Lovejoy彗星究竟是如何逃過太陽魔掌的？

1894 年，美國物理學家邁克生（Albert Abraham Michelson）作為芝加哥大學物理系的創立者，在為學校的瑞爾森物理實驗室（Ryerson Physical Laboratory）落成典禮致詞時，表示：「雖然無法斷言說，未來的物理學不會比過去那些驚奇更令人驚嘆，但似乎大部分的重要基本原則都已經被穩固地建立了。」

以我們現在的後見之明，這段話聽起來固然錯得離譜，但在當時，從 17、18 到 19 世紀，在伽利略、牛頓、馬克士威等前輩的的貢獻之下，物理學已經達成了非凡的成就。

我們現在稱為古典的物理學，對於整個世界的描述幾乎是面面俱到了，事實上沒有人預料到 20 世紀將出現徹底顛覆世界物理學認知的重要理論，量子力學。

而這最一開始竟只是出自於一件不起眼的研究，關於物體發出的光。

萬物皆輻射

在此我們要先理解一個觀念：所有物體無時無刻不在發出電磁波輻射，包括了你、我、你正使用的螢幕，以及我們生活中的所有物品。

至於為什麼會這樣子呢？其中一個主要原因是，物體都是由原子、分子組成，所以內部充滿了帶電粒子，例如電子。這些帶電粒子隨著溫度，時時刻刻不停地擾動著，在過程中，就會以電磁波的形式放出能量。

除了上述原因之外，物體發出的電磁波輻射，還可能有其他來源，我們就暫時省略不提。無論如何，從小到大我們都學過的，熱的傳遞方式分成傳導、對流、輻射三種，其中的輻射，就是我們現在在談的，物體以電磁波形式發出的能量。

那麼，這些輻射能量有什麼樣的特徵呢？為了搞清楚這件事，我們必須先找個適當的範本來研究。

理想上最好的選擇是，這個範本必須能夠吸收所有外在環境照射在上面的光線，只會發出因自身溫度而產生的電磁輻射。這樣子的話，我們去測量它發出的電磁波，就不會受到反射的電磁波干擾，而能確保電磁波是來自它自己本身。

這樣子的理想物體，稱為黑體；畢竟，黑色物體之所以是黑的，就是因為它能夠吸收外在環境光線，且不太會反射。而在我們日常生活中，最接近理想的黑體，就是一點也不黑、還超亮的太陽！這是因為我們很大程度可以肯定，太陽發出來的光，幾乎都是源於它自身，而非反射自外在環境的光線。

或者我們把一個空腔打洞後，從洞口發出的電磁波，也會近似於黑體輻射，因為所有入射洞口的光都會進入空腔，而不被反射。煉鐵用的鼓風爐，就類似這樣子的結構。

到目前為止，一切聽起來都只是物理學上一個平凡的研究題目。奇怪的是，在對電磁學已經擁有完整瞭解的 19 世紀後半到 20 世紀初，科學家儘管已經藉由實驗得到了觀測數據，但要用以往的物理理論正確推導出黑體的電磁波輻射，卻遇到困難。正是由此開始，古典物理學出現了破口。

黑體輻射

由黑體發出的輻射，以現在理論所知，長得像這個樣子。縱軸代表黑體輻射出來的能量功率，橫軸代表黑體輻射出來的電磁波波長。

在理想狀況下，黑體輻射只跟黑體的溫度有關，而跟黑體的形狀和材質無關。

以溫度分別處在絕對溫標 3000K、4000K 和 5000K 的黑體輻射為例，我們可以看到，隨著黑體的溫度越高，輻射出來的能量功率也越大；同時，輻射功率最高的波段，也朝短波長、高頻率的方向靠近。

為了解釋這個曲線，物理學家們開始運用「當時」畢生所學來找出函數方程式，分成了兩派：

一派是 1896 年，由德國物理學家維因（Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien），由熱力學出發推導出的黑體輻射公式，另一派，在 1900 與 1905 年，英國物理學家瑞立（John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh）和金斯（James Jeans），則是藉由電磁學概念，也推導出了他們的黑體輻射公式，稱為瑞立－金斯定律。

你看，若是同時擺上這兩個推導公式，會發現他們都各自對了一半？

維因近似 Wien approximation 只在高頻率的波段才精確。而瑞立－金斯定律只對低頻率波段比較精確，更預測輻射的強度會隨著電磁波頻率的提升而趨近無限大，等等，無限大？――這顯然不合理，因為現實中的黑體並不會放出無限大的能量。

顯然這兩個解釋都不夠精確。

就這樣，在 1894 年邁克生才說，物理學可能沒有更令人驚嘆的東西了，結果沒幾年，古典物理學築起的輝煌成就，被黑體輻射遮掩了部分光芒，而且沒人知道，這是怎麼一回事。

普朗克的黑體輻射公式

就在古典物理學面臨進退維谷局面的時候，那個男人出現了——德國物理學家普朗克（Max Planck）。

普朗克於 1900 年就推導出了他的黑體輻射公式，比上述瑞立和金斯最終在 1905 年提出的結果要更早，史稱普朗克定律（Planck’s law）。普朗克假想，在黑體中，存在許多帶電且不斷振盪、稱為「振子」的虛擬單元，並假設它們的能量只能是某個基本單位能量的整數倍。

這個基本單位能量寫成 E=hν，和電磁輻射的頻率 ν 成正比，比例常數 h 則稱為普朗克常數。換言之，黑體輻射出來的能量，以hν為基本單位、是一個個可數的「量」加起來的，也就是能量被「量子化」了。

根據以上假設，再加上不同能量的「振子」像是遵循熱力學中的粒子分佈，普朗克成功推導出吻合黑體輻射實驗觀測的公式。

普朗克的方程式，同時包含了維因近似和瑞立－金斯定律的優點，不管在低頻率還是高頻率的波段，都非常精確。如果我們比較在地球大氣層頂端觀測到的太陽輻射光譜，可以發現觀測數據和普朗克的公式吻合得非常好。

其實有趣的是普朗克根本不認為這是物理現象，他認為，他假設的能量量子化，只是數學上用來推導的手段，而沒有察覺他在物理上的深遠涵意。但無論如何，普朗克成功解決了黑體輻射的難題，並得到符合觀測的方程式。直到現在，我們依然使用著普朗克的方程式來描述黑體輻射。不只如此，在現實生活中，有許多的應用，都由此而來。

正因為不同溫度的物體，會發出不同特徵的電磁波，反過來想，藉由測量物體發出的電磁波，我們就能得知該物體的溫度。在疫情期間，我們可以看到某些場合會放置螢幕，上面呈現類似這樣子的畫面。

事實上，這些儀器測量的，是特定波長的紅外線。紅外線屬於不可見光，也是室溫物體所發出的電磁輻射中，功率最大的波段。只要分析我們身體發出的紅外線，就能在一定程度上判斷我們的體溫。當然，一來我們都不是完美的黑體，二來環境因素也可能產生干擾，所以還是會有些許誤差。

藉由黑體輻射的研究，我們還可以將黑體的溫度與發出的可見光顏色標準化。

在畫面中，有彩虹背景的部分，代表可見光的範圍，當黑體的溫度越高，發出的電磁輻射，在可見光部分越偏冷色系。當我們在購買燈泡的時候，會在包裝上看到色溫標示，就是由此而來。所以，如果你想要溫暖一點的光線，就要購買色溫較低，約兩、三千 K 左右的燈泡。

結語

事實上，在黑體輻射研究最蓬勃發展的 19 世紀後半，正值第二次工業革命，當時鋼鐵的鍛冶技術出現許多重大進步。

德國鐵血宰相俾斯麥曾經說，當代的重大問題要用鐵和血來解決。

就傳統而言，煉鋼要靠工匠用肉眼，從鋼鐵的顏色來判斷溫度，但若能更精確地判斷溫度，無疑會有很大幫助。

德國作為鋼鐵業發達國家，在黑體輻射的研究上，曾做出許多貢獻，這一方面固然可能是學術的求知慾使然，但另一方面，也可以說跟社會的需求與脈動是完全吻合的。
總而言之，普朗克藉由引進能量量子化的概念，成功用數學式描述了黑體輻射；這件事成為後來量子力學發展的起點。儘管普朗克本人沒有察覺能量量子化背後的深意，但有另一位勇者在數年後繼承了普朗克的想法，並做出意味深長的詮釋，那就是下一個故事的主角――愛因斯坦的事了。

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M 型小行星與行星的誕生

了解太陽系的形成歷史與演化，是行星科學最重要的使命之一。然而，身在太陽系形成後 46 億年的我們所看到的行星，都是經過漫長演化後的結果。它們的表面特性、內部結構，早已與剛形成時大相逕庭。

因此，想要研究太陽系的形成與演化，小行星是相當重要的目標。由於小行星質量小、冷卻快，更不會有複雜的風化和地質運動，因此它們從太陽系形成之初到現在都沒有什麼改變，就像活化石一般。而過去幾十年，人類也確實對小行星進行了廣泛而詳細的研究，比如拍攝照片計算它們的軌道，用光譜分析化學組成，甚至派遣太空船（如 JAXA 的隼鳥一號、隼鳥二號、NASA 的 OSIRIS-REx）直接前往小行星，將樣本採回地球分析。

而在太陽系目前已知的一百多萬顆小行星中，有一個相當特殊的族群，它們大多具有較大的密度和較高的雷達反照率，同時在光譜上缺乏特徵。基於上述特點，科學家們認為它們的組成中有含有不少金屬，因此稱之為 M 型小行星。

根據目前天文學家對行星形成的理解，原行星盤（protoplanetary disk）中的金屬元素分布理應相當分散，因此能夠自然產生元素分異並聚集大量金屬的地方，只有足夠大、足夠熱的原行星（protoplanet）的行星核。所以傳統上，M 型小行星被視為受到撞擊後裸露的行星核，同時也是鐵隕石的來源之一。但截至目前，仍未有探測器直接造訪 M 型小行星，確認這個假說是否正確。

近期，新的觀測資料更顯示，某些 M 型小行星似乎比人們預想的還輕，各種特徵也和人們對行星核的認知不盡相同（例如，在表面觀測到含水礦物的訊號）。這表示傳統的行星形成與演化模型，也許不盡正確。換個角度看，這也代表對 M 型小行星的研究，也許將能幫助我們揭開行星演化理論中的盲區。

M 型小行星是由什麼構成的？它們的演化歷史又是如何？苦於距離遙遠，過去人們對這些問題往往只能止於粗略的推測。但隨著靈神星號任務逐漸上軌，我們離解答這些問題（的一部分）只有一步之遙了。

靈神星探索任務

靈神星探索任務（Psyche）是 NASA 發現計畫（Discovery Program）的一部分。發現計畫始於 1989 年，每隔幾年就會向全美國徵求任務提案，經過重重篩選後，最具有科學價值且最可行的團隊，就可以獲得 NASA 提供的經費，將他們的構想付諸實行。從 1996 年的 NEAR 任務開始，發現計畫已經為十幾個重要的太陽系探索任務提供機會，包含近期因太陽能板發電量降低而終止的火星「洞察號（InSight）」任務。2014 年，第 13、14 次發現計畫徵選開始，最後脫穎而出的其中一個計畫，正是靈神星探索任務。

而計畫要觀測的目標靈神星（16 Psyche）於 1852 年被義大利天文學家加斯帕里斯（Annibale de Gasparis）發現，並以希臘神話中靈魂之神「賽姬」命名。祂是第 16 個被發現的小行星，雖然不是最大的小行星（平均寬度約 220 公里）但卻是目前已知小行星中第 10 重的，其質量佔小行星帶總質量的 1%。根據估算，靈神星的密度大約為 3.9 g/cm³，遠低於鐵鎳隕石的 7.9 g/cm³，因此靈神星不太可能真的完全由金屬構成，比較可能是類似石鐵隕石那樣，由金屬與岩石共同組成。

作為發現計畫的一員，靈神星計畫切實地反映了該系列任務的宗旨：便宜、快速的解答重要的疑問。M 型小行星是行星形成與演化中相當重要的一片拼圖，而靈神星又是體積最大的 M 型小行星，其重要性不言而喻。對靈神星的探測，勢必能更加推進人們對行星演化的認知。

靈神星號的科學目標及預期解答的問題為：

1. 靈神星是行星核還是未熔結物質？
2. 靈神星表面的相對年齡為何？
3. 小型金屬天體是否含有和高壓地核同比例的輕金屬？
4. 靈神星形成環境的氧化還原性？
5. 靈神星地表及撞擊坑特徵？

為了達到這些目標，靈神星號上搭載了以下儀器：

• 多光譜成像儀 （Multispectral Imager）
• 伽馬射線／中子光譜儀 （Gamma-Ray and Neutron Spectrometer, GRNS）
• 通量閘磁強計 （Fluxgate Magnetometer）
• Ｘ頻無線電實驗 （Radio Science (X-band)）

整體而言，靈神星號的載酬相當簡要，科研儀器加總起來只占約 30 公斤，且每項儀器都是經過「實戰」驗證過的：多光譜成像儀來自火星好奇號探測車，GRNS 來自水星的信使號任務、磁強計參與了洞察號任務、X 頻無線電實驗（利用通訊時訊號的都卜勒效應測量重力強度變化）更是有多項成功紀錄。使用這些驗證過的儀器不僅能減少任務風險，同時能省下不少研發經費，提高任務的 CP 值。另外，靈神星號同時也會為深空網路（Deep Space Network, DSN）測試全新的「深空光學通訊（Deep Space Optical Communication, DSOC）」系統，利用雷射作為資料載體進行傳輸，科學家估計 DSOC 的資料傳輸速度，將比過去使用無線電的 DSN 快 10 到 100 倍。

另外，隨著科技進步，太空探索不再是國家機構的天下，各種商業公司紛紛加入了衛星製造的行列。因此重視任務 CP 值的靈神星號，從設計初期，科學家們便決定向商業公司尋求成熟、有發射紀錄且搭載了離子推進系統的衛星載具。最終他們選定了 Maxar 旗下的 Space Systems/Loral（SSL）公司的 1300 系列框架作為靈神星號的主體，並由噴氣推進實驗室（JPL）整合飛行系統（包含指令及資料處理系統）。靈神星號的推進系統是一具 SPT-140 霍爾效應推進器（Hall effect thruster），藉由游離氙氣並透過磁場將其加速噴出以獲得推力。搭配發電量達 20 千瓦的太陽能板及 922 公斤的氙氣，足夠支持靈神星號走完將近六年的航程。

抵達靈神星後，探測器將嵌入軌道開始環繞靈神星。科學家為靈神星號安排了四個逐漸降低的軌道（A 到 D），每個軌道都有各自主要的研究目標：

1. 最高也是最初始的軌道 A 半徑約 700 公里，靈神新號將會在這裡測量靈神星的磁場。
2. 56 天後，探測器將降至軌道 B（半徑 290 公里）並且開始對靈神星的地貌進行調查。
3. 76 天後，靈神星將下降至半徑 170 公里的軌道 C，這是最小的穩定繞極軌道，同時也是最適合用來探測靈神星重力場的高度。
4. 100 天後靈神星號將會降至最後、最低的軌道 D，軌道半徑僅 85 公里，在這探測器將利用 GRNS 調查靈神星表面的元素分布。

靈神星號原訂的發射日期為 2022 年 9 月。然而在飛行前的測試中，任務團隊發現飛行軟體異常，導致它錯過了 2022 年的發射窗口。經過幾個月的調查和調整，目前 NASA 公布的下個發射窗口為 2023 年 10 月 10 日以後，屆時靈神星號將會搭乘 SpaceX 的獵鷹重型火箭進入太空，就讓我們好好期待靈神星號傳回來的各種資料吧！

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數學的共振系統存在於太陽系中

太陽系的動力系統充滿了共振。

月球的自轉由於受到其他天體的攝動（perturbation），因而有輕微的起伏，不過它的自轉週期與它環繞地球的公轉週期相同，這是自轉週期與軌道週期的「一：一」共振。因此，我們在地球上總是看到月球的同一側，從來無法看到月球的「背面」。

水星每隔五十八．六五日自轉一周，每隔八十七．九七日公轉太陽一周。二乘八十七．九七等於一七五．九四，而三乘五十八．六五等於一七五．九五，因此水星的自轉週期與軌道週期是一個「二：三」共振。事實上，長久以來，天文學家一直以為兩者構成「一：一」共振，以為兩個週期大約都是八十八日。

因為想要觀察像水星這麼接近太陽的行星，實在是一件很困難的事情。這使得天文學家相信，水星的一側熱得不可思議，而另一側則冷得不可思議，最後卻發現事實並非如此。不過共振還是存在，而且比單純的「一：一」更有意思。

在火星與木星之間，有一個寬闊的小行星帶（asteroid belt），其中包含了數千個微小的天體。這些小行星的分布並不均勻，在某些與太陽距離固定的軌道上，我們發現還有些「小行星子帶」，在其他距離上則幾乎找不到它們的蹤跡。這兩者都得歸因於與木星的共振。

希耳達群（Hilda group）小行星就位在小行星子帶，它們與木星形成「二：三」共振。也就是說，這群小行星所處的位置，剛好使它們在木星公轉兩圈的時間中環繞太陽三圈。而最有名的小行星帶隙（gap of asteroid），則是「一：二」、「一：三」、「一：四」、「二：五」與「二：七」的共振。

各位讀者也許有些擔心，為什麼共振同時能夠解釋小行星帶的叢聚與間隙呢？ 答案是每一個共振都具有本身的動力學特徵，某些會造成叢聚效應，某些的作用則剛好相反，全都由共振比例數字來決定。

用數學來預測未來

數學的另一項功能是進行預測。

在了解天體的運動之後，天文學家便能預測月食、日食，以及彗星的回歸等等。他們知道應該將望遠鏡對準何處，才能重新發現運行到太陽背面、暫時無法觀測的小行星。由於潮汐主要是由日、月與地球的相對位置所控制，所以他們也能預測許多年後的潮汐。

（但這種預測的主要困難並非來自天文學，而是大陸的形狀與海底的地形，它們都能使某個高潮提前或延後。然而，即使過了一個世紀，這些地理因素也幾乎不會有什麼改變，因此一旦了解它們造成的效應之後，將這些效應考慮在內只是例行公事。）

反之，想要預測天氣則困難無數倍。對於控制天氣的數學，我們知道的跟控制潮汐的數學一樣多，可是天氣天生就有一種不可預測性。縱使如此，氣象學家仍能做出有效的短期預測，比方說三、四天以後的天氣。不過，天氣的不可預測性與隨機性毫無關聯。在第八章中，當我們討論到混沌概念的時候，將會詳加探討這個題目。

數學所能做的遠不止於預測。一旦了解某個系統如何運作，我們就不必再做個被動的觀察者了。我們可以試圖控制這個系統，讓它照我們的意思行事。可是最好不要野心太大，例如天氣控制就仍處於嬰兒期，我們還無法隨心所欲地造雨，即使天上有一大團現成的雨雲。

控制系統的例子不勝枚舉，從保持汽鍋溫度固定的恆溫器（thermostat）到中世紀式的造林。還有，假如沒有精妙的數學控制系統，太空梭就會在空中橫衝直撞，因為任何太空人絕對沒有足夠迅速的反應，可矯正它固有的不穩定性。至於使用電子式心律調節器幫助心臟病患者，則是控制的另一項實例。

這些例子，讓我們看到數學最為實際的一面，也就是它的實際應用：數學如何造福人群。

隱身文化幕後的數學工具

我們的世界奠立在數學基礎上，數學不可避免地深植於全球文化中。我們並非總能夠了解數學對我們的生活有多大影響，理由是它被人盡可能藏在幕後。

這是很合理的，譬如您找旅行社安排一次度假旅遊時，不必了解設計電腦或電話線的數學與物理理論，也不必了解使某座機場能起降最多架次飛機的最佳化（optimization）程式，或是為駕駛員提供正確雷達影像的信號處理方法。

當您收看電視節目的時候，也不必了解在螢幕上製造特殊效果的三維幾何、藉由衛星傳送電視訊號的編碼方式、解出衛星軌道運動方程式的數學技巧，以及在製造可將衛星送到定位的太空的各個零組件時，每個步驟所應用的數千種不同的數學工具。

還有，農夫在種植新品種的馬鈴薯時，也不必知道遺傳學統計理論，不必知道這理論如何幫助育種學家找出何種基因使這品種具有抗病性。

然而，以前一定有人了解這一切，否則飛機、電視、太空船、抗病性的馬鈴薯都不可能發明出來。現在也需要有人了解這一切，否則它們就不會繼續運作。而將來也需要有人發明新的數學，以便解決新出現的或迄今尚未有解的難題，否則當我們面對某種改變，必須解決新的問題，或是舊問題需要新的解答時，我們的社會便會崩潰。

假如數學以及所有植基其上的發展，突然之間從我們的世界消失，人類社會將在瞬間四分五裂。又假如數學從此停滯不前，再也不會向前邁出一步，我們的文明便會很快開始倒退。

——本文摘自《大自然的數學遊戲 》，2022 年 11 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。