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布爾與邏輯--《科學月刊》

科學月刊_96
・2015/12/12 ・5223字 ・閱讀時間約 10 分鐘 ・SR值 560 ・八年級

董世平/中原大學應用數學系教授,美國伊利諾大學數學博士,專長數理邏輯,曾任符號邏輯協會東亞委員會委員九年。

布爾追尋真理的熱忱,導引他發現思想的法則。他以代數的手法將思想法則表現為後人所稱的布爾代數,不僅成為電腦硬體設計的基礎理論,更開創了數理邏輯學的深刻發展。

天上的星星,依照牛頓所發現的「萬有引力定律」而運動;而人的思想,也有它運作的法則嗎?1854年,布爾出版了他的著作《思想法則之探討》,在這本書中,布爾給了上述問題的答案:人的思想是有法則可循的。不僅如此,我們可用數學的方式來描述這些法則。這本書出版之時,能明瞭的人甚少,但這本書對人類影響之大,絕對是當時的人,甚至布爾本人都難以想像的。

理性是人行事的基礎,如巴斯卡(Blaise Pascal, 1623~1662)所說:「人是會思考的蘆葦。」我們也說:「物有本末,事有先後。知所先後,則近道矣。」雖然人人做事都有其背後的邏輯,但意識到邏輯本身,應是後來的事,正如人人都呼吸,但意識到呼吸,乃至知道空氣的存在,都是相當後來的事了。一個人沒學過邏輯,甚至沒聽過邏輯,並不表示這人做事沒有邏輯,或不需要邏輯。

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巴斯卡。 Source: shutterstock

邏輯學門的發展

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亞里士多德(左)與他的學生亞歷山大。Source: shutterstock

一般來說,把邏輯或理則學當作一門系統知識來學習,是從亞里士多德開始,故傳統邏輯被稱為亞里士多德邏輯,大家最熟悉的即所謂的「三段論」。

大前提:人會死
小前提:蘇格拉底是人
結論:蘇格拉底會死

當我們從所知或已知的事物而得到結論時,這個思考或邏輯過程,皆使用三段論。人會犯錯,也會犯邏輯的錯誤,有可能是前提錯,即他的認知就是錯的,但也常發生的是,推論的過程產生錯誤:

大前提:人會死
小前提:蘇格拉底死了
結論:蘇格拉底是人

我們也許會說這種錯誤太不應該了,但犯這種錯誤的人比比皆是,在報章雜誌及電視上不時可見這些錯誤的推論。因這些人的心態是先有結論,再為結論找理由,也難怪會犯這種錯誤。希望我們能如孟子所說:「淫辭知其所陷」,而不為其所陷。邏輯在希臘哲學時期的建立,也就是為了分辨辯士在辯論時,何者是講理,何者是狡辯,進而使個人能合理的思考,正確的判斷。

邏輯不僅在希臘發展,在同時期的中國亦現其蹤跡。春秋戰國時期的名家及墨家的論述中也都有「邏輯詭論」,或如莊子所說:「一尺之杖,日取其半,萬世不竭。」;在希臘有完全相同的說法,如「飛矢不動」,也與「阿基里斯詭論」有相通之處。但可惜的是,中國的邏輯後來未有系統性的發展,僅留下了「矛盾」這個有趣的典故:楚人有鬻盾與矛者,譽之曰:「吾盾之堅,物莫能陷之。」以譽其矛曰:「吾矛之利,於物無不陷也。」或曰:「以子之矛陷子之盾,何如?」其人弗能應也。夫不可陷之盾與無不陷之矛,不可同世而立。」─《韓非子》。

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邏輯數學化

人類用亞里士多德的方式學習邏輯,至今已2500 年了。然而,我們必須用「理性」,才能得到邏輯正確的結果嗎?唯有「理性」,才能知道「理」之「則」嗎?

布爾提出兩個突破性觀念:其一,用符號表示邏輯命題;其二,可用代數作符號運算。總體來說,我們可先用符號代表命題,用公理表示邏輯的規則,再以代數的方式運算。在運算的過程中,不需考慮符號本身及運算的意義,運算完畢,將符號再帶回原本的命題,即為邏輯正確的結果。至此,推論的過程完全被公式的運算取代,不僅大大增加處理命題的能力,完全避免人有意無意的錯誤,藉著公理的選擇,可發現命題之間的關聯,亦可清楚看見邏輯的本質,其好處不勝枚舉,更有許多後世才發現的益處。

布爾在他著作中未曾提出一套完整的公理系統,也因此現今我們有許多種不同的布爾代數系統,本文僅列出一個較簡潔的系統,我們藉此來討論布爾將邏輯符號化及代數化的意義。

在討論符號化的意義之前,我們先引用布爾在他1847年所出版《邏輯之數學分析》中所說的:「認識現今符號代數情形的人都明瞭,分析過程的正確性並非建立在對符號所用的解釋,而是在它們組合的定律上。」使用符號不僅為方便表示,亦使我們不再受限於特定的解釋,因此可擴展應用的範圍,也才有現今各樣的數位產品。

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我們藉由布爾曾用的交換律b+a=a+b 來說明。你可把ab視為兩個集合,+為聯集,=為集合相同;亦可把ab視為整數,+為加法,=為數字相等;亦可把ab視為命題,+視為邏輯連辭「或」,而=視為意義相等。在應用時我們固然需要對這些符號賦予特定的意義,但在推導性質時,我們只需按著他們組合的定律來做,如交換律,如此所得的性質可用在集合、數字或命題及其他可能的解釋上。

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對於邏輯的數學化,我們可用布爾所用的另一個例子來說明:

x2 = x xx2 = 0 → x(1-x)=0

這個過程相信是任何學過解方程式的人都明白的,當把0視為空集合,1視為包含所有個體的宇集(universalclass),1-x為包含所有不在集合x內個體的集合,x2=x 則意義為「具性質P 且具性質P 的集合,即為具性質P的集合」,因此布爾用上述的代數過程得到了古典邏輯中集合的「矛盾原則」,即不可能有一個集合同時具有性質P及性質非P,亞里士多德視矛盾原則為邏輯的基礎公理,但布爾則用數學方法顯示矛盾原則可由另一個看來更直觀的x2=x 公理所導出。

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邏輯的符號化及數學化並非始自布爾,有不少的先驅者,最著名的當是萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646~1716),較布爾早生了約170 年。萊布尼茲曾期望當兩個人辯論時,兩個人能坐下來說:「我們算一算。」也就是用數學方法來解決爭論。符號化及數學化的威力已為現今所認知,但這兩者也意謂著抽象化,離人的直觀與經驗越來越遠。這似乎為認識事物本質所必要的,我們亦見此於物理的發展。由布爾的成就我們亦可見,透過抽象化,我們可更清楚認識及了解「思想」這個原本極為抽象的概念。

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萊布尼茲。Source: shutterstock

范氏圖與真值表

邏輯在布爾之後有極迅速的發展,現今常用兩種工具:范氏圖及真值表。由前列布爾代數公理,我們可見「集合代數」是一個布爾代數。史東(Marshall H. Stone, 1903~1989)亦證明了任一布爾代數可用一「集合代數」表示。范氏圖即為我們常用來表示集合關係的一個視覺化工具,而視覺化表示亦為布爾使用符號所希望能達到的目標,使人有更直觀的認知,但使用視覺化工具須注意其侷限性。

范氏圖用圓表示集合,1、2、3個圓交疊後,分別可得2、4、8個區域,每一個區域代表每一個集合僅使用一次可得交集的情形,在3個圓交疊的情形下,區域2為,區域為。那4 個圓交疊可得幾個區域呢?我們也許會猜21=2、22=4、23=8、24=16,16個區域,但我們若認真的去畫,我們會發現最多只能畫出14個區域。

然而,4個集合實際上應該有16個區域,所以范氏圖無法表示n ≥ 4個集合所有可能的情形,用n個圓最多可畫出多少個不同的區域?這個例子告訴我們,用歸納法一開始所得的歸納結果有可能是錯的,有興趣的讀者可嘗試用歸納法得到正確的公式,再用數學歸納法證明公式是正確的。

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另一個有用的工具則是真值表。它用P、Q代表命題,∧(且)、∨(或)、¬(非)、→(若⋯,則)、→(若且唯若)、T(真)、F(假),我們有下列定義:

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我們可看見P → Q 和¬Q → ¬P 及¬P ∨ Q 對應的真假值完全一樣,即此三者為邏輯等價,當我們要證明「若P則Q」(P→ Q) 時, 我們證明「若Q為假,則P為假」(¬Q → ¬P),則「若P 則Q」得證,此即為「歸謬證法」或「矛盾證法」的本質,同理,若我們能證¬P ∨ Q 為真,我們亦證明了「若P 則Q」。

布爾之後的邏輯

邏輯非自布爾而始,亦非自布爾而終,但邏輯自布爾後,就再也不一樣了。我們也許可以如此比擬:克卜勒藉著對行星運動的觀察數據,以計算及歸納得到了「克卜勒行星運動定律」。牛頓依此發現了「萬有引力定律」,如此不僅可解釋「克卜勒行星運動定律」,我們亦可藉此定律計算出物體的運動軌跡。同樣的,亞里士多德歸納出正確思想應該遵守的規則,而布爾用代數的方法解釋了正確思想的規則,我們便可藉著他的發現,計算出正確思想應得的結論。

布爾的觀念及符號就留在現今數學裡,因為他使用符號的方式來處理邏輯,我們也就有了「符號邏輯」這個名詞。現今邏輯界最重要的學會,即「符號邏輯協會」(The Association for Symbolic Logic),而它所出版的代表期刊即名為《符號邏輯期刊》(The Journal of Symbolic Logic)。當代對邏輯的研究主要來自數學、哲學與計算機領域,對布爾代數本身的研究亦極活躍,蒙克(Donald Monk)主編了共三冊的《布爾代數手冊》(Handbook of Boolean Algebras),從其中包含的多樣主題,即可見布爾在數學的影響之廣。

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現今一些較熱門的題目也和布爾邏輯有所關聯,例如,哲學界所研究的「非古典邏輯」,其研究的方式多為先將布爾代數用不同的公理表示,再將其中一些公理,基於哲學方面的考量加以弱化,如此可得如直觀邏輯(Intuitive Logic),模態邏輯(Modal Logic)等等不同的邏輯。

人工智慧

人工智慧則是一個常被討論的題目:機器能有智慧嗎?布爾告訴我們,機器藉由代數推導後,可得到正確的結論。在命題邏輯不考慮計算複雜度(computational complexity)的前提下,人所能做到的,機器都可做到。但在一階邏輯時,筆者認為由「哥德爾不完備定理」可知,機器所能做的無法跟人一樣,這也是潘洛斯(Roger Penrose)在《皇帝新腦》(Emperor’s New Mind)書中所用的論證,這仍是人工智慧學者一個爭論不休的問題。

乏晰邏輯

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乏晰邏輯(Fuzzy Logic)在工業界已有許多的應用,其特點是,一個命題的真假值可為一個介於0 與1 之間的實數p,亦可視為[0, p] 區間;而傳統邏輯下,一個命題的真假值限定為假與真,或布爾所用的0 與1 表示。

1960 年代, 邏輯學者逐漸發展出布爾值模型(booleanvalued model),其命題的真假值對應至一個布爾代數,並以此將柯亨(Paul J. Cohen, 1934~2007)的結果( 註) 給予一個相對簡潔的證明。此處須特別強調「無法證明是對的」和「錯的」其意義是不相同的。由布爾值模型後,又發展出布爾值分析(boolean-valued analysis),並由此得到數學上有意義的成果,乏晰邏輯可說是布爾值模型另一個有用的特例。

註:此結果得到數學最大獎菲爾茲獎,其敘述在使用一般通用的集合論公設時,無法證明選擇公設(Axiom of Choice)和連續統假說(Continuum Hypothesis)是對的。

量子邏輯

另一個著名的非古典邏輯為「量子邏輯」,由量子邏輯可衍伸出「量子計算機」。其使用量子演算法,可在多項式時間內做「因數分解」,這是一般計算機與圖靈機(Turing machine)至今仍無法得到的結果。但量子計算機與圖靈機所能計算的函數總體是相同的,量子計算機與現今使用的計算機相較,或許其計算複雜度有差別,但從可計算性(computability)來看,兩者並無不同。

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英國科學家潘洛斯,在物理、數學等領域有卓越貢獻。他曾撰寫過一系列探討人類意識與物理之間關係的書籍,如1989 年出版的《皇帝新腦》。Source: Festival della Scienza

綜合上述,我們可說現今邏輯與計算的發展,都是建立在布爾的基礎上,我們是沿著他給我們的方向繼續前進,而他的影響不僅遍及數學各領域,亦延伸至其他領域,如哲學、計算機科學、語言學等。

對真理的追求

我們不禁要問:為什麼布爾能有如此偉大的成就?當然他一定是個天才,但他的成就並非憑空而來,他也經過時間的醞釀,使他的思想日漸成熟。也由於這些成就,使他對符號的能力有更清楚的認識。他先前出版的《邏輯之數學分析》不僅不成熟也包含謬誤。在思考的過程中,他也曾面對失敗與挫折,但他不放棄,因此得以出版《思想法則之探討》。另外他勇氣過人,他敢思想「思想」,這個極端抽象卻又最根本的問題,大名鼎鼎的萊布尼茲嘗試過、努力過,但無特別的成果,而布爾不畏艱難,終於有所成。

最後,因布爾具有「對真理追求的真誠」(It is integrity in pursuit of the truth),在他寫給好友笛摩根的信中,他先說笛摩根具有這個特質,而他在這一點並不會輸給笛摩根,他甚至寫了下面的話:「我不認為任何人比我寫那本書時的心智,曾充滿更熱烈的渴望,僅為了要發現並說出真理,而不為其他。(I don’t think any man’s mind ever was imbued with a more earnest desire to find out the truth and say it and nothing else, than mine was while writing that book.)」就是這種真誠讓布爾發現了「思想」的法則,這個發現也改變了人類。

front本文選自《科學月刊》2015年11月號

延伸閱讀:
喬治.布爾─自學成大器的數學家
布爾與電腦

什麼?!你還不知道《科學月刊》,我們46歲囉!

入不惑之年還是可以當個科青

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從認證到實踐:以智慧綠建築三大標章邁向淨零
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/11/15 ・4487字 ・閱讀時間約 9 分鐘

本文由 建研所 委託,泛科學企劃執行。 


當你走進一棟建築,是否能感受到它對環境的友善?或許不是每個人都意識到,但現今建築不只提供我們居住和工作的空間,更是肩負著重要的永續節能責任。

綠建築標準的誕生,正是為了應對全球氣候變遷與資源匱乏問題,確保建築設計能夠減少資源浪費、降低污染,同時提升我們的生活品質。然而,要成為綠建築並非易事,每一棟建築都需要通過層層關卡,才能獲得標章認證。

為推動環保永續的建築環境,政府自 1999 年起便陸續著手推動「綠建築標章」、「智慧建築標章」以及「綠建材標章」的相關政策。這些標章的設立,旨在透過標準化的建築評估系統,鼓勵建築設計融入生態友善、能源高效及健康安全的原則。並且政府在政策推動時,為鼓勵業界在規劃設計階段即導入綠建築手法,自 2003 年特別辦理優良綠建築作品評選活動。截至 2024 年為止,已有 130 件優良綠建築、31 件優良智慧建築得獎作品,涵蓋學校、醫療機構、公共住宅等各類型建築,不僅提升建築物的整體性能,也彰顯了政府對綠色、智慧建築的重視。

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說這麼多,你可能還不明白建築要變「綠」、變「聰明」的過程,要經歷哪些標準與挑戰?

綠建築標章智慧建築標章綠建材標章
來源:內政部建築研究所

第一招:依循 EEWH 標準,打造綠建築典範

環境友善和高效率運用資源,是綠建築(green building)的核心理念,但這樣的概念不僅限於外觀或用材這麼簡單,而是涵蓋建築物的整個生命週期,也就是包括規劃、設計、施工、營運和維護階段在內,都要貼合綠建築的價值。

關於綠建築的標準,讓我們先回到 1990 年,當時英國建築研究機構(BRE)首次發布有關「建築研究發展環境評估工具(Building Research Establishment Environmental Assessment Method,BREEAM®)」,是世界上第一個建築永續評估方法。美國則在綠建築委員會成立後,於 1998 年推出「能源與環境設計領導認證」(Leadership in Energy and Environmental Design, LEED)這套評估系統,加速推動了全球綠建築行動。

臺灣在綠建築的制訂上不落人後。由於臺灣地處亞熱帶,氣溫高,濕度也高,得要有一套我們自己的評分規則——臺灣綠建築評估系統「EEWH」應運而生,四個英文字母分別為 Ecology(生態)、Energy saving(節能)、Waste reduction(減廢)以及 Health(健康),分成「合格、銅、銀、黃金和鑽石」共五個等級,設有九大評估指標。

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我們就以「台江國家公園」為例,看它如何躍過一道道指標,成為「鑽石級」綠建築的國家公園!

位於臺南市四草大橋旁的「台江國家公園」是臺灣第8座國家公園,也是臺灣唯一的濕地型的國家公園。同時,還是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築,其外觀採白色系列,從高空俯瞰,就像在一座小島上座落了許多白色建築群的聚落;從地面看則有臺南鹽山的意象。

因其地形與地理位置的特殊,生物多樣性的保護則成了台江國家公園的首要考量。園區利用既有的魚塭結構,設計自然護岸,保留基地既有的雜木林和灌木草原,並種植原生與誘鳥誘蟲等多樣性植物,採用複層雜生混種綠化。以石籠作為擋土護坡與卵石回填增加了多孔隙,不僅強化了環境的保護力,也提供多樣的生物棲息環境,使這裡成為動植物共生的美好棲地。

台江國家公園是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築。圖/內政部建築研究所

第二招:想成綠建築,必用綠建材

要成為一幢優秀好棒棒的綠建築,使用在原料取得、產品製造、應用過程和使用後的再生利用循環中,對地球環境負荷最小、對人類身體健康無害的「綠建材」非常重要。

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這種建材最早是在 1988 年國際材料科學研究會上被提出,一路到今日,國際間對此一概念的共識主要包括再使用(reuse)、再循環(recycle)、廢棄物減量(reduce)和低污染(low emission materials)等特性,從而減少化學合成材料產生的生態負荷和能源消耗。同時,使用自然材料與低 VOC(Volatile Organic Compounds,揮發性有機化合物)建材,亦可避免對人體產生危害。

在綠建築標章後,內政部建築研究所也於 2004 年 7 月正式推行綠建材標章制度,以建材生命週期為主軸,提出「健康、生態、高性能、再生」四大方向。舉例來說,為確保室內環境品質,建材必須符合低逸散、低污染、低臭氣等條件;為了防溫室效應的影響,須使用本土材料以節省資源和能源;使用高性能與再生建材,不僅要經久耐用、具高度隔熱和防音等特性,也強調材料本身的再利用性。


在台江國家公園內,綠建材的應用是其獲得 EEWH 認證的重要部分。其不僅在設計結構上體現了生態理念,更在材料選擇上延續了對環境的關懷。園區步道以當地的蚵殼磚鋪設,並利用蚵殼作為建築格柵的填充材料,為鳥類和小生物營造棲息空間,讓「蚵殼磚」不再只是建材,而是與自然共生的橋樑。園區的內部裝修選用礦纖維天花板、矽酸鈣板、企口鋁板等符合綠建材標準的系統天花。牆面則粉刷乳膠漆,整體綠建材使用率為 52.8%。

被建築實體圍塑出的中庭廣場,牆面設計有蚵殼格柵。圖/內政部建築研究所

在日常節能方面,台江國家公園也做了相當細緻的設計。例如,引入樓板下的水面蒸散低溫外氣,屋頂下設置通風空氣層,高處設置排風窗讓熱空氣迅速排出,廊道還配備自動控制的微噴霧系統來降溫。屋頂採用蚵殼與漂流木創造生態棲地,創造空氣層及通風窗引入水面低溫外企,如此一來就能改善事內外氣溫及熱空氣的通風對流,不僅提升了隔熱效果,減少空調需求,讓建築如同「與海共舞」,在減廢與健康方面皆表現優異,展示出綠建築在地化的無限可能。

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島式建築群分割後所形成的巷道與水道。圖/內政部建築研究所

在綠建材的部分,另外補充獲選為 2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學新建工程,其採用生產過程中二氧化碳排放量較低的建材,比方提高高爐水泥(具高強度、耐久、緻密等特性,重點是發熱量低)的量,並使用能提高混凝土晚期抗壓性、降低混凝土成本與建物碳足跡的「爐石粉」,還用再生透水磚做人行道鋪面。

2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學。圖/內政部建築研究所
2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學。圖/內政部建築研究所

同樣入選 2023 年綠建築的還有雲林豐泰文教基金會的綠園區,首先,他們捨棄金屬建材,讓高爐水泥使用率達 100%。別具心意的是,他們也將施工開挖的土方做回填,將有高地差的荒地恢復成平坦綠地,本來還有點「工業風」的房舍告別荒蕪,無痛轉綠。

雲林豐泰文教基金會的綠園區。圖/內政部建築研究所

等等,這樣看來建築夠不夠綠的命運,似乎在建材選擇跟設計環節就決定了,是這樣嗎?當然不是,建築是活的,需要持續管理–有智慧的管理。

第三招:智慧管理與科技應用

我們對生態的友善性與資源運用的效率,除了從建築設計與建材的使用等角度介入,也須適度融入「智慧建築」(intelligent buildings)的概念,即運用資通訊科技來提升建築物效能、舒適度與安全性,使空間更人性化。像是透過建築物佈建感測器,用於蒐集環境資料和使用行為,並作為空調、照明等設備、設施運轉操作之重要參考。

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為了推動建築與資通訊產業的整合,內政部建築研究所於 2004 年建立了「智慧建築標章」制度,為消費者提供判斷建築物是否善用資通訊感知技術的標準。評估指標經多次修訂,目前是以「基礎設施、維運管理、安全防災、節能管理、健康舒適、智慧創新」等六大項指標作為評估基準。
以節能管理指標為例,為了掌握建築物生命週期中的能耗,需透過系統設備和技術的主動控制來達成低耗與節能的目標,評估重點包含設備效率、節能技術和能源管理三大面向。在健康舒適方面,則在空間整體環境、光環境、溫熱環境、空氣品質、水資源等物理環境,以及健康管理系統和便利服務上進行評估。

樹林藝文綜合大樓在設計與施工過程中,充分展現智慧建築應用綜合佈線、資訊通信、系統整合、設施管理、安全防災、節能管理、健康舒適及智慧創新 8 大指標先進技術,來達成兼顧環保和永續發展的理念,也是利用建築資訊模型(BIM)技術打造的指標性建築,受到國際矚目。

樹林藝文綜合大樓。圖/內政部建築研究所「111年優良智慧建築專輯」(新北市政府提供)

在興建階段,為了保留基地內 4 棵原有老樹,團隊透過測量儀器對老樹外觀進行精細掃描,並將大小等比例匯入 BIM 模型中,讓建築師能清晰掌握樹木與建築物之間的距離,確保施工過程不影響樹木健康。此外,在大樓啟用後,BIM 技術被運用於「電子維護管理系統」,透過 3D 建築資訊模型,提供大樓內設備位置及履歷資料的即時讀取。系統可進行設備的監測和維護,包括保養計畫、異常修繕及耗材管理,讓整棟大樓的全生命週期狀況都能得到妥善管理。

智慧建築導入 BIM 技術的應用,從建造設計擴展至施工和日常管理,使建築生命周期的管理更加智慧化。以 FM 系統 ( Facility Management,簡稱 FM ) 為例,該系統可在雲端進行遠端控制,根據會議室的使用時段靈活調節空調風門,會議期間開啟通往會議室的風門以加強換氣,而非使用時段則可根據二氧化碳濃度調整外氣空調箱的運轉頻率,保持低頻運作,實現節能效果。透過智慧管理提升了節能效益、建築物的維護效率和公共安全管理。

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總結

綠建築、綠建材與智慧建築這三大標章共同構建了邁向淨零碳排、居住健康和環境永續的基礎。綠建築標章強調設計與施工的生態友善與節能表現,從源頭減少碳足跡;綠建材標章則確保建材從生產到廢棄的全生命週期中對環境影響最小,並保障居民的健康;智慧建築標章運用科技應用,實現能源的高效管理和室內環境的精準調控,增強了居住的舒適性與安全性。這些標章的綜合應用,讓建築不僅是滿足基本居住需求,更成為實現淨零、促進健康和支持永續的具體實踐。

建築物於魚塭之上,採高腳屋的構造形式,尊重自然地貌。圖/內政部建築研究所

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通信三本柱:通信模型大解密
數感實驗室_96
・2024/06/30 ・654字 ・閱讀時間約 1 分鐘

想像一下,你和朋友在咖啡廳聊天。這看似簡單的互動,其實包含一個基本的通信模型喔。你是傳輸端(transmitter),朋友是接收端(receiver),而環境中的其他聲音則構成了通道(channel)。這三者共同組成了基本的通信模型。在接下來的文章中,我們將深入探討這個模型的每一個部分,並了解它們如何影響我們日常的通信體驗。

以上就是數位通信系統的三大支柱:傳輸端、通道和接收端的簡單介紹。實際上,它們的功能遠不止於此,整個通信系統的複雜程度超乎想像。除了數位物理層的演算法和電路設計外,還涉及類比電路、網路層等不同面向,真的是一門博大精深的領域。

通信技術致力於解決全球數十億人每天遇到的實際問題。如果你對於挑戰高難度的數學、物理、演算法問題感興趣,這將是一個充滿寶藏的領域。成功解決這些挑戰,不僅具備巨大的商業價值,更能推動通信科技的進步,提升全人類的通信體驗。你是否已經躍躍欲試了呢?

更多、更完整的內容,歡迎上數感實驗室 Numeracy Lab 的 YouTube 頻道觀看完整影片,並開啟訂閱獲得更多有趣的資訊!

參考資料

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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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替晶片打造數學工具的喬治.布爾(George Boole)
數感實驗室_96
・2024/06/01 ・561字 ・閱讀時間約 1 分鐘

本文由 國立臺灣師範大學 委託,泛科學企劃執行。 

煮湯時看到調理包背面寫著「加水且加入鹽巴或味精,就大功告成了」。

這句話該怎麼解讀呢?邏輯思維好的人可能很快就能反應過來,意思是加水是必須的,鹽巴和味精至少要加一個。當然,兩者都加也行,但似乎不太健康。

你可能會說:「煮湯時誰會想那麼多?這太哲學了!」其實,19 世紀有位數學家將邏輯建立在數學而非哲學之上,他的貢獻深深影響了現代電腦的運算。他就是我們今天的主角——喬治.布爾(George Boole)。

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在工作會議中,清晰的邏輯思維能幫助我們有條理地表達觀點,並迅速理解他人的意見;程式設計中,邏輯是核心,透過布林代數和邏輯運算,電腦能根據條件執行不同的任務,在智慧家電中利用邏輯閘判斷多個輸入條件來控制輸出結果。

因此,布爾提出的這一套邏輯思維與布林代數,不僅在學術領域至關重要,更是日常生活中不可或缺的工具。

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