有情人，一切盡在眼神中

理解期望值，有助於分析賭場裡的大部分賭局，以及美國中西部和英國的嘉年華會中，常有人玩、但一般人比較不熟悉的賭法：骰子擲好運（chuck-a-luck）。

招攬人來玩「骰子擲好運」的說詞極具說服力：你從 1 到 6 挑一個號碼，莊家一次擲三顆骰子，如果三個骰子都擲出你挑的號碼，莊家付你 3 美元。要是三個骰子裡出現兩個你挑的號碼，莊家付你 2 美元。

假如三個骰子裡只出現一個你挑的號碼，莊家付你 1 美元。如果你挑的號碼一個也沒有出現，那你要付莊家 1 美元。賽局用三個不同的骰子，你有三次機會贏，而且，有時候你還不只贏 1 美元，最多也不過輸 1 美元。

我們可以套用名主持人瓊安．李維絲（Joan Rivers）的名言（按：她的名言是：「我們能聊一聊嗎？」），問一句：「我們能算一算嗎？」（如果你寧願不算，可以跳過這一節。）不管你選哪個號碼，贏的機率顯然都一樣。不過，為了讓計算更明確易懂，假設你永遠都選 4。骰子是獨立的，三個骰子都出現 4 點的機率是 1/6×1/6×1/6＝1/216，你約有 1/216 的機率會贏得 3 美元。

僅有兩個骰子出現 4 點的機率，會難算一點。但你可以使用第 1 章提到的二項機率分布，我會在這裡再導一遍。三個骰子中出現兩個 4，有三種彼此互斥的情況：X44、4X4 或 44X，其中 X 代表任何非 4 的點數。而第一種的機率是 5/6×1/6×1/6＝5/216，第二種和第三種的結果也是這樣。三者相加，可得出三個骰子裡出現兩個 4 點的機率為 15/216，你有這樣的機率會贏得 2 美元。

同樣的，要算出三個骰子裡只出現一個 4 點的機率，也是要將事件分解成三種互斥的情況。得出 4XX 的機率為 1/6×5/6×5/6＝25/216，得到 X4X 和 XX4 的機率亦同，三者相加，得出 75/216。這是三個骰子裡僅出現一個 4 點的機率，因此也是你贏得 1 美元的機率。

要計算擲三個骰子都沒有出現 4 點的機率，我們只要算出剩下的機率是多少即可。算法是用 1（或是100％）減去（1/216 +15/216 + 75/216），得出的答案是 125/216。所以，平均而言，你每玩 216 次骰子擲好運，就有 125 次要輸 1 美元。

這樣一來，就可以算出你贏的期望值（$3×1/216）+（$2×15/216）+（$1×75/216）+（–$1×125/216）＝$（–17/216）＝–$0.08。平均來說，你每玩一次這個看起來很有吸引力的賭局，大概就要輸掉 8 美分。

尋找愛情，有公式？

面對愛情，有人從感性出發，有人以理性去愛。兩種單獨運作時顯然效果都不太好，但加起來⋯⋯也不是很妙。不過，如果善用兩者，成功的機率可能還是大一些。回想舊愛，憑感性去愛的人很可能悲嘆錯失的良緣，並認為自己以後再也不會這麼愛一個人了。而用比較冷靜的態度去愛的人，很可能會對以下的機率結果感興趣。

在我們的模型中，假設女主角——就叫她香桃吧（按：在希臘神話中，香桃木﹝Myrtle﹞是愛神阿芙蘿黛蒂﹝Aphrodite﹞的代表植物，象徵愛與美）有理由相信，在她的「約會生涯」中，會遇到 N 個可能成為配偶的人。對某些女性來說，N 可能等於 2；對另一些人來說，N 也許是 200。香桃思考的問題是：到了什麼時候我就應該接受X先生，不管在他之後可能有某些追求者比他「更好」？我們也假設她是一次遇見一個人，有能力判斷她遇到的人是否適合她，以及，一旦她拒絕了某個人之後，此人就永遠出局。

為了便於說明，假設香桃到目前為止已經見過 6 位男士，她對這些人的排序如下：3—5—1—6—2—4。這是指，在她約過會的這 6 人中，她對見到的第一人的喜歡程度排第 3 名，對第二人的喜歡程度排第 5 名，最喜歡第三個人，以此類推。如果她見了第七個人，她對此人的喜歡程度超過其他人，但第三人仍穩居寶座，那她的更新排序就會變成 4—6—1—7—3—5—2。每見過一個人，她就更新追求者的相對排序。她在想，到底要用什麼樣的規則擇偶，才能讓她最有機會從預估的 N 位追求者中，選出最好的。

要得出最好的策略，要善用條件機率（我們會在下一章介紹條件機率）和一點微積分，但策略本身講起來很簡單。如果有某個人比過去的對象都好，且讓我們把此人稱為真命天子。如果香桃打算和 N 個人碰面，她大概需要拒絕前面的 37％，之後真命天子出現時（如果有的話），就接受。

舉例來說，假設香桃不是太有魅力，她很可能只會遇見 4 個合格的追求者。我們進一步假設，這 4 個人與她相見的順序，是 24 種可能性中的任何一種（24＝4×3×2×1）。

由於 N＝4，37％ 策略在這個例子中不夠清楚（無法對應到整數），而 37％ 介於 25％ 與 50％ 之間，因此有兩套對應的最佳策略如下：

（A）拒絕第一個對象（4×25％＝1），接受後來最佳的對象。

（B）拒絕前兩名追求者（4×50％＝2），接受後來最好的求愛者。

如果採取A策略，香桃會在 24 種可能性中的 11 種，選到最好的追求者。採取 B 策略的話，會在 24 種可能性中的 10 種裡擇偶成功。

以下列出所有序列，如同前述，1 代表香桃最偏好的追求者，2 代表她的次佳選擇，以此類推。因此，3—2—1—4 代表她先遇見第三選擇，再來遇見第二選擇，第三次遇到最佳選擇，最後則遇到下下之選。序列後面標示的 A 或 B，代表在這些情況下，採取 A 策略或 B 策略能讓她選到真命天子。

1234；1243；1324；1342；1423；1432；2134（A）；2143（A）；2314（A, B）；2341（A, B）；2413（A, B）；2431（A, B）；3124（A）；3142（A）；3214（B）；3241（B）；3412（A, B）；3421；4123（A）；4132（A）；4213（B）；4231（B）；4312（B）；4321

如果香桃很有魅力，預期可以遇見 25 位追求者，那她的策略是要拒絕前 9 位追求者（25 的 37％ 約為 9），接受之後出現的最好對象。我們也可以用類似的表來驗證，但是這個表會變得很龐雜，因此，最好的策略就是接受通用證明。（不用多說，如果要找伴的人是男士而非女士，同樣的分析也成立。）如果 N 的數值很大，那麼，香桃遵循這套 37％ 法則擇偶的成功率也約略是 37％。接下來的部分就比較難了：要如何和真命天子相伴相守。話說回來，這個 37% 法則數學模型也衍生出許多版本，其中加上了更合理的戀愛限制條件。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》，2023 年 11 月，大牌出版，未經同意請勿轉載。

長久以來，生物學家一直都在探討為什麼斑馬會有如此奇怪的黑白斑紋，直到他們談話的當下，卡羅依然在探究這個問題。他告訴梅林，其中最早出現、最廣為人知也令人意外的推測，是認為這些斑紋其實是斑馬的保護色。斑馬身上的黑白條紋毛色能夠擾亂掠食者（如獅子、鬣狗）的視線，讓牠們看不清楚斑馬的輪廓，也可以讓斑馬的身影融入周遭聳立的樹木之間，又能夠在斑馬跑動時讓其他動物感到視線模糊。

但梅林對這些說法抱持著存疑的態度，她回想自己當初的反應：「我那時候表情應該很怪。我對他說：『大部分的肉食性動物都是在夜晚獵食，而且牠們的視覺根本不如人類靈敏，因此很有可能根本看不到那些斑紋。』」提姆這時驚訝地忍不住脫口而出：「什麼？」

斑馬紋隱身術

人類視覺處理細節的能力幾乎比其他任何動物都來得好；梅林也發現，正是因為這種特別敏銳的視力，人類才成了少數能夠看見斑馬條紋的物種。她和卡羅找了個光線明亮的日子，計算出擁有絕佳視力的人類能夠在一百八十二公尺左右之外的距離就分辨出斑馬身上的黑白條紋，獅子則得拉近到八十二公尺左右的距離才看得出來，鬣狗更是要到四十五公尺左右的距離才看得清楚。一旦到了掠食者最常打獵的黃昏或清晨時分，牠們則得再拉近約莫一半的距離才能看見斑馬身上的紋路。

所以梅林的想法沒錯：斑馬身上的條紋不可能是牠們用來匿蹤的保護色，因為掠食者都得靠得很近才看得到這些紋路，然而假如真的距離這麼近，這些天生的獵人早就聽見或聞到斑馬的蹤跡了，實在無需仰賴視力。在肉食動物與斑馬平時間隔的距離之下，這些紋路其實根本都融成了一片灰濛濛的顏色；對正在打獵的獅子來說，斑馬看起來跟驢子其實也沒什麼不同。

人類其實視力超好的？

動物的視覺敏銳度以單位視角週期數（cycles per degree）為測量單位——這個概念剛好可以用剛剛的斑馬條紋來做例子。各位伸出手臂並豎起大拇指，你的指甲大約可以代表一單位視角；以你的手臂為距並涵蓋四周三百六十度的距離範圍來說，各位應該可以在指甲上畫了六十至七十條黑白條紋的情況下，依然辨識得出黑白條紋之間的區別。因此人類視覺敏銳度的單位視角週期數便約為六十至七十；目前的最高紀錄是來自澳洲的楔尾鵰（Aquila audax），牠們的視覺敏銳度之高，單位視角週期數高達一百三十八。

楔尾鵰擁有動物世界中最細的光受體，這也使牠們的視網膜裡可以密密麻麻地塞滿大量光受體；有了這些細窄的感光細胞，楔尾鵰敏銳視力的畫素大約是人類的兩倍，也因此可以在大約一點六公里之外的距離看見小小一隻大鼠。

然而老鷹和其他猛禽卻是少數視覺比人類敏銳得多的物種。感官生物學家愛倫諾．凱福斯（Eleanor Caves）搜羅了上百種動物的視覺敏銳度，發現人類的視力幾乎超越了所有物種。除了猛禽以外，就只有其他靈長類動物的視覺敏銳度能與我們比肩了。

各種動物的視覺敏銳度以單位視角週期數表示如下：章魚為四十六、長頸鹿為二十七、馬為二十五、獵豹為二十三，視力表現還算不錯；而獅子卻只有十三，僅略高於人類法律中定義為全盲的單位視角週期數：十。然而其實除了上述物種之外，大部分動物的視覺敏銳度都低於人類視為全盲的門檻，其中包括半數的鳥類（令人意外的是，蜂鳥和倉鴞都在此行列之中），大部分的魚類與所有昆蟲；例如蜜蜂的單位視角週期數竟只有一，這也就表示你伸出去的那隻大拇指在蜜蜂眼裡就代表著一個畫素，至於拇指上畫的其餘細節在牠們眼中都是一團模糊。另外還約有百分之九十八的昆蟲視力比這還要更弱。

凱福斯說：「人類真的很怪。我們的其他任何感覺根本連摸都摸不到可以稱為頂尖的邊，卻唯獨在視覺敏銳度上傲視群雄。」矛盾的是，人類雖有優良的視力，卻也因此失去了能夠欣賞其他環境界的視野，因為「我們以為自己看得到的，其他物種一定也能看見；認為那些對人類來說顯而易見顯眼的事物，對其他動物來說也一定難以忽視。但實際上卻並非如此。」凱福斯如此說道。

——本文摘自《五感之外的世界》，2023 年 8 月，臉譜出版，未經同意請勿轉載。

人類天生可以連結視覺與觸覺經驗

這組研究團隊，是由法國的發展心理學家阿萊特．史翠麗（Arlette Streri）所領導。史翠麗的實驗室特色，就是使用嬰兒進行認知研究。值得注意的是，她們研究的不是一般的嬰兒，而是剛出生僅僅數十個小時的「極新」嬰兒。至於為什麼要使用這麼小的嬰兒，讀者應該也已經猜到原因：因為嬰兒的學習能力又強又快，只要一接觸這個世界，嬰兒的學習就已經開始。所以如果要回答涉及先天或後天的爭議問題，自然是使用愈小的嬰兒愈好。

為了回答莫里內的問題，史翠麗找來了二十四位出生不到五天的小嬰兒，她想知道，小嬰兒在僅透過觸覺感受過某物體的形狀後，能不能改用視覺辨識出同一個形狀的物體。她在實驗中，讓小嬰兒用右手抓握物體（並確保小嬰兒看不到該物體），其中有些小嬰兒抓握的是一個三角形的物體，另一些小嬰兒則是抓握一個圓柱形的物體。在抓握物體後，小嬰兒的眼前會出現兩個物體（一個三角形物體和一個圓柱形物體；其中一個是剛剛抓握過的物體，另一個是不曾抓握過的物體）。結果發現，小嬰兒對於不曾抓握過的物體，會有較久的凝視時間（Streri and Gentaz, 2003）。

這項發現，看似給了莫里內問題的正方經驗論者一記重擊，因為實驗結果發現，小嬰兒在出生後短短五天內，好像就能將眼前的視覺形狀和抓握時的觸覺形狀連結在一起。而且嬰兒的這項能力，似乎不是透過學習而來，因為在嬰兒剛出生的這五天內，幾乎不可能摸過和看過實驗中所使用的三角形和圓柱形物體。

然而，這項結果仍然有人不服。比方說，經驗論者可以提出質疑：雖然嬰兒在出生後的五天內可能沒有看過三角形與圓柱形物體，但是他們可能已經透過其他方式學到了觸覺與視覺之間的局部緊密關聯性。例如嬰兒在剛出生時，就會不斷的揮手踢腳，他們不但可以看到自己的手部形狀（張掌或握拳），也可以透過觸覺去感受自己的手指、拳頭和指甲的形狀和感觸。這些基本的視覺與觸覺感受，可能就足以讓小嬰兒學習到尖銳與圓滑物體之間的視覺與觸覺差異，並因此導致上述的實驗結果。若真是如此，那麼這項實驗結果就無法拿來回應莫里內的問題，因為小嬰兒可能早在實驗前就已經學到觸覺與視覺之間的關聯性了。

天生盲人恢復視力後的視覺認知狀態

由於史翠麗的實驗仍有瑕疵，因此無法對莫里內的問題給出一槌定讞的結論。不過在二○一○年左右，另一項契機開始逐漸浮現，而其中的主角，就是麻省理工學院的帕萬．辛哈教授（Pawan Sinha）。

辛哈是美籍印度裔的知名視覺神經科學家，是我相當敬重的一位視覺科學前輩。他的實驗室，就位於我當年在麻省理工學院研究空間的隔壁，我也因此常有機會聽到辛哈和他的實驗室同仁談及研究計畫和成果。辛哈早年的研究主題，著重於人類大腦如何透過視覺進行學習，他在一九九九年剛到達麻省理工學院的腦與認知科學系任教時，仍不太確定自己該如何做出突破性的研究，但是在一次回印度探親的旅程中，他發現了一個可以同時在科學與社會福祉都有所貢獻的研究機會。

在印度，每一百個人中就有一位是盲人，而且印度孩童的失明比例還比西方國家高出三倍，其中很多孩童是先天性白內障，因為偏鄉缺乏醫療資源而導致失明。這些失明的孩童，一般都會經歷痛苦的人生。根據統計，印度失明孩童的受教育和受雇機率不到一○％，平均壽命也比一般孩童要少十五年，孩童時期的死亡率更是超過五○％。

在明白印度失明孩童的困境後，辛哈立下一個心願，他想透過自己的研究計畫來幫助這些孩子，並且同時進行有意義的科學實驗。就在這樣的背景下，他開始推動「光明」（Prakash）計畫，希望能在印度各地找出先天性白內障的孩童，幫他們免費進行白內障切除手術，然後同時研究他們恢復視覺後的認知與大腦變化。而辛哈的義舉，也讓爭論長達三百多年的莫里內思想實驗，出現了近乎完美的真實實驗契機：讓看不見的盲人恢復視力，然後檢視其視覺認知狀態，這不正是莫里內問題的初衷嗎？

——本文摘自《為何三歲開始說謊？》，2023 年 7 月，親子天下出版，未經同意請勿轉載。