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「世界是怎麼來的?」古希臘哲學家向科學邁出的第一步

寫點科普,請給指教
・2017/06/09 ・8675字 ・閱讀時間約 18 分鐘 ・SR值 577 ・九年級

好啦,針對「顛覆世界的「電腦」是怎麼誕生的呢?」這個問題,讓我們從最源頭的地方開始討論起吧。關於電腦這個概念的出現,要先從西方的哲學思維,與歷史上三次的數學危機講起。所以我們今天就要來先介紹西方重要的古希臘哲學思想基礎啦!

哲學從哪來的呢?一天到晚聽到的「形上學」是什麼意思?

聽到畢達哥拉斯只知道勾股定理嗎?你知道他還是希臘影響力和傳播度最深遠的學派之一嗎?

你知道阿基里斯追烏龜的芝諾悖論嗎?芝諾說:世間萬物的運動都是假的。為什麼呢?

蘇格拉底、柏拉圖和亞里斯多德的思想到底是什麼呢?

古希臘文化是西方文明的驕傲。西方哲學、政治學,甚至是數學、物理、生物學… 等科學的思想根源,沒有一項智力活動不是從古希臘流傳下來。因此我們不能不清楚被稱為「西方文化之源」的古希臘哲學。

哲學家問:世界是怎麼來的?

你曾好奇過:「萬物是怎麼來的」這個問題嗎?世界是怎麼形成的呢?

這個問題好像很蠢,你一定在想:為什麼沒事要探究這個問題呢,明天還有考試、哪家餐廳好吃的不得了、該買新衣服了……之類的。

但還是讓我們來思考一下:如果晚上和朋友聚餐時,朋友是用「飛」的進了餐廳,你會有什麼反應?

你可能會尖叫著把叉子摔在腳上。因為我們已經習慣了「人不會飛」的這件事,因此看到了不同於習慣的場景、我們會驚慌失措。

但對一個孩子而言,「人會飛」或許和「人坐在一個大鐵盒裡就能飛在天上」的新奇感是一樣的。

這世界的變動不斷發生,世上的種種都是新奇的、變幻莫測的。哲學家便是懷抱著好奇心,探究著:世界是怎麼來的。

太陽神阿波羅

關於這個問題,神話告訴我們:太陽神駕著馬車橫過世界帶來光明,或是年獸吃人、雷公打雷。希臘的主神宙斯、中國的玉皇大帝、印度的梵天……。

數千年來,人類慣於用我們的想像解釋這個世界,直到哲學家們提出疑問為止。希臘哲學家企圖證明:這些解釋是不可信賴的。

西元前六百年左右,希臘人透過航海貿易和殖民擴張,在希臘本土、小亞細亞與義大利南部建立起了一個個作為貿易樞紐的城邦。由於希臘土地貧脊,城邦居民無論是必需品、還是手工業產品,都要透過進出口貿易。

商業活動與奴隸制的興盛,也讓契約關係與法律規範的重要性,逐漸取代了傳統農業民族的血緣宗法制,比如財產法、遺產法、債務法等維護個人私有財的法律。各城邦採取的政治形態不一,然而無論是君主制還是民主制,都必須遵從法律規範。

希臘人正用口頭宣告律法

當所有的勞力工作皆轉嫁到奴隸身上,市民們也開始有了更多的閒暇時間投注在思考上。另外這種強調法律、規範與準則的普世價值,也啟發了希臘人:什麼是宇宙萬物的源頭與規範。

哲學一詞 Philosophia 即「愛智慧」,發掘離感官經驗最遠、包含著萬物最普遍原理的知識體系。

這種不以實用性為優先考量、而將知識本身作為終極目標的學術特點,我們現在稱之為「形上學」,便是從希臘哲學家開始的一種嶄新的思考方式。亞里斯多德也指出:智慧就是有關某些原理與原因的知識。

而最早的希臘哲學家被稱為「自然派哲學家」,觀察著大自然與其循環變化,包括了幾個學派:米利都、畢拉哥拉斯、伊利亞學派等。就這樣,哲學脫離了神話與宗教的範疇,朝向科學邁出了第一步。

與米開朗基羅、達文西並稱「文藝復興三傑」的義大利藝術家拉斐爾,在其「雅典學院」這幅畫中,將古希臘、羅馬和文藝復興的義大利等不同時期的哲學家全集中在一個空間,表現對人類智慧的讚美。今天就是要來帶大家認識這幅畫裡面的人。

自然派哲學家:探討萬物從何而來

1. 米利都學派:有一種基本物質是萬物之原

米利都學派是西元前 600 年左右,由泰利斯(Thales)所創,他出生於小亞細亞的希臘殖民地米利都,對於數學和哲學具有卓越的貢獻。

如何推算出金字塔高度?如何測量海面上的一艘船到自己的距離?準確預測日蝕?泰利斯不但一一成功解答,還率先提出了「證明」這個在數學上重要的核心方法,使古代數學開始發展成嚴密的體系。因此他也被稱為「數學之父」。

然而泰利斯之所以能成為哲學之父,只說了一句話:「水是萬物之原」。

這個說法對於現代的我們可能看起來很可笑,但要注意的是,在此之前希臘人對於宇宙起源的理解都是來自於神話傳說。泰利斯是第一個思考「什麼是萬物之原」的哲學家。

首先,泰利斯使用自然物質來解釋自然界;相較於傳統用超自然的神話理由來解釋自然萬物,這是人類理性思維的一個發端。再來是他以「一」來解釋「多」,用一個簡單的原理來說明複雜的現象,可以說是尋找一個系統性的真理,將萬物歸因於單一元素。

至於泰利斯為什麼會認為萬物之原是「水」這個元素,他並沒有說明。由於四大古文明傍水而生,不僅希臘、埃及等神話中皆視水為重要命脈,希臘本身亦以海洋貿易作為經濟來源,可能都對於泰利斯提出水本原說有一定的影響。

然而比起認為「萬物是由單一元素組成」,泰利斯的學生阿納克西曼德(Anaximander)顯然不認同他的老師。

在畫中找到阿納克西曼德了嗎?

阿納克西曼德想,水、土、礦石……等等都是自然界中已存在的元素,既然如此,你要怎麼能讓「具體的」自然物質生成其他「具體的」物質呢? (難道砂石也是由水組成的嗎)所以本原應當是混沌的、無限的,阿納克西曼德稱之為「Apeiron」,認為這才是真正的萬物本原。

在被稱為「Apeiron」的混沌中,具體的物質生成、殞滅,最後回歸混沌。

雖然對於「Apeiron」究竟是什麼東西,阿納克西曼德並沒有解釋;他只說:總之這東西不是任何具體有型的物質。

但這仍然是一個重大突破——相較於泰利斯認為自然元素的背後是自然元素、兩者同樣都是具體之物,阿納克西曼德使用抽象的概念去描述具體的自然元素。這已經是形上學的開端,革新了哲學思維。

但這個「Apeiron」到底是什麼?不講清楚的話大家還是不懂啊!別擔心。你的心聲,畢達哥拉斯聽到了。

2. 畢達哥拉斯學派:數本原說(拜數教)

一般人對於畢達哥拉斯(Pythagoras)這個名字,可能唯一的印象就是國中學過的畢氏定理(直角三角形的兩邊長平方和等於斜邊平方)。還有多邊形內角和為 (n-2) π 、發現了無理數的存在(由於撼動畢氏學派的信念,被視為機密)。

然而畢氏在哲學上的貢獻,與後續對巴門尼德、柏拉圖等哲學家,與基督教教義的影響之深遠,近乎傳奇。在當時,畢氏學派也是規模最大、影響最廣的學派。

尋找畢達哥拉斯吧!

畢達哥拉斯是阿克納西曼德的學生,也受到了米利都學派與「Apeiron 本原說」的影響。畢達哥拉斯與其學派門人信奉:「萬物皆數」(All is number),認為萬物本原是「數字」。

你可能會想:「數本原」聽起來還是跟「水本原」聽起來很像啊?

不不,他們的思想有著根本上的差異。

水、土、氣、火……,都是自然界中具體的物質形態。但你能在自然界中找到一個「數」嗎?比如說 2 ?

2 是一個抽象的符號,在自然界中並不存在 。我們無法透過感官聞到、觸摸到「2」,但它仍能在抽象中存在在我們的思維中。

萬物間彼此都有數量關係,然而能夠抽象出一個數字來表達這樣的關係,卻耗費了人類相當長的時間。數學家羅素曾說:「『2』隻雞和『2』天的 2 是一樣的,人類卻花了數千萬年才理解。」

當泰利斯提出了「水本原」,他的學生阿納克西曼德說:「一項具體的物質怎麼能產生其他物質呢?本原應當是不存在在自然界的混沌!」

但因為阿納克西曼德又沒有清楚到底這個抽象的「Apeiron」到底是什麼,畢達哥拉斯的「數本原說」,可以說是對此加以改進的結果。雖然數是抽象的概念,但它在抽象思維中又是具體的、有規律、有架構的。

從具體的自然之物(水)、到不具體的自然之物(Apeiron),最後到了具體的抽象之物(數),我們終於成功超脫感官的蒙蔽,找到一種解釋世界與人生本質的方式。這也是真正的形上學——用抽象的架構說明實在的世間萬物。

由於最原始也最容易被感知到的數是「正整數」,因此正整數也被稱為「自然數」。畢達哥拉斯的數學研究也是正整數與正整數之比。

他認為:自然界是被合理的安排好了的。一切現象都是按一個精密的的規律進行的,而這個規律就是數學,世界即是建立在數學原理之上。比如:能生成萬數的「1」是萬物之母、「4」和「9」平方數代表公正、「8」是愛情(因為音樂有八度音)。

看起來又有點宗教的意味在了?畢達哥拉斯事實上就是一位哲學家、數學家、神秘學家,繼承了義大利南部的神秘教派俄耳甫斯教關於「靈魂」、「輪迴轉世」的教義。

傳說中有次畢達哥拉斯遇到一隻被打的狗時,叫道「不要打它,它是我一個朋友的靈魂,我能從吠聲中認出他」。不過在此之前,希臘人並沒有「靈魂」與「肉體」不同、還能分離的概念。後來柏拉圖繼承了這個概念、後續又融入到了基督教教義中。

3. 伊利亞學派:變化的日常世界是不真實的

揭開感官幻象、真理實際為抽象的這個努力,還有一個學派。西元前 500 年,希臘在義大利南部的殖民地伊利亞 (Elea)。還記得同樣位於南義大利的畢氏學派嗎?這個地方充滿了宗教和神秘學的色彩。

巴門尼德在哪呢?

伊利亞學派學者巴門尼德(Parmenides)曾和畢氏學派學者頻繁往來,也非常瞭解米利都等學派的看法。在這樣的基礎下他寫了一首詩,描述他遇見了一位女神、而這位女神為他指點了兩條道路,一條叫「意見之路」、一條則是「真理之路」。

  • 「意見之路」:存在不存在,非存在存在。
  • 「真理之路」:存在存在,非存在不存在。

巴門尼德認為,唯有永恆、唯一、不變化不運動的東西才是存在的。世間萬物都是處於變化之中,只要是變化流動的事物也都是轉瞬即逝的,因此這些東西都是「非存在」。

既然水、氣等等,都包含在我們經驗的世界,故也都是非存在。然而米利都學派將非存在(水)當作萬物的本原、也就是將「非存在」視為存在,因此是意見之路,而非真理。

巴門尼德認為:能被思考、被表述的,比如思想和語言必定是存在,因為我們無法把非存在的事物放進心靈,唯一能思考的只有存在。(如:數學的永恆性,數學定理必定為存在;巴門尼德同時也是位數學家)所以真理之路存在存在、非存在不存在。

但這個「存在」到底是什麼東西呢?存在既不在過去也不在未來,是一個單一的整體。因此它既不被產生、也不會被消滅,也就是完整且連續的「一」。

巴門尼德的論證,也被認為是史上第一個完整的哲學論證。

簡單來說,我們感官感覺不到的宇宙萬物真相,實乃「永恆唯一」且「不生不滅」、「不變不動」的存在。因此感官與肉體為假、思想與精神為真。

當然你可能正忍不住想:你怎麼能說我們現在所感受到的東西通通是不存在呢?當時的人們正也是這樣想的,巴門尼德的思想受到不少嘲諷。

為了替他的老師辯論,巴門尼德的學生芝諾(Zeno)提出了一系列的悖論、欲從反面去證明:如果事物是「動」的、會比「靜」的荒謬;事物是「多」的、會比「一」荒謬。故變化的日常世界才是不真實的,存在是唯一且不動的。

其中知名的包括「箭矢悖論」與「阿基里斯悖論」:

  • 「箭矢悖論」:箭在飛行過程中的任何瞬間都有固定位置,則可知一枝動的箭是所有不動的集合,所以可導出:一根箭是不可能移動的。
  • 「阿基里斯悖論」:讓烏龜在阿基里斯前面 1000 米處開始,並且假定阿基里斯的速度是烏龜的 10 倍。當比賽開始后,若阿基里斯跑了 1000 米,設所用的時間為 t,此時烏龜便領先他 100 米;當阿基里斯跑完下一個 100 米時,他所用的時間為 t/10,烏龜仍然領先他 10 米。當阿基里斯跑完下一個 10 米時,他所用的時間為 t/100,烏龜仍然領先他 1 米…。

(歡迎參考 TED-Ed 製作的芝諾悖論介紹,記得開中文字幕)

關於阿基里斯悖論,芝諾解釋道:阿基里斯能夠繼續逼近烏龜,但絕不可能追上它。 直覺上,人一定跑得贏烏龜不是嗎?但芝諾問出了這個問題:你不能解釋人變化位置為什麼能比烏龜快。

芝諾悖論揭示了人們思維中一些似是而非、或似非而是的矛盾現象,對於無限的連續性和可分性的探索也非常深刻;然而要解決這個問題卻始終差了臨門一腳、遲至一千多年後的 17 世紀,才由萊布尼茨和牛頓發展出了微積分成功解釋。

上面我們大致介紹完了古希臘幾位著名的的自然派哲學家。除此之外還有其他眾多不同的思想包括:

  • 赫拉克利特的萬物變動觀:相較於伊利亞學派,赫拉克利特主張萬物都是變化的、流動的——「不可能在同一條河中踏入兩次」,第二次涉水時,我們已不處在原先的狀態、河水也不是本來流過我們腳下的河水了。
  • 恩培多克勒的四元素說:主張萬物是由風、氣、火、水四種元素構成
  • 德謨克里斯的原子說:相信每一種事物都是由最小單位(原子)所組成。由於西元前 470 年蘇格拉底的出現,開啟了一個思想上的新時代,故這些西元前 600-470 年的自然派哲學家又被稱為「前蘇格拉底時期哲學家」。

簡單來說,這些哲學家拒絕傳統神話對自然現象的解釋,依靠觀察和推理闡明自然界的真相,並嘗試回答:

  • 世上萬物從哪來?
  • 我們如何解釋萬物組成的本質?
  • 是否能用數學來描述它們?

接下來,讓我們進到雅典的三賢者時代。

雅典三聖賢:蘇格拉底、柏拉圖與亞里斯多德

1. 蘇格拉底:自知無知

大約西元前 450 年左右,哲學發展聚集到了古希臘最大的城市:雅典;之所以會如此,有一說是因為當時雅典的議會、法庭等民主制度成形的關係。

相較於自然派哲學家關切的是自然的本質,雅典哲學家關注的主題則是人與社會間的關係、人與人如何共同生活。

比如詭辯學派和蘇格拉底。詭辯學派是蘇格拉底時代最受歡迎的學說。由於詭辯學家們多四處遊歷、見識到各地不同的政治制度和價值觀,比如殺人在希臘違法,但對於其他地區而言可能則是一件稀鬆平常的事情。

該學派最有名的一句話即為:「人是萬物的尺度(Homo Mesura)。」 基本主張是:善良、真理、正義都與人本身的利益相關,所以沒有絕對的真理與是非標準。

再加上當時正值波斯對希臘戰爭,時局變動、人心惶惶,執政者只要能抓住演說技巧即能獲得群眾支持,使得辯士廣為流行。(當時還有許多人開班授課教人如何演說抓住人心,是否有點像現在的文案行銷課呢)

然而蘇格拉底則試圖證明:世間存在絕對的真理與道德。

蘇格拉底在圖中是穿著綠色衣服貌不驚人的胖子噢,不是回頭的小帥哥。

蘇格拉底早年在一些智者門下學習,之後生命中的絕大部分時間都用於和雅典城中每一個人談話辯論,內容包括美德、正義、平等。

蘇格拉底說:「我是個精神上的助產士,幫助別人產生他們自己的思想。」提倡人們應當認識做人的道理、過有道德的生活。他也很討厭詭辯學派用知識來賺錢的行為,因此把哲學家定義為「愛好智慧的人」(Philo-sopher)以劃清界線。

另外蘇格拉底也曾說:「鄉野的樹木不能教我任何事情」與「我只知道一件事情,就是我一無所知。」認為自然是哲學的目的不在於認識自然,而在於認識自己。

到後來,蘇格拉底卻因腐蝕雅典青年思想的罪名被判處死刑。其一生毫無著作,卻激勵了眾多門徒。而今我們透過柏拉圖的《對話錄》來了解這位啟發西方兩千五百年的偉大哲人。

2. 柏拉圖:理型的世界

自然學派哲學家關注「自然界的變動與不動」、詭辯學家與蘇格拉底關注「人類道德的變動與不動」,柏拉圖師事蘇格拉底、又受到自然派學家的影響,對於兩個問題都相當關心,因此他嘗試找到一個真理能掌握這世間。

左邊這個最高調最明顯的就是柏拉圖啦!手指天,代表著關注於理型的世界。 猜猜右邊的人是誰呢?

面對「唯一且不變不動」與「流動變化」的迥異學說,柏拉圖該怎麼處理呢?

他認為,我們所能感知到的物質世界,是由一個「理型的世界」所複製過來的,並用洞穴比喻來描述這個理論:有一群囚犯背對著被關在一個洞穴中。

在他們的面前有一堵牆,身後則燃燒著一堆火。由於囚犯們在牆上看到身後事物的影子,因此以為這些影子就是真實的事物的樣貌。比如我們見到的眾多不同樣貌的馬、只不過是「馬」的完美理型投射的殘影。太陽也只是「光明」這個理型的殘影。

當有個囚犯掙脫了束縛、轉身看到了真正美麗的世界,回過頭來想說服洞穴裡的人「牆上的影子不是事物真實的樣子」、只是單調無趣的殘影,卻被其他人認為是在說謊、希望能殺掉他(如果其他囚犯們的手能掙脫的話)。

這個故事闡述了哲學家如何試圖找到世間的真理、卻不被世人所接受,比如柏拉圖被判死刑的老師蘇格拉底。

而柏拉圖真正要說的,是利用這個故事來告訴我們:人類感官所能感受到的只是理型世界粗糙的複製品(牆上的影子),各種現象的背後有一個永恆不變、完美且至善的「理」。世間萬物都是對這個理型世界的拙劣模仿,因此理型才是人類所要追求的目標。

人類的靈魂原先是活在這個理型世界,然而一旦靈魂降生到了肉體上,卻忘記曾經處在這個完美的理型。

對於柏拉圖來說,最理想的生命歷程是:當我們透過感官、感受到這個不完美的世界時,靈魂會渴望著掙脫肉體的枷鎖、回到理型的世界。但大部分的人這輩子都受困於理型世界的倒影,無法真正的達到至善的境界。

3. 亞里斯多德:邏輯

亞里斯多德雖然是柏拉圖的學生,卻有著截然不同的哲學思想——他認為感官的世界是重要的,因此才有了一句名言:「吾愛吾師,吾更愛真理。」

和柏拉圖激烈爭辯的男子正是亞里斯多德。手指地,象徵他認為知識是透過經驗觀察所獲得的概念。

對柏拉圖而言,研究哲學是為了找到比感官世界更高層次的完美理型。然而亞里斯多德認為:理型、也就是事物的形式,只能與事物共同存在。

再來是,如果說世間的馬是對於「理型馬」的模仿,你要怎麼去證明這件事呢?說不定理型馬也是參考了另外一隻「更加理型的馬」才創造出來的。我們雖然試圖想要找到具體世界背後的真相,同時卻也在虛構了另一種世界。

也就是說,世界上的馬沒有更高一層次的「真正的馬」。人類不是因為靈魂中看過「真正的馬」才知道世間上的馬是「馬」。所謂的「馬」的概念,是從人類的感官中形成的觀念。

藉由馬的形式(長臉、蹄、鬃毛)、與雞的形式(尾羽、肉冠),也就是「特徵」,我們分辨出馬與雞的差異,也就是馬和雞屬於不同的種類。

亞里斯多德把自然當作科學研究的客觀對象、並進行科學分類,使得自然科學逐漸演變為許多獨立的學科。也因此,亞里斯多德創建了邏輯學,試圖找出事物的真理。最有名的方法莫過於三段論法:

  • 凡馬皆有馬蹄。(第一前提)
  • 蒙古馬是馬。(第二前提)
  • 蒙古馬有馬蹄。(結論)

亞里斯多德的一生堪稱是百科學書般的研究者,著作超過 170 種,涵蓋哲學、物理、生物學、心理學、天文學、邏輯學、政治學、美學……。其所奠定的形式邏輯以及建立科學體系的方法論,後續也影響了歐幾里德的數學研究與其名著《幾何原理》。

所以世界是怎麼來的?

關於古希臘哲學家的各大思想便到這邊告一段落。讓我們回到一開始的問題:世界是怎麼來的?自然是怎麼運作的?人與人之間該如何共處?

自然是怎麼來的,由泰利斯(水本原)、阿納克西曼德(Apeiron)、畢達哥拉斯(數本原)、伊利都學派(不變不動且唯一的存在)等自然派哲學家試圖解答。有說法認為自然萬物恆久不變、也有人認為萬物恆常變化(赫拉克利特),然而都是人類從神話時代到理性思維的所邁出的一大步。

人與人之間該如何共處,受到了雅典哲學家的關注,如:詭辯學派、蘇格拉底等人,探討美德是永恆不變、還是變動的。

最後,柏拉圖與亞里斯多德對於兩個問題皆相當重視,前者認為「萬物只是理型世界的倒影」,後者則反駁:「萬物的形式就是其具備的特徵」。

在探討哲學的過程中,我們可以發現幾乎每一位哲學家都是基於他的老師或前人的哲學思想上不斷的思辨、再去做改良革新。

泰利斯是阿納克西曼德的老師、阿納克西曼德是畢達哥拉斯的老師、畢氏學者和巴門尼德來往甚密、巴門尼德是芝諾的老師、蘇格拉底是柏拉圖的老師、柏拉圖是亞里斯多德的老師……,顯然他們提出的哲學理論,沒有一個是全盤接收老師的說法:都是參考了自己的老師、卻得出了和老師大相逕庭的結論。

當研究哲學時,務必瞭解當時的時代背景、與他們關注的課題,使用該哲學家的眼光看待世界。若一個人剛剛讀到一位哲學家便能宣布:「我不認同他的觀點」、或「他的觀點很荒謬」,只說明你還沒有看懂。

對一個初初接觸哲學的人來說,思維能力尚未成熟;而凡是能在史上留名的哲學家,都是該時代絕頂天才的人物。我們能做的只是站在巨人的肩膀上,知道當時他為什麼這麼想、知道後續哲學家對於此觀點的其他想法。然後藉此去理解、促進我們的理性思維。

理性思維最重要的特點就是把主觀和客觀分離、把握客觀規律,所以西方哲學在古希臘誕生的同時也就是西方科學精神的誕生,可以說哲學是所有學科之始。若無千年以前的古希臘哲學家,就沒有思辯精神、沒有現代科學,甚至不可能會出現電腦。

之後的文章開始,我們會為讀者介紹康托爾、希爾伯特、哥德爾等推動電腦科學的數學家。除了數學家的身分、他們同時也是哲學家,後續會再提起他們所依恃的古希臘哲學思想,瞭解他們是如何因此而發掘真理。

  • 註:有限於本次討論的主題圍繞在「電腦是怎麼出現的」,在這邊只介紹與我們接下來要討論的內容有所相關的哲學思想;另外由於篇幅限制,上述哲學家的學說介紹為簡化過的內容,尚不能涵蓋所有該哲學家的深厚理念,歡迎有興趣的讀者進一步研究。

本文轉載自寫點科普,請給指教。 ,原文標題:《世界是怎麼來的─西方文明與科學的起源:古希臘哲學》


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遲來報到的質數——《數學,這樣看才精采》

天下文化_96
・2022/05/20 ・2868字 ・閱讀時間約 5 分鐘

2013 年國際數學界最轟動的新聞,應屬中國留美學者張益唐在孿生質數問題上所作出的突破。他個人的經歷更增加了整件事的傳奇性。

數學家張益唐。圖/VOA, 公有領域

張益唐雖然是北大數學系的高材生,但是 37 歲從美國普渡大學拿到博士學位之後,因與指導教授意趣不合,一時在學界無法發展,多年靠打工餬口。1999 年才好不容易至新罕布夏大學數學系任講師。在張益唐長期不得意的歲月裡,他雖然沒有發表什麼數學論文,但是也不曾喪失志氣,還是堅持研究自己喜歡的數學問題。

張益唐在 58 歲暴得大名,各種獎項與頭銜接踵而來,在最是少年逞英豪的數學世界裡,真成為一個異數。英國數學家哈代在他著名的小冊子《一個數學家的辯白》裡曾說:「我不知道有任何一項數學的主要進展,是由超過五十歲的人所啟動。」張益唐正好給哈代的偏見一個反例。

張益唐研究的是關於質數的性質。

一個自然數 p 是質數(也稱為素數)的條件有二:其一,p 大於 1;其二,除了 1 與 p 自己之外,沒有別的自然數能整除 p。全體質數可以從小到大排成一個數列 2, 3, 5, 7, 11, 13, …,通常把排在第 n 個位置的質數記作 pn。如果 pn 與 pn+1 相差為2,則稱質數對 (pn, pn+1) 為一對孿生質數,例如 3 與 5,5 與 7,11 與 13。

圖/envato elements

「孿生質數猜想」就說這樣的質數對有無窮多組。因為古希臘的歐幾里得在他的巨著《原本》裡,曾經證明質數有無窮多個,所以有人以為也是歐幾里得最先提出孿生質數猜想。其實不然,目前從文獻中所見, 1879 年英國數學家格萊舍(James Whitbread Lee Glaisher)在《數學信使》(Messenger of Mathematics)雜誌上的一篇文章,才是第一次將孿生質數猜想見諸文字。

張益唐的大突破是證明有無窮多組質數對 (pn, pn+1) 使得 pn 與 pn+1 相距不超過 7 千萬。

為什麼這是一個大突破呢?因為在張益唐之前,不管給出什麼固定數 m,完全不知道相差在 m 之內的質數對,到底是有限多個還是無窮多個。自從 2013 年 5 月他的成就在國際媒體上廣為流傳之後,世界上很多數學家努力要把 7千萬的差距往下壓縮,目前已經改善到 246 之內。但是距離孿生質數猜想所需的 2,還有巨大而艱困的鴻溝。

一般人從媒體得知張益唐對數學做出了重大貢獻,可能會好奇問他的結果有什麼用?這裡「用」當然是指實際的應用。其實,他的成果目前還只有純學術價值,與國計民生毫不相干。自從古希臘人辨識出質數,在兩千多年的時間裡,除了數學家關心質數外,質數一直缺乏任何應用價值。二十世紀電腦發達之後,才利用因數分解成質數的超級困難特性,產生了某些幾乎無法有效破解的密碼系統,廣泛的應用到金融、通信、資料保密上。

圖/envato elements

在中國古算裡缺席?

一個基本的數學概念,經歷了兩千多年的滄桑,才顯現出它的實用價值,這不是一件平凡的成就。因此,我們不得不佩服希臘人研究質數的真知灼見,並且感嘆十八世紀前的中國傳統數學裡卻不見質數的蹤跡。質數為什麼會在中國遲來報到?實在是一個令人費解的現象。

歐幾里得的《原本》約在西元前 300 年左右成書,是古希臘數學集大成之作。第七卷討論數的性質,是使用幾何的觀點來理解數。也就是從「單位」的概念出發,以度量直線段的方式引入「數」。第七卷定義 2 說「一個數是由許多單位合成的。」因此,1 代表單位而不算作「數」。定義 11 說「質數是只能為一個單位所量盡者。」定義 16 說「兩數相乘得出的數稱為面,其兩邊就是相乘的數。」所以質數只能是線,而不能稱為面。

歐幾里德畫像。圖/wiki, 公有領域

從這些定義可看出來,古希臘人所謂的「數」是依附在幾何的體系裡而得以操作。中國古代缺乏像《原本》這種按照邏輯次序鋪陳結果的數學書,通常是以解決實際問題的風貌來書寫,因此不太可能探討與闡述「數」的純粹性質。

例如,以《九章算術》為代表的中國古算裡,數字是與矩形、直角三角形的面積緊密相連結,但卻沒有像希臘人那樣分辨,有些數是可以表現為面,而有些數卻不可以。

也許古代中國缺乏一項歐幾里得所擁有的知識背景,因而造成了雙方關注問題的差異。古希臘有一位重要的哲人德謨克利特(Democritus),他主張萬物皆由不可分割的「原子」所構成。在「原子論」的知識背景下,數目 1 就不會與其他數目等量齊觀了,1 是「單位」,是數的「原子」。

圖/envato elements

中國古代沒有明確的「原子論」,《墨子.經說下》所說:「非半,進前取也。前,則中無為半,猶端也。」其中切得不能再切的「端」在《墨子.經說上》解釋為「端,體之無序而最前者也。」也只是類似「原子」的概念,並未發展到德謨克利特的思想程度。「原子論」思想的欠缺,或許是質數在中國古算裡缺席的因素之一。

難以望其項背

康熙敕編的《御製數理精蘊》(簡稱《數理精蘊》)是融合中西數學的百科全書,其中將質數譯為「數根」,並且在附表〈對數闡微〉中列有質數表。雖然質數已經在中國現身,但是數學家並沒有感到相見恨晚而深入探討。

晚清數學名家李善蘭在翻譯歐幾里得《原本》後九卷時,第一卷第一界說為:「數根者唯一能度而他數不能度」,也把質數翻譯成「數根」。

數學家李善蘭。圖/傅任敢 《中華教育界》 1936 -1937年, 公有領域

李善蘭很可能受《數理精蘊》的影響,而去研究判別給定數是否為質數的方法。英國傳教師偉烈亞力(Alexander Wylie)將其中一法,以給編輯的信公布在香港一家英文雜誌上,其敘述為「以 2 的對數乘給定的數,求出其真數,以 2 減同數,以給定數除餘數,若能除盡,則給定數為質數;若不能除盡,則不是質數。」

此命題常被稱為「中國定理」,其實是歐洲早已知道的「費馬小定理」的逆命題,該定理斷言若 p 為質數,則 2p − 2 ≣ 0 (mod p)。

其實李善蘭的方法並不永遠正確,例如:2341 − 2 是 341 的整倍數,但是 341 = 11 × 31 並不是一個質數。1872 年李善蘭在《中西聞見錄》報刊發表了〈考數根法〉一文,成為清末關於質數研究的重要成果,但是他並沒有收錄「中國定理」,應該是他已經知道命題並不為真。

要知道李善蘭與高斯的生命是有重疊的時期,因此當西方以質數為基礎所建立的數論,已經繁複深刻美不勝收之時,也許連李善蘭都不曾完全清楚中國落後的程度是多麼巨大!


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天下文化_96
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