國小數學哪有那麼容易？雖不複雜，卻有大巧不工的深意──《小學算術教什麼，怎麼教》推薦序

「國小數學不外乎加減乘除，能設計出什麼有趣的活動嗎？」

約莫兩年前，我開始規劃「動手做」的數學實驗課，請教幾位國中老師，他們建議我從國小著手，一方面國中課業壓力大，一方面國中生對數學的好惡相對定型，不如從小學做起。

開頭的那句話，就是我聽完建議後的第一反應。

當時我認為越深奧的數學，越能展現出有趣、特殊的應用，例如用微分方程表示男女的戀愛關係，用機率求找到理想情人的可能性。小學數學的基礎運算、多邊形、單位、時間、分數、小數，說得好聽點是「少數買菜會用上的數學」，但換個角度，好像還真只有買菜這類單調普通的生活應用。

兩年後回首，只覺得以前見識真淺。國小數學雖然簡單，卻是「大巧不工」，如同作者阿哈羅尼教授講起他重新走入小學的心得：

我學習到的很大一部分並非新的事實，而是全然不同的東西，也就是那些細微的層次。這有點像欣賞一片布料，遠觀好似平順均勻，但是拿到眼前就會察覺是由精細交織的線所構成︰我原先當成是一體的概念，卻是由精細的觀念編織出來的。

我對這段話感同深受。

相似概念的細微差異

舉個切身的例子，我以前覺得比就是兩個數字中間加個「：」，比值的另一種表示法。百分比、最簡單整數比大同小異，考試注意不要寫錯就好。

當我為了教小學生，強迫自己思考它們的差異時，才體會到原來，比是從生活中找到的2組數字，最簡單整數比是為了看出那些「比」相等，比值、百分比，引用本書說法是「比的共同語言」。

以電視螢幕為例，走進 3C 賣場，挑一台螢幕量它的長與寬，你會得到兩個數字，建立出一個比，以40吋螢幕來說，這個比約是34.9:19.6（吋，四捨五入到小數點下第一位），如果是50吋就是43.6:24.5。不同大小的螢幕有不同的比，看似不一樣，但當它們都化簡成最簡單整數比——16:9，你就知道所有螢幕的長寬比相同。

如果旁邊有一台傳統的4:3螢幕，你想知道哪種螢幕比較寬，就要進一步用比值：

原來每一種「比」都有不一樣的意義與用途（我相信許多國小國中老師深知這點，在此請允許我野人獻曝一下）。然而，在（至少我）過去學習的歷程中，我們比較不常強調這個細微的差異，比較多著重在

「如何從比化簡成最簡單整數比，求比值、或表示成百分比。」

概念之間機械性的連結固然重要，卻不是唯一重要的事。

串聯理解不同的知識

本書的作者阿哈羅尼教授與譯者李國偉老師都是非常傑出的數學家，對數學的了解相當深刻，不僅釐清了小學許多相似數學概念的差異，還能跨越不同概念，解釋它們的共同之處。我對一段「單位與分數」的類比印象深刻：

3 根香蕉與 4 顆柳橙共多少？

有些大人（包括老師）認為單位不同，無法相加。但若是退一步用「水果」這個單位涵蓋香蕉跟柳橙，把問題變成

3 個水果與 4 個水果共多少個水果？

答案無庸置疑是 7。再來看分數的加法

1/2 + 1/3

大家都清楚第一步是通分，找公分母。對照水果的例子，你會發現兩者有著一樣的邏輯。我們可以把分母看成一個「單位」，1/2 和 1/3 的分母不同，表示單位不一樣，通分相當於退一步，讓它們變成同樣的單位，就像前面用水果來取代香蕉跟柳橙。有了公分母 6，便能輕易完成加法

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6

學數學不費力，反而省力

我很希望小學生能在數學課中感受到數學的秩序、推廣、以及簡潔表示法，作者將這三點命名為「數學的三種省力法」。多數人覺得學數學很吃力，事實上恰好相反，數學的一個目的是為了幫助我們省力。高斯發現 1 加到 100 這 100 個數字中，1+100=101，2+99=101，3+98=101，一共是 50 組 101，答案是 50×101=5050。

這就是秩序，或有時候稱作規律。不妨把這個問題想得更完整一點，今天一位攤販去果菜批發市場（你可以跟北農連結在一起，如果你覺得這樣會更時事一點），一個中盤商擺了 100 堆蘋果，第一堆有 1 個，第二堆有 2 個…依此類推，攤販想知道總共有幾個，評估是否要全部收購。根據攤販的數學程度，會發生以下三種狀況：

1. 連加法都不會。只能將 100 堆蘋果看做 1 堆，扳著手指慢慢數。數 2 顆需要 1 秒，預計得花上 42 分鐘。
2. 會加法，但無法觀察出兩項相加是 101 的規律，得一項項慢慢加，平均1次加法花 3 秒，他得用掉 4 分 57 秒。至少快了 8 倍多。
3. 會加法，且能觀察秩序。50×101=5050，全程花不到 10 秒。比第一種快了約 250 倍。

這就是數學省時省力的威力，也是目前強調的數學素養的一個面向：不只會解題，還能找到有效率的解題方法。

如果學生能感受到數學的巧妙與用處後，相信會更願意學習數學，也更知道該如何運用數學，再更多地方尋找秩序建立方法、將建立的方法推廣到不同的應用、並且運用簡潔的表示法。書中還講了好幾種實用的教學技巧，例如：

• 用具體的例子傳達抽象概念
• 一節課應該經歷三階段：從具體出發，畫圖，最後走向抽象
• 不跳過精確的命名，清晰定義概念
• 概念必須通過學童親身經驗才能產生

讓你一讀完就能實踐。如果你反覆仔細閱讀好幾次，更能體會作者所說的：

小學數學雖然不深奧，但包含智慧；雖然不複雜，卻有深意。

很感謝李國偉老師引進、親自翻譯本書，讓大眾有機會從大師的角度，重新認識小學數學。也希望我們真能如老師在譯者序提到的（註）：

開創書面作業以外的動手實作或身體活動，幫助學生體會出生活周遭處處可發現數學的蹤跡。

我深信，當一位小朋友走到哪裡，就像對他熟悉的玩具角色一樣，能看見生活周遭的數學蹤跡（螢幕長寬比、時間的六十進位制、買蛋糕時呎吋跟實際大小的關係），那他的數學一定不會差到哪裡去，不，應該是一定會很棒。

• 註：小小的預告，《小學算術教什麼，怎麼教》（天下文化）是給大人看的小學數學，馬上來臨的暑假，我與金鼎獎作家王文華老師將合作推出一套給小學生看的《數感小學冒險》系列（親子天下），也敬請期待噢。

TAAi 2020 25th 人工智慧研討會