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數字紅樓夢 貳—賭博重要的是資本,不是運氣

賴 以威
・2015/05/08 ・2540字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 431 ・四年級

本文出自《超展開數學教室
Photo credit: 超展開數學教室
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馬桶事件後,緊接著過年了。

賈府瀰漫著熱鬧的年節氣氛,大夥兒淡忘了馬桶的存在,馬桶君孤零零地待在怡紅院裡,由當時還沒被王熙鳳帶走的ㄚ環小紅照料著。

大年初五晚上,各項過年節目大抵上告個段落,正處在一種祭典剛結束,卻又尚未銜接回正常生活的交界。素來喜歡熱鬧的賈寶玉,想抓住過年的最後一截尾巴,又想趁機讓眾人體會數學的魅力,便提議到怡紅院玩牌。

「寶兄弟會玩牌嗎?」

寶釵邊問,邊流利地整理牌子。身為大觀園裡最聰明的女眷之一,她不擔心輸錢,只擔心贏寶玉太多。

「不大會,不過熙鳳姐姐跟我說過,就算是賭博,只要我全力以赴,自然會有神明保佑。因此,」

寶玉回頭跟襲人使了個眼色,襲人微微欠身,跟晴雯走入寶玉的廂房,出來時兩人手中捧了幾十塊金元寶,襲人腰裡還插了厚厚一疊銀票。

「既然要玩,就得全力以赴,這是我的賭本,寶姊姊,你要拿錢,我叫晴雯提燈趕去蘅蕪苑幫你拿。」

聽到這話,晴雯閃過不滿的神情,這麼晚了,外頭又冷,任誰都不想去跑這一趟。寶釵細心,馬上注意到了。她本來手頭就沒寶玉寬裕,又不想使喚晴雯,怡紅院的丫鬟各個是寶玉的心頭肉,襲人還好,這晴雯向來性子高傲,要是得罪了她,沒準到時候,再寶玉身旁碎嘴,派了自己的不是。

「沒關係,我不喜歡玩太大,這筆銀子輸光了,我就不玩了。」

寶玉點了點頭,他不是在同意寶釵的話,而是再跟自己確認,寶釵輸定了。

Photo credit: 王弘力〈教坊自樂〉
Photo credit: 王弘力〈教坊自樂〉

幾刻鐘後,鬱悶的寶釵獨自走在回蘅蕪苑的路上,思索為何自己不僅輸了,還真輸得一乾二淨。她不懂,明明自己的牌技比寶玉強那麼多,偶爾還能從銅鏡上偷看到寶玉的手牌,她理當占盡優勢啊。

另一方面,怡紅院裡,寶玉把贏來的錢分給襲人和晴雯吃紅,解釋他贏錢的原因。

「我的賭本是一萬兩銀子,寶姊姊只帶了一百兩銀子,我一看到,就知道只要一直賭下去,我把她贏光的機率高達100/101。用代數來看,我的賭本a,寶釵的賭本是b,假設我們倆每一盤勝負的機率各是一半,我贏光她的機率就是a/(a+b)。」

寶玉望望襲人,她臉上堆滿了溫柔,專心在聽寶玉講話,但顯然完全沒聽懂。

「舉例來說,假設我開局有3兩銀子,寶釵有2兩銀子。再不考慮平手狀況下,我跟寶釵的對賭的前幾局結果會長這樣。」

寶玉拿起文房四寶,在寫春聯剩下的紅紙上大筆一揮,畫了一張示意圖

Photo credit: 超展開數學教室
Photo credit: 超展開數學教室

「最左邊的第一個方塊是開局,裡面標示著我跟寶釵各自的賭本。第一局結束後,有0.5的機率寶釵會贏,她跟我的賭本關係,會來到第二排的下面(3,2),她手中有3兩銀子,我有2兩銀子,但也有0.5的機率我贏,會來到第二排的上面(1,4),她跟我各剩1兩銀子和4兩銀子的賭本。假設在(1,4)這個位置,到第二局結束後,有0.5的機率會來到第三排最上面的(0,5),也就是寶釵輸光。

同樣有0.5的機率回到開局狀況。 反之,如果是在(3,2)這個位置,可能會進一步變成(4,1),只剩1兩銀子的我距離破產僅有一步之遙,但也有0.5的機率回到開局。」

襲人被這串數學弄得暈頭轉向,心想,原來不只是花氣會襲人,數學更會襲人。雖然聽不懂,襲人最是溫柔體貼,依然耐心聽著,儘管她腦袋裡想的是,還好當初寶玉替她取名字時想到的是陸游的詩詞,要是那時也跟現在一樣想數學,跟數學扯上了邊,名字不知道會有多難聽,花機率嗎?

看到寶玉講得在興頭上,襲人配合地拋出個問題:「但……還是算不出來寶姐姐輸光的機率,這圖看起來得畫個沒完沒了……」

「沒錯,不過我們可以靠變數來描述這個無窮盡的問題。圖上的每個位置,也就是握有不同賭本時,對應到寶姊姊最終輸光的機率都不一樣,要是她此刻賭本多一點,好比說4兩銀子,她得連輸四盤才能輸光,這時,她輸光的機率就很低。但要是她只剩1兩銀子,輸一盤就輸光了。我們來假設寶姊姊手上有i兩銀子賭本時,會輸光的機率各自是pi。」

寶玉在方才的圖,每個方塊上標示了不同的pi

Photo credit: 超展開數學教室
Photo credit: 超展開數學教室

「開局的是p1;第一局結束後,她剩1兩銀子時是p1,剩3兩銀子時是p3,這三個機率之間的關係是

螢幕截圖 2015-05-09 18.27.02

第二局結束後,要是她沒錢了,輸光的機率即是1;但也有可能回到開局的狀況,此時輸光的機率便一樣是p­1,我們又可以得到一個式子

螢幕截圖 2015-05-09 18.27.36

要是走到(3,2),同樣也會有一個式子

螢幕截圖 2015-05-09 18.28.09

到第三局結束後,開局的式子跟原本一樣就不寫了。最底下的(4,1)則會有等式

螢幕截圖 2015-05-09 18.28.57

之後不管怎麼賭,都只有這幾種可能。四組方程式解四個變數。」

寶玉飛快地解出這四道聯立方程組,答案是

螢幕截圖 2015-05-09 18.29.42

「很有趣的結果吧。可以看見,每一個時刻的分母都是我跟寶姊姊的賭本總和,分子則是我的賭本。換句話說,開局要是時我的賭本是寶姊姊的一百倍大,只要她被我纏住,脫不了身,終究會輸光的。」

寶玉正講得起勁,忽然,窗外傳來一聲悶響,彷彿有東西掉在地上。寶玉推開門一瞧,只見幾塊碎銀子散落在走廊,還有一片手巾。他撿起來一聞,和黛玉縫給他的香袋是同一股氣味,方才在外頭兒的必然是她。看來,是黛玉想來找他賭博,意外聽見這些分析,黛玉跟寶釵一樣聰穎過人,一聽就懂。她領悟自己絕沒勝算,一時感傷就離開了。寶玉將銀子塞進腰間的暗袋,橫豎這幾塊碎銀子,只要一睹,早晚都是他的。比起還錢,他得想個別的辦法讓黛玉開心才是。

寶玉邁開腳步,去追趕黛玉。欲知寶玉如何逗得黛玉破涕為笑,請待下回分解。

本文出自《超展開數學教室》,臉譜出版社出版。

Photo credit: 紅樓夢百科
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賴 以威
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數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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【成語科學】運籌帷幄:古人不用筆算數學?一隻小竹棍居然可以開三次方根、解方程式!
張之傑_96
・2023/07/28 ・1261字 ・閱讀時間約 2 分鐘

劉邦(漢高祖)打敗項羽,取得天下,建立漢朝。一天舉行盛大宴會,他問群臣:「我為什麼會勝?項羽為什麼會敗?」群臣都說劉邦善於用人,項羽恰恰相反。劉邦點頭稱是,司馬遷在《史記‧高祖本紀》記下劉邦說的一段話

夫運籌帷幄之中,決勝於千里之外,吾不如子房。

帷幄,指營帳子房,是張良的字籌,指算籌,是古時的運算工具。這段話的意思是說,張良在營帳中運用算籌計算,就能決勝千里之外,這方面我(劉邦)不如張良。因此,這個成語的原意是在營帳中策劃謀略,後來泛指謀劃或指揮。讓我們造兩個句吧。

要不是孔明運籌帷幄,劉備哪有三分天下的機會!

在里長的運籌帷幄下,為社區更新取得有利的條件。

不用筆,那用什麼?

成語的出典說了,句子也造了,接下去就要談談這個成語的科學意義。我們現在演算數學,都是用筆在紙上運算,也就是筆算。古人呢?古人從來不用筆算,而是使用工具運算。元代以前使用算籌,元代以後使用算盤

算盤一直使用到 1980 年代,小朋友家裡可能還有。至於算籌,只有少數博物館裡才能看到。

國立自然科學博物館內藏的漢朝骨製算籌複製品。圖/wikipedia

其實算籌只是一根根小竹棍,外形和筷子差不多。小朋友千萬不要看輕這些小竹棍,中國古代的數學曾經輝煌一時,就是用這些小竹棍運算出來的。

驚人的運算能力 曾經輝煌一時的數學成就

算盤被木框框住,計算能力受到限制。凡是算盤能算的,算籌一定能算。反過來,算籌所能算的,算盤就不見得勝任。算盤主要是生意人用的,算籌可作各種運算,數學家喜歡用它。中國的數學宋代發展到顛峰,元代以後不進反退,到了明代已沒人懂得宋代的數學了。

算籌平時放在算袋裡,繫在腰上,運算時取出,在席子上或桌子上擺弄。除了加減乘除,還能開平方、開立方,甚至解高次方程等高中才學得到的數學!關於算袋,有個小故事,傳說秦皇島東巡時,把算袋扔到海裡,變成了烏賊,所以烏賊又稱算袋魚。

十四世紀朱世傑《四元玉鑒》中的「古法七乘方圖」,紀錄宋代展出的「楊輝三角形」,就是我們現在所說的「巴斯卡三角形」。圖中一根根長條物就是當時用來計算的「算籌」。楊輝三角形的產生也顯見宋代數學已經發展出高次多項式的乘法。圖/wikipedia

數學家用算籌運算時,有時擺弄得極快,不要說外行人,連內行人的眼睛幾乎都跟不上,所以古人用「運籌如飛」來形容。因此,用算籌運算,運算過程不會留下記錄,一陣擺弄之後,最後得出答案。這對一般才質的人來說,學起來的確有點困難。

張之傑_96
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張之傑,字百器,出入文理,著述多樣,其中以科普和科學史較為人知。

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買樂透真的可以賺錢?大數法則揭示了賭博的真相!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/05 ・2394字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • id S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則?

期望值的定義是:它是可能結果的一種平均,但在計算平均時,機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果,它代表了如果我們重複賭很多次,或者隨機選出很多家戶,實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明,用機率模型算出來的期望值,真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則
大數法則(law of large numbers)是指,如果結果為數值的隨機現象,獨立重複執行許多次,實際觀察到的結果的平均值,會趨近期望值。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中,每個可能結果的發生比例會接近它的機率,而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的,它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了:為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博,對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值,並且知道長期下來收入會是多少,所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具,讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多,大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場,他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡,但是保險公司知道機率,並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高,來保證有利潤。

  • 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播,看到號碼球上下亂跳,然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢? 1980 年的時候,賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆,這樣做會把球變重,因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候,他們贏了 120 萬美元。是的,他們後來全被逮到。

歷史上曾有主持人在樂透上做手腳,後來賺了 120 萬美元隨後被逮捕。圖/envatoelements

深入探討期望值

跟機率一樣,期望值和大數法則都值得再花些時間,探討相關的細節問題。

  • 多大的數才算是「大數」?

大數法則是說,當試驗的次數愈來愈多,許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說,究竟需要多少次試驗,才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大,就需要愈多次的試驗,來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大,才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭,結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博,例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券,需要極多次的試驗,幾乎要多到不可能的次數,才能保證平均結果會接近期望值。

(州政府可不需要依賴大數法則,因為樂透彩金不像賭場的遊戲,樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面,彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說,各州所辦的樂透彩金,是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。)

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化,但要回答大數法則的適用範圍,較實際的答案就是:賭場的贏錢金額期望值是正的,而賭場玩的次數夠多,所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是,你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話,當然和賭場一樣多,但因為期望值是負的,所以以賭客整體來看,長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢,有些人輸很多,而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑,大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是:對賭場來說,結果並非不可測的。

對賭場來說,贏錢金額期望值為正。圖/envatoelements
  • 有沒有保證贏錢的賭法?

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法,這種賭法每次下注的金額,是看前幾次的結果而定。比如說,在賭輪盤時,你可以每次把賭注加倍,直到你贏為止—或者,當然,直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶,這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎?不行,數學家建立的另一種大數法則說:如果你沒有無窮盡的賭本,那麼只要遊戲的各次試驗(比如輪盤的各次轉動)之間是獨立的,你的平均獲利(期望值)就會是一樣的。抱歉啦!

  • 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎(拉霸)。從前,你丟硬幣進去再拉下把手,轉動三個輪子,每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲,會閃出許多很炫的畫面,而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣,有各種讓你眼花撩亂的中獎結果,還可以多台連線,共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法,但是長期下來,隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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假藥也能治療?安慰劑效應的原因:「不」隨機化實驗!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/03 ・1932字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • 作者:墨爾 David S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

實驗法中「隨機化」的必要性

隨機化比較實驗是統計學裡面最重要的概念之一。它的設計是要讓我們能夠得到釐清因果關係的結論。我們先來弄清楚隨機化比較實驗的邏輯:

  • 用隨機化的方法將受試者分組,所分出的各組在實施處理之前,應該各方面都類似。
  • 之所以用「比較」的設計,是要確保除了實驗上的處理外,其他所有因素都會同樣作用在所有的組身上。
  • 因此,反應變數的差異必定是處理的效應所致。

我們用隨機方法選組,以避免人為指派時可能發生的系統性偏差。例如在鐮形血球貧血症的研究中,醫師有可能下意識就把最嚴重的病人指派到羥基脲組,指望這個正在試驗的藥能對他們有幫助。那樣就會使實驗有偏差,不利於羥基脲。

從受試者中取簡單隨機樣本來當作第一組,會使得每個人被選入第一組或第二組的機會相等。我們可以預期兩組在各方面都接近,例如年齡、病情嚴重程度、抽不抽菸等。舉例來說,隨機性通常會使兩組中的吸菸人數差不多,即使我們並不知道哪些受試者吸菸。

實驗組與對照組除主要測量變數外,其餘條件必需盡可能相似。圖/envatoelements

新藥研究上不隨機分組帶來的後果:安慰劑效應

如果實驗不採取隨機方式,潛藏變數會有什麼影響呢?安慰劑效應就是潛藏變數,只有受試者接受治療後才會出現。如果實驗組別是在當年不同時間進行治療,所以有些組別是在流感季節治療,有些則不是,那麼潛藏變數就是有些組別暴露在流感的程度較多。

在比較實驗設計中,我們會試著確保這些潛藏變數對全部的組別都有相似的作用。例如為了確保全部的組別都有安慰劑效應,他們會接受相同的治療,全部的組別會在相同的時間接受相同的治療,所以暴露在流感的程度也相同。

要是告訴你,醫學研究者對於隨機化比較實驗接受得很慢,應該不會讓你驚訝,因為許多醫師認為一項新療法對病人是否有用,他們「只要看看」就知道。但事實才不是這樣。有很多醫療方法只經過單軌實驗後就普遍使用,但是後來有人起疑,進行了隨機化比較實驗後,卻發覺其效用充其量不過是安慰劑罷了,這種例子已經不勝枚舉。

曾有人在醫學文獻裡搜尋,經過適當的比較實驗研究過的療法,以及只經過「歷史對照組」實驗的療法。用歷史對照組做的研究不是把新療法的結果和控制組比,而是和過去類似的病人在治療後的效果做比較。結果,納入研究的 56 種療法當中,用歷史對照組來比較時,有 44 種療法顯示出有效。然而在經過使用合適的隨機化比較實驗後,只有 10 種通過安慰劑測試。即使有跟過去的病人比,醫師的判斷仍過於樂觀。

過去醫學史上常出現新藥實際沒療效,只能充當安慰劑效果的情況。圖/envatoelements

目前來說,法律已有規定,新藥必須用隨機化比較實驗來證明其安全性及有效性。但是對於其他醫療處置,比如手術,就沒有這項規定。上網搜尋「comparisons with historical controls」(以歷史對照組來比較)這個關鍵字,可以找到最近針對曾使用歷史對照組試驗的其他醫療處置,所做的研究。

對於隨機化實驗有一件重要的事必須注意。和隨機樣本一樣,隨機化實驗照樣要受機遇法則的「管轄」。就像抽一個選民的簡單隨機樣本時,有可能運氣不好,抽到的幾乎都是相同政治傾向一樣,隨機指派受試者時,也可能運氣不好,把抽菸的人幾乎全放在同一組。

我們知道,如果抽選很大的隨機樣本,樣本的組成和母體近似的機會就很大。同樣的道理,如果我們用很多受試者,加上利用隨機指派方式分組,也就有可能與實際情況非常吻合。受試者較多,表示實驗處理組的機遇變異會比較小,因此實驗結果的機遇變異也比較小。「用足夠多的受試者」和「同時比較數個處理」以及「隨機化」,同為「統計實驗設計」的基本原則。

實驗設計的原則
統計實驗設計的基本原則如下:
1. 要控制潛在變數對反應的影響,最簡單的方法是同時比較至少兩個處理。
2. 隨機化:用非人為的隨機方法指派受試者到不同的實驗處理組。
3. 每一組的受試者要夠多,以減低實驗結果中的機遇變異。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。