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那噠噠的馬蹄不是我等的公車:等公車的快樂數學

黃誠熙(Sky Huang)
・2015/06/23 ・2089字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 520 ・七年級
相關標籤: 等公車 (1)

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source:wiki
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「走向公車站,一班公車就這麼湊巧的停在不遠處;輕輕的小跑步踏上公車的台階,臉上多了一抹微笑:這就是趕上公車的小確幸。」

這是一個搭公車上班、上學的人們都希望的早晨劇本。但很難事事盡如人意:有時候公車早來,有時候公車晚到。所以,在這段平淡的等車過程中,我們到底快不快樂呢?讓數學來告訴你!

(編按:注意喔!以下是關於數學的推論,並非心理學研究。)

首先,讓我們先研究一下跑步/走路到公車站的效益吧!假設等公車的人沒有通天眼也沒有使用APP,他沒有接收任何資訊,公車來的時間是亂數,那任何時刻到達站牌等公車所花費時間的期望值都是一樣的:也就是說,用跑的到公車站並不會對等待時間有所幫助。

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譬如說,公車平均10分鐘來一班,那等公車時間的期望值就是5分鐘,不會因到達車站的方式而有所不同;然而,跑步到公車站卻會改變到達目的地的時刻的期望值,例如說9:00 AM從家裡出發,用走的到車站搭車到達學校的平均時刻是10:00 AM,那跑步到公車站,如果減少了5分鐘的時間,則平均到達學校的時刻縮短為9:55 AM。因此我們知道,如果不趕時間,跑步到公車站是沒有效益的,因為還要投資體力,可是若是考慮用跑的趕上一班公車和用走的錯過一班公車的額外心理層面獲得與損失,那或許跑步的效益會較高。

接著,想跟大家討論的主題是等公車「預期心態」的開心程度。正如開頭所說的,公車有時候來得很快,會覺得很開心,有時候等得很久,覺得不是很高興;所以平均來說,等公車到底是開心還是不開心呢?下面用筆者自身等公車的感受(一般大眾的生活經驗),來探討等公車到底開不開心。

想像一個人在公車站,公車是十分鐘來一班,這個人沒有任何關於車子時刻的資訊。那麼,等車時間的機率是從0~10分鐘均勻的分佈,且等車期望值是5分鐘。然而,開心程度卻不是相等的!想像一到站公車就來了,等了0分鐘,那會覺得超級幸運,非常開心;若是等了10 分鐘公車才來,會覺得「喔,也還好,反正公車本來就是10分鐘一班」。

所以可以推論,開心程度和等公車所花費時間的關係是一個「負斜率」但是「斜率遞增」的曲線。另外,由於等車的期望值為5分鐘,我們可以合理的把5分鐘的開心程度設成0。下圖為一可能的曲線圖形(注意斜率遞增和x=5時y=0) (*註一)

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有了快樂曲線就可以計算平均快樂指數了!由於機率是均勻分布的,所以平均的快樂程度是積分圖中的曲線的面積(再乘上一個常數進行normalization) (*註二)。如果我們仔細觀察此函數圖形,會發現在0以上(正面的快樂)的面積會大於0以下(負面的快樂,為不開心)的面積。從數學代數上來說,一個斜率為正,且0位在積分區間的正中間的圖形,積分值確實為正。

結論:當我們從事「等公車活動」時,從預期心態上可以得到正面的回饋。也就是說,等公車可以為我們帶來快樂。如果類推到所有事情,結論就是,這是一個美好的世界。

「 等等,可是這個世界明明就沒有這麼美好啊!」想必大家都想這麼吐槽。別急著關網頁,讓我娓娓道來。

上面的推導過程是假設,公車公司跟我們說10分鐘會有一班車,我們也預期車班間隔是10分鐘,而也因此我們真的沒有等超過10分鐘的公車。那如果超過10分鐘公車還不來呢?假如等了11分鐘會發生什麼事呢?

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我們可以想像,假如等車時間超過10分鐘,那我們就會開始不爽,因為明明公車公司告訴我們10分鐘會來一班車,但是卻超過了。這時候快樂指數或許就會快速的下降。因此,在10 分鐘的地方會有一個反曲點(inflection point),斜率的成長開始變成負的。整個快樂指數的圖形會變成:

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這個時候,若是積分曲線,而機率分佈仍舊為均勻分布的話,就很有可能會得到負值,此時等公車就成了不開心的活動了(當考慮公車晚到時,機率分佈合理推論也應不為均勻分布,因此須考慮較為實際的機率分佈函數)。

討論:從上面我們可以知道如果事情不如預期,公車公司跟我們說公車班距為10分鐘但是超過十分鐘還不來,平均來說就會產生不快樂的等公車預期心態。

然而,為什麼公車會超過10分鐘還不來呢?兩個很可能的原因: (1) 公車司機或是公司業務上的疏失 (2) 路上交通狀況差。如果類推到世界上的所有事情,我們可以學到:世界上的不快樂是來自於 (1) 人為疏失 (2) 世界的不完美(突然湧入的大量車輛為一非平衡狀態,因此塞車即表示消除非平衡狀態的速度不夠快)。因此,要達成一個美好的世界的方法為: (1) 認真盡責 (2) 用持續進步的科技消除世界的不完美。

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後述:在這篇文章中,我們只單純的討論「預期心態」有可能產生的快樂與不快樂。或許有讀者讀完之後會說,「不對呀,不管等幾分鐘的公車我都不高興」,這些不高興的成分不是來自於預期心態,而是或許:公車站環境不舒適、快遲到了心中焦慮…等等因素。若是考慮環境和其他因素則會相當複雜,但是仍然適用結論,即為,我們可以藉由提升認真負責的態度,以及藉由進步的科技,消除所有不高興的因子。

  • 註一: y= -tan[(x-10)*3。14/20] -1
  • 註二:實際上平均的快樂應為 積分 (機率*快樂),而機率為一機率密度函數(probability density function, PDF)。由於機率在0~10中均勻分布,因此其值為1/10。因此,此積分可簡化為快樂函數的積分再乘以1/10。
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黃誠熙(Sky Huang)
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黃誠熙(Sky Huang), 目前為UCLA博士候選人。

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純淨之水的追尋—濾水技術如何改變我們的生活?
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/04/17 ・3142字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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本文與 BRITA 合作,泛科學企劃執行。

你確定你喝的水真的乾淨嗎?

如果你回到兩百年前,試圖喝一口當時世界上最大城市的飲用水,可能會立刻放下杯子——那水的顏色帶點黃褐,氣味刺鼻,甚至還飄著肉眼可見的雜質。十九世紀倫敦泰晤士河的水,被戲稱為「流動的污水」,當時的人們雖然知道水不乾淨,但卻無力改變,導致霍亂和傷寒等疾病肆虐。

十九世紀倫敦泰晤士河的水,被戲稱為「流動的污水」(圖片來源 / freepik)

幸運的是,現代自來水處理系統已經讓我們喝不到這種「肉眼可見」的污染物,但問題可還沒徹底解決。面對 21 世紀的飲水挑戰,哪些技術真正有效?

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19 世紀的歐洲因為城市人口膨脹與工業發展,面臨了前所未有的水污染挑戰。當時多數城市的供水系統仍然依賴河流、湖泊,甚至未經處理的地下水,導致傳染病肆虐。

1854 年,英國醫生約翰·斯諾(John Snow)透過流行病學調查,發現倫敦某口公共水井與霍亂爆發直接相關,這是歷史上首次確立「飲水與疾病傳播的關聯」。這項發現徹底改變了各國政府對供水系統的態度,促使公衛政策改革,加速了濾水與消毒技術的發展。到了 20 世紀初,英國、美國等國開始在自來水中加入氯消毒,成功降低霍亂、傷寒等水媒傳染病的發生率,這一技術迅速普及,成為現代供水安全的基石。    

 19 世紀末的台灣同樣深受傳染病困擾,尤其是鼠疫肆虐。1895 年割讓給日本後,惡劣的衛生條件成為殖民政府最棘手的問題之一。1896 年,後藤新平出任民政長官,他本人曾參與東京自來水與下水道系統的規劃建設,對公共衛生系統有深厚理解。為改善台灣水源與防疫問題,他邀請了曾參與東京水道工程的英籍技師 W.K. 巴爾頓(William Kinnimond Burton) 來台,規劃現代化的供水設施。在雙方合作下,台灣陸續建立起結合過濾、消毒、儲水與送水功能的設施。到 1917 年,全台已有 16 座現代水廠,有效改善公共衛生,為台灣城市化奠定關鍵基礎。

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圖片來源/BRITA

進入 20 世紀,人們已經可以喝到看起來乾淨的水,但問題真的解決了嗎? 科學家如今發現,水裡仍然可能殘留奈米塑膠、重金屬、農藥、藥物代謝物,甚至微量的內分泌干擾物,這些看不見、嚐不出的隱形污染,正在成為21世紀的飲水挑戰。也因此,濾水技術迎來了一波科技革新,活性碳吸附、離子交換樹脂、微濾、逆滲透(RO)等技術相繼問世,各有其專長:

活性碳吸附:去除氯氣、異味與部分有機污染物

離子交換樹脂:軟化水質,去除鈣鎂離子,減少水垢

微濾技術逆滲透(RO)技術:攔截細菌與部分微生物,過濾重金屬與污染物等

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這些技術相互搭配,能夠大幅提升飲水安全,然而,無論技術如何進步,濾芯始終是濾水設備的核心。一個設計優良的濾芯,決定了水質能否真正被淨化,而現代濾水器的競爭,正是圍繞著「如何打造更高效、更耐用、更智能的濾芯」展開的。於是,最關鍵的問題就在於到底該如何確保濾芯的效能?

濾芯的壽命與更換頻率:濾水效能的關鍵時刻濾芯,雖然是濾水器中看不見的內部構件,卻是決定水質純淨度的核心。以德國濾水品牌 BRITA 為例,其濾芯技術結合椰殼活性碳和離子交換樹脂,能有效去除水中的氯、除草劑、殺蟲劑及藥物殘留等化學物質,並過濾鉛、銅等重金屬,同時軟化水質,提升口感。

然而,隨著市場需求的增長,非原廠濾芯也悄然湧現,這不僅影響濾水效果,更可能帶來健康風險。據消費者反映,同一網路賣場內便可輕易購得真假 BRITA 濾芯,顯示問題日益嚴重。為確保飲水安全,建議消費者僅在實體官方授權通路或網路官方直營旗艦店購買濾芯,避免誤用來路不明的濾芯產品讓自己的身體當過濾器。

辨識濾芯其實並不難——正品 BRITA 濾芯的紙盒下方應有「台灣碧然德」的進口商貼紙,正面則可看到 BRITA 商標,以及「4週換放芯喝」的標誌。塑膠袋外包裝上同樣印有 BRITA 商標。濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣,並且沒有拉環設計,底部則標示著創新科技過濾結構。購買時仔細留意這些細節,才能確保濾芯發揮最佳過濾效果,讓每一口水都能保證潔淨安全。

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濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣,並且沒有拉環設計 (圖片來源 / BRITA)

不過,即便是正品濾芯,其效能也非永久不變。隨著使用時間增加,濾芯的孔隙會逐漸被污染物堵塞,導致過濾效果減弱,濾水速度也可能變慢。而且,濾芯在拆封後便接觸到空氣,潮濕的環境可能會成為細菌滋生的溫床。如果長期不更換濾芯,不僅會影響過濾效能,還可能讓積累的微小污染物反過來影響水質,形成「過濾器悖論」(Filter Paradox):本應淨化水質的裝置,反而成為污染源。為此,BRITA 建議每四週更換一次濾芯,以維持穩定的濾水效果。

為了解決使用者容易忽略更換時機的問題,BRITA 推出了三大智慧提醒機制,確保濾芯不會因過期使用而影響水質:

1. Memo 或 LED 智慧濾芯指示燈:即時監測濾芯狀況,顯示剩餘效能,讓使用者掌握最佳更換時間。

2. QR Code 掃碼電子日曆提醒:掃描包裝外盒上的 QR Code 記錄濾芯的使用時間,自動提醒何時該更換,減少遺漏。

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3. LINE 官方帳號自動通知:透過 LINE 推送更換提醒,確保用戶不會因忙碌而錯過更換時機。

在濾水技術日新月異的今天,濾芯已不僅僅是過濾裝置,更是智慧監控的一部分。如何挑選最適合自己需求的濾水設備,成為了健康生活的關鍵。

人類對潔淨飲用水的追求,從未停止。19世紀,隨著城市化與工業化發展,水污染問題加劇並引發霍亂等疾病,促使濾水技術迅速發展。20世紀,氯消毒技術普及,進一步保障了水質安全。隨著科技進步,現代濾水技術透過活性碳、離子交換等技術,去除水中的污染物,讓每一口水更加潔淨與安全。

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(圖片來源 / BRITA)

今天,消費者不再單純依賴公共供水系統,而是能根據自身需求選擇適合的濾水設備。例如,BRITA 提供的「純淨全效型濾芯」與「去水垢專家濾芯」可針對不同需求,從去除餘氯、過濾重金屬到改善水質硬度等問題,去水垢專家濾芯的去水垢能力較純淨全效型濾芯提升50%,並通過 SGS 檢測,通過國家標準水質檢測「可生飲」,讓消費者能安心直飲。

然而,隨著環境污染問題的加劇,真正的挑戰在於如何減少水污染,並確保每個人都能擁有乾淨水源。科技不僅是解決問題的工具,更應該成為守護未來的承諾。濾水器不僅是家用設備,它象徵著人類與自然的對話,提醒我們水的純淨不僅是技術的勝利,更是社會的責任和對未來世代的承諾。

*符合濾(淨)水器飲用水水質檢測技術規範所列9項「金屬元素」及15項「揮發性有機物」測試
*僅限使用合格自來水源,且住宅之儲水設備至少每6-12個月標準清洗且無受汙染之虞

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文章難易度

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