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戴上數學眼鏡看雍正王朝

賴 以威
・2014/02/18 ・2177字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 474 ・五年級

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人類與生俱來的慾望清單裡,少不了「權力」這項。

戴上數學眼鏡看雍正王朝_Pansci
Photo Credit:epSos.de

擁有權力,就能得到自己想要的任何事物。有些人為了權力甘願放棄一切,曹丕放棄了兄弟之情,逼曹植七步成詩。留下了「本是同根生,相煎何太急」的千古名言,道盡權力之下,一切都可被犧牲的感嘆。曹家兄弟兩個人的權力鬥爭就如此險惡,規模大一點的宮廷戲碼,動輒十幾位妃子的後宮,或十幾位阿哥的爭嗣,你來我往、合縱連橫,更是精彩萬分。從每隔幾年雍正就得被請出來一次,就可以看見這種權力鬥爭的劇情有多麼吸引人。坊間還會順勢推出許多《XX王朝教你的八十八件事》、《你沒看懂的XX傳》,進一步撈錢分析劇中人物的言行舉止,讓我們了解到許多看起來不起眼的動作,其實都牽扯到權力的操作、分配。

這樣的分析,請容許數學也參一腳。

 

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假設今天皇阿瑪生日,五位阿哥決定合送一份禮物。要是這五位阿哥出的黃金都相同,每個人擁有一樣的決定權,唯有超過3人贊成,才能拍板定案要送啥。

但要是出資不同,每位阿哥說話的份量就不一樣了。

其中,四爺數學特別好,他想買一本流傳在夷洲的超有趣數學科普書,讓皇阿瑪喜歡上數學,關係可以更拉近一點。真是一位聰明的阿哥,應該要讓他當太子的。

因為這本書很稀有,又真的非常有趣,一時洛陽紙貴,定價高達100兩黃金,四爺為了達成目的,決定多出一些錢。

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他巧妙地跟大家說:「我們湊個 100 兩黃金,我多出一點無所謂,36 兩。其他剩下來的餘額,各位兄弟就平攤吧。」

於是出資結果為 ($36,$16,$16,$16,$16)。

這步棋下的非常高明,完美有效地利用了金錢換取權力。再解釋清楚一點,在四爺出資 36 兩的情況下,他只需要拉攏任意一位盟友,就擁有了36+16=52 的過半票數,可以買任何想要的東西。但要是四爺稍微小氣點,數學差一點,只肯出到 32 兩黃金,在出資情形($32,$17,$17,$17,$17)時,四爺想買數學書還得尋求至少2位阿哥的同意 (四爺加任何1人也只有49票),得超過 3 人才能夠通過表決,跟每人出 20 兩時的狀況相同。也就是說,四爺多出的12 兩都拿去打水瓢了,一點意義也沒有。要是其他三位阿哥決定拿這筆錢去買一個馬桶蓋,他也只能摸摸鼻子答應。

權力的關鍵不僅在於誰出多少,更重要的是,誰能影響過半

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比起擁有的票數多寡,有一種更精準的量化方式表示每位投票人的實質權力,稱之為「Shapley–Shubik 權力指數」:針對贊成與反對的投票,越容易左右結果的人,Shapley–Shubik 權力指數越高。

舉例來說,有四位投票者 A、B、C、D 分別握有 2 票、5 票、3 票、3 票。總票數為 13 票,7 票過半。如果今天 A 先投下贊成票,當 B 投下贊成票時票數會過半,B 就是所謂的「權力者」,只要權力者贊成,就能決定結果,喊水會結凍,就算 C 跟 D 要反對也來不及。

在此我們不考慮 C 跟 D 會霸占主席台的狀況,儘管這在台灣的宮廷戲碼中不會不常見。

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另一種狀況,A 先投贊成票(2),接著 C 投贊成票(2+3),但依然不過半,所以沒人會在意 C,但下一位投票者一出場氛圍就不同了,因為只要他贊成,就過半,這人才是x權力者。

權力者不只由投票順序決定,和每個人手中握有的票數也有關。

權力指數的計算方式是,考慮所有依序投票的排列結果,好比有三位投票者A、B、C,即會有六種不同的順序,ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。再統計這麼多投票順序之中,每位投票者成為「權力者」的次數,除以總數,即是每個人的權力指數。

 

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計算($32,$17,$17,$17,$17)跟($20,$20,$20,$20,$20)這兩種狀況的權力指數,結果都是(20%,20%,20%,20%,20%),如同前面的討論,雖然四爺多出錢,但要決定一樣禮物時,還是得獲得3人以上的支持,5 個人的權力指數一模一樣,並沒有因為一個人多出錢而權力傾斜。

但在($36,$16,$16,$16,$16)時,我們列幾種順序:(紅色為權力者)

36→16→16→16→16

16→36→16→16→16

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16→16→36→16→16

16→16→16→36→16

16→16→16→16→36

5 種順序面有 3 種順序,出 36 兩黃金的四爺都是權力者,因此他的權力高達 3/5=60 %。其餘4人平分剩下的 40 %,權力指數成了 (60%,10%,10%,10%,10%)。四爺擁有過半的絕對權力,想送哪一本數學科普書都沒問題。實際上的狀況也是如此,四爺只要找到一個人支持他就好,但如果其他人要反對他,一定得四位結盟才行。

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透過權利指數,我們會發現不少「看起來的權力」與「實際上的權力」相差許多的狀況。例如,要是五位阿哥的出錢比例是($35,$28,$22,$14,$1),出 14 兩黃金的人,剛好就是十四爺。但十四爺發現,自己明明出得也不算太少,想發表意見時,大家卻只會聳聳肩敷衍他,沒人認真聽,就連出最多跟他最好的四爺也不大理睬他。

「十四弟,你根本沒辦法影響決定啊,看看,這時候咱們的權力指數是( 37 %, 28 %, 28 %, 3 %, 3 %),你跟那窮到只攢得出1 兩黃金的十九弟一樣沒用啊!」

十四爺忿忿不平,偏偏他阮囊羞澀無法加碼。好在他平常常跟四爺一起混,數學也不差。他掐指一算後,立刻慫恿出四爺再多出1兩,讓第三名的阿哥少出1兩。

僅僅是1兩的調整,調整後的權力指數頓時變成 (45 %, 20 %, 20 %, 12 %, 3 %)。四爺權力一口氣上升 8 %,四爺很滿意。但最大的受益者其實是十四爺,權力指數從 3 %暴增到12 %!

這背後的原因是,原本出最多錢的四爺得靠拉攏第二名、第三名才能過半,拉攏第四名的十四爺根本沒意義。但只要四爺一加碼,就算拉攏十四爺也能過半了。

讓自己變得被需要,不一定得提升自己的能力,也可以反過來,降低自己被需要的門檻。

也因此,權力遊戲中總是出現「聯合次要敵人,打擊主要敵人」的場景。

 

《戴上數學眼鏡看雍正王朝》,我們下周見。明天權力鬥爭的機率是70 %,出門請記得攜帶計算機。

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

文章難易度
賴 以威
32 篇文章 ・ 8 位粉絲
數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

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連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

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在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

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地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

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地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

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許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

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地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

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此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

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一票也是關鍵!從權力指數看投票的影響力——《生而為人的13堂數學課》
臉譜出版_96
・2022/03/29 ・1164字 ・閱讀時間約 2 分鐘

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  • 作者/ 蘇宇瑞 
  • 原文作者/ Francis Su
  • 譯者/ 畢馨云

權力指數是能夠量化的

政治體系中的權力影響到我們的日常生活,所以數學家與政治科學家已經發展出量化權力的模型,應該就不令人意外了。夏普力―舒比克權力指數(Shapley-Shubik power index)就是這樣的模型。

假設你有一個100人組成的決策團體,分成A組(50人)、B組(49人)、C組(僅1人)。為了通過某項法案,需要51人贊成,但由三組人馬共同投票。如果仔細想想,C組儘管只有1人,但對結果有可能產生相當大的影響。

美國在2017年就發生過這種情況,在50位參議員聲稱會反對廢除,49位聲稱會贊成廢除之後,參議員約翰.馬侃(John McCain)的一票保住了歐巴馬總統的健保法案。

量化這種影響的方法之一,是想像各組投票人按某種順序走進房間,然後形成一個不斷變大的聯盟;當這個聯盟的大小剛好大到通過一項法案,我們就稱進入房間的這個投票組為關鍵組。一個投票組的夏普力―舒比克指數,就是讓那一組成為關鍵組的排序分數。

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權力指數模型中的關鍵組會影響決策。圖/Pexels

關鍵組的影響

在我們的例子中,三組有六種排序:ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA(關鍵組以粗體字表示)。舉例來說,A組在四種排序中是關鍵組,包括BAC(因為B組自己沒有51票)與BCA(因為B、C兩組加起來沒有51票)。

B組只有在ABC中是關鍵組,而C組只有在ACB中是關鍵組。因此,A組的夏普力―舒比克指數是4/6,B組是1/6,C組也是1/6。根據這種衡量權力的標準,C組裡的1人執掌的權力跟B組裡的49人合起來的權力一樣大。

如果A組有48人,B組有49人,C組有3人,三個組的權力指數會變成多少?請試一試。在分析2017年發生的事情時,如果你想把蘇珊.柯林斯(Susan Collins)、麗莎.穆考斯基(Lisa Murkowski)、馬侃三位共和黨參議員視為一個聯盟,在進行表決時未配合黨團投票廢除健保法案,這就會是另一種分析方式。

艾倫.泰勒(Alan Taylor)和艾莉森.帕切里(Allison Pacelli)在他們合著的《數學與政治》(Mathematics and Politics)一書中,分析美國總統(在包括眾議院和參議院的聯邦體系中)的權力,發現大約是16%。你也會在書裡看到關於其他國家政治體系及其他權力概念的討論。a

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註釋

a. Alan D. Taylor and Allison M. Pacelli, Mathematics and Politics: Strategy, Voting, Power, and Proof (New York: Springer, 2009). 三組分別有49人、50人與1人的例子,出現在另一本書中:Steven Brams, Game Theory and Politics (New York: Free Press, 1975),頁158–64。

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臉譜出版_96
84 篇文章 ・ 254 位粉絲
臉譜出版有著多種樣貌—商業。文學。人文。科普。藝術。生活。希望每個人都能找到他要的書,每本書都能找到讀它的人,讀書可以僅是一種樂趣,甚或一個最尋常的生活習慣。

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・2014/02/18 ・2177字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 474 ・五年級

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人類與生俱來的慾望清單裡,少不了「權力」這項。

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Photo Credit:epSos.de

擁有權力,就能得到自己想要的任何事物。有些人為了權力甘願放棄一切,曹丕放棄了兄弟之情,逼曹植七步成詩。留下了「本是同根生,相煎何太急」的千古名言,道盡權力之下,一切都可被犧牲的感嘆。曹家兄弟兩個人的權力鬥爭就如此險惡,規模大一點的宮廷戲碼,動輒十幾位妃子的後宮,或十幾位阿哥的爭嗣,你來我往、合縱連橫,更是精彩萬分。從每隔幾年雍正就得被請出來一次,就可以看見這種權力鬥爭的劇情有多麼吸引人。坊間還會順勢推出許多《XX王朝教你的八十八件事》、《你沒看懂的XX傳》,進一步撈錢分析劇中人物的言行舉止,讓我們了解到許多看起來不起眼的動作,其實都牽扯到權力的操作、分配。

這樣的分析,請容許數學也參一腳。

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假設今天皇阿瑪生日,五位阿哥決定合送一份禮物。要是這五位阿哥出的黃金都相同,每個人擁有一樣的決定權,唯有超過3人贊成,才能拍板定案要送啥。

但要是出資不同,每位阿哥說話的份量就不一樣了。

其中,四爺數學特別好,他想買一本流傳在夷洲的超有趣數學科普書,讓皇阿瑪喜歡上數學,關係可以更拉近一點。真是一位聰明的阿哥,應該要讓他當太子的。

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因為這本書很稀有,又真的非常有趣,一時洛陽紙貴,定價高達100兩黃金,四爺為了達成目的,決定多出一些錢。

他巧妙地跟大家說:「我們湊個 100 兩黃金,我多出一點無所謂,36 兩。其他剩下來的餘額,各位兄弟就平攤吧。」

於是出資結果為 ($36,$16,$16,$16,$16)。

這步棋下的非常高明,完美有效地利用了金錢換取權力。再解釋清楚一點,在四爺出資 36 兩的情況下,他只需要拉攏任意一位盟友,就擁有了36+16=52 的過半票數,可以買任何想要的東西。但要是四爺稍微小氣點,數學差一點,只肯出到 32 兩黃金,在出資情形($32,$17,$17,$17,$17)時,四爺想買數學書還得尋求至少2位阿哥的同意 (四爺加任何1人也只有49票),得超過 3 人才能夠通過表決,跟每人出 20 兩時的狀況相同。也就是說,四爺多出的12 兩都拿去打水瓢了,一點意義也沒有。要是其他三位阿哥決定拿這筆錢去買一個馬桶蓋,他也只能摸摸鼻子答應。

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權力的關鍵不僅在於誰出多少,更重要的是,誰能影響過半

 

比起擁有的票數多寡,有一種更精準的量化方式表示每位投票人的實質權力,稱之為「Shapley–Shubik 權力指數」:針對贊成與反對的投票,越容易左右結果的人,Shapley–Shubik 權力指數越高。

舉例來說,有四位投票者 A、B、C、D 分別握有 2 票、5 票、3 票、3 票。總票數為 13 票,7 票過半。如果今天 A 先投下贊成票,當 B 投下贊成票時票數會過半,B 就是所謂的「權力者」,只要權力者贊成,就能決定結果,喊水會結凍,就算 C 跟 D 要反對也來不及。

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在此我們不考慮 C 跟 D 會霸占主席台的狀況,儘管這在台灣的宮廷戲碼中不會不常見。

另一種狀況,A 先投贊成票(2),接著 C 投贊成票(2+3),但依然不過半,所以沒人會在意 C,但下一位投票者一出場氛圍就不同了,因為只要他贊成,就過半,這人才是x權力者。

權力者不只由投票順序決定,和每個人手中握有的票數也有關。

權力指數的計算方式是,考慮所有依序投票的排列結果,好比有三位投票者A、B、C,即會有六種不同的順序,ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。再統計這麼多投票順序之中,每位投票者成為「權力者」的次數,除以總數,即是每個人的權力指數。

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計算($32,$17,$17,$17,$17)跟($20,$20,$20,$20,$20)這兩種狀況的權力指數,結果都是(20%,20%,20%,20%,20%),如同前面的討論,雖然四爺多出錢,但要決定一樣禮物時,還是得獲得3人以上的支持,5 個人的權力指數一模一樣,並沒有因為一個人多出錢而權力傾斜。

但在($36,$16,$16,$16,$16)時,我們列幾種順序:(紅色為權力者)

36→16→16→16→16

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16→36→16→16→16

16→16→36→16→16

16→16→16→36→16

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5 種順序面有 3 種順序,出 36 兩黃金的四爺都是權力者,因此他的權力高達 3/5=60 %。其餘4人平分剩下的 40 %,權力指數成了 (60%,10%,10%,10%,10%)。四爺擁有過半的絕對權力,想送哪一本數學科普書都沒問題。實際上的狀況也是如此,四爺只要找到一個人支持他就好,但如果其他人要反對他,一定得四位結盟才行。

 

透過權利指數,我們會發現不少「看起來的權力」與「實際上的權力」相差許多的狀況。例如,要是五位阿哥的出錢比例是($35,$28,$22,$14,$1),出 14 兩黃金的人,剛好就是十四爺。但十四爺發現,自己明明出得也不算太少,想發表意見時,大家卻只會聳聳肩敷衍他,沒人認真聽,就連出最多跟他最好的四爺也不大理睬他。

「十四弟,你根本沒辦法影響決定啊,看看,這時候咱們的權力指數是( 37 %, 28 %, 28 %, 3 %, 3 %),你跟那窮到只攢得出1 兩黃金的十九弟一樣沒用啊!」

十四爺忿忿不平,偏偏他阮囊羞澀無法加碼。好在他平常常跟四爺一起混,數學也不差。他掐指一算後,立刻慫恿出四爺再多出1兩,讓第三名的阿哥少出1兩。

僅僅是1兩的調整,調整後的權力指數頓時變成 (45 %, 20 %, 20 %, 12 %, 3 %)。四爺權力一口氣上升 8 %,四爺很滿意。但最大的受益者其實是十四爺,權力指數從 3 %暴增到12 %!

這背後的原因是,原本出最多錢的四爺得靠拉攏第二名、第三名才能過半,拉攏第四名的十四爺根本沒意義。但只要四爺一加碼,就算拉攏十四爺也能過半了。

讓自己變得被需要,不一定得提升自己的能力,也可以反過來,降低自己被需要的門檻。

也因此,權力遊戲中總是出現「聯合次要敵人,打擊主要敵人」的場景。

 

《戴上數學眼鏡看雍正王朝》,我們下周見。明天權力鬥爭的機率是70 %,出門請記得攜帶計算機。

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

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