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戴上數學眼鏡看雍正王朝

賴 以威
・2014/02/18 ・2177字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 474 ・五年級

人類與生俱來的慾望清單裡,少不了「權力」這項。

戴上數學眼鏡看雍正王朝_Pansci
Photo Credit:epSos.de

擁有權力,就能得到自己想要的任何事物。有些人為了權力甘願放棄一切,曹丕放棄了兄弟之情,逼曹植七步成詩。留下了「本是同根生,相煎何太急」的千古名言,道盡權力之下,一切都可被犧牲的感嘆。曹家兄弟兩個人的權力鬥爭就如此險惡,規模大一點的宮廷戲碼,動輒十幾位妃子的後宮,或十幾位阿哥的爭嗣,你來我往、合縱連橫,更是精彩萬分。從每隔幾年雍正就得被請出來一次,就可以看見這種權力鬥爭的劇情有多麼吸引人。坊間還會順勢推出許多《XX王朝教你的八十八件事》、《你沒看懂的XX傳》,進一步撈錢分析劇中人物的言行舉止,讓我們了解到許多看起來不起眼的動作,其實都牽扯到權力的操作、分配。

這樣的分析,請容許數學也參一腳。

 

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假設今天皇阿瑪生日,五位阿哥決定合送一份禮物。要是這五位阿哥出的黃金都相同,每個人擁有一樣的決定權,唯有超過3人贊成,才能拍板定案要送啥。

但要是出資不同,每位阿哥說話的份量就不一樣了。

其中,四爺數學特別好,他想買一本流傳在夷洲的超有趣數學科普書,讓皇阿瑪喜歡上數學,關係可以更拉近一點。真是一位聰明的阿哥,應該要讓他當太子的。

因為這本書很稀有,又真的非常有趣,一時洛陽紙貴,定價高達100兩黃金,四爺為了達成目的,決定多出一些錢。

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他巧妙地跟大家說:「我們湊個 100 兩黃金,我多出一點無所謂,36 兩。其他剩下來的餘額,各位兄弟就平攤吧。」

於是出資結果為 ($36,$16,$16,$16,$16)。

這步棋下的非常高明,完美有效地利用了金錢換取權力。再解釋清楚一點,在四爺出資 36 兩的情況下,他只需要拉攏任意一位盟友,就擁有了36+16=52 的過半票數,可以買任何想要的東西。但要是四爺稍微小氣點,數學差一點,只肯出到 32 兩黃金,在出資情形($32,$17,$17,$17,$17)時,四爺想買數學書還得尋求至少2位阿哥的同意 (四爺加任何1人也只有49票),得超過 3 人才能夠通過表決,跟每人出 20 兩時的狀況相同。也就是說,四爺多出的12 兩都拿去打水瓢了,一點意義也沒有。要是其他三位阿哥決定拿這筆錢去買一個馬桶蓋,他也只能摸摸鼻子答應。

權力的關鍵不僅在於誰出多少,更重要的是,誰能影響過半

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比起擁有的票數多寡,有一種更精準的量化方式表示每位投票人的實質權力,稱之為「Shapley–Shubik 權力指數」:針對贊成與反對的投票,越容易左右結果的人,Shapley–Shubik 權力指數越高。

舉例來說,有四位投票者 A、B、C、D 分別握有 2 票、5 票、3 票、3 票。總票數為 13 票,7 票過半。如果今天 A 先投下贊成票,當 B 投下贊成票時票數會過半,B 就是所謂的「權力者」,只要權力者贊成,就能決定結果,喊水會結凍,就算 C 跟 D 要反對也來不及。

在此我們不考慮 C 跟 D 會霸占主席台的狀況,儘管這在台灣的宮廷戲碼中不會不常見。

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另一種狀況,A 先投贊成票(2),接著 C 投贊成票(2+3),但依然不過半,所以沒人會在意 C,但下一位投票者一出場氛圍就不同了,因為只要他贊成,就過半,這人才是x權力者。

權力者不只由投票順序決定,和每個人手中握有的票數也有關。

權力指數的計算方式是,考慮所有依序投票的排列結果,好比有三位投票者A、B、C,即會有六種不同的順序,ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。再統計這麼多投票順序之中,每位投票者成為「權力者」的次數,除以總數,即是每個人的權力指數。

 

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計算($32,$17,$17,$17,$17)跟($20,$20,$20,$20,$20)這兩種狀況的權力指數,結果都是(20%,20%,20%,20%,20%),如同前面的討論,雖然四爺多出錢,但要決定一樣禮物時,還是得獲得3人以上的支持,5 個人的權力指數一模一樣,並沒有因為一個人多出錢而權力傾斜。

但在($36,$16,$16,$16,$16)時,我們列幾種順序:(紅色為權力者)

36→16→16→16→16

16→36→16→16→16

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16→16→36→16→16

16→16→16→36→16

16→16→16→16→36

5 種順序面有 3 種順序,出 36 兩黃金的四爺都是權力者,因此他的權力高達 3/5=60 %。其餘4人平分剩下的 40 %,權力指數成了 (60%,10%,10%,10%,10%)。四爺擁有過半的絕對權力,想送哪一本數學科普書都沒問題。實際上的狀況也是如此,四爺只要找到一個人支持他就好,但如果其他人要反對他,一定得四位結盟才行。

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透過權利指數,我們會發現不少「看起來的權力」與「實際上的權力」相差許多的狀況。例如,要是五位阿哥的出錢比例是($35,$28,$22,$14,$1),出 14 兩黃金的人,剛好就是十四爺。但十四爺發現,自己明明出得也不算太少,想發表意見時,大家卻只會聳聳肩敷衍他,沒人認真聽,就連出最多跟他最好的四爺也不大理睬他。

「十四弟,你根本沒辦法影響決定啊,看看,這時候咱們的權力指數是( 37 %, 28 %, 28 %, 3 %, 3 %),你跟那窮到只攢得出1 兩黃金的十九弟一樣沒用啊!」

十四爺忿忿不平,偏偏他阮囊羞澀無法加碼。好在他平常常跟四爺一起混,數學也不差。他掐指一算後,立刻慫恿出四爺再多出1兩,讓第三名的阿哥少出1兩。

僅僅是1兩的調整,調整後的權力指數頓時變成 (45 %, 20 %, 20 %, 12 %, 3 %)。四爺權力一口氣上升 8 %,四爺很滿意。但最大的受益者其實是十四爺,權力指數從 3 %暴增到12 %!

這背後的原因是,原本出最多錢的四爺得靠拉攏第二名、第三名才能過半,拉攏第四名的十四爺根本沒意義。但只要四爺一加碼,就算拉攏十四爺也能過半了。

讓自己變得被需要,不一定得提升自己的能力,也可以反過來,降低自己被需要的門檻。

也因此,權力遊戲中總是出現「聯合次要敵人,打擊主要敵人」的場景。

 

《戴上數學眼鏡看雍正王朝》,我們下周見。明天權力鬥爭的機率是70 %,出門請記得攜帶計算機。

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

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賴 以威
32 篇文章 ・ 9 位粉絲
數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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ECU: 汽車大腦的演化與挑戰
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/07/02 ・3793字 ・閱讀時間約 7 分鐘

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本文與 威力暘電子 合作,泛科學企劃執行。

想像一下,當你每天啟動汽車時,啟動的不再只是一台車,而是一百台電腦同步運作。但如果這些「電腦」突然集體當機,後果會有多嚴重?方向盤可能瞬間失靈,安全氣囊無法啟動,整台車就像失控的高科技廢鐵。這樣的「系統崩潰」風險並非誇張劇情,而是真實存在於你我日常的駕駛過程中。

今天,我們將深入探討汽車電子系統「逆天改運」的科學奧秘。究竟,汽車的「大腦」—電子控制單元(ECU),是如何從單一功能,暴增至上百個獨立系統?而全球頂尖的工程師們,又為何正傾盡全力,試圖將這些複雜的系統「砍掉重練」、整合優化?

第一顆「汽車大腦」的誕生

時間回到 1980 年代,當時的汽車工程師們面臨一項重要任務:如何把汽油引擎的每一滴燃油都壓榨出最大動力?「省油即省錢」是放諸四海皆準的道理。他們發現,關鍵其實潛藏在一個微小到幾乎難以察覺的瞬間:火星塞的點火時機,也就是「點火正時」。

如果能把點火的精準度控制在「兩毫秒」以內,這大約是你眨眼時間的百分之一到千分之一!引擎效率就能提升整整一成!這不僅意味著車子開起來更順暢,還能直接省下一成的油耗。那麼,要如何跨過這道門檻?答案就是:「電腦」的加入!

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工程師們引入了「微控制器」(Microcontroller),你可以把它想像成一顆專注於特定任務的迷你電腦晶片。它能即時讀取引擎轉速、進氣壓力、油門深度、甚至異常爆震等各種感測器的訊號。透過內建的演算法,在千分之一秒、甚至微秒等級的時間內,精準計算出最佳的點火角度,並立刻執行。

從此,引擎的性能表現大躍進,油耗也更漂亮。這正是汽車電子控制單元(ECU)的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)。

汽車電子控制單元的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)/ 圖片來源:shutterstock

ECU 的失控暴增與甜蜜的負荷

第一顆 ECU 的成功,在 1980 年代後期點燃了工程師們的想像:「這 ECU 這麼好用,其他地方是不是也能用?」於是,ECU 的應用範圍不再僅限於點火,燃油噴射量、怠速穩定性、變速箱換檔平順度、ABS 防鎖死煞車,甚至安全氣囊的引爆時機……各種功能都交給專屬的 ECU 負責 。

然而,問題來了:這麼多「小電腦」,它們之間該如何有效溝通?

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為了解決這個問題,1986 年,德國的博世(Bosch)公司推出了一項劃時代的發明:控制器區域網路(CAN Bus)。你可以將它想像成一條專為 ECU 打造的「神經網路」。各個 ECU 只需連接到這條共用的線路上,就能將訊息「廣播」給其他單元。

更重要的是,CAN Bus 還具備「優先通行」機制。例如,煞車指令或安全氣囊引爆訊號這類攸關人命的重要訊息,絕對能搶先通過,避免因資訊堵塞而延誤。儘管 CAN Bus 解決了 ECU 之間的溝通問題,但每顆 ECU 依然需要獨立的電源線、接地線,並連接各種感測器和致動器。結果就是,一輛汽車的電線總長度可能達到 2 到 4 公里,總重量更高達 50 到 60 公斤,等同於憑空多載了一位乘客的重量。

另一方面,大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。更別提這些密密麻麻的線束,簡直是設計師和維修技師的惡夢。要檢修這些電子故障,無疑讓人一個頭兩個大。

大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。/圖片來源:shutterstock

汽車電子革命:從「百腦亂舞」到集中治理

到了2010年代,汽車電子架構迎來一場大改革,「分區架構(Zonal Architecture)」搭配「中央高效能運算(HPC)」逐漸成為主流。簡單來說,這就像在車內建立「地方政府+中央政府」的管理系統。

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可以想像,整輛車被劃分為幾個大型區域,像是車頭、車尾、車身兩側與駕駛艙,就像數個「大都會」。每個區域控制單元(ZCU)就像「市政府」,負責收集該區所有的感測器訊號、初步處理與整合,並直接驅動該區的馬達、燈光等致動器。區域先自理,就不必大小事都等中央拍板。

而「中央政府」則由車用高效能運算平台(HPC)擔任,統籌負責更複雜的運算任務,例如先進駕駛輔助系統(ADAS)所需的環境感知、物體辨識,或是車載娛樂系統、導航功能,甚至是未來自動駕駛的決策,通通交由車輛正中央的這顆「超級大腦」執行。

乘著這波汽車電子架構的轉型浪潮中, 2008 年成立的台灣本土企業威力暘電子,便精準地切入了這個趨勢,致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台。他們專精於開發電子排檔、多功能方向盤等各式汽車電子控制模組。為了確保各部件之間的溝通順暢,威力暘提供的解決方案,就像是將好幾個「分區管理員」的職責,甚至一部分「超級大腦」的功能,都整合到一個更強大的硬體平台上。

這些模組不僅擁有強大的晶片運算能力,可同時支援 ADAS 與車載娛樂,還能兼容多種通訊協定,大幅簡化車內網路架構。如此一來,車廠在追求輕量化和高效率的同時,也能顧及穩定性與安全性。

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2008 年威力暘電子致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台 /圖片來源:shutterstock

萬無一失的「汽車大腦」:威力暘的四大策略

然而,「做出來」與「做好」之間,還是有差別。要如何確保這顆集結所有功能的「汽車大腦」不出錯?具體來說,威力暘電子憑藉以下四大策略,築起其產品的可靠性與安全性:

  1. AUTOSAR : 導入開放且標準化的汽車軟體架構 AUTOSAR。分為應用層、運行環境層(RTE)和基礎軟體層(BSW)。就像在玩「樂高積木」,ECU 開發者能靈活組合模組,專注在核心功能開發,從根本上提升軟體的穩定性和可靠性。
  2. V-Model 開發流程:這是一種強調嚴謹、能在早期發現錯誤的軟體開發流程。就像打勾 V 字形般,左側從上而下逐步執行,右側則由下而上層層檢驗,確保每個階段的安全要求都確實落實。
  3. 基於模型的設計 MBD(Model-Based Design) 威力暘的工程師們會利用 MatLab®/Simulink® 等工具,把整個 ECU 要控制的系統(如煞車),用數學模型搭建起來,然後在虛擬環境中進行大量的模擬和測試。這等於在實體 ECU 誕生前,就能在「數位雙生」世界中反覆演練、預先排除設計缺陷,,並驗證安全機制是否有效。
  4. Automotive SPICE (ASPICE) : ASPICE 是國際公認的汽車軟體「品質管理系統」,它不直接評估最終 ECU 產品本身的安全性,而是深入檢視團隊在軟體開發的「整個過程」,也就是「方法論」和「管理紀律」是否夠成熟、夠系統化,並只根據數據來評估品質。

既然 ECU 掌管了整輛車的運作,其能否正常運作,自然被視為最優先項目。為此,威力暘嚴格遵循汽車業中一本堪稱「安全聖經」的國際標準:ISO 26262。這套國際標準可視為一本針對汽車電子電氣系統(特別是 ECU)的「超嚴格品管手冊」和「開發流程指南」,從概念、設計、測試到生產和報廢,都詳細規範了每個安全要求和驗證方法,唯一目標就是把任何潛在風險降到最低

有了上述這四項策略,威力暘確保其產品從設計、生產到交付都符合嚴苛的安全標準,才能通過 ISO 26262 的嚴格檢驗。

然而,ECU 的演進並未就此停下腳步。當ECU 的數量開始精簡,「大腦」變得更集中、更強大後,汽車產業又迎來了新一波革命:「軟體定義汽車」(Software-Defined Vehicle, SDV)。

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軟體定義汽車 SDV:你的愛車也能「升級」!

未來的汽車,會越來越像你手中的智慧型手機。過去,車輛功能在出廠時幾乎就「定終身」,想升級?多半只能換車。但在軟體定義汽車(SDV)時代,汽車將搖身一變成為具備強大運算能力與高速網路連線的「行動伺服器」,能夠「二次覺醒」、不斷升級。透過 OTA(Over-the-Air)技術,車廠能像推送 App 更新一樣,遠端傳送新功能、性能優化或安全修補包到你的車上。

不過,這種美好願景也將帶來全新的挑戰:資安風險。當汽車連上網路,就等於向駭客敞開潛在的攻擊入口。如果車上的 ECU 或雲端伺服器被駭,輕則個資外洩,重則車輛被遠端鎖定或惡意操控。為了打造安全的 SDV,業界必須遵循像 ISO 21434 這樣的車用資安標準。

威力暘電子運用前面提到的四大核心策略,確保自家產品能符合從 ISO 26262 到 ISO 21434 的國際認證。從品質管理、軟體開發流程,到安全認證,這些努力,讓威力暘的模組擁有最高的網路與功能安全。他們的產品不僅展現「台灣智造」的彈性與創新,也擁有與國際大廠比肩的「車規級可靠度」。憑藉這些實力,威力暘已成功打進日本 YAMAHA、Toyota,以及歐美 ZF、Autoliv 等全球一線供應鏈,更成為 DENSO 在台灣少數核准的控制模組夥伴,以商用車熱系統專案成功打入日系核心供應鏈,並自 2025 年起與 DENSO 共同展開平台化量產,驗證其流程與品質。

毫無疑問,未來車輛將有更多運作交由電腦與 AI 判斷,交由電腦判斷,比交由人類駕駛還要安全的那一天,離我們不遠了。而人類的角色,將從操作者轉為監督者,負責在故障或斷網時擔任最後的保險。透過科技讓車子更聰明、更安全,人類甘願當一個「最弱兵器」,其實也不錯!

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一票也是關鍵!從權力指數看投票的影響力——《生而為人的13堂數學課》
臉譜出版_96
・2022/03/29 ・1164字 ・閱讀時間約 2 分鐘

  • 作者/ 蘇宇瑞 
  • 原文作者/ Francis Su
  • 譯者/ 畢馨云

權力指數是能夠量化的

政治體系中的權力影響到我們的日常生活,所以數學家與政治科學家已經發展出量化權力的模型,應該就不令人意外了。夏普力―舒比克權力指數(Shapley-Shubik power index)就是這樣的模型。

假設你有一個100人組成的決策團體,分成A組(50人)、B組(49人)、C組(僅1人)。為了通過某項法案,需要51人贊成,但由三組人馬共同投票。如果仔細想想,C組儘管只有1人,但對結果有可能產生相當大的影響。

美國在2017年就發生過這種情況,在50位參議員聲稱會反對廢除,49位聲稱會贊成廢除之後,參議員約翰.馬侃(John McCain)的一票保住了歐巴馬總統的健保法案。

量化這種影響的方法之一,是想像各組投票人按某種順序走進房間,然後形成一個不斷變大的聯盟;當這個聯盟的大小剛好大到通過一項法案,我們就稱進入房間的這個投票組為關鍵組。一個投票組的夏普力―舒比克指數,就是讓那一組成為關鍵組的排序分數。

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權力指數模型中的關鍵組會影響決策。圖/Pexels

關鍵組的影響

在我們的例子中,三組有六種排序:ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA(關鍵組以粗體字表示)。舉例來說,A組在四種排序中是關鍵組,包括BAC(因為B組自己沒有51票)與BCA(因為B、C兩組加起來沒有51票)。

B組只有在ABC中是關鍵組,而C組只有在ACB中是關鍵組。因此,A組的夏普力―舒比克指數是4/6,B組是1/6,C組也是1/6。根據這種衡量權力的標準,C組裡的1人執掌的權力跟B組裡的49人合起來的權力一樣大。

如果A組有48人,B組有49人,C組有3人,三個組的權力指數會變成多少?請試一試。在分析2017年發生的事情時,如果你想把蘇珊.柯林斯(Susan Collins)、麗莎.穆考斯基(Lisa Murkowski)、馬侃三位共和黨參議員視為一個聯盟,在進行表決時未配合黨團投票廢除健保法案,這就會是另一種分析方式。

艾倫.泰勒(Alan Taylor)和艾莉森.帕切里(Allison Pacelli)在他們合著的《數學與政治》(Mathematics and Politics)一書中,分析美國總統(在包括眾議院和參議院的聯邦體系中)的權力,發現大約是16%。你也會在書裡看到關於其他國家政治體系及其他權力概念的討論。a

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註釋

a. Alan D. Taylor and Allison M. Pacelli, Mathematics and Politics: Strategy, Voting, Power, and Proof (New York: Springer, 2009). 三組分別有49人、50人與1人的例子,出現在另一本書中:Steven Brams, Game Theory and Politics (New York: Free Press, 1975),頁158–64。

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臉譜出版_96
88 篇文章 ・ 255 位粉絲
臉譜出版有著多種樣貌—商業。文學。人文。科普。藝術。生活。希望每個人都能找到他要的書,每本書都能找到讀它的人,讀書可以僅是一種樂趣,甚或一個最尋常的生活習慣。

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戴上數學眼鏡看雍正王朝
賴 以威
・2014/02/18 ・2177字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 474 ・五年級

人類與生俱來的慾望清單裡,少不了「權力」這項。

戴上數學眼鏡看雍正王朝_Pansci
Photo Credit:epSos.de

擁有權力,就能得到自己想要的任何事物。有些人為了權力甘願放棄一切,曹丕放棄了兄弟之情,逼曹植七步成詩。留下了「本是同根生,相煎何太急」的千古名言,道盡權力之下,一切都可被犧牲的感嘆。曹家兄弟兩個人的權力鬥爭就如此險惡,規模大一點的宮廷戲碼,動輒十幾位妃子的後宮,或十幾位阿哥的爭嗣,你來我往、合縱連橫,更是精彩萬分。從每隔幾年雍正就得被請出來一次,就可以看見這種權力鬥爭的劇情有多麼吸引人。坊間還會順勢推出許多《XX王朝教你的八十八件事》、《你沒看懂的XX傳》,進一步撈錢分析劇中人物的言行舉止,讓我們了解到許多看起來不起眼的動作,其實都牽扯到權力的操作、分配。

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假設今天皇阿瑪生日,五位阿哥決定合送一份禮物。要是這五位阿哥出的黃金都相同,每個人擁有一樣的決定權,唯有超過3人贊成,才能拍板定案要送啥。

但要是出資不同,每位阿哥說話的份量就不一樣了。

其中,四爺數學特別好,他想買一本流傳在夷洲的超有趣數學科普書,讓皇阿瑪喜歡上數學,關係可以更拉近一點。真是一位聰明的阿哥,應該要讓他當太子的。

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他巧妙地跟大家說:「我們湊個 100 兩黃金,我多出一點無所謂,36 兩。其他剩下來的餘額,各位兄弟就平攤吧。」

於是出資結果為 ($36,$16,$16,$16,$16)。

這步棋下的非常高明,完美有效地利用了金錢換取權力。再解釋清楚一點,在四爺出資 36 兩的情況下,他只需要拉攏任意一位盟友,就擁有了36+16=52 的過半票數,可以買任何想要的東西。但要是四爺稍微小氣點,數學差一點,只肯出到 32 兩黃金,在出資情形($32,$17,$17,$17,$17)時,四爺想買數學書還得尋求至少2位阿哥的同意 (四爺加任何1人也只有49票),得超過 3 人才能夠通過表決,跟每人出 20 兩時的狀況相同。也就是說,四爺多出的12 兩都拿去打水瓢了,一點意義也沒有。要是其他三位阿哥決定拿這筆錢去買一個馬桶蓋,他也只能摸摸鼻子答應。

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比起擁有的票數多寡,有一種更精準的量化方式表示每位投票人的實質權力,稱之為「Shapley–Shubik 權力指數」:針對贊成與反對的投票,越容易左右結果的人,Shapley–Shubik 權力指數越高。

舉例來說,有四位投票者 A、B、C、D 分別握有 2 票、5 票、3 票、3 票。總票數為 13 票,7 票過半。如果今天 A 先投下贊成票,當 B 投下贊成票時票數會過半,B 就是所謂的「權力者」,只要權力者贊成,就能決定結果,喊水會結凍,就算 C 跟 D 要反對也來不及。

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另一種狀況,A 先投贊成票(2),接著 C 投贊成票(2+3),但依然不過半,所以沒人會在意 C,但下一位投票者一出場氛圍就不同了,因為只要他贊成,就過半,這人才是x權力者。

權力者不只由投票順序決定,和每個人手中握有的票數也有關。

權力指數的計算方式是,考慮所有依序投票的排列結果,好比有三位投票者A、B、C,即會有六種不同的順序,ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。再統計這麼多投票順序之中,每位投票者成為「權力者」的次數,除以總數,即是每個人的權力指數。

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計算($32,$17,$17,$17,$17)跟($20,$20,$20,$20,$20)這兩種狀況的權力指數,結果都是(20%,20%,20%,20%,20%),如同前面的討論,雖然四爺多出錢,但要決定一樣禮物時,還是得獲得3人以上的支持,5 個人的權力指數一模一樣,並沒有因為一個人多出錢而權力傾斜。

但在($36,$16,$16,$16,$16)時,我們列幾種順序:(紅色為權力者)

36→16→16→16→16

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16→36→16→16→16

16→16→36→16→16

16→16→16→36→16

16→16→16→16→36

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5 種順序面有 3 種順序,出 36 兩黃金的四爺都是權力者,因此他的權力高達 3/5=60 %。其餘4人平分剩下的 40 %,權力指數成了 (60%,10%,10%,10%,10%)。四爺擁有過半的絕對權力,想送哪一本數學科普書都沒問題。實際上的狀況也是如此,四爺只要找到一個人支持他就好,但如果其他人要反對他,一定得四位結盟才行。

 

透過權利指數,我們會發現不少「看起來的權力」與「實際上的權力」相差許多的狀況。例如,要是五位阿哥的出錢比例是($35,$28,$22,$14,$1),出 14 兩黃金的人,剛好就是十四爺。但十四爺發現,自己明明出得也不算太少,想發表意見時,大家卻只會聳聳肩敷衍他,沒人認真聽,就連出最多跟他最好的四爺也不大理睬他。

「十四弟,你根本沒辦法影響決定啊,看看,這時候咱們的權力指數是( 37 %, 28 %, 28 %, 3 %, 3 %),你跟那窮到只攢得出1 兩黃金的十九弟一樣沒用啊!」

十四爺忿忿不平,偏偏他阮囊羞澀無法加碼。好在他平常常跟四爺一起混,數學也不差。他掐指一算後,立刻慫恿出四爺再多出1兩,讓第三名的阿哥少出1兩。

僅僅是1兩的調整,調整後的權力指數頓時變成 (45 %, 20 %, 20 %, 12 %, 3 %)。四爺權力一口氣上升 8 %,四爺很滿意。但最大的受益者其實是十四爺,權力指數從 3 %暴增到12 %!

這背後的原因是,原本出最多錢的四爺得靠拉攏第二名、第三名才能過半,拉攏第四名的十四爺根本沒意義。但只要四爺一加碼,就算拉攏十四爺也能過半了。

讓自己變得被需要,不一定得提升自己的能力,也可以反過來,降低自己被需要的門檻。

也因此,權力遊戲中總是出現「聯合次要敵人,打擊主要敵人」的場景。

 

《戴上數學眼鏡看雍正王朝》,我們下周見。明天權力鬥爭的機率是70 %,出門請記得攜帶計算機。

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

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賴 以威
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數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室