克卜勒誕辰｜科學史上的今天：12/27

• 撰文｜許世穎

本文轉載自 CASE 科學報 《天有多大？宇宙中的距離（2）—從太陽到鄰近恆星》

「視差（parallax）」是天文學家常用來量測距離的好工具。藉由視差，我們得以精準的量測地球到太陽的距離，再更進一步量測周遭恆星的距離。目前直接量測距離的方法中，視差是能量測最遠的一種，目前的極限大約是 1 萬光年。天文學家利用視差的概念已經很久了。然而在中古世紀，視差量測的結果卻讓當代的天文學家得出了「地球不會動」的結論……

太陽的距離：金星凌日、視差法

前作〈天有多大？宇宙中的距離（1）—從地球到太陽〉提到，我們可以在金星凌日的時候，藉由「視差（parallax）」來量測地球與金星的距離，並間接得到太陽的距離。「視差」就是「因為觀察位置不同，讓看到位置也不同」的現象。讀者們可以試試看，伸出一隻手指頭比個「1」、放在眼前大約 50 公分左右的地方。接著兩眼輪流交替閉上。如果讀者們真的有照做的話，應該會發現手指頭相較於背景來回大幅度地跳動。仔細觀察的話，會發現背景並不是不動，只是幅度很小而已。

從這個實驗我們得到幾個結論：（1）從不同的眼睛看出去，看到的物品位置會不同。這個現象就是視差；以及（2）距離愈近的東西，這個差異會愈大，也就是視差愈明顯（如圖 1）。我們可以根據這個視差的效果，來推算出物體的距離。

其實這也就是我們的眼睛判斷距離的方法！每個不同距離的物品從我們的左右眼看出去的位置差異不同。這兩個影像經過大腦判斷後，我們就可以得到距離的資訊。這也是 VR 實境立體畫面的原理。開發者先計算出每個物件在各自的距離下，兩眼會看到的視差效果。接著根據計算結果給予兩隻眼睛看到不一樣的畫面，我們的大腦就會自動合成出立體的圖像！

「兩個觀察位置的距離」稱為「基線（baseline）」，會影響視差的效果。一般而言，基線愈長，看到的視差就愈明顯。前面說到：「距離愈近的物品，視差會愈明顯。」換句話說，距離太遠的東西，視差就愈不容易觀察到。天文學家盡可能的把基線拉大，在兩個相距很遠的地方觀察天體，才能更精確的得到這些天體的距離。金星凌日發生的時候，科學家就是在地球找兩個相距很遠的地點做觀測，才有辦法測量出較為精確的金星視差，換算成金星的距離，最後計算出地球至太陽的距離。

鄰近恆星的距離：視差法……？

恆星當然也有視差了。提到量測恆星的視差，一定要提到 16 世紀著名的丹麥天文學家第谷．拉赫（Tycho Brahe）。當時還是個在爭論「地心說」、「日心說」的時代。他想利用恆星的時差來推論「地球到底會不會動」。如果「日心說」是對的，那麼隨著地球位置的不同，應該要看到恆星的視差。如果「地心說」才是對的，那麼因為地球的位置不變，不管怎麼觀察，恆星都不會出現視差。

在「日心說」的假設下，最遠的兩個觀察點是哪裡呢？可不是地球的兩端，而是「相隔 6 個月的地球」！可以想像，如果地球繞著太陽每一年繞轉一圈的話，那麼相隔 6 個月的地球會在太陽的兩端，這個間距可比地球的兩端大多了（見圖 2）！既然兩個觀測點是地球在太陽兩端，就代表基線（兩個觀測點間距）就是 2 倍的「日-地距（地球到太陽距離）」。用前面的方法得到的「日-地距」愈精確，那麼藉由視差法測出來到恆星的距離就能愈準。

為了精密的量測恆星的位置，必須要有非常良好的天文台。第谷可是丹麥的貴族啊！他直接花錢蓋了一棟天文台來量測、紀錄星星的位置，卻發現怎麼樣都量測不出恆星的視差。這代表了兩個可能性，一個是「地球不動」，另一個可能性就是「恆星太遠」。第谷認為，如果恆星真的這麼遠，而我們在地球上還是看得到的話，這些恆星未免太大了！他認為這不太可能，因此認定「地球不動」。

那到底哪裡出錯了呢？用一個簡單的例子來說明：「拿捲尺去量一張紙的厚度，當然怎麼量厚度都是 0 公分啊！」其實第谷的推論完全合理，量測不到恆星視差的原因真的就是因為「恆星太遠」，所以視差太小而無法看到。從現代的數據我們可以回推他當時的情況，太陽以外最近的一顆恆星是位於「半人馬座」裡的「比鄰星（Proxima Centauri）」，距離是 4.22 光年。產生的視差比第谷使用的天文台精密度還要更小了好幾倍！他所推估這些恆星的大小從現在眼光來看也非不合理，只是真的難以想像。

現在的我們有了更良好的儀器，已經可以靠視差來推算恆星的距離了。不過視差法曠日費時，倒也不難理解，畢竟要有好的基線要等半年啊……而且儀器的辨識率也是有極限的，目前視差法的極限差不多是 10 微角秒（1 角秒為 1/360 度） ^[2]，相當於十億分之一度！換算成能量測到的距離極限，差不多是 1 萬 6 千光年左右。聽起來很多嗎？銀河系的直徑約 10 萬至 18 萬光年，這個距離極限連銀河系都看不穿。所以視差法雖然好用，但只能拿來測量鄰近恆星的距離（見圖 3）。

視差法是直接量測距離的盡頭了。想要把銀河系看穿、想要知道銀河系中其他成員們的距離，我們得開始「間接量測」。先做出一些物理學上的假設，才能夠「猜」出距離。想要知道更遙遠的距離，則需要更多的假設，這個概念叫做「宇宙距離階梯（cosmic distance ladder）」。下一篇文章中，我們將帶大家進行恆星的「人口普查」，並且利用普查結果來得到更遙遠的距離。

參考資料

1. pixabay / martinklass
2. wiki / Parallax
3. 網路天文館 / 恆星的距離測量

本系列其它文章
天有多大？宇宙中的距離（1）—從地球到太陽
天有多大？宇宙中的距離（2）—從太陽到鄰近恆星
天有多大？宇宙中的距離（3）—「人口普查」

在上一篇中，我們看到克卜勒為哥白尼的日心說挺身而出，並透過《宇宙的秘密》、《新天文學》兩本書奠定了今日克卜勒第一、第二定律的基礎，接下來，我們即將進入克卜勒的另外一本重要著作：《世界的和諧》。

• 在紛亂、窮苦的人間，三本書，讓克卜勒成為「星空的立法者」（上）

在發行《新天文學》後，克卜勒擁有全歐洲最精準的行星預測方法，他開始發行自己出版的預測年曆，當作一部分多出來的收入，他希望自己以後能夠不依靠國王的經費，隨心所欲的出書。

此時，是他天文研究的巔峰、人生的最低谷

同時，有鑑於《新天文學》中太多數學論證，不大容易讓學生理解預測行星的方法，克卜勒開始著手撰寫了天文教科書《哥白尼天文學概要》(Epitome Astronomiae Copernicanae)，這本書將成為 17 世紀所有天文學家必讀的經典。

克卜勒的天文研究雖然來到了巔峰時期，但他的現實生活並不順遂，第一任妻子和三個兒女的接續病逝，他所居住的地區也開始瀰漫著宗教紛爭，正一步步走向無法挽回的「三十年戰爭」。

1618 年初，克卜勒原本打算繼續撰寫第谷未完成的「魯道夫星表」，但心力憔悴的他希望從另一個新研究中尋找到心靈慰藉，於是他寫信告訴朋友：「我暫緩了魯道夫星表的工作，並且開始將我的心力投入在研究『和諧』」。

低潮中的慰藉，研究「和諧」與天體音樂

什麼是「和諧 (harmony)」？和諧的概念源自於人類觀察大自然的現象，發現大自然存在著某種特殊的數學比例。

在西元前 600 年，希臘數學家畢達哥拉斯發現，撥動特定比例的弦長能夠產生特定的音高，畢達哥拉斯也將音樂上的「和諧」推廣到行星運動上，行星和地球的距離每繞行一個周期都會伴隨著固定的比例變化，就像是行星擁有自己的旋律、特定的音階，這種想法被稱之為「天體音樂 （music of the spheres） 」。 

克卜勒希望將《宇宙的秘密》的幾何概念和《新天文學》的物理概念推廣到「天體音樂」的概念中。

現在，讓我們回顧一下克卜勒前兩本重要著作，《宇宙的秘密》、《新天文學》。

在《宇宙的秘密》中，克卜勒認為「上帝是用幾何當作建材搭建宇宙」 ，如今他將自己的正多面體理論延伸結合「天體音樂」，試圖用五種正多面體當作基底來解釋各個行星的旋律。

在《新天文學》中，克卜勒寫出了單一行星：火星的橢圓軌跡，他了解到行星的離心率造就了行星忽快忽慢的現象，在經過幾年的套用後，克卜勒了解到每個行星的離心率都不相同。

此後，克卜勒開始著手繼續研究哥白尼概念中提到的「準則」：行星週期和行星跟太陽距離的關係。

《世界的和諧》：週期定律的現世

克卜勒和畢達哥拉斯不同，他對於數值特殊的比例不感興趣，他想要知道的是週期和平均距離精確的數學關係，在他擁有六個行星的完整軌跡的情況下，克卜勒能夠將所有資料攤在一起，花點時間和心思仔細查看它們之間的關聯性。

1618 年的 5 月，克卜勒找到了他渴求的數學關係式：週期平方和行星半長軸的三次方成正比關係，這就是克卜勒的第三定律「週期定律」，是牛頓寫出萬有引力定律的基礎之一。

1619年，克卜勒出版了《世界的和諧》，結束了他長達 20 幾年的解密日心說的旅程，此時，克卜勒再也都止不住他的狂喜了，他在《世界的和諧》中的最後一章寫下：

「我已經擲下了骰子，也寫好了書，不管你是同輩還是前輩，這並不重要。既然上帝等待了祂的研究者足足六千年，我大可等待一百年後的讀者。」

1627 年，克卜勒出版了「魯道夫星表」，結合了第谷的完整觀測資料加上克卜勒的預測模型，成了當時資料最完整最精準的星表。

科學史上第一位「天文物理學家」

在一個世紀後，牛頓運用自己獨創的萬有引力和微積分，重新證明了克卜勒三大定律，利用漂亮的數學工具解釋了克卜勒多年來的努力，問到克卜勒的成就，牛頓只簡單的評論：「他（克卜勒）當然是用「猜」的，他知道軌跡非圓是卵形，於是他就猜會是橢圓。」

或許我們不該懷疑克卜勒是否猜出橢圓，而是要詢問為何只有克卜勒能夠發現橢圓？

因為他是第一個將「物理」導入天文學的天文學家^註，他不聽信老師馬斯特林 (Maestlin)「不該把物理學引入天文學」的勸言，堅持使用具有物理意義的「距離規則」來思考天文，有了根據行星運動建立的基礎物理定義，儘管克卜勒當時只有幾何工具，透過誤差分析不斷的改進預測模型，克卜勒會發現橢圓也是遲早的事情。

克卜勒一生堅信自己的天文物理觀，從始至終都不知道自己已經悄悄地成為科學史上第一位「天文物理學家」。

註解

此觀點出自於 Owen Jay Gingerich 的《Johannes Kepler and the New Astronomy》中，他在內文提到：如果克卜勒能從 20 世紀的字稱呼自己，我猜他會希望稱做自己為宇宙學家，但我會傾向我們能尊稱他為「第一個天文物理學家」。

參考資料

1. Aiton, E.J. (1969). Kepler’s second Law of Planetary Motion. Isis A Journal of the History of Science Society, 60, 75-90.
2. Wilson, C. (1968). Kepler’s derivation of the elliptical path. Isis A Journal of the History of Science Society, 59, 5-25
3. Gingerich, O. (1972). Johannes Kepler and the New Astronomy. Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, 13, 346-373
4. James, R.V. (1999). Johannes Kepler and the New Astronomy. New York：Oxford University Press
5. 姚珩、黃瑞秋 (2003)。克卜勒行星橢圓定律的初始內涵。科學教育月刊，第 256 期， 第 33-45 頁。
6. 姚珩 (2004)。行星面積定律的建立。科學教育月刊，第 257 期，第 32-38 頁。
7. International LaRouche Youth Movement. (2006). Presentation of Kepler’s Astronomia Nova.
8. 維基百科：Rudolphine Tables、Harmonices Mundi、Johannes Kepler、Musica universalis

作者資訊

• 仰望天空的智人

目前為高三自學生，在升上高三的那個暑假，毅然決 然走上自學的道路。希望在有限的青春，不要只是僅追求紙上的對錯，而是時時刻刻的詢問世界，「為什麼？」。

• 作者／仰望天空的智人｜目前為高三自學生，在升上高三的那個暑假，毅然決 然走上自學的道路。希望在有限的青春，不要只是僅追求紙上的對錯，而是時時刻刻的詢問世界，「為什麼？」。

從三本著作了解克卜勒的天文物理觀

在歷史長河中，天文學家們提出了各種五花八門的理論，嘗試理解天上六顆讓人捉摸不定的行星，但唯有一個人的理論能夠毫無誤差¹的精準預測，時至今日仍舊屹立不搖，他的名字是——約翰尼斯．克卜勒 (Johannes Kepler) 。

克卜勒是第谷．布拉赫 (Tycho Brahe) 的得意助手，生前時，他鼓舞了同時代的伽利略公布真相，在死後，也啟發一百年後的牛頓建立了牛頓三大運動定律。

而克卜勒一生的天文成就被萃取成了「克卜勒三大定律」，最終被寫入到了現今的物理課本中。

克卜勒一生發表了許多影響後世的劃時代著作，涵蓋數學、天文、光學，現在，請讓我們將視野聚焦在三本克卜勒的天文鉅作：《宇宙的秘密》、《新天文學》、《世界的和諧》，分別象徵著，開始、轉折、結束，仔細端詳三個不同時期的克卜勒，如何逐漸完整他的「天文物理觀」。

《宇宙的秘密》：最早公開支持哥白尼理論的書籍之一

原先主張地心說的托勒密認為：行星是繞行地球在固定的球殼上一層又一層，如同洋蔥一般，自從古希臘後裔托勒密完成他的《天文學大成》開始， 一千多年以來，地心說一直都是西方天文學的主宰。

而 16 世紀時，主張日心說的哥白尼認為行星其實是繞行太陽，所有行星都和太陽冥冥之中都遵守著一個「通則」，且每個行星都和太陽保持著特定的比例關係。

• 延伸閱讀：讓世人驚呆了的「日心說」在提出的開始，根本就不受重視？！——《全球科技大歷史》

1595 年，身為講師的克卜勒，在授課的時候畫出了正三角形鑲嵌在圓形裡的示意圖，他突然靈光一閃，如果他在正三角形裡面又多鑲嵌一個小圓，這樣兩個圓就會有了比例的關係了！這不就像是哥白尼概念中提到的「每個行星和太陽都有特定的比例關係」嗎？

當時，哥白尼沒有解釋每個行星保持特定比例的原因，但現在克卜勒隱約領悟並認為「上帝是用幾何創造宇宙的」。

因此克卜勒開始展開了自己的調查，但他發現在二維平面上是行不通的，他又問了自己一次：「為何上帝只創造了水星、金星、地球、火星、木星、土星，這六顆行星？」

他聯想到了三維空間中的正多面體只有五種，克卜勒高興極了，他認為上帝是用「幾何」當作建材，並藉此來聯繫各個行星。

到了 1597 年，克卜勒發表《宇宙的秘密》（Mysterium Cosmographicum），這是克卜勒的第一本天文作品，同時也是歷史上第一本公開認同哥白尼理論的書籍，他迫不及待把自己發現的宇宙秘密隨機寄給其他天文學家，想要了解真正的專家將會如何看待自己引以為傲的觀點。

堪比古代交友軟體，一本書牽起了三人緣分

其中一本《宇宙的秘密》輾轉來到了義大利，到了一位還不有名的數學教授手中，這位數學教授告訴克卜勒：「我已經身為哥白尼的信徒很久了，私下也收集了一些能夠證明地球運動的物理現象唷！」克卜勒被他像是「回音」的名字逗樂，而這位數學教授的名字是——伽利略．伽利萊 (Galileo Galilei) 。

克卜勒鼓勵伽利略公開他的發現：「要對自己有信心啊！如果你是正確的話，或許一些學者會離你遠去，但真相就是最好的證據！」雖然克卜勒沒有馬上收到伽利略的回信，但未來兩人將會一起在不同地方，合作並支持哥白尼的日心說。

• 延伸閱讀：伽利略誕辰｜科學史上的今天：2/15

此外，也有一本書來到了第谷．布拉赫 (Tycho Brahe) 的手中，雖然第谷不認同克卜勒的觀點，但第谷看出了克卜勒的才華，並認為克卜勒擁有卓越的數學能力，只要擁有少數資料就能夠獨自建立預測模型。

雖然第谷回信稱讚克卜勒的巧妙的推測，但第谷認為哥白尼的觀測資料不太精確，因此第谷邀請克卜勒到自己的天文台工作，希望克卜勒能夠好好善用他更精準的觀測資料。

克卜勒獲得進入到當時一流天文台的機會，開始了他長達 20 幾年的天文研究。

《新天文學》：等面積定律的起源

《新天文學》（Astronomia Nova）在當時是一本與眾不同的天文書籍，它只單一討論一個行星的運動，克卜勒認為只要了解火星的運動，就等於了解其他行星的運動，但克卜勒卻沒有想到，了解單一行星的運動將會是一條崎嶇難行的道路。

克卜勒一直在思考如何將哥白尼的概念帶入到火星的運動上，首先，他根據行星「在近日點較快，在遠日點較慢」的物理現象了設立了距離規則：行星運行速度和行星到太陽的距離是反比關係。

克卜勒進一步將所有火星到太陽的距離加總起來，說明這就是火星繞行一周掃過的面積，面積能夠代表著火星走過的時間，克卜勒此時建立了我們今日熟知的第二定律「等面積」概念：相同時間內，行星掃過相同的面積。

《新天文學》：什麼？軌道不是圓的！

然而，當克卜勒將自己發現的「新穎物理方法」嘗試應用在偏心圓上時，卻出現了誤差，不過克卜勒心中沒有一絲動搖，他將結果和實際觀測資料比對，推測出火星軌道應該是「非圓」。

真正的軌道比想像中的扁平狹長，克卜勒用肉球來比喻，這就如同從肉球中間擠壓出來的形狀，克卜勒暫稱這個非圓軌跡為「卵形 (oval) 」。

1604 年，克卜勒寫信給自己的朋友，向他抱怨自己已經嘗試了 20 種不同的方法來產生卵形軌跡，卻產生出了和偏心圓相反的誤差。克卜勒推測真正的軌跡就會在圓形和卵形之間，並開始針對這個誤差專研，他認為自己距離真正的軌跡不遠了。

就在克卜勒窮途末路的時候，他突然從誤差中看到了一個常見的數字，一個克卜勒之前在修正火星距離中，曾出現過的數字。

在之前嘗試偏心圓的時，克卜勒發現偏心圓所得到的模型距離和實際觀測值會有誤差，需要經過一個簡單的修正才會符合觀測值，就在此刻他領悟到了這個修正的意義，這就是火星運行的秘密，具有物理意義的「徑向擺盪」，而從當今的數學視角來看，克卜勒的修正就是橢圓在極座標的距離公式： 1+ecosθ

克卜勒是個傑出的數學家，他雖然知道這是橢圓，但他不相信行星的秘密是如此簡單的圓錐曲線，他試圖用其他方法解釋徑向擺盪，但各種方法都沒辦法像橢圓一樣毫無誤差的精準預測。

1605 年，克卜勒領悟到橢圓本身就能代表行星運行的物理現象，他找到了「橢圓軌跡」的規則：行星以橢圓軌跡繞行太陽，而太陽在其中一個焦點上。

如今，這項橢圓的規則也成為了我們所說的克卜勒第一定律。

但克卜勒工作還沒有完成，他該思考究竟要如何說服當時的其他天文學家，直至 1609 年，克卜勒終於發表了《新天文學》，細心拆解了托勒密和第谷的行星系統，並建立了最精準的橢圓軌跡模型，克卜勒成了世上第一個「摸清行星運動的天文學家」

現在，我們已經知道《宇宙的秘密》、《新天文學》在天文學中的關鍵角色，下一篇文章中，我們將從《世界的和諧》這本書，找到最後一條定律的源頭，完成克卜勒成為星空立法者的最後一哩路……

• 在紛亂、窮苦的人間，三本書，讓克卜勒成為「星空的立法者」（下）

註解

1. 克卜勒認為第谷觀測資料的誤差最大到兩角分，而克卜勒用橢圓預測出來的火星位置都是角秒的誤差，由於克卜勒的預測結果都在觀測值的誤差內，基本上能夠說克卜勒的預測幾乎等同於實際觀測。

參考資料

1. Aiton, E.J. (1969). Kepler’s second Law of Planetary Motion. Isis A Journal of the History of Science Society, 60, 75-90.
2. Wilson, C. (1968). Kepler’s derivation of the elliptical path. Isis A Journal of the History of Science Society, 59, 5-25
3. Gingerich, O. (1972). Johannes Kepler and the New Astronomy. Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, 13, 346-373
4. James, R.V. (1999). Johannes Kepler and the New Astronomy. New York：Oxford University Press
5. 姚珩、黃瑞秋 (2003)。克卜勒行星橢圓定律的初始內涵。科學教育月刊，第 256 期， 第 33-45 頁。
6. 姚珩 (2004)。行星面積定律的建立。科學教育月刊，第 257 期，第 32-38 頁。
7. International LaRouche Youth Movement. (2006). Presentation of Kepler’s Astronomia Nova.
8. 維基百科：Rudolphine Tables、Harmonices Mundi、Johannes Kepler、Musica universalis