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我永遠站在「數學無用論」高牆的另一邊 ──《超展開數學約會》導讀

賴 以威
・2018/03/25 ・3192字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 459 ・五年級

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螺絲起子也是有很多學問的。圖/pixabay

我是個標準的手無縛雞之力(新注音選成無腹肌,想想也滿貼切)之人,整日寫文章,做研究。這樣的日常生活自然跟螺絲起子沒有什麼關係。不過,前幾天我買了一組 IKEA 桌子,為了組裝,只好再去買了把螺絲起子。

因為從來沒用過,常一個不小心就轉壞了螺絲。花上比別人多了好幾倍的時間,才勉強裝好桌子。晚上買消夜經過巷口的土地公, 還祈禱了一番,希望桌子在少了幾個螺絲的情況下,還能好好用上個幾年。

「幹嘛不跟我借電動起子,超好用的哎。」熱中 DIY 的友人事後這麼對我說,過了幾秒他才意識到,我連什麼是電動起子都不知道。

上述這段話乍聽之下有點扯,但倘若把「IKEA 桌子」換成「投資基金」,「螺絲起子」換成「數學」:我的日常生活數學沒什麼關係,前幾天我買了一組投資基金, 那時候我才去研究數學……

我想,應該就會有不少人產生共鳴吧。

永遠站在數學無用論的,另一方

數學無用論﹝專有名詞﹞:認為數學在生活中不具備任何實際效用,也無法陶冶性情,純粹只有考試、讓人心情不好,以及在女同學面前表現的效果。作為安眠藥,倒是沒有任何副作用。

數學無用論的支持者相當多,如果登記社團法人,恐怕不亞於任何宗教團體,做個「數學無用大覺者」絕對有擠進 PChome 熱賣商品首頁的實力。

然而,我信奉村上春樹在耶路撒冷的演講:

「以卵擊石,在高大堅硬的牆和雞蛋之間,我永遠站在雞蛋那方。」

無論高牆是多麼正確,雞蛋是多麼地錯誤,我永遠站在雞蛋這邊。

我站在雞蛋那邊,我認為數學有用。

以下是我的「數學有用論」辯答詞,保證沒有一行公式,不具備催眠效果。

即使「數學無用論」是一堵高牆,也願意站在雞蛋的這一邊。圖/pixabay

擁有同樣邏輯的,德文無用論

首先,我認為或許是因為從小到大的數學教育過於殘酷與無趣, 導致許多人潛意識對數學用上較嚴格的檢驗:去菜市場買菜,又不會用到開根號。

這段話沒錯。但仔細想想,去菜市場買菜會用到哪些能力呢?

辨別偽幣、蔬菜知識、說出「多少錢」(進階一點是「太貴了吧」)的語文能力、提塑膠袋的力氣……鮮少有跟課堂上教的知識有關。

我曾在德國住過幾年。剛去時,德文對我來說就像克林貢語, 但我依然可以去超市買菜,只要手指、點頭、搖頭就夠了,搭配微笑跟皺眉是進階技能(身為男生,這些技巧也不管用)。

總不能因此就下結論「在德國生活不需要懂德文」吧?

可以噢,真的不需要。

事實上一直到最後我還是不大會講德文,非常慚愧,可是我的確在德國生活、唸了好幾年書,還去了很多地方旅遊,買了便宜的 Rimowa 行李箱。可事後想想,我總覺得自己在德國的生活很淺層,無法深入了解真正的德國。我看不懂路邊的廣告看板,無法在買東西結帳時跟櫃員閒話家常,我就像不溶於水的油,在名為德國的水面上漂浮。

我去市政廳廣場跟全市民一起看大螢幕世足賽,德國隊踢進第四分時,塑膠啤酒杯在空中飛舞,旁邊的德國人對著我們大笑,說了一大堆話,我只能尷尬地聳聳肩跟他說:「我不會說德文。」

他像搞懂什麼似地,拍拍我的肩膀,轉頭跟別人聊天。

我想懂不懂數學,某種程度也像這樣,是「能生活」與「活得更有趣」的差異。

去菜市場買菜用不到的學問就不用學了……嗎?圖/pixabay

數學有用論

回到菜市場的例子,買菜的確只需要加減乘除,但記得時有所聞的菜價暴跌新聞嗎?

想像一下,假如此刻在市場,賣菜的阿伯問你:

「少年咧,你書讀比較多,跟我們解釋一下,為什麼每年高麗菜價格都會跌成這樣,啊那些種菜的是沒學到教訓,會賣不出去, 還種那麼多幹嘛?」

各位會怎麼回答呢?

「嗯,明明知道會虧錢,卻還持續種植,可能是因為只會種高麗菜吧。或者,也可能想賭一把,要是價格不跌就會賺。」

不靠數學輔助的回答,大概只能到這邊。

前陣子有一篇文章,透過數據分析,清楚看到一甲地的栽種成本為 80000 元左右[1]。要是價格暴跌,直接放給它爛,運氣好拿到政府補助,一甲地只虧 10000 元。只要一公斤 6 元,即可抵銷栽種+運輸+採收成本 。超過 6元便能賺錢。作者又列出民國 98~103 年的高麗菜價,大部分時候,高麗菜都可以超過這個價錢。

透過數據輔助後,你就可以回答:

「價格暴跌時,一甲地虧 10000 元,可是依照過往紀錄,不容易發生。而只要價格不跌,一甲地可以賺上 60 萬元。只要資金周轉得過來,期望值大於 0,與其說是賭注,應該稱為投資比較恰當。暴跌不過就是投資失敗罷了。」

兩相比較,只有文字的分析僅能刮下真相的表皮。透過數學, 才能潛入真相內部,更加了解核心。

當然,虔誠的數學無用論者恐怕不會就此被說服。

熱血漫畫版本。(點圖放大)

學校數學是無趣的基本動作訓練

虔誠數學無用論者可能會說:

「這是比例問題。數學至少荼毒了全台灣人民 12 年以上,害死了數億腦細胞,計算紙浪費的樹木多到都要被護樹聯盟討伐了。現在你只說它是一門『沒有沒關係、但有可以更美好的學問』,這玩笑未免也開太大了吧。」

「精確」、「嚴謹」是數學的本質,也是導致學習困難、數學課討人厭的關鍵因素。這是無法避免、但可以改善的,因為學校的數學課本只是一本「工具使用手冊」。

「老師,我發現課本的數學很像運球練習。」

「運球?」聽到超展開的內容,雲方反應不過來。

阿叉邊說邊真的拍起腳邊的籃球:「運球、傳球、三步上籃。解方程式、求角度、算最大值, 課本都在講這些基本動作。我不是說基本動作不重要啦,只是練習基本動作很無聊啊,像那個誰就超不愛的。」

──《超展開數學教室》

學校的數學,並沒有告訴我們這些學習到的能力,可以在哪裡發揮。考試,說穿了也只是測驗基本動作。依然不是球場。真正有趣的球賽是在名為「生活」的球場中舉行。

學校的數學課,很少讓我們上場打球,都是在練運球啊。圖/piaxbay

排斥數學 v.s. 用手轉螺絲

回到最一開始的例子,如果一直教螺絲起子的用法,完全不講螺絲起子何時可以派上用場,任誰也都會無聊到想拿螺絲起子戳老師額頭吧(好危險)。

但如果知道要組裝 IKEA 的桌子,得旋上一百個螺絲──
「使用螺絲起子有技巧的,這樣做會比較省力噢。偷偷告訴你, 其實還有更厲害的──電動起子噢。」

任誰都會想多了解一下了吧。

堅信數學無用論的人,或許會先入為主拒絕了解螺絲起子該怎麼用,渾然不知電動起子的存在。更糟糕地,恐怕連螺絲起子都沒用上,只用手轉啊轉地,然後埋怨著 IKEA 到底賣家具還是在賣指力訓練工具。

因此,與其堅信數學無用論,不如稍微調整一下:

「數學有用,只是教育體制中,還沒告訴我們數學該用在哪裡。」

我將站在數學無用論的龐大高牆另一側,持續向各位介紹生活中的數學球場在何處。

參考資料

  • [1〕關於高麗菜數據分析,請見此計算

 

本文摘自《超展開數學約會:談個戀愛,關數學什麼事!?》,臉譜出版

文章難易度
賴 以威
32 篇文章 ・ 8 位粉絲
數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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原來數學也可以用在這裡?生物巧妙運用數學模式,克服了移動上的物理限制——《生物世界的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/10/26 ・1541字 ・閱讀時間約 3 分鐘

步調模式千變萬化

生物體移動時所受的限制是屬於物理學的。如果該生物使用的是肢體,這些肢體必須強壯到可以支撐作用在牠們上面的力量。(我看過不少設計較差的機器人在移動時散掉。)其他形態的移動也一樣,如果是游泳,該動物就要全力對付流體力學的定律。物理定律影響動物的移動是很明顯的,不值得奇怪。顯然,在這個情形當中,數學提供了各式各樣的模式,而被生物學拿來運用。很少不會用到,不管多麼奇特。

游泳時要全力對付流體力學定律。圖/Pexels

物理學的影響還要更深入。單有腿也沒有用,除非你有可以控制腿的神經系統。運動與神經網路是一體的,兩者一定要一起演化,而不是個別的。另外,正如負責感覺的神經網路一定會模擬外在世界的模式,因此負責運動的神經網路,必定會模擬動物身體的機械性模式。

我很懷疑這種共同演化真的有可能或很容易發生,因為下面這個顯著的事實:像肢體這樣的物理系統的自然振盪模式,跟神經網路的振盪模式是一樣的。早在肢體和腦變成完整的生物結構之前,就已經有一種普遍的步調韻律存在了,潛在地將動物的肢體關聯到腦。步調節奏提供了存在於演化相空間中、等待被使用的模式。

形形色色的生物移動

這模式的確一直被應用。差不多所有的生物都會移動,甚至連最固定不動的植物也會向光彎曲,最微小的浮游生物也會隨波逐流——但是,獵豹在追逐獵物時,可以跑到每小時一百一十公里,這移動真是快速啊!

生物體的種類這麼多,而移動的方式也是千變萬化。細菌利用會旋轉的微小螺旋槳使自己在水中推進,就像船一樣;像草履蟲(Paramecium)這類單細胞生物,則能藉由揮動鞭毛來選擇運動的方向。

(圖七○)Centronotus gunnellus 這種鰻魚肌肉收縮的波形。圖/《生物世界的數學遊戲》

運動的數學模式形形色色,更是令人印象深刻:草履蟲鞭毛的移動有如行進波,就像是玉米田在微風吹拂下產生的浪波;細菌的旋轉螺旋所成幾何圖案之美是無可比擬的;蛇和鰻是靠肌肉收縮做波狀蠕動行進(圖七○);響尾蛇在熱燙的沙漠中滾動,像一個捲曲的彈簧;尺蠖走動時是尾巴頂到頭部,整個身子呈 ∩ 狀,然後前端再向前行並伸展成-字形。

信天翁滑翔時羽翼僵直不動,偶爾慵懶地鼓翼一下,以有蹼的腳劃過水面,而後用笨拙卻迷人的方式飛跑而起;大象拖著沉重的腳步,緩慢橫過空曠的熱帶大草原,一次移動一隻腳(圖七一),模式就像那隻在海邊市鎮漫步的拉布拉多獵犬。

(圖七一)大象的慢步行走。圖/《生物世界的數學遊戲》

駱駝行走的模式又不一樣了:先同時移動兩隻左腿,然後是兩隻右腿〔稱為「溜蹄」(pace)〕,身子左右搖擺有如醉漢一般。松鼠又是另外一種模式:跳一下,停一下,然後再跳一下;如果遇到警訊,就省掉「停」的步驟。

Carparachneaureoflava 這種車輪蜘蛛會像一個有八個輪輻的輪子般,滾過沙漠。世界上有一種會跳躍的蛆〔較正式的稱呼為Ceratitis capitata(地中海果實蠅)的幼蟲〕,會把自己扭曲成 ∩ 形,然後再伸直,就像一顆砲彈般跳入空中,形成一個完美的拋物線。

——本文摘自《生物世界的數學遊戲》,2022 年 9 月,天下文化,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
110 篇文章 ・ 597 位粉絲
天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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比大還要再大!比「無窮」還要更大是什麼概念?——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/28 ・2660字 ・閱讀時間約 5 分鐘

我們都知道無窮(infinity)是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時,一定會想知道一件事:

什麼事物比無窮大?圖/經濟新潮社

比無窮還大?有可能嗎?

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題,也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」,而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看,但我們或許應該先訂好遊戲規則,讓大家知道該怎麼思考。

具體說來,我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物?如果是有限的量,要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易,但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷,所以必須選擇簡單明瞭的規則,用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼,在一般、有限的狀況下,我們通常怎麼判定「較大」?我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思?

右邊這一堆比左邊的更大圖/經濟新潮社

沒錯,用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人,這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念,我們該如何解釋右邊這堆較大?真的,試試看就知道。這個概念太基本了,其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時,數學中有個常用的技巧,就是提出完全相反的問題,看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?

我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?圖/經濟新潮社

我們不能用「相等」這個詞,因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思,以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來,一個對一個。如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。

如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。圖/經濟新潮社
圖/經濟新潮社

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來,就能得到「較大」的定義。

圖/經濟新潮社

現在問題已經定義清楚了,答案也隨之確定。那麼,世界上有什麼事物比無窮更大?答案是「是」還是「否」?世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘?現在我們可以思考之後猜猜看。

無窮跟無窮 +1 誰比較大?

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子,裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體,袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大?好吧,如果是無窮加一呢?

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響,但我們用配對規則來確認看看。首先,我們可以把無窮袋中的物體排成一排,這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

如果我們以最顯而易見的方式配對,無窮加一看起來當然更大。

不過要小心!規則指出,兩個事物必須無法正好兩兩配對,才會有一者較大。(最好經常回頭看清楚規則!)還有一種配對方法確實可行,而且兩方都不會有剩餘:

如果你覺得這樣好像在騙人,請花點時間告訴自己,這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對,而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體,不會有物體配對不到,所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮!

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

無窮大飯店!如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊,沿著走廊有一排房門,連綿不絕地延續下去,無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭,所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房,每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌,飯店裡每間房間都住滿了(對,這個世界裡有無限多個人)。如果沿走廊隨意走一段距離,選一扇門敲幾下,就會聽到:「有人!請勿打擾!」無限多間房間,裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說:「請問還有房間嗎?」我們不是第一天在無窮大飯店工作,當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說:「各位來賓,抱歉打擾一下,請各位來賓搬到下一間房間。沒錯,請收拾好行李,走出房門,朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作,祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後,就有房間給新住客了。

無限多間房間,無限多加一位住客,房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

無窮加五、無窮加一兆……都沒關係,這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對,可以多裝進一位客人。無窮非常大,任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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圓形 = 三角形?形狀之間的秘密關係——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/27 ・1427字 ・閱讀時間約 2 分鐘

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數學家通常都想很多,這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念,試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時,很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問:形狀是什麼?構成形狀的要素是什麼?我們以形狀分辨物體時,會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的,以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼?當我們說某樣東西是圓形時,看到的是什麼呢?

形狀百百種,可以量化嗎?

當然,這些問題沒什麼意義。就實際用途而言,我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想,形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了,我們或許會問自己這個問題:

世界上有多少形狀?圖/經濟新潮社

這個問題很簡單,但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法,稱為廣義龐卡赫猜想(generalized Poincaré conjecture,或譯龐加萊猜想)。這個猜想提出至今已經超過一百年,目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多,有一位數學家解出這個問題的大部分,因此獲得了100萬美元獎金,但還有許多種形狀沒有找到,所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀?如果沒有更好的點子,有個不錯的方法是畫出一些形狀,看看會有什麼結果。

我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社
我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎?波浪線(squiggle)應該全部算成一大類,還是應該依彎曲的方式細分?我們需要一種通用規則來解決這類爭議,才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師,通常會希望規則既嚴謹又精確:必須長度、角度和曲線都完全相等,兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學(geometry)這個數學領域。在這個領域裡,形狀嚴格又精確,經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

決定兩個形狀是否相同的規則相當多。圖/經濟新潮社

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀,但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則,它能夠把所有的形狀分成若干類別,但類別的數量又不至於太多。

所以三角形可以等於圓形。圖/經濟新潮社




——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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