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埃米.諾特──蹣跚而行的仁厚數學家

科學大抖宅_96
・2017/03/23 ・8011字 ・閱讀時間約 16 分鐘 ・SR值 586 ・九年級

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二十世紀初期,科學界產生劇烈變化。女性的高等教育逐漸開放,科學研究增添許多生力軍;許多領域如數學和物理,也因此受惠,得到不少進展。

在那女性運動尚屬萌芽階段的年代,有位才華洋溢的女性,不願屈就於社會期望,爭取旁聽的機會,突破法令對女性接受高等教育的限制。當政府以性別為由反駁她的大學授課申請後,她用男性數學家的助理名義教課。因為不被科學院接受,她無法自己發表論文,只得透過朋友幫忙發表。儘管她在數學領域貢獻卓著,卻因為猶太人身份,不得不離開德國;德國數學家使用她的數學理論,卻不能提及她的名字,好像她從未存在過。

在逆境下,她堅韌、充滿生命力;在日常生活中,她邋遢、不修邊幅,完全不介意外表,以及任何的女性形象。她愛吃、充滿熱情與愛心、無私又友善。有人形容她「像(剛出爐的)麵包……從她身上散發出寬厚、舒適、生氣勃勃的溫暖。」她不追求自身名利,過著非常簡樸的生活,卻又笑口常開。

她就是埃米.諾特,抽象代數的奠基者;紐約時報則稱「她的定理建立了近代物理學的骨幹。」

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埃米.諾特(圖片來源

家學淵源和體制限制

阿馬莉.埃米.諾特(Amalie Emmy Noether),1882年3月23日生於德國愛爾朗根市(Erlangen)。父親麥克斯.諾特(Max Noether)是大學數學教授,在代數幾何領域頗有名氣。因為家境不錯,加上父親的職業之故,埃米成長在溫暖、友善以及充滿數學的環境。

身為四個小孩中的老大,埃米在童年時期是個友善、聰明的普通女孩,外加近視和輕微的大舌頭。當時,德國針對女孩的教育只到國中階段,而且重點放在家管、育兒、宗教與藝術課程,再加點基本算術、對話用法語和英語。雖然各州狀況不同,一般而言,德國大學到1910年才開放女性入學。除此之外,女性不能公開發表演說、加入政黨,或甚至參加政治活動。

那是德國正值快速都市化和工業化的年代,反對女性接受高等教育的言論在巨大社會變遷下仍頑固地存在著;這群反對者自詡傳統文化的守護者,認為大學對女性開放代表了道德的衰敗。1895年的一份調查中,多數德國教授便表示大學教育超過女性心智能力能夠負荷的範圍。即使埃米在家庭薰陶下對數學產生興趣,她也沒有研讀數學的機會。

因為沒辦法接受高等教育,埃米原本希望成為外語老師,並花三年時間參與教師訓練課程。1900年,她通過測驗取得女子學校的任教資格。然而,十八歲的她不遵循預設好的道路,卻打算在愛爾朗根大學旁聽課程。雖然女性無法就讀大學,得到教授允許的話還是能夠旁聽(但也很可能遭到拒絕)。從1900年到1903年,埃米是愛爾朗根大學唯二的女性旁聽生之一。考慮到以後可能會去女子學校教書,她選了外語課,外加個人感興趣的數學。只不過,沒人能想到,埃米的生涯規劃因此徹底翻轉,數學也成了她的終身志業。

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從在哥廷根大學旁聽開始

哥廷根大學。source:wikimedia

1903年7月,埃米通過巴伐利亞州的大學入學測驗,卻不以此滿足,反是選擇了更具挑戰性的路途──她決定不入學,離鄉背井到三百公里外的哥廷根大學(哥廷根的喬治·奧古斯都大學 Georg-August-Universität Göttingen,簡稱哥廷根大學)旁聽。哥廷根大學當時在歐洲名聞遐邇,知名科學大師多不勝數,如天文學家史瓦西(Karl Schwarzschild)、數學家閔考斯基(Hermann Minkowski)、克萊因(Felix Klein)和希爾伯特(David Hilbert)等,若要研究數學,沒有比那兒更棒的地方了。

愛爾朗根-紐倫堡大學。source:wikimedia

未料,埃米因為身體因素,只在哥廷根待了一學期。1904年,她正式成為愛爾朗根大學(愛爾朗根-紐倫堡大學 Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg)學生,而且整個就學期間,只有另外三位女學生,以及兩位女旁聽生。

在愛爾朗根大學攻讀博士學位

埃米的指導教授保羅.哥爾丹。source:wikimedia

埃米的指導教授是保羅.哥爾丹(Paul Gordan),不變量理論(Invariant theory)的大師。在哥爾丹指導下,1907年埃米完成一篇充滿數不清計算的博士論文。雖然埃米日後稱其為垃圾,但是這篇博士論文卻得到不少好評。25歲的她,通過學術研究的頭一個門檻,獲得數學博士學位。

接下來八年,埃米留在愛爾朗根大學,做著沒有薪水和職稱的工作。隨著她父親健康惡化,埃米逐漸分擔了父親的工作。她不但發表多篇現今視為經典的數學論文,還代父親授課、指導博士班學生,也參加國際數學組織、發表演說。

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哥廷根之邀和廣義相對論

希爾伯特(右)和克萊因(左)。source:wikimedia

1915年,之前和埃米有數面之緣的希爾伯特和克萊因,邀請埃米加入他們在哥廷根大學的研究團隊。埃米在哥廷根這一待,就是18年。當時,希爾伯特和克萊因正和愛因斯坦合作,以完備廣義相對論中的數學。埃米在家書中曾開玩笑表示,她們正在幫愛因斯坦進行極度困難的計算,而且「沒人知道那是要幹麼的。」

師承哥爾丹的埃米對不變量理論相當精通,對廣義相對論的數學發展起了很大幫助。最後,埃米為廣義相對論的某些概念提供了非常簡潔優雅的公式。她的表現讓研究團隊大為驚豔,希爾伯特和克萊因越來越相信埃米值得被聘為哥廷根大學教授;愛因斯坦甚至寫信向希爾伯特表明:「諾特小姐在計畫中持續給我建議;因為透過她,我才能掌握這個(數學)領域。」

叩關大學講師

當時,要想在德國的大學授課,必須通過一系列程序,以獲得特許任教資格。因為法律禁止女性擔任大學講師,埃米成了哥廷根大學首位嘗試叩關的女性。

光是在校內,爭論就持續了數個月:反對者認為,擔任大學講師這類所有不利女性生育強壯下一代的事,都應該避免;同意最力者如希爾伯特則認為,聘用講師與否應從實際功績做評斷,而非出於政治或社會考量。因為希爾伯特大力支持女性受教權,所以有些人在他五十歲生日時特地開他玩笑,頒給他虛擬的女學生聯合會(Union of Women Students)終身會長榮譽。

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總算,哥廷根的數學家們達成共識,大多數教授都同意政府的說法:女性不應成為大學講師。只不過,他們加上一條但書──當該位女性的腦袋富有數學創造力時例外。

然而,即使數學家們同意聘任埃米擔任編外講師[1],其他系所站出來發難了:「女性怎能當編外講師?」、「一旦成為編外講師,她就能成為教授,也能成為大學評議會[2]的成員。女性能被允許進入評議會嗎?」時值第一次世界大戰,更有人問,「當我們的士兵返回大學,發現他們必須在女人底下學習,會做何感想?」對此,希爾伯特回應:「我看不出當事人的性別構成反對聘任她的理由。畢竟,評議會並不是公共澡堂。」

最終,哥廷根大學將案子提到「宗教和教育部」,希望政府網開一面,允許埃米的人事案。部長拒絕了,不過提出妥協辦法:「她不能擔任教職,但是可以用希爾伯特助理的名義授課。」於是接下來三年,課表寫著:「數學物理專題。不變量理論:希爾伯特教授,由埃米.諾特小姐/博士擔任助理,星期一下午四到六點,免費。」埃米甚至沒辦法獲得授課鐘點費。

1917年,法蘭克福一所新成立的大學對埃米招手,表示願意提供教職給她;因為不是公立學校,所以應該能夠避免政府禁止女性教師的規定。埃米心動了。聽到消息之後,擔心手中瑰寶出走的哥廷根大學,再次向政府申請聘任埃米。僅僅六天,政府回應了:「你們擔心她去法蘭克福是沒有根據的,因為她不會被允許成為講師,不論在哥廷根、法蘭克福或是其他任何地方。」

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戰敗帶來的轉機

1918年對埃米來說意義特別重大。根據之前廣義相對論的研究,她寫下知名的諾特定理(Noether’s Theorem)。諾特定理說的是,每個物理守恆定律,都擁有相應的對稱性。例如,動量守恆對應到平移對稱性(物理定律不會因為參考座標系的平移而發生改變;換言之,兩個不同位置看到的物理定律是一樣的)。

現今,諾特定理被廣泛運用在物理領域,成為近代物理學的基石。諷刺的是,因為當時皇家哥廷根科學院 (Royal Gottingen Academy of Science)拒絕接受埃米,以至於諾特定理的論文是由克萊因代為發表。

同年,德國在第一次世界大戰戰敗,德意志皇帝威廉二世流亡海外,也為埃米帶來轉機。12月,愛因斯坦寫信給哥廷根大學的克萊因:「接獲諾特小姐的嶄新成果後,我再次發現,她無法正式授課是極度不公允的。」愛因斯坦除了表示會盡力幫埃米向政府爭取教職的機會,也希望克萊因幫上一把。

德國新上任的社會民主黨政府,很快賦予了女性投票權,也允許女性在國會擁有議員席次。1919年5月,政府終於通過人事案,埃米正式成為哥廷根大學編外講師。埃米欣喜若狂;在拿到博士學位十一年後,37歲的她終於能夠用自己的名字開課。雖然沒有薪水,當年秋天她就開始了授課。

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科學貢獻

1920年代,埃米將代數研究引到全新的方向。有別於以往的數學研究,也與她那充滿計算的博士論文大相逕庭,埃米採取全然不同的研究途徑,建構出抽象代數的基礎。1921年,她發表革命性論文〈環的理想理論[3]〉,從大的抽象架構出發以討論不同的概念,卻沒有任何實際指涉──就像是單純比較建築的高度和尺寸,而不談論建築本身。這篇論文對現代代數產生劃時代的影響,為了表彰她的貢獻,許多由她發展的數學概念現在都以她的名字命名。

埃米的研究路徑,多少跟她對數學的個人偏好與看法有關。某次,她拜訪身為應用數學家的弟弟弗里茨(Fritz Noether),沒想到兩人一言不合,針對數學的用途爭辯一個小時。弗里茨認為,數學應該要拿來描述真實的物理世界;諾特則主張,數學發展應該基於好玩或是智識上的興趣。雖然兩人沒有共識,但埃米怎麼也想不到,她純粹基於興趣所研究出的數學,儘管抽象得不得了,在現代物理學卻有著極大用處。

義工教授

1922年,因為埃米的頂尖學術表現,德國政府破格給予埃米新的頭銜「非正式特聘教授」。雖然名義上是教授,仍是無給職,也沒有退休金。她做著大學教授的工作,待遇卻和義工沒有兩樣。

為了避免埃米對新的教授頭銜產生誤會,科學與藝術部部長特地寫信給她,表明新頭銜並不會改變她的任何法律地位,她和其他教員的關係跟之前編外講師時期沒有差別,也和之前一樣沒有任何薪水。當時,諾特是哥廷根大學的教授中,唯二的女性教授之一(兩人都是非正式特聘教授)。

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哥廷根大學從未給過埃米正式教職。她僅有的收入,來自希爾伯特的微薄補貼;一個月250馬克,連生活開支都不夠用。她是哥廷根收入最低的教員,也從未被納入公務員體系裡。戰後的通貨膨脹,加上1921年的父親過世,埃米著實面臨龐大的經濟壓力。儘管如此,她還是慶幸於這首次領到的微薄薪餉。

不典型也不女性化

埃米是同儕中唯一的女性;雖然她打破性別藩籬成為名義上的教授,眾人也尊敬她的能力與創造力,她的外貌、穿著、體重等等,無一不受到旁人的品頭論足。一方面,大學女教師極為稀有;二方面,埃米一點都不女性化的外顯行為也很難不讓人注意。

她明顯過重,卻不以為意:「如果不吃東西,我就無法做數學了。」而數學對她才是最重要的。正值三、四十多歲的她,穿著黑色長大衣,幾乎垂到腳踝;斜揹肩包、削短的頭髮,加上男人的帽子。在那個對女性穿著打扮、言行舉止無比講究的年代,埃米顯然是不合時宜的。然而,對於成天專注在數學的埃米來說,舒服、方便和價錢比瞬息萬變的時尚來得更重要。

埃米面對生活,就像處理數學,刪除一切非必要的事物。有人稱讚她的仁慈、好心腸和一切從簡,卻也有人嫌棄她的大音量和不溫柔優雅,穿得像洗衣女工。但反過頭想,如果她是男性,這些所謂惹人厭的特徵,都會成為某種刻板印象中的聰明數學家形象。

提攜學生與後進

埃米對學生相當照顧,就像母雞帶小雞。她極力避免學生遭遇到任何不公平對待,還把自己的小公寓借給左翼學生團體聚會。在研究上,她常跟年輕人分享自己的主意,讓他們去鑽研,並在後面推一把;也因此,在許多別人的論文背後,她都助了一臂之力。她的研究夥伴兼數學家馮德瓦爾登(Bartel Leendert van der Waerden)回憶:「她總是幫我們寫好論文前言,並將最主要的概念公式化──我們作為新手,永遠不可能像她那樣清晰掌握與斷定那些概念。」馮德瓦爾登寫的代數教科書,有很大一部份就是來自埃米的貢獻;這套教科書後來經過翻譯、改寫,傳遍全世界,成為經典,也改變了數學教育。

因為收入微薄,有一部分還要拿來資助最小的弟弟和姪兒,埃米早先住在供膳的學生宿舍,直到學生們拒絕和「支持馬克思主義的猶太人[4]」一起吃飯為止;在那之後,她才搬到位於閣樓的公寓。不論天氣如何,她和一位數學家朋友的太太,每天都到河畔的公共泳池游泳──儘管那是男性限定。一個星期中有六天,她總在同樣時間、於同一家廉價餐廳的同個座位,吃著同樣的晚餐。到了週日,她會為自己的學生下廚,並製作點心。只可惜,這樣做並沒辦法討好所有學生,因為好些人早已習慣那些薪資優渥教授的家,不但有全職主婦打理一切,還有許多傭人──這在在都讓埃米的生活方式,成為許多人茶餘飯後的笑柄。

埃米的課堂總是充滿活力和熱情。她不講發展成熟的理論,只講自己的研究,讓學生同自己一起在課堂上思考;講得飛快、寫得飛快、擦得也飛快,只有最俐落能幹的學生有辦法存活下來。當講到激動處,埃米身上的罩衫很容易因為手勢動作而鬆開;女學生雖然會試著幫她整理衣服,但總是徒勞無功──因為埃米一直忙著說話。

埃米一生共收了七位博士班學生,和十三個非正式學生,其中大多數都成為數學家。她的同事、兼知名數學物理學家外爾(Hermann Weyl)日後回憶:「考量到她科學研究計畫的生產力,和對諸多學生的影響力,她無疑是那裡(指哥廷根)數學活動的強力核心。」

納粹德國

1932年,埃米成為第一位、也是當時唯一一位受邀在數學國際會議(International Congress of Mathematics)發表演說的女性,並得到滿堂彩。即使她已經是國際知名的大數學家了,家鄉德國還是不認同她的成就,選擇性忽略她。埃米的數學家朋友們深感不平:「若非她的種族、性別、和自由主義的政治立場(儘管這點相對輕微),她早就在德國得到第一流的教職。」

另一方面,德國政治情勢愈演愈烈,納粹獲得許多年輕學生的歡迎。埃米某位碩士班學生起頭抵制另一位猶太教授蘭道(Edmund Landau),以至於沒人去上蘭道的課;「亞利安學生要的是亞利安數學,而非猶太數學。」他們這麼宣稱。

埃米在數學會議演講後沒幾個月,希特勒成為德國總理。大權在握的他,開始對猶太教授動刀。1933年5月初,科學部公佈具猶太血統的教授名單,埃米赫然列榜。沒出幾天,埃米和哥廷根其他一些猶太教授就被開除,也禁止在德國任何大學授課。納粹此舉,將哥廷根大學的物理和數學研究環境破壞怠盡──畢竟,在這兩個領域,許多響噹噹的教授都是猶太人。

失去了工作和發揮的舞台,埃米不改其志,在自己的公寓偷偷(違法)教授課程。即使有納粹學生跑到她家上課,她也坦然視之。只不過,隨著猶太科學家紛紛逃離德國,埃米也必須思索自己的出路。最後,她接受美國知名女數學家惠勒(Anna Pell Wheeler)的邀請,來到美國費城近郊的女子學院布林莫爾(Bryn Mawr College)──雖然仍是暫時的職缺,薪水倒還算差強人意。

1933年,埃米站在哥廷根火車站準備前往美國(圖片來源

美國生活

1933年秋天,埃米抵達費城,她和惠勒兩人很快成為好友。惠勒曾在哥廷根大學就讀數學,不但會講德語,對德國文化也熟悉;她幫埃米的美國生活解決很多難題。

埃米在美國的學術活動還算順利。每週,她會搭火車前往普林斯頓高等研究院講學,並和愛因斯坦閒話家常。惠勒安排了三個學生和埃米一起工作,並叮囑他們要好好善待埃米。與德國的情況不同,布林莫爾的學生只當埃米的打扮是實用取向,不覺得有什麼大不了的;上她的課也感到深具啟發。除此之外,埃米的社交生活也很愜意,她會和惠勒一起喝下午茶,或是坐在庭院思考數學、到附近的鄉間健行,甚至站在馬路中央跟焦急請她過馬路的學生解釋數學。

即使薪水並不算多,埃米已經感到滿意了。她不但把一半薪水存起來留給姪兒,甚至會自掏腰包援助貧困的學生。就跟她的數學風格一樣,埃米生活從簡、情緒也從簡。她從不讓負面的情緒影響自己,沒有對身為女性在德國受到的不公平待遇,顯露過一絲痛苦或嫉妒;當埃米的德國同事轉任普林斯頓高等研究院,享受豐厚的待遇,她亦平常心視之。

根落美國

1934年夏天,埃米回到德國,收拾細軟、將公寓打點好,並和弟弟弗里茨一家道別。弗里茨也準備離開德國,到西伯利亞工作。

即使在美國展開新生活,埃米的前景依舊不樂觀。她已經五十多歲,在遙遠的地方獨自打拼,也沒有正式工作。逃難的猶太科學家太多,能夠聘請這些人的單位卻太少。埃米不希望教大學部學生,布林莫爾卻是個強調教學的學校,跟她的調性不合。除此之外,埃米還有健康上的困擾。

埃米早先在德國,曾接受過子宮肌瘤切除術,現在卻又發現新的腫瘤。1935年4月,她排定進行手術。雖然埃米認為自己很強壯,手術應該不會有問題,但在朋友的勸說下,她還是預立遺囑。她向朋友表示,過去一年半是她生命中最快樂的日子,在布林莫爾和普林斯頓都受到讚賞──這是她在自己國家從未感受過的。

手術一切順利,醫生移除埃米體內,跟哈密瓜一樣大的卵巢囊腫。為了避免手術時間過長,留下兩個不礙事的小腫瘤。恢復期原本看似正常,怎知到了第四天,埃米突然失去意識,高燒接近攝氏43度。醫生並不確定埃米發生了什麼事,可能是術後感染,也可能是因高血壓導致的中風。

巨星隕落

1935年4月14日,正處於創造力巔峰的埃米,在遠離家鄉和家族的國度驟逝,享年53歲。這對全球數學界是莫大的傷痛,德國數學期刊「數學年鑑」甚至刊登了埃米的訃告──雖然埃米曾擔任它好幾年的編輯,但數學年鑑從未把埃米的名字放到刊頭。1935年5月4日,紐約時報刊登了愛因斯坦的投書,文中表明「自女性開始接受高等教育以來,諾特小姐是最重要、最富有創造力的數學天才。[5]

埃米過世後兩年,她的弟弟弗里茨在西伯利亞被捕,之後以德國間諜罪名處死;不過數學家外爾和愛因斯坦成功將其兩子營救到美國。直到1989年,蘇聯總理戈巴契夫才宣稱弗里茨受到不公平對待。而埃米的骨灰,則由布林莫爾學院保存;在1982年,埃米.諾特百年誕辰,數學女性協會將她的骨灰埋在圖書館迴廊的磚牆下。

綜觀埃米.諾特一生,她不但是抽象代數的先驅,還建構了近代物理學的基本原則。獨具慧眼的她,能看出不同事物之間的連結,並用統合的方式描述兩種被認為相異的概念。近代物理學在建構模型時,常常會從對稱性出發,並討論當中的守恆量──這個概念便來自於她的諾特定理。她在群論、群表示論、環論和數論都有不可磨滅的貢獻,對物理學界和數學界產生深遠影響。

同時,埃米也是早期女性科學家的標竿。在她的年代,幾乎所有人都認為女性不適合大學教職,但她仍義無反顧、堅持自己的理想。在祖國德國,她得不到欣賞;在美國,已經年過五十的她還來不及發揮就撒手人寰。她一輩子可說都沒有得到過任何正式的工作,但在數學和物理上的成就卻如此重要。埃米.諾特為人寬厚、待人友善,對數學的熱情更無人能出其右,研究之路卻滿是艱險,可謂蹣跚而行的仁厚數學家。

google doodle 於2015年3月23日紀念埃米諾特133歲冥誕

參考資料

  • Rachel Swaby (2015), Headstrong: 52 Women Who Changed Science-and the World, Broadway Books.
  • Sharon Bertsch McGrayne (2001), Nobel Prize Women in Science: Their Lives, Struggles, and Momentous Discoveries, Joseph Henry Press.
  • Edited by Nina Byers and Gary Williams (2006), Out of the Shadows: Contributions of Twentieth-Century Women to Physics, Cambridge University Press.
  • DICK (1981), Emmy Noether 1882–1935, Birkhäuser Basel.
  • Dwight E. Neuenschwander (2010), Emmy Noether’s Wonderful Theorem, Johns Hopkins University Press.

註釋

  • [1] 編外講師(女性為Privatdozentin,男性為Privatdozent),又譯私講師,指的是德語系國家裡,通過認證可以就特定領域在大學授課、指導學生者。
  • [2] 評議會是學校的政策決定會議。
  • [3] 原文名Idealtheorie in Ringbereichen。理想為數學專有名詞,與日常生活意義無關。
  • [4] 在1920和1930年代,蘇聯的無產階級革命和反法西斯主義,對許多西方自由派人士是很有吸引力的。
  • [5] 另有一說該文是數學家外爾寫的,只不過編輯認為由名氣更大的愛因斯坦掛名更好,所以該文改以愛因斯坦名義投稿。
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科學大抖宅_96
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在此先聲明,這是本名。小時動漫宅,長大科學宅,故稱大抖宅。物理系博士後研究員,大學兼任助理教授。人文社會議題鍵盤鄉民。人生格言:「我要成為阿宅王!」科普工作相關邀約請至 https://otakuphysics.blogspot.com/

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快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

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連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

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在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

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地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

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地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

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許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

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地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

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此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

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數學無聊是誰的錯?數學家其實很幽默?——《數盲、詐騙與偽科學》
大牌出版.出版大牌_96
・2024/01/08 ・2441字 ・閱讀時間約 5 分鐘

雖然很少有學生小學畢業後還不懂乘法表,但有很多人確實不會算,如果一個人開車的速度是每小時 56 公里,開了 4 小時之後,他就開了 224 公里。要是每公克花生賣 40 美分,而 1 袋花生賣 2.2 美元,那麼,這袋花生裡就有 5.5 公克花生。假如全世界人口中有 1/4 是中國人,其餘的 1/5 是印度人,那麼,印度人在全世界的人口中就占了 3/20,或說是 15%。當然,要理解這些問題,並不像學會算 35×4=140、(2.2)/(0.4)=5.5、1/5×(1–1/4)=3/20=0.15=15% 這麼簡單。對很多小學生來說,這不是自然而然就會的東西,要靠做很多很實用、或是純屬想像的問題,才能進一步學會。

至於估計,學校裡除了教一些四捨五入之外,通常也沒有別的了。四捨五入和合理的估計與真實人生大有關係,但課堂上很少串起這樣的連結。學校不會帶著小學生估計學校砌一面牆要用掉多少塊磚、班上跑最快的人速度多快、班上同學爸爸是禿頭的比例多高、一個人的頭圍與身高之比是多少、要堆出一座高度和帝國大廈等高的塔需要幾枚 5 美分硬幣,還有他們的教室能否容納這些 5 美分硬幣。

幾乎也沒人教歸納推理,也不會用猜測相關性質和規則的角度,來研究數學現象。在小學數學課裡談到非形式邏輯(informal logic)的機率,就跟講到冰島傳說一樣高。當然,也不會有人提到難題、遊戲和謎語。我相信,這是因為很多時候,聰明的 10 歲小孩輕輕鬆鬆就能打敗老師。

數學科普作家葛登能最不遺餘力探索數學和這些遊戲之間的密切關係。他寫了很多極有吸引力的書,也在《科學美國人》撰寫專欄,而這些都是會讓高中生或大學生感到很刺激的課外讀物(前提是有人指定他們去讀的話)。此外,數學家喬治.波利亞(George Polya)的《怎樣解題》(How to Solve It)和《數學與合情判讀》(Mathematics and Plausible Reasoning),或許也屬於這一類。有一本帶有這些人的文風、但屬於較初階的有趣好書,是瑪瑞琳.伯恩斯(Marilyn Burns)所寫的《我恨數學》(The I Hate Mathematics! Book),書裡有很多啟發性的提示,帶領讀者解題與發想各種奇思異想,是小學數學課本裡罕見的內容。

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圖/envato

有太多教科書仍列出太多人名和術語,就算有說明解析,也很少。比方說,教科書上會說加法是一種結合律運算(associative operation),因為(a + b)+ c=a +(b + c)。但很少人會提到非結合律運算,因此,充其量來說,結合律運算的定義是畫蛇添足。不管是結合律或非結合律,你知道了這些資訊之後要怎麼應用?書上還會介紹到其他術語,但除了用粗體字印在書頁中間的小框框裡,看起來很了不起之外,也沒什麼值得提的理由。這些術語滿足了很多人認為,知識就好比一門普通植物學,每種學問都可以在體系中,找到自己的類別和位置。相比之下,把數學當成有用的工具、思維方式或是獲得樂趣的途徑,在多數小學教育課綱中都是很陌生的概念(即使教科書內容不錯也一樣)。

或許有人會認為,在小學階段,可以用電腦軟體,來幫助學生掌握基本的算數原理及相關應用(應用題、估計等等)。可惜的是,目前可用的程式通常是從教科書上擷取無趣的例行練習,轉化成電腦螢幕版本而已。我不知道有任何軟體可用整合、一致且有效的方法,來教算術與解題應用。

小學階段的數學教學品質普遍不佳,最終必會有人怪罪於老師能力不足,而且對數學沒什麼興趣、或不懂欣賞數學。我認為,這當中有一部分又要歸咎於大專院校的師資培養課程中,很少或根本不強調數學。以我自己的教學經驗來說,我教過的學生中,表現最差的是中學生,而不是大學主修數學的學生。準小學老師的數學背景也很糟,很多時候甚至根本沒有相關的數學教學經歷。

而每所小學聘用一、兩位數學專才,在學校裡每天分別到不同班級輔導(或教授)數學,或許可以解決部分問題。有時我認為,如果大學數學教授和小學老師每年可以交換個幾星期,會是個好方法。同樣的,把主修數學的大學生和研究生交到小學老師手裡,不會造成傷害(事實上,後者或許能從前者身上學到一些東西)。而三、四、五年級的小學生則可以在完全適任的老師教導下,接觸到數學謎題與遊戲,將可大大獲益。

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圖/envato

稍微打個岔,謎題與數學之間很有關係,而且相關性會一直延續到大學與研究階段的數學。當然,把謎題換成幽默也通。我在《數學與幽默》(Mathematics and Humor)書中試著說明,數學和幽默都是某種益智遊戲,與猜謎、解題、遊戲和悖論多有共通之處。

數學和幽默都是把概念組合、拆開再拼回來,然後從中得到樂趣。慣用的手法包括並列、歸納、迭代和倒向(比方說「aixelsyd」就是把「dyslexia」﹝閱讀障礙﹞的字序倒過來)。那麼,如果我放寬這個條件,但緊縮另一個條件會怎樣?某一個領域的概念(像是綁辮子),和另一個看來完全不同領域的概念(如某些幾何圖形的對稱性)有什麼共通點?當然,即便不是數盲,可能也不熟悉數學這個面向,因為你必須要先具備一定程度的數學概念,才可以拿來耍弄。其他像獨創性、不協調感以及精簡的表達,對於數學和幽默來說也都同樣重要。

可能有人說過,因為所受訓練之故,數學家有一種特殊的幽默感。他們往往會接受字面意義,但字面上的解讀又常和標準用法的意義不同,因此很好笑。比方說,哪種運動比賽時要蓋臉?答案是,冰上曲棍球以及痲瘋病人拳擊(按:原文「Which two sports have face-offs」,「face-off」其中一個字面意義為「蓋臉」,而這也是冰上曲棍球常用的術語,意指「爭奪球權」)。他們也很沉溺於歸謬法(reductio ad absurdum),或設定極端前提條件然後做邏輯演練,以及各式各樣的字組遊戲。

如果可以透過小學、中學或大學階段的正式數學教育,或是非正式的數學科普書籍,傳達數學有趣的面向。我認為,數盲就不會像現在這麼普遍。

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——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》,2023 年 11 月,大牌出版,未經同意請勿轉載。

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《奧本海默》中被遺忘的火星人數學家馮紐曼和波利亞——《科學月刊》
科學月刊_96
・2023/11/03 ・5466字 ・閱讀時間約 11 分鐘

  • 作者/劉柏宏
    • 勤益科技大學基礎通識教育中心教授
  • Take Home Message
    • 電影《奧本海默》中,對於幾位匈牙利數學家如馮紐曼、波利亞等人的描述篇幅較少,但他們其實對科學界影響深遠。
    • 馮紐曼在曼哈頓計畫中建議以內爆透鏡設計原子彈,不僅所需的裂變材料較少,又可以防止原子彈過早引爆,達成更對稱與高效的爆炸。
    • 波利亞提出以「捷思法」等強調歸納實驗的方式思考數學問題,例如觀察找出數學公式的形成,此法也掀起了數學教育革命。

遊艇緩緩流動在分隔布達區(Buda)與佩斯區(Pest)的多瑙河上,絲絨般的水波、柔棉沁涼的河風,兼容哥德式與文藝復興建築風格的匈牙利國會大廈(Hungarian Parliament Building)圓頂,在夕陽的烘托之下宛如紅寶石般璀璨,流瀉出昔日奧匈帝國的風華。

筆者來到此地,終於可以想像為何 100 年前這條河的兩岸能夠孕育出一批改變科學面貌,甚至改變人類歷史的數學家與科學家。趁著今(2023)年暑假到布達佩斯開會之便,筆者也試著踏尋這些科學家的足跡。

回臺灣之後恰逢電影《奧本海默》(Oppenheimer)上映,儘管許多人聚焦在主角奧本海默(Julius Oppenheimer)的內心世界,不過筆者更關心的是幾位被火星人遺留在地球上的匈牙利數學家。

地球上的火星遺民

20 世紀初歐美科學圈流傳著一個神祕的傳說,記錄下這傳說的是匈牙利物理學家馬克思(György Marx),但傳說起源卻得從義大利物理學家費米(Enrico Fermi)說起。

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1950 年某個夏日午後,費米在美國原子彈曼哈頓計畫(Manhattan Project)的基地——洛斯阿拉莫斯國家實驗室(Los Alamos National Laboratory),和幾位科學家聊到當時有關幽浮的報導時,提出了一個問題:

「宇宙如此浩瀚,包含無數恆星,許多恆星和太陽沒什麼差別,也有行星圍繞著它們旋轉。一部分的行星地表也會有水和空氣,而來自恆星的能量將促使有機化合物合成。

這些化學物質將相互結合產生一個自我複製系統。最簡單的生物會通過自然選擇繁殖、進化並變得更加複雜,直到最終出現活躍的、會思考的生物,文明、科學和科技隨之而來。

由於對美麗新世界的渴求,他們會旅行到附近行星,然後到另一個恆星的行星。他們最終應該遍布整個銀河系。這些非凡和傑出的人很難忽視像地球這樣美麗的地方。

所以,如果真是如此,他們必定來過這裡。那麼,他們到底在哪裡?」

關於這個「費米問題」,匈牙利物理學家西拉德(Leo Szilard)的回應是:「他們就在我們身邊啊!只是他們自稱匈牙利人!」(They are among us, but they call themselves Hungarians.)。

西拉德的高級幽默,點燃匈牙利人是火星遺民的想像,各種附和的說法紛紛出籠。有一種說法是 19 世紀末至 20 世紀初,一艘來自火星的太空船降落在地球,由於發現匈牙利的女子美麗又性感因而定居下來,繼而繁衍後代。

後來太空船要返回火星時超重,不得不將一些人留下,這些人包括建議當時美國總統羅斯福(Franklin Roosevelt)發展原子彈的信函主要起草人西拉德、協助潤稿的泰勒(Edward Teller)和諾貝爾物理學獎得主維格納(Eugene Wigner),還有化學獎得主歐拉(George Olah)與波拉尼(John Polanyi)、經濟獎得主哈薩尼(John Harsanyi);以及數學家艾迪胥(Paul Erds)、波利亞(George Pólya)、馮紐曼(John von Neumann)、哈爾默斯(Paul Halmos)、拉克斯(Peter Lax)等人。

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這幾位科學界的火星遺民有許多共同點:他們都出生於匈牙利。

除了喜歡雲遊四海的艾迪胥外,他們後來都移居並任教於美國的大學;他們思考問題時都喜歡來回踱步;另有一個最不可思議的共同點——他們都是猶太人。

至於為何火星人特別鍾情猶太人?這可能又是另一個「費米問題」。

《奧本海默》的最大遺珠——馮紐曼

筆者本次開會的地點在羅蘭大學(Eötvös Loránd University),該校在過去不同時期曾名為布達佩斯大學(University of Budapest)、帕茲馬尼-彼得大學(Pázmány Péter Catholic University)。

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該校培育出不少數學家與科學家,而馮紐曼是箇中翹楚。

馮紐曼出身於布達佩斯的富裕猶太家庭,父親是位對他有很深期待的銀行家,希望兒子能往化學工程發展,但馮紐曼卻對數學情有獨鍾。有許多關於他的數學傳奇事蹟,例如 6 歲能心算八位數除法,8 歲熟悉微積分,15 歲開始學高等微積分,19 歲已經發表兩篇數學論文。

最後馮紐曼不違父願也無逆己志,不僅在蘇黎世理工學院(Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, ETH)讀化工,同時也在帕茲馬尼-彼得大學研修數學博士。

有鑑於在 19 世紀末和 20 世紀初,德國數學家康托爾(Georg Cantor)的集合論導致某些推論會產生矛盾難題,即使在當時產生的矛盾並非集合論的核心,但在嚴格檢驗非核心的部分時,邏輯上還是會發現一些瑕疵,因此馮紐曼選定了與集合論基礎有關的內容深入研究。

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他的博士論題目為〈一般集合論的公理化構造〉(Az általános halmazelmélet axiomatikus felépítése),並於 1926 年同時取得兩所大學的博士學位。

而後在洛克菲勒基金會(Rockefeller Foundation)的資助下,他前往德國哥廷根大學(University of Göttingen),師從德國數學家希爾伯特(David Hilbert)。

1933 年為逃避納粹對猶太人的迫害,馮紐曼應聘前往美國普林斯頓高等研究院(Institute for Advanced Study),在那裡開始專研計算機科學,同時也結識了奧本海默。

馮紐曼(右)和奧本海默(左)。圖/科學月刊

建議原子彈採用「內爆式」設計的馮紐曼

由於馮紐曼的博學與優異數學計算能力,奧本海默聘請他作為曼哈頓計畫的顧問,主要負責兩項任務:一是研究內爆透鏡的概念和設計,二是負責預估炸彈爆炸的規模、死亡人數,以及炸彈爆炸的離地距離以達到最大效果。

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什麼是內爆透鏡?當時曼哈頓計畫考慮的核分裂方式有兩種,一種是「槍式核分裂」(gun-type fission)設計,另一種則是「內爆透鏡」(implosion lens)的設計。

槍式核分裂設計是仿造子彈的射擊方式,利用常規炸藥將一塊次臨界物質射向另一塊可裂變物質,使可裂變物質達到臨界質量(圖一)。

圖一、槍式核分裂設計的原子彈。原理是利用炸藥將一塊次臨界物質射向另一塊可裂變物質(鈾),使可裂變物質達到臨界質量,投擲於廣島的「小男孩」就是採用此設計。圖/科學月刊

槍式核分裂使用鈾(uranium, U)作為裂變材料,二戰時投擲於日本廣島的「小男孩」(Little Boy)就是採用槍式設計。但由於當時鈾的存量並不足夠,因此必須發展另一種形式的原子彈,也就是內爆透鏡設計。

內爆透鏡設計以鈽(plutonium, Pu)作為裂變材料,在空心的球狀空間內放置鈽,並在球形鈽彈周圍放置炸藥。這些炸藥爆炸同時產生的強大內推壓力將會擠壓球形鈽彈,引發連鎖反應造成核爆(圖二)。

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圖二、內爆透鏡設計的原子彈。它以鈽為裂變材料,空心的球狀空間內含鈽,並在鈽彈周圍放置炸藥,炸藥爆炸時產生的強大內推壓力會擠壓鈽彈,引發連鎖反應造成核爆,這也是投放到長崎的「胖子」設計原理。圖/科學月刊

馮紐曼評估之後,認為「內爆式」設計優於「槍式」設計,且內爆型原子彈所需的裂變材料較少,又可以防止過早引爆以達成更為對稱與高效的爆炸,因此建議奧本海默改發展內爆式核彈,這就是二戰時被投放到日本長崎的原子彈——「胖子」(Fat Man)。馮紐曼在曼哈頓計畫中的角色如此關鍵卻被電影所忽略,確實令許多人不平。

馮紐曼從小嶄露他的優異天賦且記憶力驚人,除數學領域之外在諸多科學分支也有所涉獵且精通。他的聰慧早已獲得同儕的認同與讚譽,常被稱為數學界最後一位通才。有一個流傳甚廣的傳說是某次宴會中女主人問馮紐曼一個問題:

「兩列相距 200 英里的火車正在相向行駛,每輛火車的行駛速度均為每小時 50 英里。一隻蒼蠅從其中一列火車的前面出發,以每小時 75 英里的速度在火車之間來回飛行,直到火車相撞並將蒼蠅壓死為止。蒼蠅在這段期間總共飛行了多少距離?」

一般人解這一題可能是先算第一段時間蒼蠅飛行的距離,再算第二段時間蒼蠅飛行的距離,由於蒼蠅來回飛行無限多次,距離愈來愈短,可以用無窮等比級數求和的方法得出解,但這樣的計算相當繁複。有一個更快捷的技巧是直接算出兩輛火車將於兩小時後相撞,因此得知蒼蠅總共飛行 150 英里。

馮紐曼聽完問題不一會兒就答出 150 英里,女主人對於馮紐曼沒有陷入計算無窮等比級數的陷阱感到失望,但馮紐曼竟回答:「我是用求和的啊!」若此傳說當真,顯見他驚人的計算能力。

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1963 年諾貝爾物理學獎得主維格納表示,他認識當代許多頂尖科學家,包含德國理論物理學家普朗克(Max Planck)、英國理論物理學家狄拉克(Paul Dirac)、西拉德、泰勒、愛因斯坦,但沒有一個人像馮紐曼般才思敏捷。曾有人問維格納為什麼匈牙利出現這麼多天才,維格納的回答是:「真正的天才只有馮紐曼一人。」

引發數學教育革命的波利亞

本文要介紹的第二位匈牙利數學家是波利亞。1912 年,他於布達佩斯大學取得數學博士學位後,便前往德國哥廷根大學從事博士後研究。他在哥廷根大學結識許多當代最傑出的數學家,例如希爾伯特和克萊因(Felix Klein),之後便到蘇黎世理工學院任教。相較於一般嚴謹木訥的數學家,波利亞相當擅長說故事,包含數學家的軼事和「說數學」的功力。

馮紐曼在蘇黎世理工學院修讀博士時,也曾上過波利亞的書報討論課。有次波利亞提到一個尚未解決的數學問題,他認為要證明這問題很困難,沒想到五分鐘之後馮紐曼舉手,然後在黑板上寫下證明,從此之後馮紐曼變成他最敬畏的學生。

另外,波利亞也曾談論有關希爾伯特的故事。在德國盛傳一個傳說,深受德國人敬愛的皇帝腓特烈一世(Friedrich I)沒有死亡、只是沉睡,等到德國需要他時他就會挺身而出。因此便有人問希爾伯特:「你若在死後 500 年復活,你會做什麼事?」希爾伯特說:「我會問是否有人證明了黎曼猜想(Riemann hypothesis)?」

黎曼猜想與質數分布具有密切的關係,是希爾伯特於 1900 年提出的 23 個最重要數學問題之一。有些數學家將證明黎曼猜想形容為「數學界的聖杯」,因此它的重要性可見一斑。2018 年 9 月 24 日,英國數學家阿蒂亞(Michael Francis Atiyah)宣稱他證明了黎曼猜想,此事件也曾轟動一時。

但阿蒂亞的證明還來不及得到同儕認證,便不幸於 2019 年 1 月 11 離世,截至目前為止數學界仍對阿蒂亞的證明有所質疑。所以如果希爾伯特現在真的死而復活,那他恐怕要失望了。

波利亞於 1945 年出版《怎樣解題》(How To Solve It)一書,展現他「說數學」的功力。他常強調數學有兩面,數學結果的呈現方式有如歐幾里得(Euclid)幾何學般的演繹論證形式,但數學知識發展過程卻更像是一門實驗歸納的科學。書中提倡以捷思法(heuristic)思考數學問題,例如高中時老師通常教學生如何證明 13+23+33+43+⋯+n3=,但卻很少說明究竟如何得到此公式。

波利亞則要學生先做探索觀察。例如從圖三可以發現前五個自然數的立方恰好都等於另一個自然數的平方,這樣的特殊性可以推廣為「前 n 個自然數的立方和等於某個自然數的平方嗎?」若可以推廣,某個自然數到底是哪個數?我們進一步觀察可以得到:1=1, 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4, 15=1+2+3+4+5,將這觀察和圖三結合就得到圖四中令人驚訝的結果。

圖三、前五個自然數的立方和。圖/科學月刊
圖四、前五個自然數的立方和等於前五個自然數和的平方。圖/科學月刊

這麼美麗的結果應該不會只是巧合,所以一個合理的臆測也因此誕生:「前n個自然數的立方和等於前n個自然數和的平方」,也就是 13+23+33+43+⋯+n3=(1+2+3+4+⋯+n)2。由於 1+2+3+4+⋯+n=,所以得到 13+23+33+43+⋯+n3這個「合理的」公式,接著就可以證明此結果的正確性。

由此我們看到捷思法可以展現一個數學公式形成的過程,如同在《奧本海默》電影中丹麥物理學家波耳(Niels Bohr)建議奧本海默改到哥廷根大學跟從玻恩(Max Born)學習理論物理。

波耳問奧本海默數學程度如何,並提醒他:「代數就像一本樂譜,重點不是你能否讀懂音樂,而是能否聽懂音樂。」(Algebra is like a sheet music. The important thing isn’t if you can read music; it’s if you can hear it.),波利亞的捷思法就是教我們如何聽懂音樂而不光是讀懂音樂。

在 1960 年代,美國由於憂慮太空競賽落後蘇聯,因而發起所謂「新數學」的中學數學課程改革,強調數學的抽象性,試圖讓學生早一點熟悉數學邏輯的演繹過程,但這種罔顧知識發展脈絡的改革註定以失敗告終。

1980 年代,波利亞強調歸納實驗思考過程的捷思法逐漸受到重視,掀起一波「數學問題解決」(mathematical problem-solving)的浪潮,而這股浪潮的影響也猶如核分裂的連鎖反應,持續至今。

  • 〈本文選自《科學月刊》2023 年 11 月號〉
  • 科學月刊/在一個資訊不值錢的時代中,試圖緊握那知識餘溫外,也不忘科學事實和自由價值至上的科普雜誌。
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