發展。由布爾的成就我們亦可見,透過抽象化,我們可更清楚認識及了解「思想」這個原本極為抽象的概念。

04
萊布尼茲。Source: shutterstock

范氏圖與真值表

邏輯在布爾之後有極迅速的發展,現今常用兩種工具:范氏圖及真值表。由前列布爾代數公理,我們可見「集合代數」是一個布爾代數。史東(Marshall H. Stone, 1903~1989)亦證明了任一布爾代數可用一「集合代數」表示。范氏圖即為我們常用來表示集合關係的一個視覺化工具,而視覺化表示亦為布爾使用符號所希望能達到的目標,使人有更直觀的認知,但使用視覺化工具須注意其侷限性。

范氏圖用圓表示集合,1、2、3個圓交疊後,分別可得2、4、8個區域,每一個區域代表每一個集合僅使用一次可得交集的情形,在3個圓交疊的情形下,區域2為,區域為。那4 個圓交疊可得幾個區域呢?我們也許會猜21=2、22=4、23=8、24=16,16個區域,但我們若認真的去畫,我們會發現最多只能畫出14個區域。

然而,4個集合實際上應該有16個區域,所以范氏圖無法表示n ≥ 4個集合所有可能的情形,用n個圓最多可畫出多少個不同的區域?這個例子告訴我們,用歸納法一開始所得的歸納結果有可能是錯的,有興趣的讀者可嘗試用歸納法得到正確的公式,再用數學歸納法證明公式是正確的。

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另一個有用的工具則是真值表。它用P、Q代表命題,∧(且)、∨(或)、¬(非)、→(若⋯,則)、→(若且唯若)、T(真)、F(假),我們有下列定義:

05

我們可看見P → Q 和¬Q → ¬P 及¬P ∨ Q 對應的真假值完全一樣,即此三者為邏輯等價,當我們要證明「若P則Q」(P→ Q) 時, 我們證明「若Q為假,則P為假」(¬Q → ¬P),則「若P 則Q」得證,此即為「歸謬證法」或「矛盾證法」的本質,同理,若我們能證¬P ∨ Q 為真,我們亦證明了「若P 則Q」。

布爾之後的邏輯

邏輯非自布爾而始,亦非自布爾而終,但邏輯自布爾後,就再也不一樣了。我們也許可以如此比擬:克卜勒藉著對行星運動的觀察數據,以計算及歸納得到了「克卜勒行星運動定律」。牛頓依此發現了「萬有引力定律」,如此不僅可解釋「克卜勒行星運動定律」,我們亦可藉此定律計算出物體的運動軌跡。同樣的,亞里士多德歸納出正確思想應該遵守的規則,而布爾用代數的方法解釋了正確思想的規則,我們便可藉著他的發現,計算出正確思想應得的結論。

布爾的觀念及符號就留在現今數學裡,因為他使用符號的方式來處理邏輯,我們也就有了「符號邏輯」這個名詞。現今邏輯界最重要的學會,即「符號邏輯協會」(The Association for Symbolic Logic),而它所出版的代表期刊即名為《符號邏輯期刊》(The Journal of Symbolic Logic)。當代對邏輯的研究主要來自數學、哲學與計算機領域,對布爾代數本身的研究亦極活躍,蒙克(Donald Monk)主編了共三冊的《布爾代數手冊》(Handbook of Boolean Algebras),從其中包含的多樣主題,即可見布爾在數學的影響之廣。

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現今一些較熱門的題目也和布爾邏輯有所關聯,例如,哲學界所研究的「非古典邏輯」,其研究的方式多為先將布爾代數用不同的公理表示,再將其中一些公理,基於哲學方面的考量加以弱化,如此可得如直觀邏輯(Intuitive Logic),模態邏輯(Modal Logic)等等不同的邏輯。

人工智慧

人工智慧則是一個常被討論的題目:機器能有智慧嗎?布爾告訴我們,機器藉由代數推導後,可得到正確的結論。在命題邏輯不考慮計算複雜度(computational complexity)的前提下,人所能做到的,機器都可做到。但在一階邏輯時,筆者認為由「哥德爾不完備定理」可知,機器所能做的無法跟人一樣,這也是潘洛斯(Roger Penrose)在《皇帝新腦》(Emperor’s New Mind)書中所用的論證,這仍是人工智慧學者一個爭論不休的問題。

乏晰邏輯

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乏晰邏輯(Fuzzy Logic)在工業界已有許多的應用,其特點是,一個命題的真假值可為一個介於0 與1 之間的實數p,亦可視為[0, p] 區間;而傳統邏輯下,一個命題的真假值限定為假與真,或布爾所用的0 與1 表示。

1960 年代, 邏輯學者逐漸發展出布爾值模型(booleanvalued model),其命題的真假值對應至一個布爾代數,並以此將柯亨(Paul J. Cohen, 1934~2007)的結果( 註) 給予一個相對簡潔的證明。此處須特別強調「無法證明是對的」和「錯的」其意義是不相同的。由布爾值模型後,又發展出布爾值分析(boolean-valued analysis),並由此得到數學上有意義的成果,乏晰邏輯可說是布爾值模型另一個有用的特例。

註:此結果得到數學最大獎菲爾茲獎,其敘述在使用一般通用的集合論公設時,無法證明選擇公設(Axiom of Choice)和連續統假說(Continuum Hypothesis)是對的。

量子邏輯

另一個著名的非古典邏輯為「量子邏輯」,由量子邏輯可衍伸出「量子計算機」。其使用量子演算法,可在多項式時間內做「因數分解」,這是一般計算機與圖靈機(Turing machine)至今仍無法得到的結果。但量子計算機與圖靈機所能計算的函數總體是相同的,量子計算機與現今使用的計算機相較,或許其計算複雜度有差別,但從可計算性(computability)來看,兩者並無不同。

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英國科學家潘洛斯,在物理、數學等領域有卓越貢獻。他曾撰寫過一系列探討人類意識與物理之間關係的書籍,如1989 年出版的《皇帝新腦》。Source: Festival della Scienza

綜合上述,我們可說現今邏輯與計算的發展,都是建立在布爾的基礎上,我們是沿著他給我們的方向繼續前進,而他的影響不僅遍及數學各領域,亦延伸至其他領域,如哲學、計算機科學、語言學等。

對真理的追求

我們不禁要問:為什麼布爾能有如此偉大的成就?當然他一定是個天才,但他的成就並非憑空而來,他也經過時間的醞釀,使他的思想日漸成熟。也由於這些成就,使他對符號的能力有更清楚的認識。他先前出版的《邏輯之數學分析》不僅不成熟也包含謬誤。在思考的過程中,他也曾面對失敗與挫折,但他不放棄,因此得以出版《思想法則之探討》。另外他勇氣過人,他敢思想「思想」,這個極端抽象卻又最根本的問題,大名鼎鼎的萊布尼茲嘗試過、努力過,但無特別的成果,而布爾不畏艱難,終於有所成。

最後,因布爾具有「對真理追求的真誠」(It is integrity in pursuit of the truth),在他寫給好友笛摩根的信中,他先說笛摩根具有這個特質,而他在這一點並不會輸給笛摩根,他甚至寫了下面的話:「我不認為任何人比我寫那本書時的心智,曾充滿更熱烈的渴望,僅為了要發現並說出真理,而不為其他。(I don’t think any man’s mind ever was imbued with a more earnest desire to find out the truth and say it and nothing else, than mine was while writing that book.)」就是這種真誠讓布爾發現了「思想」的法則,這個發現也改變了人類。

front本文選自《科學月刊》2015年11月號

延伸閱讀:
喬治.布爾─自學成大器的數學家
布爾與電腦

什麼?!你還不知道《科學月刊》,我們46歲囉!

入不惑之年還是可以當個科青

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科學月刊_96
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非營利性質的《科學月刊》創刊於1970年,自創刊以來始終致力於科學普及工作;我們相信,提供一份正確而完整的科學知識,就是回饋給讀者最好的品質保證。

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ECU: 汽車大腦的演化與挑戰
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/07/02 ・3793字 ・閱讀時間約 7 分鐘

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本文與 威力暘電子 合作,泛科學企劃執行。

想像一下,當你每天啟動汽車時,啟動的不再只是一台車,而是一百台電腦同步運作。但如果這些「電腦」突然集體當機,後果會有多嚴重?方向盤可能瞬間失靈,安全氣囊無法啟動,整台車就像失控的高科技廢鐵。這樣的「系統崩潰」風險並非誇張劇情,而是真實存在於你我日常的駕駛過程中。

今天,我們將深入探討汽車電子系統「逆天改運」的科學奧秘。究竟,汽車的「大腦」—電子控制單元(ECU),是如何從單一功能,暴增至上百個獨立系統?而全球頂尖的工程師們,又為何正傾盡全力,試圖將這些複雜的系統「砍掉重練」、整合優化?

第一顆「汽車大腦」的誕生

時間回到 1980 年代,當時的汽車工程師們面臨一項重要任務:如何把汽油引擎的每一滴燃油都壓榨出最大動力?「省油即省錢」是放諸四海皆準的道理。他們發現,關鍵其實潛藏在一個微小到幾乎難以察覺的瞬間:火星塞的點火時機,也就是「點火正時」。

如果能把點火的精準度控制在「兩毫秒」以內,這大約是你眨眼時間的百分之一到千分之一!引擎效率就能提升整整一成!這不僅意味著車子開起來更順暢,還能直接省下一成的油耗。那麼,要如何跨過這道門檻?答案就是:「電腦」的加入!

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工程師們引入了「微控制器」(Microcontroller),你可以把它想像成一顆專注於特定任務的迷你電腦晶片。它能即時讀取引擎轉速、進氣壓力、油門深度、甚至異常爆震等各種感測器的訊號。透過內建的演算法,在千分之一秒、甚至微秒等級的時間內,精準計算出最佳的點火角度,並立刻執行。

從此,引擎的性能表現大躍進,油耗也更漂亮。這正是汽車電子控制單元(ECU)的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)。

汽車電子控制單元的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)/ 圖片來源:shutterstock

ECU 的失控暴增與甜蜜的負荷

第一顆 ECU 的成功,在 1980 年代後期點燃了工程師們的想像:「這 ECU 這麼好用,其他地方是不是也能用?」於是,ECU 的應用範圍不再僅限於點火,燃油噴射量、怠速穩定性、變速箱換檔平順度、ABS 防鎖死煞車,甚至安全氣囊的引爆時機……各種功能都交給專屬的 ECU 負責 。

然而,問題來了:這麼多「小電腦」,它們之間該如何有效溝通?

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為了解決這個問題,1986 年,德國的博世(Bosch)公司推出了一項劃時代的發明:控制器區域網路(CAN Bus)。你可以將它想像成一條專為 ECU 打造的「神經網路」。各個 ECU 只需連接到這條共用的線路上,就能將訊息「廣播」給其他單元。

更重要的是,CAN Bus 還具備「優先通行」機制。例如,煞車指令或安全氣囊引爆訊號這類攸關人命的重要訊息,絕對能搶先通過,避免因資訊堵塞而延誤。儘管 CAN Bus 解決了 ECU 之間的溝通問題,但每顆 ECU 依然需要獨立的電源線、接地線,並連接各種感測器和致動器。結果就是,一輛汽車的電線總長度可能達到 2 到 4 公里,總重量更高達 50 到 60 公斤,等同於憑空多載了一位乘客的重量。

另一方面,大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。更別提這些密密麻麻的線束,簡直是設計師和維修技師的惡夢。要檢修這些電子故障,無疑讓人一個頭兩個大。

大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。/圖片來源:shutterstock

汽車電子革命:從「百腦亂舞」到集中治理

到了2010年代,汽車電子架構迎來一場大改革,「分區架構(Zonal Architecture)」搭配「中央高效能運算(HPC)」逐漸成為主流。簡單來說,這就像在車內建立「地方政府+中央政府」的管理系統。

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可以想像,整輛車被劃分為幾個大型區域,像是車頭、車尾、車身兩側與駕駛艙,就像數個「大都會」。每個區域控制單元(ZCU)就像「市政府」,負責收集該區所有的感測器訊號、初步處理與整合,並直接驅動該區的馬達、燈光等致動器。區域先自理,就不必大小事都等中央拍板。

而「中央政府」則由車用高效能運算平台(HPC)擔任,統籌負責更複雜的運算任務,例如先進駕駛輔助系統(ADAS)所需的環境感知、物體辨識,或是車載娛樂系統、導航功能,甚至是未來自動駕駛的決策,通通交由車輛正中央的這顆「超級大腦」執行。

乘著這波汽車電子架構的轉型浪潮中, 2008 年成立的台灣本土企業威力暘電子,便精準地切入了這個趨勢,致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台。他們專精於開發電子排檔、多功能方向盤等各式汽車電子控制模組。為了確保各部件之間的溝通順暢,威力暘提供的解決方案,就像是將好幾個「分區管理員」的職責,甚至一部分「超級大腦」的功能,都整合到一個更強大的硬體平台上。

這些模組不僅擁有強大的晶片運算能力,可同時支援 ADAS 與車載娛樂,還能兼容多種通訊協定,大幅簡化車內網路架構。如此一來,車廠在追求輕量化和高效率的同時,也能顧及穩定性與安全性。

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2008 年威力暘電子致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台 /圖片來源:shutterstock

萬無一失的「汽車大腦」:威力暘的四大策略

然而,「做出來」與「做好」之間,還是有差別。要如何確保這顆集結所有功能的「汽車大腦」不出錯?具體來說,威力暘電子憑藉以下四大策略,築起其產品的可靠性與安全性:

  1. AUTOSAR : 導入開放且標準化的汽車軟體架構 AUTOSAR。分為應用層、運行環境層(RTE)和基礎軟體層(BSW)。就像在玩「樂高積木」,ECU 開發者能靈活組合模組,專注在核心功能開發,從根本上提升軟體的穩定性和可靠性。
  2. V-Model 開發流程:這是一種強調嚴謹、能在早期發現錯誤的軟體開發流程。就像打勾 V 字形般,左側從上而下逐步執行,右側則由下而上層層檢驗,確保每個階段的安全要求都確實落實。
  3. 基於模型的設計 MBD(Model-Based Design) 威力暘的工程師們會利用 MatLab®/Simulink® 等工具,把整個 ECU 要控制的系統(如煞車),用數學模型搭建起來,然後在虛擬環境中進行大量的模擬和測試。這等於在實體 ECU 誕生前,就能在「數位雙生」世界中反覆演練、預先排除設計缺陷,,並驗證安全機制是否有效。
  4. Automotive SPICE (ASPICE) : ASPICE 是國際公認的汽車軟體「品質管理系統」,它不直接評估最終 ECU 產品本身的安全性,而是深入檢視團隊在軟體開發的「整個過程」,也就是「方法論」和「管理紀律」是否夠成熟、夠系統化,並只根據數據來評估品質。

既然 ECU 掌管了整輛車的運作,其能否正常運作,自然被視為最優先項目。為此,威力暘嚴格遵循汽車業中一本堪稱「安全聖經」的國際標準:ISO 26262。這套國際標準可視為一本針對汽車電子電氣系統(特別是 ECU)的「超嚴格品管手冊」和「開發流程指南」,從概念、設計、測試到生產和報廢,都詳細規範了每個安全要求和驗證方法,唯一目標就是把任何潛在風險降到最低

有了上述這四項策略,威力暘確保其產品從設計、生產到交付都符合嚴苛的安全標準,才能通過 ISO 26262 的嚴格檢驗。

然而,ECU 的演進並未就此停下腳步。當ECU 的數量開始精簡,「大腦」變得更集中、更強大後,汽車產業又迎來了新一波革命:「軟體定義汽車」(Software-Defined Vehicle, SDV)。

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軟體定義汽車 SDV:你的愛車也能「升級」!

未來的汽車,會越來越像你手中的智慧型手機。過去,車輛功能在出廠時幾乎就「定終身」,想升級?多半只能換車。但在軟體定義汽車(SDV)時代,汽車將搖身一變成為具備強大運算能力與高速網路連線的「行動伺服器」,能夠「二次覺醒」、不斷升級。透過 OTA(Over-the-Air)技術,車廠能像推送 App 更新一樣,遠端傳送新功能、性能優化或安全修補包到你的車上。

不過,這種美好願景也將帶來全新的挑戰:資安風險。當汽車連上網路,就等於向駭客敞開潛在的攻擊入口。如果車上的 ECU 或雲端伺服器被駭,輕則個資外洩,重則車輛被遠端鎖定或惡意操控。為了打造安全的 SDV,業界必須遵循像 ISO 21434 這樣的車用資安標準。

威力暘電子運用前面提到的四大核心策略,確保自家產品能符合從 ISO 26262 到 ISO 21434 的國際認證。從品質管理、軟體開發流程,到安全認證,這些努力,讓威力暘的模組擁有最高的網路與功能安全。他們的產品不僅展現「台灣智造」的彈性與創新,也擁有與國際大廠比肩的「車規級可靠度」。憑藉這些實力,威力暘已成功打進日本 YAMAHA、Toyota,以及歐美 ZF、Autoliv 等全球一線供應鏈,更成為 DENSO 在台灣少數核准的控制模組夥伴,以商用車熱系統專案成功打入日系核心供應鏈,並自 2025 年起與 DENSO 共同展開平台化量產,驗證其流程與品質。

毫無疑問,未來車輛將有更多運作交由電腦與 AI 判斷,交由電腦判斷,比交由人類駕駛還要安全的那一天,離我們不遠了。而人類的角色,將從操作者轉為監督者,負責在故障或斷網時擔任最後的保險。透過科技讓車子更聰明、更安全,人類甘願當一個「最弱兵器」,其實也不錯!

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通信三本柱:通信模型大解密
數感實驗室_96
・2024/06/30 ・654字 ・閱讀時間約 1 分鐘

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想像一下,你和朋友在咖啡廳聊天。這看似簡單的互動,其實包含一個基本的通信模型喔。你是傳輸端(transmitter),朋友是接收端(receiver),而環境中的其他聲音則構成了通道(channel)。這三者共同組成了基本的通信模型。在接下來的文章中,我們將深入探討這個模型的每一個部分,並了解它們如何影響我們日常的通信體驗。

以上就是數位通信系統的三大支柱:傳輸端、通道和接收端的簡單介紹。實際上,它們的功能遠不止於此,整個通信系統的複雜程度超乎想像。除了數位物理層的演算法和電路設計外,還涉及類比電路、網路層等不同面向,真的是一門博大精深的領域。

通信技術致力於解決全球數十億人每天遇到的實際問題。如果你對於挑戰高難度的數學、物理、演算法問題感興趣,這將是一個充滿寶藏的領域。成功解決這些挑戰,不僅具備巨大的商業價值,更能推動通信科技的進步,提升全人類的通信體驗。你是否已經躍躍欲試了呢?

更多、更完整的內容,歡迎上數感實驗室 Numeracy Lab 的 YouTube 頻道觀看完整影片,並開啟訂閱獲得更多有趣的資訊!

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數感實驗室_96
76 篇文章 ・ 50 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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替晶片打造數學工具的喬治.布爾(George Boole)
數感實驗室_96
・2024/06/01 ・561字 ・閱讀時間約 1 分鐘

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本文由 國立臺灣師範大學 委託,泛科學企劃執行。 

煮湯時看到調理包背面寫著「加水且加入鹽巴或味精,就大功告成了」。

這句話該怎麼解讀呢?邏輯思維好的人可能很快就能反應過來,意思是加水是必須的,鹽巴和味精至少要加一個。當然,兩者都加也行,但似乎不太健康。

你可能會說:「煮湯時誰會想那麼多?這太哲學了!」其實,19 世紀有位數學家將邏輯建立在數學而非哲學之上,他的貢獻深深影響了現代電腦的運算。他就是我們今天的主角——喬治.布爾(George Boole)。

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在工作會議中,清晰的邏輯思維能幫助我們有條理地表達觀點,並迅速理解他人的意見;程式設計中,邏輯是核心,透過布林代數和邏輯運算,電腦能根據條件執行不同的任務,在智慧家電中利用邏輯閘判斷多個輸入條件來控制輸出結果。

因此,布爾提出的這一套邏輯思維與布林代數,不僅在學術領域至關重要,更是日常生活中不可或缺的工具。

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數感實驗室_96
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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/