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現實中的「沙丘行星」:為何火星上有颳不完的塵暴?——《穿越 4.7 億公里的拜訪》

三民書局_96
・2021/11/27 ・3042字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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  • 作者/前NASA太空任務科學家 李傑信

從南極巨大冰帽逃逸出來的大量氣體,在日夜劇烈溫差的牽動下,經常引起大規模的塵暴,情況嚴重時,可覆蓋火星全球,掩遮一切地表,就如「水手九號」初臨火星時一樣,塵暴肆虐,地表深藏,一兩個月後才得平息。

塵暴來襲時,能見度極低,難以觀察地貌。圖/Pixabay

當火星塵埃滿天時,大氣吸熱能力增加,可提高火星大氣溫度攝氏 20~30 度。揚起灰塵的總量,有 7 億多立方公尺,可覆蓋火星全球地表 1/10 頭髮厚度。在地面望遠鏡觀測時代,常看到火星隔夜「山河變色」,都是因為塵暴攜帶大量灰塵所致。塵暴平息後,灰塵重新分布,大規模改變了地表顏色,面積有時可達半個美國大陸的大小。

塵暴的另一巨大功能,是對地表進行風蝕作用。「維京人號」登陸之時,科學家不但要憂慮高低不平的隕石坑,和經隕石撞擊而散落在各處的岩塊,還要憂慮火星亙古的風蝕作用,可能已把所有岩石揉成細沙,甚或流沙,可能會將登陸艇吞沒。

所以,當「維京人號」安全落地,發現腳下是堅實的土地,並還有許多大小不一的岩塊樣品留下時,對我們來說,是一個意外的驚喜。

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「維京人一號」軌道衛星,在 1976 年為「維京人二號」登陸小艇尋找登陸地點時,在北半球攝得一張所謂「火星人面像」(Face on Mars,圖 6-1)。照片中央的人面約 1,500 公尺大小,太陽由左上方以20度角射入。其他各類散布的岩塊,都有明顯風化跡象。「火星人面像」可能就是由塵暴「雕塑」成的。

圖 6-1:1976 年由「維京人一號」軌道衛星攝得之「火星人面像」。圖/NASA

「火星人面像」公布後,引起「八卦族」密切關懷,認為是「火星人」的藝術作品,對美國航太總署不肯說「實話」公布「詳情」大表不滿,紛紛提出媒體控訴,熱鬧了好一陣子。

「火星人面像」被媒體炒作 30 年後,美國航太總署在 2007 年,特別以新一代「火星勘測軌道飛行器」(Mars Reconnaissance Orbiter, MRO) 上的「高解析度成像科學設備」(High Resolution Imaging Science Experiment, HiRISE),取得一張解析度為 90 公分的高鑑別率照片(圖 6-2),秋毫畢露地呈現出「火星人面像」的確是由塵暴「雕塑」而成的礫丘。美國航太總署耐心地等候了 30 餘年的時間,認真處理了一般老百姓熱衷的火星八卦事件,「火星人面像」至此完全謝幕。

圖 6-2:美國航太總署在 2007 年 4 月 5 日取得一張高鑑別率「火星人面像」。圖/NASA

火星塵暴的確產生了大規模的風化作用,造成了包圍在北極四周的巨大沙漠和零星散布在各地的沙丘區 (sand dunes field)。比較起來,北半球受風蝕情況較為嚴重,沙礫常將隕石坑埋住,形成平坦的地表。南半球隕石坑滿布,銳利鮮明,似乎沒受到什麼塵暴的蹂躪,間或,一些構造特殊的沙丘零散其間。

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1999 年 5 月 5 日,「火星全球勘測衛星」在赫歇爾隕石坑(Herschel Crater,南緯 15 度,西經 229 度)內東側,發現一類奇怪的沙丘(圖 6-3)。沙丘中夾雜著一些深刻的紋路 (grooved),紋路中的沙子好像被強風吹走,沙丘表面猶如被膠水黏住,很像是水滲透沙丘後整體被凝固造成的效果,但真實原因仍不清楚。

圖 6-3:火星塵暴產生了大規模的沙丘。圖/Malin Space Science Systems,NASA

基準面

火星沒有海洋,沒有海平面,地勢起伏以人為規定的基準面 (Datum Surface) 為準。基準面是火星地表大氣壓為 610.7 帕的高度,在這個氣壓下,水的沸點為攝氏 0 度。火星高地,氣壓比基準面低;火星盆地、窪地,氣壓則比基準面高,概念上與地球以一大氣壓(1.013×105 帕)為海平面高度類似。

宏觀上,火星南半球地勢比基準面高,尤其在南緯 25~75 度之間,可高出基準面 2.5 公里至 6.5 公里不等;相反地,北半球地勢低窪,平均在基準面下 2 公里多,唯有連綿 4,000 公里的塔西斯高地高出基準面有 5 公里之多。

但沒人知道火星的南、北兩半球地勢差形成的原因。

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塔西斯高地,包括西北方的奧林帕斯山,組成了太陽系第一火山群奇觀。發育不良的火星可謂卯足了勁,噴出了太陽系最偉大的火山,爭取到人類對它的尊敬和讚嘆。

從塔西斯高地往東南方望過去,在赤道南邊,有一條 4,500 公里長、寬 250 公里、深 8 公里的水手號谷。在地球上,美國大峽谷長 450 公里、寬 25 公里、深 1.5 公里,可輕易裝入水手號谷支谷裡。東非大裂谷,長可略比,但寬、深不及。從火星軌道上觀看,水手號谷像是被刀子刮出一道深深的傷痕,中間寬,近圓形,兩邊以錐形向東、西方向射出。小個兒火星,又創出另一個太陽系奇觀。除搶眼的水手號谷和巨大的火山口外,圖 6-4上還有一條由南向北長達 4,000 多公里的凱西谷 (Kasei Valles),構成塔西斯高地的東緣,如地球的長江大河,清晰可見,是火星上最大的一條乾涸河道。

圖 6-4:火星赤道南邊的水手號谷。圖/NASA,USGS

雖然地質學家目前還搞不清楚塔西斯高地形成的原因,但水手號谷可能是它闖出的禍。原因是造高地需要材料,從地下吸,會引起在水手號谷處塌方。另一個理論認為,水手號谷是火星初期的板塊運動撕出的裂谷,但火星比地球小很多,散熱快,內部熔融的地函迅速凝固,板塊運動早已胎死腹中,未能繼續發展。

在多次去加州噴射推進實驗室出差期間,有一張奇特的水手號谷照片引起了作者極大的興趣。這是一張由東(南緯 12 度,西經 65 度)朝西向水手號谷中央(南緯 8 度,西經 75 度)望去,非常接近火星地表的俯瞰圖片(圖 6-5),谷壁結構清晰,支谷錯綜複雜,天地交接處,谷景開闊,氣勢磅礴。谷外地形平坦,隕石坑零星分布。這張照片有很多標題,作者最喜歡的是:「如身臨其境」(The next best thing to being there.)。

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圖 6-5:由東朝西向水手號谷中央望去的俯瞰圖片。圖/NASA/JPL/ USGS/ 李佩芸

作者託同事打聽,找到了這張照片的作者,是當今在噴射推進實驗室工作的李佩芸,加州理工學院電腦博士,是一位傑出的電腦模擬科技領導人才。她和她的工作小組成員使用「維京人號」原始高空照片,在電腦上轉換成低角度俯視,並增加谷深 5 倍,共用了 842 百萬位元組。這些成果被美國地質觀測所 (U.S. Geological Survey, USGS) 採納,製成低空飛越水手號谷的錄影帶,供大眾觀賞。

「火星全球勘測衛星」於 1998 年 1 月 1 日傍晚,在繞火星第 80 圈時,攝得一幅鑑別率高達 6 公尺的水手號谷中一個小谷脊照片,涵蓋了 9.8 公里×17.3公里的面積(圖 6-6)。照片中央為平坦的小谷脊,最寬處近 6 公里,兩邊斜坡陡峻,呈束狀,向北(圖上方)、南(圖下方)兩方向滑去。岩石結構多層次,由數公尺到數十公尺不等。在地球上,這類地形可能由沉積而成,如亞利桑那州的大峽谷,或由火山形成,如夏威夷考艾島(Kauai)上的威美亞山谷 (Waimea Canyon)。這些層次分明、厚實的岩石結構,說明了火星地質成因有著豐富和活躍的歷史背景。

若由水手號谷大膽朝南方高緯度方向邁出,最終會抵達南極。

圖 6-6:水手號谷中一個高鑑別率的小谷脊照片。圖/NASA,USGS

——本文摘自《穿越4.7億公里的拜訪:追尋跟著水走的火星生命》,2021 年 7 月,三民

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快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

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連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

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在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

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地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

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地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

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許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

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地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

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此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

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《奧本海默》中被遺忘的火星人數學家馮紐曼和波利亞——《科學月刊》
科學月刊_96
・2023/11/03 ・5466字 ・閱讀時間約 11 分鐘

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  • 作者/劉柏宏
    • 勤益科技大學基礎通識教育中心教授
  • Take Home Message
    • 電影《奧本海默》中,對於幾位匈牙利數學家如馮紐曼、波利亞等人的描述篇幅較少,但他們其實對科學界影響深遠。
    • 馮紐曼在曼哈頓計畫中建議以內爆透鏡設計原子彈,不僅所需的裂變材料較少,又可以防止原子彈過早引爆,達成更對稱與高效的爆炸。
    • 波利亞提出以「捷思法」等強調歸納實驗的方式思考數學問題,例如觀察找出數學公式的形成,此法也掀起了數學教育革命。

遊艇緩緩流動在分隔布達區(Buda)與佩斯區(Pest)的多瑙河上,絲絨般的水波、柔棉沁涼的河風,兼容哥德式與文藝復興建築風格的匈牙利國會大廈(Hungarian Parliament Building)圓頂,在夕陽的烘托之下宛如紅寶石般璀璨,流瀉出昔日奧匈帝國的風華。

筆者來到此地,終於可以想像為何 100 年前這條河的兩岸能夠孕育出一批改變科學面貌,甚至改變人類歷史的數學家與科學家。趁著今(2023)年暑假到布達佩斯開會之便,筆者也試著踏尋這些科學家的足跡。

回臺灣之後恰逢電影《奧本海默》(Oppenheimer)上映,儘管許多人聚焦在主角奧本海默(Julius Oppenheimer)的內心世界,不過筆者更關心的是幾位被火星人遺留在地球上的匈牙利數學家。

地球上的火星遺民

20 世紀初歐美科學圈流傳著一個神祕的傳說,記錄下這傳說的是匈牙利物理學家馬克思(György Marx),但傳說起源卻得從義大利物理學家費米(Enrico Fermi)說起。

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1950 年某個夏日午後,費米在美國原子彈曼哈頓計畫(Manhattan Project)的基地——洛斯阿拉莫斯國家實驗室(Los Alamos National Laboratory),和幾位科學家聊到當時有關幽浮的報導時,提出了一個問題:

「宇宙如此浩瀚,包含無數恆星,許多恆星和太陽沒什麼差別,也有行星圍繞著它們旋轉。一部分的行星地表也會有水和空氣,而來自恆星的能量將促使有機化合物合成。

這些化學物質將相互結合產生一個自我複製系統。最簡單的生物會通過自然選擇繁殖、進化並變得更加複雜,直到最終出現活躍的、會思考的生物,文明、科學和科技隨之而來。

由於對美麗新世界的渴求,他們會旅行到附近行星,然後到另一個恆星的行星。他們最終應該遍布整個銀河系。這些非凡和傑出的人很難忽視像地球這樣美麗的地方。

所以,如果真是如此,他們必定來過這裡。那麼,他們到底在哪裡?」

關於這個「費米問題」,匈牙利物理學家西拉德(Leo Szilard)的回應是:「他們就在我們身邊啊!只是他們自稱匈牙利人!」(They are among us, but they call themselves Hungarians.)。

西拉德的高級幽默,點燃匈牙利人是火星遺民的想像,各種附和的說法紛紛出籠。有一種說法是 19 世紀末至 20 世紀初,一艘來自火星的太空船降落在地球,由於發現匈牙利的女子美麗又性感因而定居下來,繼而繁衍後代。

後來太空船要返回火星時超重,不得不將一些人留下,這些人包括建議當時美國總統羅斯福(Franklin Roosevelt)發展原子彈的信函主要起草人西拉德、協助潤稿的泰勒(Edward Teller)和諾貝爾物理學獎得主維格納(Eugene Wigner),還有化學獎得主歐拉(George Olah)與波拉尼(John Polanyi)、經濟獎得主哈薩尼(John Harsanyi);以及數學家艾迪胥(Paul Erds)、波利亞(George Pólya)、馮紐曼(John von Neumann)、哈爾默斯(Paul Halmos)、拉克斯(Peter Lax)等人。

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這幾位科學界的火星遺民有許多共同點:他們都出生於匈牙利。

除了喜歡雲遊四海的艾迪胥外,他們後來都移居並任教於美國的大學;他們思考問題時都喜歡來回踱步;另有一個最不可思議的共同點——他們都是猶太人。

至於為何火星人特別鍾情猶太人?這可能又是另一個「費米問題」。

《奧本海默》的最大遺珠——馮紐曼

筆者本次開會的地點在羅蘭大學(Eötvös Loránd University),該校在過去不同時期曾名為布達佩斯大學(University of Budapest)、帕茲馬尼-彼得大學(Pázmány Péter Catholic University)。

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該校培育出不少數學家與科學家,而馮紐曼是箇中翹楚。

馮紐曼出身於布達佩斯的富裕猶太家庭,父親是位對他有很深期待的銀行家,希望兒子能往化學工程發展,但馮紐曼卻對數學情有獨鍾。有許多關於他的數學傳奇事蹟,例如 6 歲能心算八位數除法,8 歲熟悉微積分,15 歲開始學高等微積分,19 歲已經發表兩篇數學論文。

最後馮紐曼不違父願也無逆己志,不僅在蘇黎世理工學院(Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, ETH)讀化工,同時也在帕茲馬尼-彼得大學研修數學博士。

有鑑於在 19 世紀末和 20 世紀初,德國數學家康托爾(Georg Cantor)的集合論導致某些推論會產生矛盾難題,即使在當時產生的矛盾並非集合論的核心,但在嚴格檢驗非核心的部分時,邏輯上還是會發現一些瑕疵,因此馮紐曼選定了與集合論基礎有關的內容深入研究。

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他的博士論題目為〈一般集合論的公理化構造〉(Az általános halmazelmélet axiomatikus felépítése),並於 1926 年同時取得兩所大學的博士學位。

而後在洛克菲勒基金會(Rockefeller Foundation)的資助下,他前往德國哥廷根大學(University of Göttingen),師從德國數學家希爾伯特(David Hilbert)。

1933 年為逃避納粹對猶太人的迫害,馮紐曼應聘前往美國普林斯頓高等研究院(Institute for Advanced Study),在那裡開始專研計算機科學,同時也結識了奧本海默。

馮紐曼(右)和奧本海默(左)。圖/科學月刊

建議原子彈採用「內爆式」設計的馮紐曼

由於馮紐曼的博學與優異數學計算能力,奧本海默聘請他作為曼哈頓計畫的顧問,主要負責兩項任務:一是研究內爆透鏡的概念和設計,二是負責預估炸彈爆炸的規模、死亡人數,以及炸彈爆炸的離地距離以達到最大效果。

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什麼是內爆透鏡?當時曼哈頓計畫考慮的核分裂方式有兩種,一種是「槍式核分裂」(gun-type fission)設計,另一種則是「內爆透鏡」(implosion lens)的設計。

槍式核分裂設計是仿造子彈的射擊方式,利用常規炸藥將一塊次臨界物質射向另一塊可裂變物質,使可裂變物質達到臨界質量(圖一)。

圖一、槍式核分裂設計的原子彈。原理是利用炸藥將一塊次臨界物質射向另一塊可裂變物質(鈾),使可裂變物質達到臨界質量,投擲於廣島的「小男孩」就是採用此設計。圖/科學月刊

槍式核分裂使用鈾(uranium, U)作為裂變材料,二戰時投擲於日本廣島的「小男孩」(Little Boy)就是採用槍式設計。但由於當時鈾的存量並不足夠,因此必須發展另一種形式的原子彈,也就是內爆透鏡設計。

內爆透鏡設計以鈽(plutonium, Pu)作為裂變材料,在空心的球狀空間內放置鈽,並在球形鈽彈周圍放置炸藥。這些炸藥爆炸同時產生的強大內推壓力將會擠壓球形鈽彈,引發連鎖反應造成核爆(圖二)。

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圖二、內爆透鏡設計的原子彈。它以鈽為裂變材料,空心的球狀空間內含鈽,並在鈽彈周圍放置炸藥,炸藥爆炸時產生的強大內推壓力會擠壓鈽彈,引發連鎖反應造成核爆,這也是投放到長崎的「胖子」設計原理。圖/科學月刊

馮紐曼評估之後,認為「內爆式」設計優於「槍式」設計,且內爆型原子彈所需的裂變材料較少,又可以防止過早引爆以達成更為對稱與高效的爆炸,因此建議奧本海默改發展內爆式核彈,這就是二戰時被投放到日本長崎的原子彈——「胖子」(Fat Man)。馮紐曼在曼哈頓計畫中的角色如此關鍵卻被電影所忽略,確實令許多人不平。

馮紐曼從小嶄露他的優異天賦且記憶力驚人,除數學領域之外在諸多科學分支也有所涉獵且精通。他的聰慧早已獲得同儕的認同與讚譽,常被稱為數學界最後一位通才。有一個流傳甚廣的傳說是某次宴會中女主人問馮紐曼一個問題:

「兩列相距 200 英里的火車正在相向行駛,每輛火車的行駛速度均為每小時 50 英里。一隻蒼蠅從其中一列火車的前面出發,以每小時 75 英里的速度在火車之間來回飛行,直到火車相撞並將蒼蠅壓死為止。蒼蠅在這段期間總共飛行了多少距離?」

一般人解這一題可能是先算第一段時間蒼蠅飛行的距離,再算第二段時間蒼蠅飛行的距離,由於蒼蠅來回飛行無限多次,距離愈來愈短,可以用無窮等比級數求和的方法得出解,但這樣的計算相當繁複。有一個更快捷的技巧是直接算出兩輛火車將於兩小時後相撞,因此得知蒼蠅總共飛行 150 英里。

馮紐曼聽完問題不一會兒就答出 150 英里,女主人對於馮紐曼沒有陷入計算無窮等比級數的陷阱感到失望,但馮紐曼竟回答:「我是用求和的啊!」若此傳說當真,顯見他驚人的計算能力。

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1963 年諾貝爾物理學獎得主維格納表示,他認識當代許多頂尖科學家,包含德國理論物理學家普朗克(Max Planck)、英國理論物理學家狄拉克(Paul Dirac)、西拉德、泰勒、愛因斯坦,但沒有一個人像馮紐曼般才思敏捷。曾有人問維格納為什麼匈牙利出現這麼多天才,維格納的回答是:「真正的天才只有馮紐曼一人。」

引發數學教育革命的波利亞

本文要介紹的第二位匈牙利數學家是波利亞。1912 年,他於布達佩斯大學取得數學博士學位後,便前往德國哥廷根大學從事博士後研究。他在哥廷根大學結識許多當代最傑出的數學家,例如希爾伯特和克萊因(Felix Klein),之後便到蘇黎世理工學院任教。相較於一般嚴謹木訥的數學家,波利亞相當擅長說故事,包含數學家的軼事和「說數學」的功力。

馮紐曼在蘇黎世理工學院修讀博士時,也曾上過波利亞的書報討論課。有次波利亞提到一個尚未解決的數學問題,他認為要證明這問題很困難,沒想到五分鐘之後馮紐曼舉手,然後在黑板上寫下證明,從此之後馮紐曼變成他最敬畏的學生。

另外,波利亞也曾談論有關希爾伯特的故事。在德國盛傳一個傳說,深受德國人敬愛的皇帝腓特烈一世(Friedrich I)沒有死亡、只是沉睡,等到德國需要他時他就會挺身而出。因此便有人問希爾伯特:「你若在死後 500 年復活,你會做什麼事?」希爾伯特說:「我會問是否有人證明了黎曼猜想(Riemann hypothesis)?」

黎曼猜想與質數分布具有密切的關係,是希爾伯特於 1900 年提出的 23 個最重要數學問題之一。有些數學家將證明黎曼猜想形容為「數學界的聖杯」,因此它的重要性可見一斑。2018 年 9 月 24 日,英國數學家阿蒂亞(Michael Francis Atiyah)宣稱他證明了黎曼猜想,此事件也曾轟動一時。

但阿蒂亞的證明還來不及得到同儕認證,便不幸於 2019 年 1 月 11 離世,截至目前為止數學界仍對阿蒂亞的證明有所質疑。所以如果希爾伯特現在真的死而復活,那他恐怕要失望了。

波利亞於 1945 年出版《怎樣解題》(How To Solve It)一書,展現他「說數學」的功力。他常強調數學有兩面,數學結果的呈現方式有如歐幾里得(Euclid)幾何學般的演繹論證形式,但數學知識發展過程卻更像是一門實驗歸納的科學。書中提倡以捷思法(heuristic)思考數學問題,例如高中時老師通常教學生如何證明 13+23+33+43+⋯+n3=,但卻很少說明究竟如何得到此公式。

波利亞則要學生先做探索觀察。例如從圖三可以發現前五個自然數的立方恰好都等於另一個自然數的平方,這樣的特殊性可以推廣為「前 n 個自然數的立方和等於某個自然數的平方嗎?」若可以推廣,某個自然數到底是哪個數?我們進一步觀察可以得到:1=1, 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4, 15=1+2+3+4+5,將這觀察和圖三結合就得到圖四中令人驚訝的結果。

圖三、前五個自然數的立方和。圖/科學月刊
圖四、前五個自然數的立方和等於前五個自然數和的平方。圖/科學月刊

這麼美麗的結果應該不會只是巧合,所以一個合理的臆測也因此誕生:「前n個自然數的立方和等於前n個自然數和的平方」,也就是 13+23+33+43+⋯+n3=(1+2+3+4+⋯+n)2。由於 1+2+3+4+⋯+n=,所以得到 13+23+33+43+⋯+n3這個「合理的」公式,接著就可以證明此結果的正確性。

由此我們看到捷思法可以展現一個數學公式形成的過程,如同在《奧本海默》電影中丹麥物理學家波耳(Niels Bohr)建議奧本海默改到哥廷根大學跟從玻恩(Max Born)學習理論物理。

波耳問奧本海默數學程度如何,並提醒他:「代數就像一本樂譜,重點不是你能否讀懂音樂,而是能否聽懂音樂。」(Algebra is like a sheet music. The important thing isn’t if you can read music; it’s if you can hear it.),波利亞的捷思法就是教我們如何聽懂音樂而不光是讀懂音樂。

在 1960 年代,美國由於憂慮太空競賽落後蘇聯,因而發起所謂「新數學」的中學數學課程改革,強調數學的抽象性,試圖讓學生早一點熟悉數學邏輯的演繹過程,但這種罔顧知識發展脈絡的改革註定以失敗告終。

1980 年代,波利亞強調歸納實驗思考過程的捷思法逐漸受到重視,掀起一波「數學問題解決」(mathematical problem-solving)的浪潮,而這股浪潮的影響也猶如核分裂的連鎖反應,持續至今。

  • 〈本文選自《科學月刊》2023 年 11 月號〉
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致我們青澀的初戀——踏入晴道、也英的火星世界
Mia_96
・2022/12/26 ・1800字 ・閱讀時間約 3 分鐘

「也英,你還好嗎?但願你沒有感冒,今年的火星看起來特別亮,是本世紀火星距離地球最近的時候,當我看到明亮的星星時,就覺得你彷彿在我身旁。」晴道在少年時寫給也英的信中這麼說道。

接近人生半百,當晴道再次與也英相遇後,這麼恰好的,火星再次接近地球,劇中晴道與也英於札幌天文台享受著天文景象,究竟在望遠鏡中,他們看到的景象為何會產生?

晴道與也英的人生彷彿都與天文現象班暗示性的相像,也都與天文現象彼此相關。圖/IMDb

揭開接近地球的火星之時——火星衝

太陽系中的八大行星皆繞著恆星太陽公轉,但因各行星距離太陽的遠近不同,造成公轉軌道路徑長度差異,而行星的公轉軌道與速度進一步影響著其公轉週期。八大行星中每一顆行星的公轉週期皆不一樣,也因此,造成每天行星與恆星、行星與行星間的相對位置也都有所差異。

「衝」在天文現象中意指行星(地球軌道外)與太陽、地球,連成一直線的現象。當衝發生時,代表此顆行星整夜可見,且在天空中的亮度極亮!但正如同上文所述,因每顆行星之公轉週期有所差異,所以並非每一年都會發生衝。例如劇中晴道與也英所觀測的「火星衝」,週期約為 780 天,大約每經過 2 年 49 天便會發生一次。 

衝(opposition)為太陽、地球與外行星連線之位置,若太陽、內行星與地球連線時則會稱為合(conjunction)。圖/Wikipedia

長大後的晴道、也英所觀測的火星衝發生在 2018 年,亮度極亮的火星配上恰好的觀測時間,便是觀測火星的最佳時間點!

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火星公轉太陽一圈約需 687 個地球日,代表在火星上度過的一年接近於地球的兩年(代表如果在火星上等待下一次跨年的時間會更長!)圖/Pixabay

而在 2022 年 12 月初時,也發生了一次火星衝!這次火星的視星等亮度達到 -1.9 等,預測將會是未來十年內最亮的火星衝,但如果錯過這次也沒有關係,在 2033 年時會發生亮度更亮的火星衝,目前預估視星等亮度可以達到 -2.5 等呢!(星等值越小越亮!)

因火星公轉太陽軌道並非正圓形,故每一次的火星衝亮度也皆會稍有不同。圖/臺北市立天文科學教育館

滿載希望的希望號

除卻火星衝外,日本 1998 所發射的希望號探測器(のぞみ)也是年少的也英殷切期待的天文任務。當時日本為促使國民對於火星產生興趣與探索,舉辦於希望號中搭載姓名的活動,也英的名字也跟著希望號一起進行宇宙探索。

希望號原本的目標與任務是觀察火星上大氣層,與火星受太陽風作用的影響。但在 1998 年發射後,希望號的推進器出現故障,不只大量消耗燃料,還造成希望號進入火星軌道的時間延長,後又於 2002 年受到太陽劇烈活動的影響電力系統受到破壞。最終,希望號於 2003 年 12 月失聯,未能順利完成火星的探測任務。

希望號未能順利完成任務,彷彿暗示著也英的人生也同樣遇到瓶頸與挫折。圖/IMDb

未完待續的火星之旅

火星因其醒目的紅色外觀一直為人們所關注與追尋的星球(西方更將其取名為 Mars,即為羅馬神話中的戰神),且因火星具有與地球相似的環境條件,科學家一直將火星作為移居星球的選項之一,也設想過將火星「地球化」,使其更加適合人類居住。

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但人們是否有改變火星的權利,又或者我們對於火星是否有足夠的了解,或許等到未來更多次嘗試的火星任務後才能知曉答案,正像是晴道說的:「要想知道是不是命中註定,你必須全心投入進去。」

參考資料

Mia_96
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喜歡教育又喜歡地科,最後變成文理科混雜出生的地科老師