在證明實數是不可數之後，我們可否進一步下結論說自然數的冪集合P(N)與實數的尺寸一樣大？在沒發現不可數集合之前，我們原以為無限只有一種，那就是像自然數一樣可以從0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 … 一直往下數沒有盡頭這種無限，直到這種想法被康托的證明方法擊碎。有了這個教訓，我們最好更加謹慎，任何直觀的想法都應該由嚴格的證明來確認，所以尋找證明是必要的工作。

當我們說函數 ƒ：A→B時，我們說的是某個特定的序對集合ƒ，這些序對的前項由A的元素構成而後項則由B的元素構成，所以函數ƒ的成員由序對形成。

許多人在學習中學集合論的過程中經常會聽到一個說法，那就是所有的集合都是從宇集（universe）—也就是所有集合所成的集合—裡拿出來的，彷彿先要有個上帝般的宇集，隨後所有的集合才從那裡生出。然而宇集真的存在嗎？

想像你在一個一望無際的沙灘，晶瑩的海岸由近乎純白質地的細沙構成，在陽光下閃爍著寶石般的光輝。天空有一條發出橙色亮光的細線，似有似無，那是柏拉圖世界裡的實數線投影到這個神奇星球的擬似影像。

後繼函數的功能在於從某個自然數導引出後面的自然數，構成一個有序數列。有了這個基本概念再回過頭去看無限公設，你會發現它就像多米諾骨牌一樣，單用0這張牌就可以推倒所有的牌。

有了聯集公設這個威力無窮的工具，你可以建構出任何自然數，要多大就可以有多大。

迷霧漸散，朝陽驟起。集合不再是隨意設定某種性質而建構出來的雜亂堆積，靠亂抓壯丁就能組成軍隊。現在它有了嚴格的限定條件，因而在邏輯上更加嚴謹而可靠。