戴上數學眼鏡看雍正王朝

人類與生俱來的慾望清單裡，少不了「權力」這項。

擁有權力，就能得到自己想要的任何事物。有些人為了權力甘願放棄一切，曹丕放棄了兄弟之情，逼曹植七步成詩。留下了「本是同根生，相煎何太急」的千古名言，道盡權力之下，一切都可被犧牲的感嘆。曹家兄弟兩個人的權力鬥爭就如此險惡，規模大一點的宮廷戲碼，動輒十幾位妃子的後宮，或十幾位阿哥的爭嗣，你來我往、合縱連橫，更是精彩萬分。從每隔幾年雍正就得被請出來一次，就可以看見這種權力鬥爭的劇情有多麼吸引人。坊間還會順勢推出許多《XX王朝教你的八十八件事》、《你沒看懂的XX傳》，進一步撈錢分析劇中人物的言行舉止，讓我們了解到許多看起來不起眼的動作，其實都牽扯到權力的操作、分配。

這樣的分析，請容許數學也參一腳。

 

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假設今天皇阿瑪生日，五位阿哥決定合送一份禮物。要是這五位阿哥出的黃金都相同，每個人擁有一樣的決定權，唯有超過3人贊成，才能拍板定案要送啥。

但要是出資不同，每位阿哥說話的份量就不一樣了。

其中，四爺數學特別好，他想買一本流傳在夷洲的超有趣數學科普書，讓皇阿瑪喜歡上數學，關係可以更拉近一點。真是一位聰明的阿哥，應該要讓他當太子的。

因為這本書很稀有，又真的非常有趣，一時洛陽紙貴，定價高達100兩黃金，四爺為了達成目的，決定多出一些錢。

他巧妙地跟大家說：「我們湊個 100 兩黃金，我多出一點無所謂，36 兩。其他剩下來的餘額，各位兄弟就平攤吧。」

於是出資結果為 ($36,$16,$16,$16,$16)。

這步棋下的非常高明，完美有效地利用了金錢換取權力。再解釋清楚一點，在四爺出資 36 兩的情況下，他只需要拉攏任意一位盟友，就擁有了36+16=52 的過半票數，可以買任何想要的東西。但要是四爺稍微小氣點，數學差一點，只肯出到 32 兩黃金，在出資情形($32,$17,$17,$17,$17)時，四爺想買數學書還得尋求至少2位阿哥的同意 (四爺加任何1人也只有49票)，得超過 3 人才能夠通過表決，跟每人出 20 兩時的狀況相同。也就是說，四爺多出的12 兩都拿去打水瓢了，一點意義也沒有。要是其他三位阿哥決定拿這筆錢去買一個馬桶蓋，他也只能摸摸鼻子答應。

權力的關鍵不僅在於誰出多少，更重要的是，誰能影響過半。

 

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比起擁有的票數多寡，有一種更精準的量化方式表示每位投票人的實質權力，稱之為「Shapley–Shubik 權力指數」：針對贊成與反對的投票，越容易左右結果的人，Shapley–Shubik 權力指數越高。

舉例來說，有四位投票者 A、B、C、D 分別握有 2 票、5 票、3 票、3 票。總票數為 13 票，7 票過半。如果今天 A 先投下贊成票，當 B 投下贊成票時票數會過半，B 就是所謂的「權力者」，只要權力者贊成，就能決定結果，喊水會結凍，就算 C 跟 D 要反對也來不及。

在此我們不考慮 C 跟 D 會霸占主席台的狀況，儘管這在台灣的宮廷戲碼中不會不常見。

另一種狀況，A 先投贊成票(2)，接著 C 投贊成票(2+3)，但依然不過半，所以沒人會在意 C，但下一位投票者一出場氛圍就不同了，因為只要他贊成，就過半，這人才是x權力者。

權力者不只由投票順序決定，和每個人手中握有的票數也有關。

權力指數的計算方式是，考慮所有依序投票的排列結果，好比有三位投票者A、B、C，即會有六種不同的順序，ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。再統計這麼多投票順序之中，每位投票者成為「權力者」的次數，除以總數，即是每個人的權力指數。

 

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計算($32,$17,$17,$17,$17)跟($20,$20,$20,$20,$20)這兩種狀況的權力指數，結果都是(20%,20%,20%,20%,20%)，如同前面的討論，雖然四爺多出錢，但要決定一樣禮物時，還是得獲得3人以上的支持，5 個人的權力指數一模一樣，並沒有因為一個人多出錢而權力傾斜。

但在($36,$16,$16,$16,$16)時，我們列幾種順序：(紅色為權力者)

36→16→16→16→16

16→36→16→16→16

16→16→36→16→16

16→16→16→36→16

16→16→16→16→36

5 種順序面有 3 種順序，出 36 兩黃金的四爺都是權力者，因此他的權力高達 3/5=60 %。其餘4人平分剩下的 40 %，權力指數成了 (60%,10%,10%,10%,10%)。四爺擁有過半的絕對權力，想送哪一本數學科普書都沒問題。實際上的狀況也是如此，四爺只要找到一個人支持他就好，但如果其他人要反對他，一定得四位結盟才行。

 

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透過權利指數，我們會發現不少「看起來的權力」與「實際上的權力」相差許多的狀況。例如，要是五位阿哥的出錢比例是($35,$28,$22,$14,$1)，出 14 兩黃金的人，剛好就是十四爺。但十四爺發現，自己明明出得也不算太少，想發表意見時，大家卻只會聳聳肩敷衍他，沒人認真聽，就連出最多跟他最好的四爺也不大理睬他。

「十四弟，你根本沒辦法影響決定啊，看看，這時候咱們的權力指數是( 37 %, 28 %, 28 %, 3 %, 3 %)，你跟那窮到只攢得出1 兩黃金的十九弟一樣沒用啊！」

十四爺忿忿不平，偏偏他阮囊羞澀無法加碼。好在他平常常跟四爺一起混，數學也不差。他掐指一算後，立刻慫恿出四爺再多出1兩，讓第三名的阿哥少出1兩。

僅僅是1兩的調整，調整後的權力指數頓時變成 (45 %, 20 %, 20 %, 12 %, 3 %)。四爺權力一口氣上升 8 %，四爺很滿意。但最大的受益者其實是十四爺，權力指數從 3 %暴增到12 %！

這背後的原因是，原本出最多錢的四爺得靠拉攏第二名、第三名才能過半，拉攏第四名的十四爺根本沒意義。但只要四爺一加碼，就算拉攏十四爺也能過半了。

讓自己變得被需要，不一定得提升自己的能力，也可以反過來，降低自己被需要的門檻。

也因此，權力遊戲中總是出現「聯合次要敵人，打擊主要敵人」的場景。

 

《戴上數學眼鏡看雍正王朝》，我們下周見。明天權力鬥爭的機率是70 %，出門請記得攜帶計算機。

註：更多賴以威的數學故事，請參考《超展開數學教室》。