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數學不合道理的有效性-《丘成桐談空間的內在形狀》

遠流出版_96
・2014/03/10 ・2651字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 559 ・八年級

PS039丘成桐談內在空間的形狀在缺乏物理證明的情況下,想要探索宇宙隱藏維度的研究專家到底可以走多遠?同樣的問題,當然也可以質問弦論研究者:在沒有經驗證據的回饋下,他們要如何燴煮出完整的宇宙理論?這就像在巨大、漆黑又不知路線的洞穴中探險,偏偏黑暗中只有手邊的幽幽燭光。雖然有人覺得在這種情況還繼續前行十分愚蠢,但是這在科學史上絕非沒有前例。在擘建理論的初期,像這種在黑暗中跌跌撞撞的情況並不少,尤其當發展的新概念規模宏大時更是常見。每當在這種節骨眼,如果沒有實驗資料可以依循,能指引我們前進的或許唯有數學之美。

物理學家高達( Peter Goddard)曾經寫過:英國物理學家狄拉克認為「當理論物理學要選擇前行之路時,數學的美感是最終極的準則。」 這種想法有時收穫豐碩,例如當狄拉克預測正子(像電子但帶正電的粒子)的存在時,就只是單純因為數學推理讓他確信這類粒子必須存在。事實證明果然如此,數年後科學家發現正子,確認了狄拉克對數學的信念。

數學不合道理的有效性

確實,人們一次又一次的發現,數學概念如果滿足簡潔、優美的標準,通常最後也能夠應用於大自然。為什麼會如此,依舊是一個謎。物理學家魏格納( Eugene Wigner)就很困惑於「數學在自然科學中不合道理的有效性」。其中的神祕之處在於,為什麼與自然世界沒有明顯關聯的純數學結構,能夠這麼精確的描述這個世界。

物理學家楊振寧也有類似的經驗。他所發展出來用於描述粒子作用力的楊 -米爾斯方程,是根源於物理學的規範理論。當他發現這個理論與數學家早三十年前就已發展的叢論( bundle theory)十分類似時,感到非常震驚。他說,叢論的發展「根本沒有參照物理世界。」當他詢問幾何學家陳省身,數學家怎麼可能「可以無中生有,夢想出這些概念」,陳省身抗議說:「不、不,這些概念不是夢想出來的,它們既自然又真實。」

本來似乎是數學家無中生有的抽象概念,後來卻被用來描述自然現象,這樣的例子屢見不鮮,而且並不只是現代數學才有的產物。例如圓錐面和平面相交所產生的圓錐曲線,包含了圓、橢圓、拋物線、雙曲線等,據說是西元前 300年希臘幾何學家門奈克默斯( Menaechmus)所發現的,一個世紀之後,再由阿波羅尼斯在他的著作《圓錐曲線論》(Conics)中做系統性的發展。但是一直到十七世紀初克卜勒( Johannes Kepler)發現太陽系行星的橢圓軌道之前,這些曲線並沒有什麼重要的科學用途。

圖 13.1平面和圓錐(準確的說,是如圖上尖點相接的雙圓錐)相交的三種曲線稱為圓錐曲線,包括拋物線、橢圓(圓是橢圓的特例)和雙曲線。
圖 13.1 平面和圓錐(準確的說,是如圖上尖點相接的雙圓錐)相交的三種曲線稱為圓錐曲線,包括拋物線、橢圓(圓是橢圓的特例)和雙曲線。

類似的, 1980年代化學家發現了「巴克球」(buckyball)這種奇特的分子構造,它是由六十個碳原子配置成以正六邊形和正五邊形所構成的類球狀結構。但是早在兩千年前左右,阿基米德(Archimedes)就已經描述過這種幾何結構了。另外像「結論」(knot theory)這門純數學的分支,十九世紀晚期時已經開始發展,但大約一個世紀後才應用到弦論和 DNA 的研究中。

圖 13.2 正二十面體具有二十個正三角形的面,如果適當的割截頂點,則可以得到所謂的「割截二十面體」(truncated icosahedron),包含了 20個正六邊形與 12個正五邊形,其中任兩個正五邊形不相交。正二十面體是柏拉圖物體的一種,而割截二十面體則稱為阿基米德物體,這是希臘數學家阿基米德在兩千年前研究的一類幾何形體。割截二十面體是足球與巴克球的原型,其中巴克球是碳分子的一種結構型態,包含了六十個碳原子,這是化學家科羅托( Harold Kroto)與史莫利(Richard Smalley)在 1985年發現的。巴克球英文 buckyball中的 bucky源自發明測地圓頂( geodesic dome)的建築師富勒(R. Buckminster“Bucky”Fuller)的名字,事實上這類分子之所以統稱為「巴克明斯特富勒烯」(buckminsterfullerene),正是為了紀念富勒。

為什麼數學概念會接二連三的出現在大自然裡並不容易說明,費曼( Richard Feynman)也覺得為什麼「每一物理定律都是純粹的數學敘述」一樣難以解釋。費曼覺得解開謎題的鑰匙應該落在數學、大自然、美三者之間的關聯。「不了解數學的人,」費曼說:「很難真正體會到美,那種大自然最深層的美。」

當然,如果真要接受美的引導,就算只是等待更明確線索出現前的暫時舉措,仍然有如何定義美的難題,有些人認為最好將這個工作留給詩人。不過,儘管數學家和物理學家對美的看法容有不同,但是在這兩個領域裡,優美的概念通常都是清楚又簡明的描述,但又具備宏大的理論威力和廣泛的應用範圍。即便如此,由於美是這麼主觀的概念,個人品味難免會左右我們的判斷。這令我想起某段婚禮致詞,那是一位長年單身漢的婚禮,在多年混跡花叢後,終於在晚年定了下來。大家都很納悶,到底怎樣的女人才能將這位男士套牢,就連男主角自己也不明白。但一位朋友在他找到「另一半」之前,不斷忠告他:「只要看到了,你就會知道。」

英國數學家阿提雅( Michael Atiyah)的話應該能夠鼓舞弦論專家的士氣,他說:「他們所研究的東西,即使沒有辦法用實驗來測量,看起來卻有非常豐富的、一致的數學結構,不但滿足一致性,事實上還開啟了新的研究途徑,給出嶄新的結果。他們所找到的一定有意義,雖然這些構造是否是上帝為宇宙而創造的,或許還有待驗證,但是就算祂不是為宇宙而造,也一定是為其他事物而造。」

我不知道阿提雅所謂的「其他事物」是什麼,但我感到這些美好結構如此豐富,絕對不可能沒有任何意義。當然阿提雅和我都很有自覺,我們知道魅於美感的基礎有著不穩固的風險。就像懷疑弦論的賀耳特( Jim Holt)在《紐約客》中所警告的:「美不足恃。」或者如阿提雅所云:「以數學來接管物理學有其危險性,因為它引誘我們走向的思想領域,或許體現了數學的完美結構,但卻可能遠離物理現實,甚至完全不相涉。」

盲目的以數學美感為尊,無疑可能引導我們走向歧途;而且就算方向正確,光靠美感也不能將我們帶到目的地。最終,我們還是必須依賴其他更堅實而根本的東西來支撐,否則我們的理論永遠走不出識者妙思的境地,不管這份玄思的動機有多充分,論證有多合理。

「美無法保證真,」楊 -米爾斯雙人組的另一位物理學家米爾斯如是說:「而且也沒有任何邏輯論證支持真理必須優美,但是經驗一再引導我們去期待,美將位於事物的核心,並且以此為箴,去尋求對大自然基本結構的更深層理解。」米爾斯還反過來補充說:「如果提出的理論不夠優雅,我們也學會保持懷疑。」

 

摘自《丘成桐談空間的內在形狀》,丘成桐著,遠流出版。

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從族群耆老的死亡,看見黑猩猩的「同理心」——《我們與動物的距離》

馬可孛羅_96
・2022/01/16 ・2063字 ・閱讀時間約 4 分鐘
  • 作者:法蘭斯・德瓦爾(Frans De Waal)
  • 譯者:陳信宏

人類為何會發展出宗教,其中一個最常被提及的原因便是我們對死亡的體認。我們對生命有限的理解,經常和「人類有沒有可能是唯一擁有宗教的生物」這個問題一起提出。我對這個問題沒有明確的答案,只能說我們沒有理由假設別的靈長類動物對其他個體的死亡一無所知。

如同巴諾布猿天堂裡的巴諾布猿,其他猿類也相當熟悉死亡與失去親友的現象。有時候牠們自己就是凶手,例如有一天那群巴諾布猿打死了一條劇毒的加彭膨蝰。那條蛇令牠們深感恐懼,只要一動就嚇得所有巴諾布猿往後跳開。牠們用樹枝小心戳牠,最後瑪雅才把牠高高拋起並且重重甩在地上。值得注意的是,那條蛇死了之後,牠們的表現就完全顯示牠們並不認為牠會再起死回生。死了就是死了。幼猿開開心心地拖著沒有性命的蛇屍當成玩具,掛在脖子上,甚至撬開牠的嘴巴檢視牠巨大的毒牙。

加彭膨蝰,是一種毒性極強的噝蝰屬毒蛇,分布在非洲撒哈拉沙漠以南的熱帶雨林地區,它是世界上毒性最強的蛇類動物之一,擁有世界上最長的毒牙。圖/Wikipedia

那幕情景令我想起以前目睹過的一場黑猩猩狩獵行動。我們在坦尚尼亞的馬哈勒山脈(Mahale Mountains)跟隨一群黑猩猩,突然聽到樹上高處傳來一陣騷動。黑猩猩抓到獵物的時候會發出一種特殊的尖叫聲,單是這麼一種特殊聲響的存在,就顯示了牠們想要分一杯羹的意願。若不是這樣,保持安靜顯然才是聰明的做法。那陣尖叫聲吸引了其他許多黑猩猩聚集過來。有幾頭公黑猩猩抓到了一隻紅疣猴,這是黑猩猩難以自行捕捉的一種獵物,通常要團體合作才抓得到。

我抬頭透過枝葉的縫隙觀察,看見那幾頭黑猩猩在那隻猴子還活著的情況下就開始吃起牠的肉。由於黑猩猩不是「專業」掠食者,所以沒有演化出貓科動物那種有效的獵殺技巧,而牠們對待獵物的方式也反映了牠們的同理心有時而窮,就和人類一樣。許多黑猩猩都聚集過來形成一種進食集合,包括生殖器腫脹的母黑猩猩,她們通常享有進食的優先權。那整個場景非常吵雜混亂,但所有成員終究都分到了一塊猴肉。第二天,我注意到一頭母黑猩猩經過,背上騎著一頭幼黑猩猩。牠的女兒開開心心地高高揮舞著一根毛茸茸的東西,我才發現那個東西屬於那隻可憐的猴子所有:一頭靈長類動物的尾巴成了另一頭靈長類動物的玩具。

黑猩猩對「死亡」的體悟

某天早上,蓋扎.泰萊基(Geza Teleki)跟隨一群黑猩猩行動,聽到遠處傳來刺耳的尖叫聲。六頭公黑猩猩狂野地來回猛衝,一面發出「喇啊」的叫聲,迴盪在山谷之中。在一條小沖溝裡,只見瑞克斯(一頭公黑猩猩)的身軀一動也不動地癱倒在亂石之間。泰萊基雖然沒有看到他跌落的過程,但覺得自己目睹的乃是這頭公黑猩猩從樹上跌落而摔斷脖子所引發的最初反應。

幾頭黑猩猩停下來看了看瑞克斯的屍體,然後猛力向外衝,並且朝四面八方丟擲大石塊。在那樣的喧鬧狀況下,黑猩猩紛紛互相擁抱、交合、撫摸以及輕拍,臉上則是咧開嘴露出緊張的表情。接著,牠們又花了不少時間盯著屍體看。一頭公黑猩猩在一根樹枝上俯身看著屍體,發出嗚咽的聲音。其他黑猩猩則是觸摸或者嗅聞瑞克斯的屍身。一頭青年母黑猩猩更是一動也不動地靜靜盯著他的屍體看了整整一個小時以上。經過三個小時的擾攘之後,其中一頭年紀較大的公黑猩猩終於離開那片林中空地,朝下游走去。其他黑猩猩一一跟上,慢慢離開,同時不斷回頭望向那具屍體。

猿類面對死亡的反應已有愈來愈多的報導敘述。二○○九年,桃樂絲死後的一張照片在網路上爆紅,因為她的遺體引來保護區內黑猩猩群的圍觀,猩群們相當專注(但靜默得令人發毛)。這在蘇格蘭的布萊爾德拉蒙野生動物園(Blair Drummond Safari Park),一頭名叫潘希的年老母黑猩猩死亡了,其過程透過影片仔細分析,原來在她死前的十分鐘,其他黑猩猩為潘希理毛或者撫摸了十幾次,潘希的成年女兒也整夜陪在她身旁。潘希死後引起的反應從猩群成員觸碰她的嘴巴與四肢(也許是想要檢視她是否還在呼吸或者是否還能動)到某頭公黑猩猩猛擊她的遺體,這種行為也曾經在其他黑猩猩死亡之後被人觀察過。

這種表現看起來雖然像是麻木不仁,卻有可能是一種想要喚醒死者的行為。猿類面對死亡的反應通常綜合了兩件事,一是對死者的毫無回應感到挫折,二是繼續測試看看還有沒有辦法引起死者的回應。不過,圍聚在死者身旁的大多數個體都會默不作聲,彷彿意識到發生了什麼可怕的事情。研究人員觀察潘希臨終前的狀況之後,得出的結論指出:「黑猩猩對死亡的體認受到了低估。」

——本文摘自《我們與動物的距離:在動物身上發現無私的人性》,2021 年 12 月,馬可孛羅

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