• 文／林泓曄、黃俊維｜國⽴臺灣⼤學物理學系電子學課程學生

在超導體的領域中，多年前就有人預測了一種「自旋三重態非常規超導體（Spin-Triplet Unconventional Superconductor）」的存在，其對於外加磁場的反應和典型的超導體有很大的不同，也因此使其在量子電腦領域有很大的發展潛能。但是，一直沒有人能夠找到自旋三重態非常規超導體存在的直接證據。

直到前年 (2019)，美國 Johns Hopkins University 的團隊和台大團隊合作，使用特別且嚴謹的實驗方法，證明了新穎材料 β-Bi₂Pd 是一種自旋三重態非常規超導體，並將其實驗結果發表上頂尖科學期刊 Science。此實驗結果使我們能夠確認非常規超導體的存在，為量子電腦的硬體發展帶來新的想法，更為探尋馬約拉納費米子 (Majorana Fermion) 道路帶來一線曙光。

量子電腦聽起來很炫，到底是什麼？

量子，這曾是人類無法想像的不尋常現象，如今正用它神奇的方式打破舊有的規則。量子電腦相關話題層出不窮，在這些報導背後，建構量子電腦的量子元件同樣為「量子優越性」時代的來臨推波助瀾。

傳統電腦的計算方法是以高電位（表示 1、True）以及低電位（表示 0、False）來進行二進位的運算，其單位稱作位元 (Bit)。而量子電腦是藉由類似想法，但是單一個位元可以是 0 和 1 的疊加態，位元之間又可以互相糾纏，故可使得量子電腦的運算量隨著位元數的增加而呈現指數成長，而我們稱此位元為量子位元 (Qubit)。

因此，甚至日前 Google 發表了篇文章，稱其實驗的量子電腦可在 3 分 20 秒完成超級電腦需要運算一萬年的問題！

而其中量子位元的形式百百種，本篇將介紹的是將超導體做成超導環，對其通以磁場，使超導環同時產生順、逆時針的電流作為量子位元。

什麼是常規超導體？跟量子電腦有什麼關係？

常見的自旋單態常規超導體（Spin-Singlet Conventional Superconductor），擁有磁通量量子化的超導特性，若將其做成環狀，並施以連續變化的外加磁場，根據電流磁效應，超導環會產生順時針或逆時針的超導電流來抵消或增強環內的磁場強度，使環內磁通量仍被量子化。外加磁場為零時沒有超導電流，當由下往上的磁場逐漸增加時會產生超導電流抵銷磁場，使環心的磁通量為零，但外加磁場恰超過半量子磁通量時，超導電流會瞬間反向，使環心的磁通量補足達到一個量子數，接著隨著外加磁場繼續增加而減弱，最後在達到一個量子數時電流消失，如此循環反覆（示意圖如圖一）。

科學家便是利用外加半磁通量時電流反向的關鍵點，固定外加磁場使得超導環產生順、逆時針電流的量子疊加態作為量子位元。但此方法容易因為不同超導環要達到穩定疊加態所需要施加的磁場大小不一樣，所以幾乎不可能同時讓複數個超導環同時達到穩定疊加態，也就是說，位元數量無法增加，這是到目前為止用超導環做量子電腦遇到的一大瓶頸。

規則就是要拿來打破的，用理論預測非常規超導存在！

在此之前，其實科學家已經透過理論預測，應該會存在一種自旋三重態非常規超導 (Spin-Triplet Unconventional Superconductor)，此材料沒有圖三中，在外加磁場不到 1/2 個通量時所產生的抵抗電流，甚至在外加磁場為 0 時，內部便有磁通量，表示會自行產生超導電流，而且是處於半量子磁通量的關鍵點（參考圖二）。

然而，到目前為止還沒有團隊真的有辦法確認一個超導體材料真的是一個自旋三重態的超導體。因此，本篇所介紹的學者團隊，希望利用特別的實驗方法來證明這種超導體的存在。

探索從未發現的材料

我們有幸訪問到此實驗團隊的一位教授：錢嘉陵教授。他表示，在這個探索中嘗試過時數種材料，才終於找到這個披著神秘面紗的主角——β-Bi₂Pd。

團隊利用此材料做成了一個次微米尺度的環，厚度約 50 奈米，長寬各約 0.8 微米的方形環，環的寬度約 0.1 微米（參考圖三）。至於實驗對照組，則是形狀基本上一樣，不過厚度為 28 奈米的鈮 (Niobium, Nb)。

事實上，做成這個尺寸是有意義的。如果環做得太大，則其磁通量就會由於面積擴大而縮小，導致因磁通量量子化造成的震盪效應不明顯；但如果做的很小，則會因為超導體中的電子對需要保持一最短距離，材料太小則會使電子對無法穩定存在。做得太薄也不行，因為如果太薄會使超導臨界溫度過低，由於現今常用的降溫方法為使用液態氦，約為 4K，當超導臨界溫度低於 4K 時，則將會在降溫的技術方面出現困難；當然，太厚也不可以，因為這個效應僅體現在材料的表面，若材料過厚，則難以測量其表面的效應，僅能觀測到其實心部分的結果，並非本實驗目的。

證實 β-Bi₂Pd 為自旋三重態非常規超導體

有了一個超導環之後，就可以對它施加磁場，當我們改變外加磁場的量值，它就會產生利特爾—帕克斯效應 (Little-Parks Effect)。

利特爾—帕克斯效應是什麼呢？讓我們回顧一下上述的超導環電流變化現象，如果電流會這樣變化，那麼超導環的電阻便會出現相應的震盪現象，這就是利特爾—帕克斯效應。實驗團隊從數據結果發現，和利特爾—帕克斯效應 (Little-Parks Effect) 的預期結果相同，實驗組 (β-Bi₂Pd) 和對照組（鈮）的電阻—磁場圖基本上都呈現週期震盪圖形，而且兩者的震盪週期也都差不多，大約是 30 厄斯特（磁場單位）。

但真正的重頭戲，是這兩者的震盪相位不同！實驗組和對照組的相位差了 180 度（震盪圖形平移了半個週期），β-Bi₂Pd 的電阻極大值會發生在磁場為 0 的情況，而鈮在該情況下的則為電阻極小值。而這就反映了半量子和量子磁通量的差異，也就證明了 β-Bi₂Pd 的確是一個自旋三重態非常規超導體 (Spin-Triplet Unconventional Superconductor）。 （請參考圖四）

β-Bi₂Pd 的價值

如前面所述，此材料不需外加磁場便能處於半量子磁通量的關鍵點，解決了原本幾乎不可能同時使複數個超導環處於穩定疊加態的問題，為量子計算再邁出一大步！

不僅僅是其在外加磁場為零時便具有超導電流的特性，更值得鼓舞的是，這樣的材料很有可能會是一種非常難得存在的 p 波超導體（p-wave Superconductor）。

p 波超導體 (p-wave Superconductor) 是一種自旋三重態非常規超導體 (Spin-Triplet Unconventional Superconductor)，其中被預言會存在難以尋找的馬約拉納費米子 (Majorana Fermion)，其具有反粒子即為自己本身的奇特性質，將有機會解決量子電腦易受外界擾動而影響的重大瓶頸，為量子電腦的突破更寫下嶄新的一頁！

致謝

本⽂源⾃於國⽴臺灣⼤學物理學系電⼦學之課程報告，感謝朱⼠維老師、程暐瀅助教，以及論文原作者錢嘉陵老師、朱明文老師的用心指導與大力協助。

參考資料

1. 本篇主要引用：Yufan Li, Xiaoying Xu, M.-H. Lee, M.-W. Chu, C. L. Chien, Observation of half-quantum flux in the unconventional superconductor β-Bi₂Pd. Science 11 Oct 2019: Vol. 366, Issue 6462, pp. 238-241 DOI: 10.1126/science.aau6539
2. Unconventional superconductor. Wikipedia, , the free encyclopedia.
3. Conventional superconductor. Wikipedia, , the free encyclopedia.
4. Little–Parks effect. Wikipedia, , the free encyclopedia.
5. Majorana fermion. Wikipedia, , the free encyclopedia.
6. 科學大抖宅 (2017)，自己是自己的反粒子？找到『馬約拉納費米子』存在的確切證據。泛科學
7. 朱明文 (2019)，量子電腦新材料：具有非典型超導體 p 波對稱性的多晶織構薄膜。物理雙月刊

本文轉載自中央研究院研之有物，泛科學為宣傳推廣執行單位。

• 採訪撰文｜郭雅欣、簡克志
• 美術設計｜林洵安、蔡宛潔

在學術與搖滾的多重維度上行走

還記得美劇《The Big Bang Theory》嗎？劇中常常出現的物理名詞「弦論」，是描述物理世界基本結構的理論。中央研究院「研之有物」專訪院內數學研究所程之寧研究員，她正是研究弦論的科學家，也是熱愛音樂的搖滾樂團鼓手，這種跨領域身份並不衝突，兩邊都需要創造力與紀律。由於天生斜槓的性格，讓程之寧在數學和物理領域大展身手，透過數學的深入探討，她試圖將弦論更往前推進。最近程之寧更跨足到人工智慧領域，為學界提供理論物理上的貢獻。

萬有理論和難以捉摸的「月光」

世界從那裡來呢？物理世界的本質是什麼呢？回答這樣的大哉問，一直是理論物理學家所追求的目標。從牛頓力學（日常應用）、廣義相對論（探討很重的物質）到量子力學（探討很小的物質），隨著物理學不斷發展，我們似乎一步步接近答案，但至今卻還未走到終點。

舉例來說，如果有個東西很重又很小，就像「黑洞」，或是大爆炸時的宇宙，我們要怎麼用數學描述？於是科學家試圖整合廣義相對論和量子力學，找出所謂的「萬有理論」（Theory of Everything）──能完全解釋物理世界基本結構的核心理論。

程之寧研究的「弦論」就企圖發展成這樣一個萬有理論。弦論一如其名的「玄妙」，它設定宇宙所有的粒子都是由一段段「能量弦線」所組成，每一種基本粒子的振動模式不同，產生不同的粒子特性。

「人類一直以來的夢想之一就是，如果能用一句話解釋所有事情，那該有多麼美好。」中研院數學所研究員程之寧說道。

程之寧的研究牽涉到數學上的「月光猜想」（Moonshine）與弦論中 K3 曲面的連結。月光猜想是存在於模函數係數與特殊群之間的數學關聯，程之寧與其研究夥伴共發現了 23 個新的關連，並稱之為「伴影月光猜想」（Umbral Moonshine）。

基於弦論的假設，我們的世界是十維的，除了人們在日常生活中可以感知到的 3+1 維（空間＋時間），還有六維是因為尺寸太小而無法用肉眼觀察的，這些看不到的維度影響著物理世界，最終也產生了我們這個物理世界所需的各種條件與特性。

綜觀程之寧的研究，橫跨了物理與數學兩個領域，她笑稱自己「天生斜槓」。在學術上，程之寧原先喜歡文學，之後卻走上數理研究的道路；在音樂上，程之寧喜愛搖滾樂，至今仍在自己的樂團裡擔任鼓手。

她如何看待自己一路走來的各種轉折？游徜在數學與物理之間，她又對這兩個領域的連結有怎樣的體會？在與「研之有物」的訪談中，程之寧侃侃而談她的經歷、想法，以及對學術研究的熱忱所在。

• 請問您是如何對數學及物理產生興趣？從何時開始？

一開始考大學時，其實我想去念中文系（笑）。不過，因為我高中是選理組，而且只念了一兩年，對文科考試比較沒把握，加上對工程科系沒興趣，最後就選擇臺大物理系就讀。

後來發生兩個轉折，第一個是我很認真的去修了大學中文系的課，結果發現真的沒有想像中容易。第二個就是我發現物理系的課還蠻有趣的，像量子力學和相對論，讓我覺得還想再多學一點、多知道一點。

我開始覺得如果念完臺大物理系就停下來，好像有一種小說沒讀完的感覺，所以就想繼續讀碩士班。那時還沒有覺得自己會走上學術研究的路，單純抱著想把故事看完的想法。

• 後來是如何接觸到弦論？弦論是如何引起您的興趣？

後來我去荷蘭念碩士，指導教授是諾貝爾物理獎得主 Gerard ’t Hooft。他其實蠻不認同弦論，但他對於如何處理量子力學與相對論很有興趣。

當時 ’t Hooft 教授在建議我碩士題目時就說：「你也知道我不太認為弦論是一條正確的道路，不過聽說弦論最近真的在量子重力這一塊有一些成果。不如妳去讀一讀，看看是不是真的有一些東西在那裡，也可以比較一下其他量子重力理論。」

在我很認真的比較各個量子重力理論之後，就變成弦論派了（笑）。’t Hooft 教授對此也保持開放態度，他有幾個不錯的博士生後來也變成弦論學家，之後我在 Erik Verlinde 的指導下念博士時，就完全以弦論為研究主題了。

• 研究理論物理會影響您對現實世界的理解嗎？

蠻多人會問我說，妳學了量子力學，是不是就會比較了解這個世界不是非黑即白？或問我量子力學跟宗教是不是有關？可是我覺得我分得很開，我不會去做這樣的連結，我還是活在現實裡，走路時大部分都在專注於自己不要跌倒之類的。

如果真的要講，我蠻感激我們的存在，因為我所學的東西讓我知道這是沒有必然性的。我們能這樣以一種人形的很奇怪的生物的形式存在，然後在這樣一個環境過一輩子，是機率很低的事情，而且我還蠻開心我是當人，而不是奇怪的阿米巴蟲或外星生物！有些人會從這裡連結到宗教或轉世，但我不會，我就停在這裡。

• 來談談您的研究，伴影月光猜想與 K3 曲面弦論之間是什麼關係？

弦論中有很多的可能性，我們可以挑選特定的四維，然後假設這四維空間是個 K3 曲面。例如說，我們可以把兩個甜甜圈乘起來，在上面做特殊的奇異點，來製造出一個 K3 曲面。這個曲面有一些很有趣的對稱性。從弦論的角度來講，我們可以透過這個過程，找出一個解釋為何有伴影月光猜想的框架。

「把維度乘起來」這個概念很難想像，但這在數學上是成立的。我舉例一個我們能想像的「乘起來」：如果有一個空間是一條線，另一個空間是一個圓，乘起來就變成一個圓柱形，從一個方向剖面可以切出圓，另一個方向則切出線。而在數學上，不管幾維，能不能在紙上畫的出來，都可以這樣操作。

• 如何透過計算，發現捉摸不定的「月光」？

有時候這看似湊巧，一個數學上的函數正好就是弦論某個問題的答案。但其實並不是真的那麼巧，弦論看起來很有彈性，好像什麼都可以解釋，但它其實有非常多結構及限制。

當我在計算一個弦論理論時，它的內部結構可能原本就具有某些特定的性質，然後我再去觀察數學中，有這樣性質的函數可能就只有一兩個，只要再初步算一下，就能知道哪一個是答案。弦論學家日常的計算常常是這樣的，所以這是巧合嗎？是也不是。

• 您曾經發現 23 個新的伴影月光猜想，您對這類題目特別有興趣嗎？

我覺得數學有兩種，有些數學家喜歡系統性的事情，就像蓋房子一樣，在數學裡建造一個很美麗、非常有系統性的結構，可以把很多事情都放入這個結構來理解。

另一種比較少數的，就是喜歡獵奇，去收集分類奇奇怪怪的特殊東西，例如有這些性質的函數在哪裡？可能你算出來就是 5 個，你也不知道為什麼。月光猜想很明顯就屬於這一類。

兩種的樂趣感覺是不一樣的，我覺得應該都很棒，但我可能是屬於偏好獵奇的這種。

• 您的研究連結了物理上的弦論與數學上的月光猜想，您怎麼看待這兩個知識體系的互動？

弦論是一個需要很多數學理論配合的物理理論，它是一個有點繁複的框架，我們什麼都要會一些，才能看懂這個理論。當你把許多不一樣的學門的知識加起來，有時候就會在某一個學門──例如幾何──有意想不到的收穫。

弦論在數學上也扮演探索與找尋新方向的角色，讓數學家有新的發現。雖然最後數學定理的證明還是得仰賴傳統數學方法，但在這二三十年間，我們一直從弦論身上找尋數學研究的新方向或有趣的猜想，看到了弦論與數學之間的互動。

• 剛才一開始提到，您高中只念了一兩年，是因為對學校沒有興趣嗎？

其實我一直都覺得上學很無聊。我小時候臺灣教育和現在很不一樣，一班 50 幾個人，老師必須盡量軍事化管理，大家最好都一模一樣，比較好管理。我和學校一直處於互相磨合的狀況，我自認已經努力配合學校，但學校一直覺得我在反抗，這可能是一個認知上的差別。

舉例來說，我小學的時候不想睡午覺，可是老師說大家都一定要睡午覺，不睡午覺的人要罰抄課文，所以我早上到學校時就會把已經抄好的課文交給老師。我覺得我這樣做是在配合老師的規定，可是以老師的立場會覺得我在反抗，學校教育中我遇到了很多類似的情況。

還有就是不喜歡高中的升學氛圍，同學和老師好像都只有一個活著的目標，就是「考大學」。我當時無法習慣升學氛圍，感覺好像活在平行宇宙一樣。

• 高中休學後，您去唱片行工作，可否談談當時的想法？

我國中開始聽音樂，這是我除了看書之外的重要興趣，我也很快就喜歡上了搖滾樂。高中休學的時候，我唯一的謀生技能可能就是我對音樂的各類知識吧！所以我就去了唱片行，這是唯一一個我會做又有興趣的工作，還好那時候還有很多唱片行（笑）。

• 對音樂的熱忱，讓您與朋友共組了樂團，並擔任鼓手。您是否比較過樂團生活和學術研究之間的異同之處？

有些人覺得我這樣很跳 tone，但我自己覺得還好。音樂和學術都是我發自內心覺得好玩的東西，兩者也有相同之處，例如它們都需要創造性，也都有需要了解的框架。數學需要嚴謹的證明，音樂演奏也需要遵循結構，例如不能掉拍。

音樂領域還有一點和數學類似──玩樂團的圈子也是以男性為主。我們樂團則是只有一個男生，其他都是女生，可能我真的天生對框架有點遲鈍，玩團之後才發現：「怎麼大家都是男生？」

• 也就是說，目前數學學術圈仍是男性主導，在研究路上，您有因為性別而感受到一些衝擊或眼光嗎？您怎麼面對？

有。那感覺很明顯，日復一日地要去面對，尤其是年紀還比較輕、還必須每一天去證明自己的能力的時候，特別有感。

我遇到時的反應就是，在心裡暗罵一句髒話，然後繼續做我要做的事。我不會想改變別人的想法，感覺那是浪費時間，就算環境給我的阻礙是這樣，我還是繼續去做該做的事。

可是有些事情沒那麼簡單，現在我也當過老師，有時候會看到年輕女生在學術界因為性別而被欺負，或遭到不公平待遇、甚至騷擾。

對此我感到心痛，覺得為何我們學術領域還是這樣的狀況？甚至為什麼性騷擾至今還是一個議題？可以確定的是，學術界許多性別不平等問題未受到重視。

• 您現在已經有傑出的研究成果，還會因為性別而遭受質疑嗎？

我現在比較會遇到一個狀況反而是來自學生的質疑。我在荷蘭阿姆斯特丹大學教書時，有時候學生會因為我是女教授，而且我的外表在許多歐洲人眼中看起來就像小妹妹，所以比較容易去挑我的毛病。

在課堂上，下面坐的可能都是男學生，只有一兩個女學生，那個氣氛就會變得很奇怪。例如說偶爾會聽到學生評論我的身材或樣貌。

我有和其他一些在歐洲或美國的女性教授聊過這樣的問題，似乎不少人都有類似的不太愉快的經驗。感覺不是很好。

• 看到您最近的研究和人工智慧（AI）有關，為何會想往這個方向發展？

我有兩個動機。一個就是我真的想深入了解人工智慧。我也可以像普羅大眾，看看 AI 下圍棋，讚嘆「哇！好厲害！」這樣就好，可是我覺得我一定可以真的去理解它，這可能就是數學家的自大吧！

另一方面，我知道對科學研究來說，未來 AI 將會是一個非常重要的工具。這是「在職訓練」的概念，我可能會用到這個新工具，或以後我可能會需要教這樣的課，因為學生是下一代的科學家。因為這些原因，我覺得我需要去訓練自己使用新的工具。在我的領域裡，也有一些有趣的、還沒被解答的科學問題，是 AI 有可能幫得上忙的，我看到了一些潛力。

• 弦論和 AI 感覺差距很大，AI 也可以應用到弦論的研究嗎？

乍看之下，弦論的確比較抽象，也不像其他許多實驗會產生大量數據。但其實弦論有大量的可能性，我認為使用 AI 來在這些巨量的可能性當中搜尋特別有趣的理論，是一個有潛力能夠加深我們對弦論理解的新的研究方法。

而且 AI 的應用絕不僅限於巨量資料。如果是面對一些比較新的挑戰，在沒有現成的演算法可以用的情形之下，可以自己做出需要的功能嗎？這過程我覺得也非常很有趣，而且應該是會有成果的一條路。這種不是那麼顯而易見的事情，我覺得很有挑戰性，也蠻好玩的。

除了用 AI 來幫助物理跟數學的研究之外，我也試著物理研究當做靈感來源，找出新的 AI 的可能性，我覺得這也是一個很有趣的研究方向。我現在有和 AI 的學者合作，嘗試做出一些創新的演算法，真的還蠻有趣的。

• AI 對您而言是全新的領域，您如何面對跨領域遇到的門檻？

一開始會覺得真的要去碰這個新的領域嗎？其實現在也還是偶爾會有這樣的懷疑。我在弦論領域可能已經是專家，但去了一個新的領域，我學得不會比二十歲的人快，要怎麼去跟人家競爭？是不是在浪費時間？

但也會想，與其想這麼多，不如先做再說。到目前為止我做了兩年多，感覺還蠻好的，我有學到東西，也有做出小小的貢獻。

其實我還蠻感激有這樣的學習機會。對我來說當科學家最大的好處就是，去搞懂一個新的東西就是工作的一部分。當科學家雖然蠻辛苦，但就結果論來說，我還蠻開心能當一位科學家！

延伸閱讀

1. Moonshine Master Toys With String Theory | Quanta Magazine
2. Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow | Quanta Magazine
3. 林正洪教授演講 一 怪物與月光（Monster and Moonshine），《數學傳播》