0

0
0

文字

分享

0
0
0

只在此山中,雲深不知處:兩個數學家的小插曲

RainReader
・2013/03/25 ・1100字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 548 ・八年級

2013 年的數學阿貝爾(Abel Prize)獎於日前公開,頒給了現任普林斯頓大學的比利時數學家德里涅(Pierre Deligne)。他因為四十年前在代數幾何上的貢獻與解決「韋伊猜想(Weil conjecture)」而獲得此獎。

德里涅早已名滿學界,他在 1978 年就獲頒同等數學界諾貝爾的費爾茲獎(Fields Medal)、1988 年摘取克拉福德獎(Crafoord)、2004 年拿下巴爾薩獎(Balzan Prize)、2008年封王沃爾夫數學獎(Wolf Prize),再加上這一座,可以說是生涯大滿貫,死而無憾。

不過為何相隔四十年呢?除了對這位偉大學者的生涯紀念外,更讓人想起德里涅和他老師格羅騰迪克(Alexander Grothendieck)之間的師徒情誼與恩怨,他們師徒兩人共同解決韋伊猜想的四大問題而名載史冊。

格羅騰迪克和德里涅都是天才等級的人物,格羅騰迪克在 20 歲時就已經寫下六本數學博士等級的論文;而德里涅 14歲就學會高等數學,當他進入德國自由大學時,已經通曉該校所有的數學課程,並於 23 歲任客座教授,三年後升為正教授。

 

Alexander Grothendieck(上)和 Pierre Deligne

但是,兩個人的家庭和思想截然不同。作為猶太人的格羅騰迪克曾於第二次世界大戰時被囚於集中營並遭逢父母慘死,戰後他因無國籍與猶太人身分而飽嘗羞辱,並難以獲得穩定教職。或許正因為如此,他的生涯有過多次情史,交替著不同的情人與兒女生誕,但卻難有善終;不管對他的妻子或兒女們而言,他都不是一個好丈夫或好爸爸,

格羅騰迪克是激進的反戰、反軍方與極端的自然生態保護者。1966年他獲得費爾茲獎,但拒絕前往蘇聯領獎、後聲援布拉格之春與多項生態運動,並與學術圈嚴重交惡。格羅騰迪克於1970 年毅然辭掉工作,因為他的學校獲得軍方的資金援助,

而他最恨的人之一就是他的學生德里涅。在他門下時,德里涅是忠誠的弟子與研究夥伴,但當格羅騰迪克捨棄數學時,德里涅修正並否定了老師的理論想法,最後解決了韋伊猜想。1988年,師徒兩人共同被頒與克拉福德獎時,格羅拒絕和弟子一同領獎,德里涅則在其師的紀念論文集中刊詞,試圖尋求和解,但這本紀念文集也遭到格羅騰迪克的抵制。或許隨著德里涅的聲望日高,他後來的態度也轉趨強硬,

Weil conjectures(取自維基百科)

1990年,格羅騰迪克捨棄所有研究著作,全面與學術圈斷絕;捨棄了家人,自己隱居在庇里牛斯山中,斷絕對外聯繫,再也不與人接觸,生死不明。二十年後的 2010年,法國數學家 Luc Illusie 接到格羅騰迪克的書信,要求他把所有自己的著作,包含在網路上可以尋得資訊均全部刪除。

這個消息使我們確知格羅騰迪克尚在人間;但他們師徒兩人的恩怨,則非外人所能置喙,只能夜深人靜、茶餘飯後,雜談而已。兩人已逾從心所欲之年,或許在雲霧山腳下,上演相問戲碼,更是許多數學家的期待。

只在此山中,雲深不知處。


數感宇宙探索課程,現正募資中!

文章難易度
RainReader
9 篇文章 ・ 0 位粉絲
從小與電玩、動漫結下了不解之緣。曾任教過國中、高中、五專與多所大學,試圖以當代娛樂與流行文化的角度來融入歷史教學,傳達多元化的知識系譜。在學術領域方面,主要研究近代知識分子的思想意識與文化理論;除研究外,也為網路與報章媒體撰寫專欄文章、遊戲攻略。曾任創能網路資訊公司副執行長與GaMavi電玩資訊站長、策展台灣首次非商業電玩藝術展台北數位藝術節,現任教於東海大學與旭傳媒科技。非常歡迎您的交流!


0

0
0

文字

分享

0
0
0

莫比烏斯把紙帶轉了幾圈——《數學,這樣看才精采》

天下文化_96
・2022/05/21 ・2870字 ・閱讀時間約 5 分鐘
莫比烏斯環。圖/David Benbennick, CC BY-SA 3.0

記得 2018 年初我在谷歌搜尋引擎裡打入「莫比烏斯」,出乎我意料之外第一頁跳出的全是關於電影《莫比烏斯》的訊息。我本來對此電影毫無所知,瞄了一下摘要文字,原來是一部沒有臺詞,內容又涉及閹割和亂倫的韓國電影,真是有點讓人感覺噁心。

再用英文 Mobius 打入谷歌,結果出來的都是電玩《莫比烏斯 Final Fantasy》的訊息。這是一款可以在手機上單打獨鬥的遊戲,需要操作喪失記憶的主角與各種魔物在未知世界裡廝殺。其實我想找的是數學家莫比烏斯(August Ferdinand Möbius),哪裡知道他的大名已經移植到與數學不相干的場域。

天文學家的數學遺產

數學家莫比烏斯(August Ferdinand Möbius)。圖/Adolf Neumann, 公有領域

日爾曼地區在莫比烏斯出生的時候,還沒有一位國際知名的數學家。但當他過世時,日爾曼的數學家已經發揮強大的影響力,吸引各國年輕人紛紛前來學習。這種巨大轉變的產生,關鍵性因素是高斯的橫空而出,徹底革新了數學的面貌。

1815 年莫比烏斯曾去哥廷根跟隨高斯學習理論天文學,次年進入萊比錫(Leipzig)天文臺擔任觀察員。十九世紀初的日爾曼世界,當天文學家遠比數學家有更良好的聲譽和安穩的待遇。高斯跟莫比烏斯同樣是寒門出身,不也在 1807 年開始終身領導哥廷根天文臺嗎?

莫比烏斯雖然最終成為萊比錫大學的天文學正教授,但是時至今日他所留下的學術遺產,卻是在數學裡多方面的貢獻,最有趣的是他晚年所發現的一條極簡單又美妙的環帶:莫比烏斯環帶。

請讀者拿一張長紙條,把一端轉 180 度與另一端黏在一起,便完成了神奇的莫比烏斯環帶。這個環帶突出的特性是它只有單面,不像原來的紙帶有正反兩面。那麼有一個面到哪裡去了?當你沿著紙帶表面向前走到原來的一端時,因為已經做過半圈的旋轉,你現在就滑入了原來紙帶的背面。於是在莫比烏斯環帶上走啊,走啊,永遠不需要翻過側緣,也永遠碰不到盡頭。

在空間裡看起來扭曲的莫比烏斯環帶壓扁到桌面上,就得到圖 17-1 左邊的平面摺疊圖形。此圖與右邊谷歌雲端硬碟的商標(2012–2014)很相似,相異之處在於商標左側的那段紙帶是在底側紙帶的上面。

其實,我們可以用摺紙方法製作這個商標。首先拿出一張長條紙,我們要在一端摺出一個60度底角。

在圖 17-2 裡,先把長條紙上下邊緣對齊,產生一條中線。然後把左邊緣的線段 DO 往中線摺疊,使得點 D 碰觸到中線上的點 A,於是角 BOC 就剛好是60度。為什麼呢?讓我們從 A 作垂直線段 AB,假設 AB 的長度是 1,則 AO = DO 便為長度 2。從三角關係便知角 AOB 為 30 度,從而角 AOD 就等於 60 度;但因角 AOC 與角 COD 相等,所以角 AOC 也是 30 度,那麼角 BOC 只好是 60 度了。

在長條紙上摺出了 CO 這條摺痕,接著我們用剪刀沿著 CO 剪下去,把三角形 COD 丟掉。然後把 O 點摺到上緣,使得線段 CO 與上緣邊線重合,就會產生一個正三角形。下一階段用這個正三角形做為模板,把長條紙反復摺疊,打開後修剪掉右邊多餘的紙條,就成為具有 15 個正三角形摺痕的紙條,如圖 17-3。

最後沿兩條粗摺線(在摺紙的術語裡,左邊的虛線稱為谷摺、右邊的點虛線稱為山摺),把左段摺在前面,右段摺到背面,右端放在左端上面,用膠紙黏合,就得到谷歌雲端硬碟的商標。如果仿照旋轉紙帶製作莫比烏斯環帶的方法,我們可以抓緊長條紙帶一端,把另一端同方向旋轉三個 180 度後黏合,然後壓扁到平面上,也會得到商標的圖形,只是邊的長度也許沒那麼整齊。

環帶的靈感何處來?

有人說莫比烏斯是偶然間發現了這樣的環帶,其實這是有點戲劇化的講法。莫比烏斯在研究如何構成多面體時,使用了一種基本的想法,就是以黏合三角形來逐步形成多面體。為了準備參加巴黎科學院有關多面體幾何理論的競賽,莫比烏斯也研究了非封閉型(也就是會有邊界)的多面體,他從操作類似圖 17-1 的摺疊圖發現了單面曲面。在莫比烏斯身後出版的著作全集裡,收錄了一篇未曾發表的 1858 年文稿,其中包含了旋轉 3、4、5 個半圈的環帶,如圖 17-4。

可見莫比烏斯有系統的分析了這類環帶,發現旋轉半圈的次數如果是奇數,產生的環帶只有單面;但如果次數是偶數,則環帶仍然保有正反兩面。他更深刻的察覺,這些單面曲面上無法賦予明確的方向,也就是說你從一點出發,也知道當時的順時針方向為何,而當你沿著環帶遊歷一周後,雖然處處你都覺得延續了正確的順時針方向,可是返回出發點時,卻與原始的方向背反。莫比烏斯環帶破壞了所謂的可定向性,這是屬於曲面的拓撲性質,是比度量長度、角度、面積、體積更寬鬆的幾何性質。

1858 年莫比烏斯寫下單面曲面研究成果前幾個月,另外一位現在少為人知的數學家李斯廷(Johann Benedict Listing)已經作出同樣的環帶。莫比烏斯要到 1865 年才在公開發表的著作裡披露單面環帶,而李斯廷在 1861 年出版的專著裡,便公布了單面環帶的存在。李斯廷甚至在 1847 年出版有史以來第一本使用「拓撲學」這個名稱的書(德文書名為Vorstudien zur Topologie)。不過,今日即使想替李斯廷討個公道,把莫比烏斯環帶改名為李斯廷環帶,恐怕也無能為力了。

製作莫比烏斯環帶是如此的簡單,很難不讓人懷疑為什麼沒有人更早發現它呢?在李斯廷之前的數學文獻裡,到目前為止沒有發現有關莫比烏斯環帶的記載。那麼我們探索的對象何不轉移到各種藝術圖像呢?結果在義大利的古跡山提農(Sentinum)羅馬別墅中,發現西元前 200 年至西元前 250 年期間的地板馬賽克,正中央描繪了永恆時間之神艾永(Aion)站在一條代表黃道諸星辰的環帶之中(如圖 17-5)。當我們仔細沿著環帶移動時,能夠毫無疑義分辨出是在一條莫比烏斯環帶上游走。現在還可在多處看見古羅馬遺留下艾永的繪像、浮雕、馬賽克,然而唯有在山提農的別墅中,艾永所踩的環帶是莫比烏斯環帶。

山提農的馬賽克在 1828 年送進慕尼黑的博物館,三十年後李斯廷與莫比烏斯先後研究這個特殊的環帶,他們是否曾經去慕尼黑參觀過博物館,因而受到古羅馬人的啟示呢?我們恐怕永遠也無法確知,然而要寫一本《莫比烏斯密碼》之類的書,也許有可能編織出充滿懸疑的故事。


數感宇宙探索課程,現正募資中!

天下文化_96
56 篇文章 ・ 19 位粉絲
天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。