以程式人的想法為「油價公式」除錯

文 / 陳鍾誠 （國立金門大學資工系助理教授）

近來、每當中油油價要調漲時，很多新聞都會報導或批評，例如我們常常會聽到以下說法：

「甚麼都漲、就是薪水不漲」

等等的抱怨。

但是、您瞭解中油油價調漲的基準與方式是甚麼嗎？其中是否藏有某些您不知道的秘密呢？

在本文中，我們將透過「程式人的專業角度」，為您解讀油價公式內所隱藏的秘密！

但是在此之前，先讓我們介紹一下這個祕密背後所需要的「數學背景」。

遞歸關係

在「資訊類科系」(Computer Science) 的課程當中，「離散數學」(Discrete Mathematics) 是一們重要的數學課， 其中有個「遞歸關係式」 (Recurrence Equation) 的數學函數，可以用來計算程式 (或演算法) 的執行效能， 但是在本文中，我們將改用「遞歸關係」來為「中油的油價公式」進行除錯，證明「中油的油價公式會造成幾何暴漲」。

首先讓我們來看看甚麼是「遞歸關係」，先從一個比較簡單的例子開始：

問題 1. 假如有隻母雞，從成年開始他每天下一個蛋，那麼在成年後第 n 天他總共下了幾個蛋呢？

解答：關於這個問題，答案非常簡單，很多人一看就知道是 n 個蛋了。

但是讓我們姑且用遞歸關係來寫出這個問題的數學式：

T(n) = T(n-1) + 1
T(1) = 1

為了求解這樣的算式，我們可以將 n 代入 1, 2, 3, ….，然後列表如下：

T(1) = 1
T(2) = T(1) + 1
T(3) = T(2) + 1
T(4) = T(3) + 1
…..
T(n) = T(n-1) + 1

於是、您可以透過由上而下的計算方式，算出這個「遞歸關係」的解答，如下所示：

T(2) = T(1) + 1 = 1 + 1 = 2
T(3) = T(2) + 1 = 2 + 1 = 3
T(4) = T(3) + 1 = 3 + 1 = 4
….

很直覺的，您應該會猜測 T(n) 的解答就是 n，這個猜測是沒錯的！

上述遞歸關係的解答 T(n) 是個線性函數，也就是國中課程當中所說的「算術級數」。

接著、讓我們再來看看一種會造成「幾何級數」的遞歸關係，同樣的，讓我們先看看下列問題：

問題 2. 假如培養皿中有隻細菌、該細菌每分鐘分裂一次，請問在第 n 分鐘的時候，共有幾隻細菌？

解答：我們可以將這個問題寫成以下的遞歸關係：

T(n) = 2 * T(n-1)
T(0) = 1

於是我們可以列出前幾項的結果如下：

T(0) = 1
T(1) = 2*T(0) = 2 * 1 = 2
T(2) = 2*T(1) = 2 * 2 = 4
T(3) = 2*T(2) = 2 * 4 = 8
….

如果您觀察一下上述列表，可能會猜測 ，這個猜測也是對的，這類的函數稱為幾何級數。

著名的社會學家「馬爾薩斯」就在其名著「人口論」當中，提出了一個「廣為人知」的論點，其推論如下：

糧食的增長函數是算術級數，而人口的增長函數是幾何幾數，幾何級數後期的增長會遠超過算術級數， 因此糧食最後必然會不足，於是「饑荒、戰爭與大規模的疾病」將會是不可避免的結果。

另外、電腦在表示數字的時候，由於採用固定位元數的方式，因此都會有一些誤差，特別是像π這類的 無理數，更是無法用電腦精確表示，這些誤差如果經過某些遞歸關係放大之後，很可能會造成「差之毫釐、 失之千里」的結果。這類誤差放大的研究，甚至導致了學術上「混沌理論」的重要進展！

中油的油價調漲公式

那麼、這些結果與中油的油價公式有何關係呢？讓我們來看看中油的油價，是如何調整的，在中油的 國內汽、柴油浮動油價調整機制作業原則 這份 PDF 文件當中，有一段令人難以解讀的中文如下：

• 一、 調價指標：Platts報導之 Dubai 及 Brent均價，分別以70 %及30%權重計算(70 % Dubai +30% Brent)，取小數二位，採四捨五入。
• 二、 調價幅度：每週(週一至週五)調價幅度取「調價指標當週均價乘以當週匯率均價與調價指標前週均價乘以前週匯率均價比較」之80%變動幅度計算，取小數二位，採四捨五入。
• 三、 調價金額：(一)依「92 無鉛汽油及高級柴油還原依機制計算應調整價格之稅前批售價格」乘以「調價幅度」，分別計算 92無鉛汽油及高級柴油稅前批售價格，再加上稅費換算 零售價(取小數一位，採四捨五入)，據以計算調價金額。

由於這段話實在令人難懂，所以讓我們稍為進行一下數學定義，以數學的方式解讀這段「自然語言」，解讀前首先讓我們定義幾個變數：

• P = 本期價格 = P(t)
• P’ = 上期價格 = P(t-1)
• C = 本期國際均價 = C(t)
• C’ = 上期國際均價 = C(t-1)

以上的的國際均價 C 即為第一項所稱之調價指標。根據上述定義，則調價幅度的數學式解讀如下：

(P-P’)/P’ = (C -C’)/C’ * 0.8

也就是

調價幅度 = (本期價格 P – 上期價格 P’)/上期價格 P’ = (當期調價指標 C – 前期調價指標 C’)/前期調價指標 C’ * 80%

將上述數學式移項調整一下，可得下列數學式：

P = P’ + P’ * (C-C’)/C’ * 0.8

假如那段「令人難以解讀的中文」之數學式真的如以上所解讀的，那麼我們就可以透過電腦計算油價，並且可以進行模擬。

以程式模擬漲跌過程

於是我寫了一個簡單的 C 語言程式以模擬整個油價的調整過程，在程式中我們讓油價以正弦函數 2 + sin(i) 的方式震盪， 這個正弦函數是一個必然介於 1 到 3 之間的函數。但是、模擬的結果肯定會讓人嚇一大跳：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double gen(int n) {
doubl p=1.0, p1=1.0, c=1.0, c1=1.0;
int t;
for (t=1; t<=n; t++) {
c = 2.0+sin(t);
p = ((c-c1)/c1)*0.8*p1 + p1;
printf(“t=%d : c=%6.2f p=%6.2f\n", t, c, p);
c1 = c;
p1 = p;
}
}

int main() {
gen(1000);
}

雖然在模擬過程當中，國際油價始終在 1 元到 3 元之間震盪，但是經過了很多期之後，整個國內油價還是暴漲， 從最初 2.47 元 (比國際油價 2.84 元還低)，到 500 期時上漲到 397.04 元 (此時國際油價為 1.53 元)，然後 到了 1000 期時更暴漲到 174551.80 元 (十七萬四千多元，此時國際油價為 2.83 元)。

執行方法與指令

D:\Dropbox\Public\pmag\201307\code>gcc oil.c -o oil

D:\Dropbox\Public\pmag\201307\code>oil > oil.lst

執行結果摘錄

t=1 : c= 2.84 p= 2.47
t=2 : c= 2.91 p= 2.52
t=3 : c= 2.14 p= 1.99
t=4 : c= 1.24 p= 1.32
t=5 : c= 1.04 p= 1.15
t=6 : c= 1.72 p= 1.75
t=7 : c= 2.66 p= 2.51
t=8 : c= 2.99 p= 2.76
t=9 : c= 2.41 p= 2.34
t=10 : c= 1.46 p= 1.59
…
t=500 : c= 1.53 p=397.04
t=501 : c= 1.00 p=287.44
t=502 : c= 1.39 p=376.22
t=503 : c= 2.34 p=581.21
t=504 : c= 2.97 p=707.73
t=505 : c= 2.71 p=658.28
t=506 : c= 1.80 p=480.40
t=507 : c= 1.07 p=324.10
t=508 : c= 1.19 p=354.96
t=509 : c= 2.06 p=561.54
t=510 : c= 2.87 p=738.31
…
t=990 : c= 1.61 p=98834.43
t=991 : c= 1.01 p=69539.87
t=992 : c= 1.32 p=86448.98
t=993 : c= 2.25 p=135085.66
t=994 : c= 2.95 p=168513.04
t=995 : c= 2.77 p=160415.99
t=996 : c= 1.89 p=119299.47
t=997 : c= 1.10 p=79653.27
t=998 : c= 1.14 p=82110.42
t=999 : c= 1.97 p=129690.29
t=1000 : c= 2.83 p=174551.80

油價公式的問題

這個模擬過程告訴我們，中油的油價調整公式的設計，會有某種誤差放大效果，而且這種放大效果並非上下一致的，而是向上放大的情況較嚴重，這與達爾文進化論中的「適者生存、而且會產生更多後代」 有點類似，都是一種隨機性的幾何上漲的過程，因此才會造成後期的暴漲。

這個現象並非我所發現的，而是我在 MR. OTTER 在「歐特先生本性難移」網誌的 中油油價公式，創造永遠跌不回去的油價 一文中所看到的， 我只是將該文用程式人的方式重新解讀一遍而已！

透過這個油價的範例，相信您應該可以看到「遞歸運算式」千變萬化的一面，在設計制度時也會更小心一些， 以免不小心落入幾何暴漲的陷阱，造成毀滅性的災難啊！

疑問與解決辦法

在上述的油價調整公式之設計中，調價幅度以 80% 計算，似乎是為了讓油價不要太快上漲或下跌，以免衝擊太大，但事實上這個方式反而是造成油價暴漲的元凶，如果將調價幅度改以 100% 計算，反而不容易有暴漲的問題。

為甚麼呢？讓我們舉一個簡單的例子，假設有某次波動，漲跌各一次，先漲了 100% 再跌了 50%，這時價格應該是 200% * 50% = 2 * 0.5 = 1， 也就是價格會回到原點，但是如果我們將調價幅度以 80% 計算，那麼就會變成 1.8 * 0.6 = 1.08，並沒有回到原價，而是漲了 8%，所以 這個看來是好意的 80% 調價幅度，其實隱藏了爆漲的種子，一但經過很多輪的漲跌之後，就可能造成國際價格不變，但國內價格卻漲翻天的情況。

不過如果國際油價是一路慢慢上漲或下跌，而沒有震盪情況的話，那麼中油油價只會一路慢慢跟隨，而不會有漲翻天的情況！

但是、這個公式每週都至少用一次，那從開始實施浮動油價之後，應該也有幾百次的調整了，那麼為何一直沒有發現暴漲現象呢？ 這個問題根據我的猜測，很可能是因為 國內汽、柴油浮動油價調整機制作業原則 這份 PDF 文件的後半部，還有一條重要的規定如下：

• 七、各週調整後 92無鉛汽油、高級柴油零售價換算稅前批售價格，以亞鄰競爭國(日本、韓國、香港、新加坡)當週稅前價之最低價做為浮動油價調整的上限。

由於被這個第七條壓住了，所以油價並沒有暴漲，但是這樣的做法顯然很沒道理，先設計一個有問題會暴漲的公式，然後再用一個額外的規定壓住它，這真的是非常奇怪不合理的想法！

事實上，採用「遞歸數學式」有時很難控制得很好，如果真的要只是要緩和上漲與下跌的幅度，那不如採用「移動平均線」的方式，例如根據 前 5 期國際油價平均值，加上一定比例的利潤率 (例如 5%) 做為油價，就不會有這種幾何暴漲的現象了。

如果用數學表示這種鎖定國際油價移動平均線的方法，可以用下列「沒有遞歸」的數學式表示：

P(t) = 1.05 * [C(t-1)+C(t-2)+C(t-3)+C(t-4)+C(t-5)] / 5

由於上述算式的右端沒有 P(t-1) 之類的函數存在，而且 C(t-i) 的計算也與國內油價 P(t) 無關，如此就不會因為「回饋效應」而造成幾何暴漲了！

當然，假如我們對上述 國內汽、柴油浮動油價調整機制作業原則 的「中文」理解錯誤的話，那本文的推論就可能是錯誤的。因此我們希望中油 與相關單位能夠澄清一下，最好能將該文的「遞歸數學式」寫出來，讓大家都能看得更清楚明白啊！

參考文獻

• 中油油價公式，創造永遠跌不回去的油價, 2013 年 01 月 10 日 BY MR. OTTER
• 歐特先生本性難移 網誌
• 國內汽、柴油浮動油價調整機制作業原則, (PDF) 99.01.06 修正實施
• 中油網站：首頁 / 油品價目 / 浮動油價調整機制
• 消基會質疑 浮動油價公式有瑕疵 , 【聯合報╱記者許俊偉／台北報導】

轉載自程式人雜誌