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那噠噠的馬蹄不是我等的公車:等公車的快樂數學

黃誠熙(Sky Huang)
・2015/06/23 ・2089字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 520 ・七年級
相關標籤: 等公車 (1)

source:wiki
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「走向公車站,一班公車就這麼湊巧的停在不遠處;輕輕的小跑步踏上公車的台階,臉上多了一抹微笑:這就是趕上公車的小確幸。」

這是一個搭公車上班、上學的人們都希望的早晨劇本。但很難事事盡如人意:有時候公車早來,有時候公車晚到。所以,在這段平淡的等車過程中,我們到底快不快樂呢?讓數學來告訴你!

(編按:注意喔!以下是關於數學的推論,並非心理學研究。)

首先,讓我們先研究一下跑步/走路到公車站的效益吧!假設等公車的人沒有通天眼也沒有使用APP,他沒有接收任何資訊,公車來的時間是亂數,那任何時刻到達站牌等公車所花費時間的期望值都是一樣的:也就是說,用跑的到公車站並不會對等待時間有所幫助。

譬如說,公車平均10分鐘來一班,那等公車時間的期望值就是5分鐘,不會因到達車站的方式而有所不同;然而,跑步到公車站卻會改變到達目的地的時刻的期望值,例如說9:00 AM從家裡出發,用走的到車站搭車到達學校的平均時刻是10:00 AM,那跑步到公車站,如果減少了5分鐘的時間,則平均到達學校的時刻縮短為9:55 AM。因此我們知道,如果不趕時間,跑步到公車站是沒有效益的,因為還要投資體力,可是若是考慮用跑的趕上一班公車和用走的錯過一班公車的額外心理層面獲得與損失,那或許跑步的效益會較高。

接著,想跟大家討論的主題是等公車「預期心態」的開心程度。正如開頭所說的,公車有時候來得很快,會覺得很開心,有時候等得很久,覺得不是很高興;所以平均來說,等公車到底是開心還是不開心呢?下面用筆者自身等公車的感受(一般大眾的生活經驗),來探討等公車到底開不開心。

想像一個人在公車站,公車是十分鐘來一班,這個人沒有任何關於車子時刻的資訊。那麼,等車時間的機率是從0~10分鐘均勻的分佈,且等車期望值是5分鐘。然而,開心程度卻不是相等的!想像一到站公車就來了,等了0分鐘,那會覺得超級幸運,非常開心;若是等了10 分鐘公車才來,會覺得「喔,也還好,反正公車本來就是10分鐘一班」。

所以可以推論,開心程度和等公車所花費時間的關係是一個「負斜率」但是「斜率遞增」的曲線。另外,由於等車的期望值為5分鐘,我們可以合理的把5分鐘的開心程度設成0。下圖為一可能的曲線圖形(注意斜率遞增和x=5時y=0) (*註一)

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有了快樂曲線就可以計算平均快樂指數了!由於機率是均勻分布的,所以平均的快樂程度是積分圖中的曲線的面積(再乘上一個常數進行normalization) (*註二)。如果我們仔細觀察此函數圖形,會發現在0以上(正面的快樂)的面積會大於0以下(負面的快樂,為不開心)的面積。從數學代數上來說,一個斜率為正,且0位在積分區間的正中間的圖形,積分值確實為正。

結論:當我們從事「等公車活動」時,從預期心態上可以得到正面的回饋。也就是說,等公車可以為我們帶來快樂。如果類推到所有事情,結論就是,這是一個美好的世界。

「 等等,可是這個世界明明就沒有這麼美好啊!」想必大家都想這麼吐槽。別急著關網頁,讓我娓娓道來。

上面的推導過程是假設,公車公司跟我們說10分鐘會有一班車,我們也預期車班間隔是10分鐘,而也因此我們真的沒有等超過10分鐘的公車。那如果超過10分鐘公車還不來呢?假如等了11分鐘會發生什麼事呢?

我們可以想像,假如等車時間超過10分鐘,那我們就會開始不爽,因為明明公車公司告訴我們10分鐘會來一班車,但是卻超過了。這時候快樂指數或許就會快速的下降。因此,在10 分鐘的地方會有一個反曲點(inflection point),斜率的成長開始變成負的。整個快樂指數的圖形會變成:

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這個時候,若是積分曲線,而機率分佈仍舊為均勻分布的話,就很有可能會得到負值,此時等公車就成了不開心的活動了(當考慮公車晚到時,機率分佈合理推論也應不為均勻分布,因此須考慮較為實際的機率分佈函數)。

討論:從上面我們可以知道如果事情不如預期,公車公司跟我們說公車班距為10分鐘但是超過十分鐘還不來,平均來說就會產生不快樂的等公車預期心態。

然而,為什麼公車會超過10分鐘還不來呢?兩個很可能的原因: (1) 公車司機或是公司業務上的疏失 (2) 路上交通狀況差。如果類推到世界上的所有事情,我們可以學到:世界上的不快樂是來自於 (1) 人為疏失 (2) 世界的不完美(突然湧入的大量車輛為一非平衡狀態,因此塞車即表示消除非平衡狀態的速度不夠快)。因此,要達成一個美好的世界的方法為: (1) 認真盡責 (2) 用持續進步的科技消除世界的不完美。

後述:在這篇文章中,我們只單純的討論「預期心態」有可能產生的快樂與不快樂。或許有讀者讀完之後會說,「不對呀,不管等幾分鐘的公車我都不高興」,這些不高興的成分不是來自於預期心態,而是或許:公車站環境不舒適、快遲到了心中焦慮…等等因素。若是考慮環境和其他因素則會相當複雜,但是仍然適用結論,即為,我們可以藉由提升認真負責的態度,以及藉由進步的科技,消除所有不高興的因子。

  • 註一: y= -tan[(x-10)*3。14/20] -1
  • 註二:實際上平均的快樂應為 積分 (機率*快樂),而機率為一機率密度函數(probability density function, PDF)。由於機率在0~10中均勻分布,因此其值為1/10。因此,此積分可簡化為快樂函數的積分再乘以1/10。
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黃誠熙(Sky Huang)
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黃誠熙(Sky Huang), 目前為UCLA博士候選人。

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用這劑補好新冠預防保護力!免疫功能低下病患防疫新解方—長效型單株抗體適用於「免疫低下族群預防」及「高風險族群輕症治療」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2023/01/19 ・2882字 ・閱讀時間約 6 分鐘

本文由 台灣感染症醫學會 合作,泛科學企劃執行。

  • 審稿醫生/ 台灣感染症醫學會理事長 王復德

「好想飛出國~」這句話在長達近 3 年的「鎖國」後終於實現,然而隨著各國陸續解封、確診消息頻傳,讓民眾再度興起可能染疫的恐慌,特別是一群本身自體免疫力就比正常人差的病友。

全球約有 2% 的免疫功能低下病友,包括血癌、接受化放療、器官移植、接受免疫抑制劑治療、HIV 及先天性免疫不全的患者…等,由於自身免疫問題,即便施打新冠疫苗,所產生的抗體和保護力仍比一般人低。即使施打疫苗,這群病人一旦確診,因免疫力低難清除病毒,重症與死亡風險較高,加護病房 (ICU) 使用率是 1.5 倍,死亡率則是 2 倍。

進一步來看,部分免疫低下病患因服用免疫抑制劑,使得免疫功能與疫苗保護力下降,這些藥物包括高劑量類固醇、特定免疫抑制之生物製劑,或器官移植後預防免疫排斥的藥物。國外臨床研究顯示,部分病友打完疫苗後的抗體生成情況遠低於常人,以器官移植病患來說,僅有31%能產生抗體反應。

疫苗保護力較一般人低,靠「被動免疫」補充抗新冠保護力

為什麼免疫低下族群打疫苗無法產生足夠的抗體?主因為疫苗抗體產生的機轉,是仰賴身體正常免疫功能、自行激化主動產生抗體,這即為「主動免疫」,一般民眾接種新冠疫苗即屬於此。相比之下,免疫低下病患因自身免疫功能不足,難以經由疫苗主動激化免疫功能來保護自身,因此可採「被動免疫」方式,藉由外界輔助直接投以免疫低下病患抗體,給予保護力。

外力介入能達到「被動免疫」的有長效型單株抗體,可改善免疫低下病患因原有治療而無法接種疫苗,或接種疫苗後保護力較差的困境,有效降低確診後的重症風險,保護力可持續長達 6 個月。另須注意,單株抗體不可取代疫苗接種,完成單株抗體注射後仍需維持其他防疫措施。

長效型單株抗體緊急授權予免疫低下患者使用 有望降低感染與重症風險

2022 年美、法、英、澳及歐盟等多國緊急使用授權用於 COVID-19 免疫低下族群暴露前預防,台灣也在去年 9 月通過緊急授權,免疫低下患者專用的單株抗體,在接種疫苗以外多一層保護,能降低感染、重症與死亡風險。

從臨床數據來看,長效型單株抗體對免疫功能嚴重不足的族群,接種後六個月內可降低 83% 感染風險,效力與安全性已通過臨床試驗證實,證據也顯示該藥品針對 Omicron、BA.4、BA.5 等變異株具療效。

六大類人可公費施打 醫界呼籲民眾積極防禦

台灣提供對 COVID-19 疫苗接種反應不佳之免疫功能低下者以降低其染疫風險,根據 2022 年 11 月疾管署公布的最新領用方案,符合施打的條件包含:

一、成人或 ≥ 12 歲且體重 ≥ 40 公斤,且;
二、六個月內無感染 SARS-CoV-2,且;
三、一周內與 SARS-CoV-2 感染者無已知的接觸史,且;
四、且符合下列條件任一者:

(一)曾在一年內接受實體器官或血液幹細胞移植
(二)接受實體器官或血液幹細胞移植後任何時間有急性排斥現象
(三)曾在一年內接受 CAR-T 治療或 B 細胞清除治療 (B cell depletion therapy)
(四)具有效重大傷病卡之嚴重先天性免疫不全病患
(五)具有效重大傷病卡之血液腫瘤病患(淋巴肉瘤、何杰金氏、淋巴及組織其他惡性瘤、白血病)
(六)感染HIV且最近一次 CD4 < 200 cells/mm3 者 。

符合上述條件之病友,可主動諮詢醫師。多數病友施打後沒有特別的不適感,少數病友會有些微噁心或疲倦感,為即時處理發生率極低的過敏性休克或輸注反應,需於輸注時持續監測並於輸注後於醫療單位觀察至少 1 小時。

目前藥品存放醫療院所部分如下,完整名單請見公費COVID-19複合式單株抗體領用方案

  • 北部

台大醫院(含台大癌症醫院)、台北榮總、三軍總醫院、振興醫院、馬偕醫院、萬芳醫院、雙和醫院、和信治癌醫院、亞東醫院、台北慈濟醫院、耕莘醫院、陽明交通大學附設醫院、林口長庚醫院、新竹馬偕醫院

  • 中部

         大千醫院、中國醫藥大學附設醫院、台中榮總、彰化基督教醫療財團法人彰化基督教醫院

  • 南部/東部

台大雲林醫院、成功大學附設醫院、奇美醫院、高雄長庚醫院、高雄榮總、義大醫院、高雄醫學大學附設醫院、花蓮慈濟

除了預防 也可用於治療確診者

長效型單株抗體不但可以增加免疫低下者的保護力,還可以用來治療「具重症風險因子且不需用氧」的輕症病患。根據臨床數據顯示,只要在出現症狀後的 5 天內投藥,可有效降低近七成 (67%) 的住院或死亡風險;如果是3天內投藥,則可大幅減少到近九成 (88%) 的住院或死亡風險,所以把握黃金時間盡早治療是關鍵。

  • 新冠治療藥物比較表:
藥名Evusheld
長效型單株抗體
Molnupiravir
莫納皮拉韋
Paxlovid
帕克斯洛維德
Remdesivir
瑞德西韋
作用原理結合至病毒的棘蛋白受體結合區域,抑制病毒進入人體細胞干擾病毒的基因序列,導致複製錯亂突變蛋白酵素抑制劑,阻斷病毒繁殖抑制病毒複製所需之酵素的活性,從而抑制病毒增生
治療方式單次肌肉注射(施打後留觀1小時)口服5天口服5天靜脈注射3天
適用對象發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人(18歲以上)的輕症病患。發病7天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與孩童(年齡大於28天且體重3公斤以上)的輕症病患。
*Remdesivir用於重症之適用條件和使用天數有所不同
注意事項病毒變異株藥物交互作用孕婦哺乳禁用輸注反應

免疫低下病友需有更多重的防疫保護,除了戴口罩、保持社交距離、勤洗手、減少到公共場所等非藥物性防護措施外,按時接種COVID-19疫苗,仍是最具效益之傳染病預防介入措施。若有符合施打長效型單株抗體資格的病患,應主動諮詢醫師,經醫師評估用藥效益與施打必要性。

文章難易度