物理學家高達( Peter Goddard)曾經寫過:英國物理學家狄拉克認為「當理論物理學要選擇前行之路時,數學的美感是最終極的準則。」 這種想法有時收穫豐碩,例如當狄拉克預測正子(像電子但帶正電的粒子)的存在時,就只是單純因為數學推理讓他確信這類粒子必須存在。事實證明果然如此,數年後科學家發現正子,確認了狄拉克對數學的信念。
本來似乎是數學家無中生有的抽象概念,後來卻被用來描述自然現象,這樣的例子屢見不鮮,而且並不只是現代數學才有的產物。例如圓錐面和平面相交所產生的圓錐曲線,包含了圓、橢圓、拋物線、雙曲線等,據說是西元前 300年希臘幾何學家門奈克默斯( Menaechmus)所發現的,一個世紀之後,再由阿波羅尼斯在他的著作《圓錐曲線論》(Conics)中做系統性的發展。但是一直到十七世紀初克卜勒( Johannes Kepler)發現太陽系行星的橢圓軌道之前,這些曲線並沒有什麼重要的科學用途。
類似的, 1980年代化學家發現了「巴克球」(buckyball)這種奇特的分子構造,它是由六十個碳原子配置成以正六邊形和正五邊形所構成的類球狀結構。但是早在兩千年前左右,阿基米德(Archimedes)就已經描述過這種幾何結構了。另外像「結論」(knot theory)這門純數學的分支,十九世紀晚期時已經開始發展,但大約一個世紀後才應用到弦論和 DNA 的研究中。
英國數學家阿提雅( Michael Atiyah)的話應該能夠鼓舞弦論專家的士氣,他說:「他們所研究的東西,即使沒有辦法用實驗來測量,看起來卻有非常豐富的、一致的數學結構,不但滿足一致性,事實上還開啟了新的研究途徑,給出嶄新的結果。他們所找到的一定有意義,雖然這些構造是否是上帝為宇宙而創造的,或許還有待驗證,但是就算祂不是為宇宙而造,也一定是為其他事物而造。」
我不知道阿提雅所謂的「其他事物」是什麼,但我感到這些美好結構如此豐富,絕對不可能沒有任何意義。當然阿提雅和我都很有自覺,我們知道魅於美感的基礎有著不穩固的風險。就像懷疑弦論的賀耳特( Jim Holt)在《紐約客》中所警告的:「美不足恃。」或者如阿提雅所云:「以數學來接管物理學有其危險性,因為它引誘我們走向的思想領域,或許體現了數學的完美結構,但卻可能遠離物理現實,甚至完全不相涉。」
不管是大型電腦或個人電腦都需具有「中央處理單元」(central process unit,簡稱 CPU)。CPU 是電腦的「腦」,其電子電路負責處理所有軟體正確運作所需的所有任務,如算術、邏輯、控制、輸入和輸出操作等等。雖然早期的設計即可以讓一個指令同時做兩、三件不同的工作;但為了簡單化,我們在這裡所談的工作將只是執行算術和邏輯運算的工作(arithmetic and logic unit,簡稱 ALU),如將兩個數加在一起。在這一簡化的定義下,CPU 在任何一個時刻均只能執行一件工作而已。
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在個人電腦剛出現只能用於一般事物的處理時,CPU 均能非常勝任地完成任務。但電腦圖形和動畫的出現帶來了第一批運算密集型工作負載後,CPU 開始顯示心有餘而力不足:例如電玩動畫需要應用程式處理數以萬計的像素(pixel),每個像素都有自己的顏色、光強度、和運動等, 使得 CPU 根本沒辦法在短時間內完成這些工作。於是出現了主機板上之「顯示插卡」來支援補助 CPU。
如果在「三跤㧣」選舉之下,選情的激盪從候選人的得票多少看不出來,那要從哪裡看?政治學提供的一個方法是把候選人配對 PK,看是否有一位候選人能在所有的 PK 中取勝。這樣的候選人並不一定存在,如果不存在,那代表有 A 與 B 配對 A 勝,B 與 C 配對 B 勝,C 與 A 配對 C 勝的 A>B>C>A 的情形。這種情形,一般叫做「循環多數」(cyclical majorities),是 18 世紀法國學者孔多塞(Nicolas de Condorcet)首先提出。循環多數的存在意涵選舉結果隱藏了政治動盪。
台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士,
現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。
林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心
「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作,
並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。
林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。
數學科普作家葛登能最不遺餘力探索數學和這些遊戲之間的密切關係。他寫了很多極有吸引力的書,也在《科學美國人》撰寫專欄,而這些都是會讓高中生或大學生感到很刺激的課外讀物(前提是有人指定他們去讀的話)。此外,數學家喬治.波利亞(George Polya)的《怎樣解題》(How to Solve It)和《數學與合情判讀》(Mathematics and Plausible Reasoning),或許也屬於這一類。有一本帶有這些人的文風、但屬於較初階的有趣好書,是瑪瑞琳.伯恩斯(Marilyn Burns)所寫的《我恨數學》(The I Hate Mathematics! Book),書裡有很多啟發性的提示,帶領讀者解題與發想各種奇思異想,是小學數學課本裡罕見的內容。
可能有人說過,因為所受訓練之故,數學家有一種特殊的幽默感。他們往往會接受字面意義,但字面上的解讀又常和標準用法的意義不同,因此很好笑。比方說,哪種運動比賽時要蓋臉?答案是,冰上曲棍球以及痲瘋病人拳擊(按:原文「Which two sports have face-offs」,「face-off」其中一個字面意義為「蓋臉」,而這也是冰上曲棍球常用的術語,意指「爭奪球權」)。他們也很沉溺於歸謬法(reductio ad absurdum),或設定極端前提條件然後做邏輯演練,以及各式各樣的字組遊戲。