「走向公車站，一班公車就這麼湊巧的停在不遠處；輕輕的小跑步踏上公車的台階，臉上多了一抹微笑：這就是趕上公車的小確幸。」

這是一個搭公車上班、上學的人們都希望的早晨劇本。但很難事事盡如人意：有時候公車早來，有時候公車晚到。所以，在這段平淡的等車過程中，我們到底快不快樂呢？讓數學來告訴你！

（編按：注意喔！以下是關於數學的推論，並非心理學研究。）

首先，讓我們先研究一下跑步/走路到公車站的效益吧！假設等公車的人沒有通天眼也沒有使用APP，他沒有接收任何資訊，公車來的時間是亂數，那任何時刻到達站牌等公車所花費時間的期望值都是一樣的：也就是說，用跑的到公車站並不會對等待時間有所幫助。

譬如說，公車平均10分鐘來一班，那等公車時間的期望值就是5分鐘，不會因到達車站的方式而有所不同；然而，跑步到公車站卻會改變到達目的地的時刻的期望值，例如說9:00 AM從家裡出發，用走的到車站搭車到達學校的平均時刻是10:00 AM，那跑步到公車站，如果減少了5分鐘的時間，則平均到達學校的時刻縮短為9:55 AM。因此我們知道，如果不趕時間，跑步到公車站是沒有效益的，因為還要投資體力，可是若是考慮用跑的趕上一班公車和用走的錯過一班公車的額外心理層面獲得與損失，那或許跑步的效益會較高。

接著，想跟大家討論的主題是等公車「預期心態」的開心程度。正如開頭所說的，公車有時候來得很快，會覺得很開心，有時候等得很久，覺得不是很高興；所以平均來說，等公車到底是開心還是不開心呢？下面用筆者自身等公車的感受（一般大眾的生活經驗），來探討等公車到底開不開心。

想像一個人在公車站，公車是十分鐘來一班，這個人沒有任何關於車子時刻的資訊。那麼，等車時間的機率是從0~10分鐘均勻的分佈，且等車期望值是5分鐘。然而，開心程度卻不是相等的！想像一到站公車就來了，等了0分鐘，那會覺得超級幸運，非常開心；若是等了10 分鐘公車才來，會覺得「喔，也還好，反正公車本來就是10分鐘一班」。

所以可以推論，開心程度和等公車所花費時間的關係是一個「負斜率」但是「斜率遞增」的曲線。另外，由於等車的期望值為5分鐘，我們可以合理的把5分鐘的開心程度設成0。下圖為一可能的曲線圖形（注意斜率遞增和x=5時y=0） (*註一)

有了快樂曲線就可以計算平均快樂指數了！由於機率是均勻分布的，所以平均的快樂程度是積分圖中的曲線的面積（再乘上一個常數進行normalization） (*註二)。如果我們仔細觀察此函數圖形，會發現在0以上（正面的快樂）的面積會大於0以下（負面的快樂，為不開心）的面積。從數學代數上來說，一個斜率為正，且0位在積分區間的正中間的圖形，積分值確實為正。

結論：當我們從事「等公車活動」時，從預期心態上可以得到正面的回饋。也就是說，等公車可以為我們帶來快樂。如果類推到所有事情，結論就是，這是一個美好的世界。

「 等等，可是這個世界明明就沒有這麼美好啊！」想必大家都想這麼吐槽。別急著關網頁，讓我娓娓道來。

上面的推導過程是假設，公車公司跟我們說10分鐘會有一班車，我們也預期車班間隔是10分鐘，而也因此我們真的沒有等超過10分鐘的公車。那如果超過10分鐘公車還不來呢？假如等了11分鐘會發生什麼事呢？

我們可以想像，假如等車時間超過10分鐘，那我們就會開始不爽，因為明明公車公司告訴我們10分鐘會來一班車，但是卻超過了。這時候快樂指數或許就會快速的下降。因此，在10 分鐘的地方會有一個反曲點（inflection point），斜率的成長開始變成負的。整個快樂指數的圖形會變成：

這個時候，若是積分曲線，而機率分佈仍舊為均勻分布的話，就很有可能會得到負值，此時等公車就成了不開心的活動了（當考慮公車晚到時，機率分佈合理推論也應不為均勻分布，因此須考慮較為實際的機率分佈函數）。

討論：從上面我們可以知道，如果事情不如預期，公車公司跟我們說公車班距為10分鐘但是超過十分鐘還不來，平均來說，就會產生不快樂的等公車預期心態。

然而，為什麼公車會超過10分鐘還不來呢？兩個很可能的原因: (1) 公車司機或是公司業務上的疏失 (2) 路上交通狀況差。如果類推到世界上的所有事情，我們可以學到：世界上的不快樂是來自於 (1) 人為疏失 (2) 世界的不完美（突然湧入的大量車輛為一非平衡狀態，因此塞車即表示消除非平衡狀態的速度不夠快）。因此，要達成一個美好的世界的方法為： (1) 認真盡責 (2) 用持續進步的科技消除世界的不完美。

後述：在這篇文章中，我們只單純的討論「預期心態」有可能產生的快樂與不快樂。或許有讀者讀完之後會說，「不對呀，不管等幾分鐘的公車我都不高興」，這些不高興的成分不是來自於預期心態，而是或許：公車站環境不舒適、快遲到了心中焦慮…等等因素。若是考慮環境和其他因素則會相當複雜，但是仍然適用結論，即為，我們可以藉由提升認真負責的態度，以及藉由進步的科技，消除所有不高興的因子。

• 註一： y= -tan[(x-10)*3。14/20] -1
• 註二：實際上平均的快樂應為 積分 （機率＊快樂），而機率為一機率密度函數（probability density function， PDF）。由於機率在0~10中均勻分布，因此其值為1/10。因此，此積分可簡化為快樂函數的積分再乘以1/10。

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本文轉載自 CASE 科學報《你一年的碳排放量，要用幾棵樹來抵？單木材積及固碳量計算》

氣候變遷是近年最受重視的議題之一，十九世紀以來，由於工業化的開展，人類製造的二氧化碳量年年攀升，造成地球氣候的劇烈改變。你知道你一年當中，上廁所、煮飯，上網搜尋資料，還有雙十一和黑色星期五的網購和外送，以及其他所有日常行為，共排放多少二氧化碳嗎？

根據行政院環保署的報告，2019 年台灣每人每年平均排放二氧化碳當量約為 10.96 公噸／人^[1]。十公噸大約等於一台大卡車的重量，聽起來相當驚悚，不過，你有沒有想過，要種多少棵樹，才能抵銷你排放的二氧化碳業障呢？

計算一棵樹的材積量

將碳排放量換算成樹木材積，並不是一件太難的事情，但需要一些計算步驟。你可能會覺得，一棵樹的材積量有什麼難的？阿不就一根長長圓柱體，底面積乘上樹高就打完收工了。

如果抱著這樣的想法，那就大錯特錯了！因為樹幹不是圓柱體，而是類似圓錐的形狀，並且可以切分成轆轤體、圓柱體、拋物線體和圓錐體四個部分計算（圖 1），如果用圓柱體計算，會出現很大的誤差！

為了盡可能計算出正確的材積，林業領域有一套特定的計算方式。根據行政院農業委員會辦理國有林林產物處分作業要點，材積式的公式如下：

立木材積＝（胸高直徑）²×0.79×樹高×形數

上面的算式中，胸高直徑、樹高為測量值，0.79為固定數，而形數指的是「立木材積形態常數」，下面用更白話的方式說明專有名詞所代表的涵意。

• 胸高直徑（DBH , diameter at breast height，後簡稱胸徑）是林木測量時，最重要的測量值，它不但與樹幹材積的關係相關，且測量容易、誤差也較少，因此是調查時相當重要的一項參數。顧名思義，胸高直徑指的是人類站立時，胸高位置處，該處樹圍的直徑長，臺灣胸高直徑位置，指的是距離地面 1.3 公尺處，與歐洲各國相同。

• 樹高，很直觀，就是樹的高度。測量樹高的方式不少，有直接測量、三角測量法等，雖然觀念簡單，但實際上測量作業卻相當不容易，一棵樹動輒十幾公尺，知名的【撞到月亮的樹】台灣杉（Taiwania cryptomerioides），甚至可以高達 70 公尺。因此，測量樹高遠比測量胸徑要花更多時間和力氣^[2]。

• 立木材積形態常數，是考慮前述樹幹並非圓柱體的狀態，將計算值乘以此常數，使材積數值趨近於真實的情況。形數可藉由查閱「臺灣林產處分調查用立木材積表」（簡稱立木材積表）得知，若想要測量的樹種類形並沒有列在立木材積表上，則形數以 0.45 計算。

現在，假設我們要測量路邊一棵行道樹的材積，我們需要先測量它的胸徑、樹高。一棵胸徑 47 公分，樹高 11.01 公尺的行道樹^[3]，材積為：

(0.47)²×0.79×11.01×0.45≒0.8646(m³)

也就是說，這棵行道樹的材積量為 0.8646 立方公尺。^[4]

如何換算碳儲存量？

一棵活生生的樹木跟人一樣，含有許多水分，且並非通通由碳所構成，所以單位材積同樣要經過換算，才能知道這棵樹到底含有多少公斤的碳。材積換算成固碳量的算式如下：

固碳能力 = 材積×絕乾比重×碳含量比例

絕乾比重，指的是木材經過烘乾，水分完全蒸發後，剩下的重量比例，而碳量百分比代表絕乾狀態的木材中，所含有碳的比例。如果要從頭算起，需要花不少的時間，不過這裡提到的兩個數據，都有現成的文獻可以參考（表 1）^[5]。

因此，假設剛剛我們量的那棵行道樹為樟樹（Cinnamomum camphora），那麼，絕乾比重為 0.37，含碳量為 47％，那麼，這棵樹所含的碳重為：

0.8646×0.37×0.47 ≒ 0.150(t) = 150(kg)

也就是說，今天路邊一棵胸徑 47 公分，樹高 11 公尺左右的樟樹，它的固碳量僅有 150 公斤（而已）。

答案揭曉啦！

到這邊，你每年燒掉的樹木數量，已經呼之欲出了，1 公斤的碳，完全燃燒後約會產生 3.67 公斤的二氧化碳^[6]，讓我們繼續沿用那棵樟樹的數據，一棵樹可以儲存 150 公斤的碳量，則燃燒一棵樹，可以產生 550.5 公斤的二氧化碳。

一開始提到，台灣人每年平均排放 10.96 公噸的二氧化碳，因此：

10.96×1000÷550.5≒19.91（棵）

也就是說，你一年的碳排放量，大約等於燒掉 20 棵一個人無法合抱的大樟樹。當然，環保署的報告是將全台灣工業、製造業排放量都一起平均，對於小老百姓來說，可能有點不公平，不過不可否認，這樣的數字仍然很驚人。

一棵樹能長成大樹，需要花很多的時間，相當不容易，所以，還是不免俗的呼籲大家，減少垃圾排放，落實永續生活，並且，有機會就多種樹，對地球、環境來說，才是更友善的做法！

註解

1. 行政院環境保護署（2001）我國國家溫室氣體排放清冊報告。
2. 外業調查中，因為逐棵測量樹高過於花費時間和人力成本，所以會使用胸徑與樹高間的換算公式，讓測量人員只要量胸徑，就可以推斷出樹的高度，此函式即稱為樹高曲線式。樹高曲線式的函式不只一種，藉由量測樣區內樣木的胸徑及樹高資料，配適（fit）若干個樹高曲線式，再用其他樣區的資料，找出預測表現最好的樹高曲線式，接下來的調查，就可用胸徑量測值推估樹高。
3. 此數值參照台北市行道路燈資訊網，樹籍編碼 DA0070211149 之行道樹。https://geopkl.gov.taipei/
4. 算式中的胸徑單位為公尺（0.47 公尺 = 47 公分）
5. 林裕仁（1998）森林減碳能力之推算方法。《農政與農情》第 193 期。https://www.coa.gov.tw/ws.php?id=17871&print=Y
6. 1 莫耳的純碳重量為 12 克，1 莫耳的二氧化碳重量為 44 克，比例為 44÷12≒3.67

參考文獻：

1. 中華民國國家溫室氣體排放清冊報告
2. 中興大學森林系空間資訊研究室彙編講義－林木測計學 第五章 立木測計
3. 行政院農業委員會辦理國有林林產物處分作業要點
4. 森林減碳能力之推算方法
5. 攀上70公尺高「撞到月亮的樹」 澳洲團隊首度為台灣杉攝下「等身照」——環境資訊中心
6. 臺灣物種名錄

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