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數字紅樓夢 貳—賭博重要的是資本,不是運氣

賴 以威
・2015/05/08 ・2540字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 431 ・四年級

本文出自《超展開數學教室
Photo credit: 超展開數學教室
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馬桶事件後,緊接著過年了。

賈府瀰漫著熱鬧的年節氣氛,大夥兒淡忘了馬桶的存在,馬桶君孤零零地待在怡紅院裡,由當時還沒被王熙鳳帶走的ㄚ環小紅照料著。

大年初五晚上,各項過年節目大抵上告個段落,正處在一種祭典剛結束,卻又尚未銜接回正常生活的交界。素來喜歡熱鬧的賈寶玉,想抓住過年的最後一截尾巴,又想趁機讓眾人體會數學的魅力,便提議到怡紅院玩牌。

「寶兄弟會玩牌嗎?」

寶釵邊問,邊流利地整理牌子。身為大觀園裡最聰明的女眷之一,她不擔心輸錢,只擔心贏寶玉太多。

「不大會,不過熙鳳姐姐跟我說過,就算是賭博,只要我全力以赴,自然會有神明保佑。因此,」

寶玉回頭跟襲人使了個眼色,襲人微微欠身,跟晴雯走入寶玉的廂房,出來時兩人手中捧了幾十塊金元寶,襲人腰裡還插了厚厚一疊銀票。

「既然要玩,就得全力以赴,這是我的賭本,寶姊姊,你要拿錢,我叫晴雯提燈趕去蘅蕪苑幫你拿。」

聽到這話,晴雯閃過不滿的神情,這麼晚了,外頭又冷,任誰都不想去跑這一趟。寶釵細心,馬上注意到了。她本來手頭就沒寶玉寬裕,又不想使喚晴雯,怡紅院的丫鬟各個是寶玉的心頭肉,襲人還好,這晴雯向來性子高傲,要是得罪了她,沒準到時候,再寶玉身旁碎嘴,派了自己的不是。

「沒關係,我不喜歡玩太大,這筆銀子輸光了,我就不玩了。」

寶玉點了點頭,他不是在同意寶釵的話,而是再跟自己確認,寶釵輸定了。

Photo credit: 王弘力〈教坊自樂〉
Photo credit: 王弘力〈教坊自樂〉

幾刻鐘後,鬱悶的寶釵獨自走在回蘅蕪苑的路上,思索為何自己不僅輸了,還真輸得一乾二淨。她不懂,明明自己的牌技比寶玉強那麼多,偶爾還能從銅鏡上偷看到寶玉的手牌,她理當占盡優勢啊。

另一方面,怡紅院裡,寶玉把贏來的錢分給襲人和晴雯吃紅,解釋他贏錢的原因。

「我的賭本是一萬兩銀子,寶姊姊只帶了一百兩銀子,我一看到,就知道只要一直賭下去,我把她贏光的機率高達100/101。用代數來看,我的賭本a,寶釵的賭本是b,假設我們倆每一盤勝負的機率各是一半,我贏光她的機率就是a/(a+b)。」

寶玉望望襲人,她臉上堆滿了溫柔,專心在聽寶玉講話,但顯然完全沒聽懂。

「舉例來說,假設我開局有3兩銀子,寶釵有2兩銀子。再不考慮平手狀況下,我跟寶釵的對賭的前幾局結果會長這樣。」

寶玉拿起文房四寶,在寫春聯剩下的紅紙上大筆一揮,畫了一張示意圖

Photo credit: 超展開數學教室
Photo credit: 超展開數學教室

「最左邊的第一個方塊是開局,裡面標示著我跟寶釵各自的賭本。第一局結束後,有0.5的機率寶釵會贏,她跟我的賭本關係,會來到第二排的下面(3,2),她手中有3兩銀子,我有2兩銀子,但也有0.5的機率我贏,會來到第二排的上面(1,4),她跟我各剩1兩銀子和4兩銀子的賭本。假設在(1,4)這個位置,到第二局結束後,有0.5的機率會來到第三排最上面的(0,5),也就是寶釵輸光。

同樣有0.5的機率回到開局狀況。 反之,如果是在(3,2)這個位置,可能會進一步變成(4,1),只剩1兩銀子的我距離破產僅有一步之遙,但也有0.5的機率回到開局。」

襲人被這串數學弄得暈頭轉向,心想,原來不只是花氣會襲人,數學更會襲人。雖然聽不懂,襲人最是溫柔體貼,依然耐心聽著,儘管她腦袋裡想的是,還好當初寶玉替她取名字時想到的是陸游的詩詞,要是那時也跟現在一樣想數學,跟數學扯上了邊,名字不知道會有多難聽,花機率嗎?

看到寶玉講得在興頭上,襲人配合地拋出個問題:「但……還是算不出來寶姐姐輸光的機率,這圖看起來得畫個沒完沒了……」

「沒錯,不過我們可以靠變數來描述這個無窮盡的問題。圖上的每個位置,也就是握有不同賭本時,對應到寶姊姊最終輸光的機率都不一樣,要是她此刻賭本多一點,好比說4兩銀子,她得連輸四盤才能輸光,這時,她輸光的機率就很低。但要是她只剩1兩銀子,輸一盤就輸光了。我們來假設寶姊姊手上有i兩銀子賭本時,會輸光的機率各自是pi。」

寶玉在方才的圖,每個方塊上標示了不同的pi

Photo credit: 超展開數學教室
Photo credit: 超展開數學教室

「開局的是p1;第一局結束後,她剩1兩銀子時是p1,剩3兩銀子時是p3,這三個機率之間的關係是

螢幕截圖 2015-05-09 18.27.02

第二局結束後,要是她沒錢了,輸光的機率即是1;但也有可能回到開局的狀況,此時輸光的機率便一樣是p­1,我們又可以得到一個式子

螢幕截圖 2015-05-09 18.27.36

要是走到(3,2),同樣也會有一個式子

螢幕截圖 2015-05-09 18.28.09

到第三局結束後,開局的式子跟原本一樣就不寫了。最底下的(4,1)則會有等式

螢幕截圖 2015-05-09 18.28.57

之後不管怎麼賭,都只有這幾種可能。四組方程式解四個變數。」

寶玉飛快地解出這四道聯立方程組,答案是

螢幕截圖 2015-05-09 18.29.42

「很有趣的結果吧。可以看見,每一個時刻的分母都是我跟寶姊姊的賭本總和,分子則是我的賭本。換句話說,開局要是時我的賭本是寶姊姊的一百倍大,只要她被我纏住,脫不了身,終究會輸光的。」

寶玉正講得起勁,忽然,窗外傳來一聲悶響,彷彿有東西掉在地上。寶玉推開門一瞧,只見幾塊碎銀子散落在走廊,還有一片手巾。他撿起來一聞,和黛玉縫給他的香袋是同一股氣味,方才在外頭兒的必然是她。看來,是黛玉想來找他賭博,意外聽見這些分析,黛玉跟寶釵一樣聰穎過人,一聽就懂。她領悟自己絕沒勝算,一時感傷就離開了。寶玉將銀子塞進腰間的暗袋,橫豎這幾塊碎銀子,只要一睹,早晚都是他的。比起還錢,他得想個別的辦法讓黛玉開心才是。

寶玉邁開腳步,去追趕黛玉。欲知寶玉如何逗得黛玉破涕為笑,請待下回分解。

本文出自《超展開數學教室》,臉譜出版社出版。

Photo credit: 紅樓夢百科
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賴 以威
32 篇文章 ・ 8 位粉絲
數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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強核力與弱核力理論核心:非阿貝爾理論——《撞出上帝的粒子》
貓頭鷹出版社_96
・2023/01/28 ・1733字 ・閱讀時間約 3 分鐘

非阿貝爾理論

量子色動力學與弱核力理論有個更為奇特的性質,兩者都是「非阿貝爾理論」 (non-Abeliantheories)。非阿貝爾的意思是強核力與弱核力理論核心(參見【科學解釋 6】)的對稱群代數是不可交換的。簡單來說就是「A 乘 B」不等於「B 乘 A」。

一般人的常識會告訴你,如果隨便拿兩個數字 A 和 B,用 A 乘 B 的結果永遠會和用 B 乘 A 一樣,你用計算機怎麼試答案都不變。一個袋子裝三塊錢、兩個袋子總共是六塊錢;一個袋子裝兩塊錢,三個袋子總共還是六塊錢。

如果隨便拿兩個數字 A 和 B,用 A 乘 B 的結果永遠會和用 B 乘 A 一樣。圖/pixabay

這件事對數字永遠都成立,是千真萬確的事實。然而,我們有個很好的方法能定義出一套數學架構,其中的 AB 不等於 BA。實際上,數學家已經鑽研這個領域很多年了。

條條大路通數學

或許更驚人的是,物理學家竟然也在許多地方應用這套數學,因為某些和物理學相關的事物也是 AB 不等於 BA。矩陣就是我們表示這些東西的一種方式。現在我在倫敦大學學院為新生上的數學方法課就有介紹矩陣力學。以前我的學校制定了一套「新數學」的課綱,所以我在年僅十五歲的時候就多少認識一點矩陣了。

數學的一個矩陣是一群按照行列排列整齊的數字。把兩個矩陣 A 和 B 相乘,會得到另一個矩陣 C,方法是把對應的列和行上面的數字依序相乘。

這種矩陣聽起來可能不像某部電影裡面那掌控一切、創造虛擬實境的超級電腦一樣迷人,卻有用的多。這部電影的角色身穿黑色皮衣,還有出現著名的慢動作躲子彈鏡頭

慢動作躲子彈鏡頭。圖/giphy

我來舉個例子。

你可以用一個矩陣來描述你移動某個物體的結果。相乘的順序(AB 或 BA)在這個例子有明顯的區別。物體先在原地轉九十度再向前直直走十公尺,和先走十公尺再轉九十度,兩種移動方式最後的終點顯然不會相同。假設矩陣B代表旋轉,矩陣 A 代表直行,那麼合在一起的「旋轉後直行」就是矩陣(C = AB);這和「直行後旋轉」的矩陣(D = BA)必定不會相同。C 不等於 D,所以 AB 不等於 BA。要是 AB 和 BA 永遠相同,我們就沒辦法用矩陣來描述這類的移動過程了。正是因為矩陣的乘法不可交換―非阿貝爾,這個工具才會如此有用。

數學和真實世界密不可分

在狄拉克試圖要找出能描述高速電子的量子力學方程式時,矩陣被證實是他所需要的工具。實際上,電子有某項特性讓狄拉克不得不使用矩陣來表示它,這項特性與他描述電子自旋的語言同出一轍;所有原子的行為和元素周期表的規律,都與自旋有深刻的關聯。除此之外,這個性質也啟發狄拉克去預測有反物質的存在。

數學和真實世界之間似乎有緊密的關係,這讓我讚嘆不已。優秀的研究要能解決問題、也要能提出好的問題。而問題永遠比解答還要多,為了研究我們要付出許多的時間和金錢,因此大家得做出抉擇。數學是威力極大的工具,能幫助科學家檢查實驗數據、並從結果當中尋找最有趣的新實驗方向。就算有些方法和結論,好比矩陣及反物質,看起來可是相當古怪的。

秉持著這份精神,我要在繼續討論希格斯粒子搜索實驗之前,先繞個路來講微中子,最後這回要介紹的是一個很重要的真實結果。2012 年 3 月 7 日,中國的大亞灣核反應爐微中子實驗(DayaBay Reactor Neutrino Experiment)發表了最新的研究成果。

One of the Daya Bay detectors.圖/wikipedia

他們的實驗結果不但對標準模型影響重大,也會決定粒子物理學未來的研究走向。如果你只想要繼續讀希格斯粒子的故事,大可跳過這一段沒關係,下一節再見。但是微中子的粉絲可千萬別錯過精彩好戲了!

——本文摘自《撞出上帝的粒子:深入史上最大實驗現場》,2022 年 12 月,貓頭鷹出版,未經同意請勿轉載。

貓頭鷹出版社_96
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貓頭鷹是智慧的象徵。1992年創社,以出版工具書為主。經過十多年的耕耘,逐步擴及各大知識領域的開發與深耕。現在貓頭鷹是全台灣最重要的彩色圖解工具書出版社。最富口碑的書系包括「自然珍藏、文學珍藏、台灣珍藏」等圖鑑系列,不但在國內贏得許多圖書獎,市場上也深受讀者喜愛。貓頭鷹的工具書還包括單卷式百科全書,以及「大學辭典」等專業辭典。貓頭鷹還有幾個個性鮮明的小類型,包括《從空中看台灣》等高成本的視覺影像書;純文字類的「貓頭鷹書房」,是得獎連連的知性人文書系;「科幻推進實驗室」則是重新站穩台灣科幻小說市場的新系列,其中艾西莫夫的科幻小說,已經成為台灣讀者的口碑選擇。

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你能想像棒球穿牆嗎?突破物理世界的常識:量子穿隧——《阿宅聯盟:量子危機》
未來親子學習平台
・2023/01/20 ・1226字 ・閱讀時間約 2 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

想像一個全壘打王,面對前方的來球,大棒一揮,球越過了全壘打牆,到了牆的另外一邊。

Home~~~Run!圖/GIPHY

但假如,那個全壘打牆變成了兩層樓高呢?也許,他更大力地擊球(給球更多的能量),那顆球還是能夠飛越過全壘打牆,到牆的另外一邊。但如果,那全壘打牆變成了三十層樓高呢?我想會認為,除非靠機器,否則再厲害的全壘打王,不管用了多少力氣,他應該都無法讓球飛過三十層樓那麼高。

上述的例子,正顯示了我們日常生活中的物理原則:只要物體(球)的能量不足以跨越障礙物(牆),那麼它永遠不可能到達障礙物的另一側——但是,在量子的世界,卻不是這樣。

粒子是怎麼跨越各種障礙的?

量子力學裡,一個粒子具備的能量即使不足以跨越障礙,它仍然有小機率會出現在障礙的另一邊;而且,若粒子的能量跟跨越障礙所需要的能量愈接近、或是說只少一點,那麼這個粒子出現在障礙另一邊的機率就愈大。

這樣神奇的現象,彷彿就像是粒子挖了隧道穿過障礙一般(儘管並沒有真的隧道),所以稱為「量子穿隧」效應。

不過,在丟球的例子裡,我們可以想像,若是牆愈高或愈厚,那麼球就愈難飛過牆壁。同樣地,在量子力學的情形下,雖然粒子有可能在能量不足的狀況下穿過障礙,但要是障礙無限高或無限厚的話,那麼粒子就還是過不去的

儘管在量子力學的情況下,障礙無限高或無限厚,粒子還是過不去的。圖/Envato Elements

事實上,量子穿隧效應跟我們先前提到的「物質具有波的特性」非常有關係。想像水池中間有一顆大石頭,池中的水波在遇到石頭這個障礙物時,會從旁邊繞道而過;但如果是一般物質,一旦遇到障礙物就直接被擋住了,沒辦法繞道而行。

就是因為在量子世界,物質也具有波的特性,我們才會看到粒子的穿隧效應。儘管量子效應感覺很奇特,但它在很多方面都有實際的影響。

例如,我們知道太陽核心是依賴核融合反應來產生能量;在過程中,會將兩個氫原子核,融合成更重的原子核。但因為氫原子核都帶正電,要抵抗正電荷間的排斥力,將它們融合在一起,其實非常困難。也幸虧有量子穿隧效應,太陽內部的氫原子核才能克服電荷排斥力的阻礙,順利融合在一起,並製造能量。

所以,在地球的我們,能夠享受到太陽的光和熱,說起來也要感謝量子穿隧效應呢!

——本文摘自《阿宅聯盟:量子危機》,2022 年 11 月,未來出版,未經同意請勿轉載

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「量子狀態」聽起來好難?其實就是機率與疊加——《阿宅聯盟:量子危機》
未來親子學習平台
・2023/01/19 ・1256字 ・閱讀時間約 2 分鐘

想像我們往水池內丟兩顆石頭,以石頭的落點為中心,會個別產生漣漪,在水面上擴散開來。

而當兩個漣漪互相接觸時,交會之處的水面其實同時反應了兩個漣漪的影響;可以說,兩個漣漪疊加在一起了。漣漪是靠水傳遞的一種波,稱為水波;而「疊加」的現象,就是屬於波的一種特性

當兩個漣漪相互接觸時,會疊加在一起。圖/Envato Elements

物質的波,也就是物質波,同樣存在疊加的特性。只不過,物質波跟水波不同的地方在於,它不需要依賴「水」這種實際的東西來傳遞,而是一種「機率波」。機率波的數學形式長得像波,而它代表的,是量子系統處於不同狀態的機率分布

量子系統的狀態:機率波

當我們在描述量子系統的狀態時,就會用到「機率波」的概念。舉例來說,在電玩遊戲中要是打怪成功,死掉的怪物會留下寶物。怪物可能有 50% 的機率掉落寶物 A,也有 50% 的機率掉落寶物 B,但我們不會在事前就知道怪物會留下哪種寶物。

所以,怪物可以說是同時擁有「掉落寶物 A」和「掉落寶物 B」這兩種狀況,直到我們成功打完怪,才能確定牠究竟帶哪一種寶物。類似地,機率波告訴我們的,就是量子系統「有多少機率處於狀態 A、又有多少機率處於狀態 B」的資訊;如同兩個水波在水面上疊加,A 和 B 這兩個狀態同時存在這個量子系統上。所以,我們把量子系統「同時處於不同狀態疊加」的狀況,稱為「疊加態」

直到我們打怪成功,才能確定究竟掉哪一種寶物。圖/GIPHY

另一方面,也跟打完怪物才知道掉什麼寶物類似,在我們實際觀測量子系統前,並無法知道會看到狀態 A 還是狀態 B,要觀測完才會知道。因為量子疊加的特殊性質,科學家想到,或許可以拿來做一些實際的運用。

例如,在現代的電腦運算中,「位元」是資訊的最小單位,可以用 0 或 1 這兩個數值來表示。那麼,我們也許能夠把「同時存在兩種不同狀態的量子系統」當作位元使用,讓它的兩種狀態分別代表 0 跟 1 來儲存資訊,而這就被稱為量子位元

由於物理性質的不同,量子位元在某些狀況下,可以運算得比傳統位元更有效率;利用量子位元建構的電腦,就稱為量子電腦。雖然目前已經有少數量子電腦問世,能以最多一百多個量子位元進行運算,但要能大規模運用在日常生活中,除了要再想辦法增加量子位元之外,還有許多難題要克服,所以,現在就先讓漫畫的想像來代替很可能成真的未來吧。

——本文摘自《阿宅聯盟:量子危機》,2022 年 11 月,未來出版,未經同意請勿轉載

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