不要相信你的直覺

Photo Credit：Celestine Chua

「應該是這樣吧」。

許多時候我們遇到不懂的事情，常習慣就這麼歪頭兩秒鐘，然後，彷彿答案卡在腦袋裡面一樣，搖一搖，答案噗通一聲就掉出來了。

有人稱這是直覺。

然而，很遺憾地，大多數人的直覺都不是很準，不然就不會那麼多人在樂透選號時面帶微笑，還善良地想著要捐出一半頭彩。

要是理性點，應該會很憂心忡忡地想著：

50元花下去，中三碼的機率僅有1.78%，好低。
六碼全中的頭彩機率更是低到億分之7.15，比每天車禍致死的機率億分之5.25高一點點而已，唉。

就算不講容易讓人不理性的樂透，直覺在許多時候也經不起數學的檢驗。更正確一點的說法是，直覺本來就不大準，只是這世界並沒有太多事情能搞清楚對錯，所以不容易察覺到直覺到底有多不準。好比你覺得隔壁同學暗戀你，因為她下課常問你要不要一起去合作社，但事實上她只是單純想找人陪，可是在告白之前，你無法確認這件事情的真相。

更可悲的是，就算告白成功了，你還是無法確認她是否真的愛你。

聽不懂嗎？沒關係，再長大一點就懂了。

今天，我們藉由簡單的數學統計，讓大家實際看看，直覺跟事實間的差距，恐怕比藍綠兩黨之間的差距還大。後者至少還有「無能」、「貪汙」、「讓老百姓氣到高血壓」等等諸多族繁不及備載的共同點……。嗯，他們其實蠻像的，我似乎舉錯例子了。

※直覺 vs. 數學

翻開存摺，看看最左邊的數字，將這個數字稱為「首數」，一百多萬的首數是1，六千多元的首數是6，八十幾塊的首數即是8。現在，請用直覺判斷，全台灣兩千三百萬人的存款金額首數，1~9各個數字出現的機率各自是多少呢？

均勻分布，每個數字出現的機率皆是1/9。

許多人的直覺應該此刻在腦海裡吶喊著這個答案，還帶點不屑。

要是順從直覺，按照這個邏輯繼續推理下去，使用歐元的人的存款金額首數，日本人的日幣存款金額首數，每個數字出現的機率應該也都是1/9的均勻分布。沒理由這項統計數字在台灣是均勻分布，到歐洲或日本就會改變，大家理當都該一樣。

現在，當我們假設有9個人，戶頭裡各自有100、200…900元新台幣，符合均勻分布。要是銀行忽然將他們的存款改以日幣或歐元計算，會得到下表。

可以看見，首數1從出現一次，大幅增加到三與四次，首數9則消失在表格中。

考慮更一般的狀況，可以得到下面的統計分析圖。當台幣換算成歐元或日幣時，首數數字小的出現機率都比較高。

至此，可以宣告直覺失敗，輸給了所謂的「班佛定律」：以自然形式出的數字，首數是1的機率約30%，2的機率是17.6%，依序遞減，首數是8與9的機率各自僅有5.1%與4.6%。

※班佛定律是哪招

要解釋這種不直覺的遞減現象，我們得先提一個生活中的例子。

想像一條長條狀的蛋糕，蛋糕上不同區域，有不同的裝飾：有些地方是草莓、有些地方是櫻桃、還有些地方是肉桂跟大蒜。

要是有四人想分這條蛋糕，而且每種裝飾都想吃到，最常見的作法，就是先將蛋糕由上往下，切成許多片，每一片的大小符合每個人能拿到的比例，切完後依序1、2、3、4、1、2、3、4…等分。每個人再根據自己的編號，週期性地挑出屬於自己的蛋糕。如同下圖，

理想蛋糕分法

上圖就是其中一人的切法。在每隔一段距離，切下等寬的一部份。可以確保每個人拿到他該拿到的比例，且各種裝飾都能拿到。我們稱這種為「理想蛋糕分法」。

回到首數的問題。

要是統計全台灣的人銀行存款，可以畫出存款的統計分布圖，我們用下面這張示意圖表示。

x軸為線性時，首數分布不規律且不均等。

存款首數為1的區域我們用紫色表示。要是將整個曲線想成一條蛋糕，切下的紫色區域起先是一條細細的「1」，過了2~9後，再來一塊粗一點的「10~19」，這次得隔久一點，過了0~99，才會再出現更粗的「100~199」。然後，得一直等到「1000~1999」。

切下的區域分別是1、10、100、1000…切的間隔是8、80、800…。

換句話說，依據不同首數的蛋糕切法，在不同間隔間，切下大小不同的面積，不是剛才說的「理想蛋糕分法」。可能，落在300~500的櫻桃就這麼沒了。

不過，要是將x軸的金額取對數(log)，就會得到下面這張圖。

x軸為對數時，首數分布呈現「理想蛋糕分法」。

方才所說的「理想蛋糕分法」——等間隔切下同樣大小的區域，在此重現了。

因為是等間隔，不同區域的裝飾都能拿到，以取樣的角度來，就是取下來的部分能夠充分反映原來曲線的特性。

有趣的是，在對數轉換後，首數為1切下來的面積所佔比例是log₁₀2- log₁₀1=log2~30%，首數是2的比例則是log₁₀3- log₁₀2=log₁₀(3/2)~17.6%，歸納出首數為x時，所佔比例為log₁₀(1+1/x)，。

這才是真正的首數分布。

回到剛剛不同幣值的問題，如果假設新台幣的存款首數分布是依據班佛定律時，換算成歐元跟日幣後，可以得到下圖

當首數分布，符合班佛定律時，不管怎麼切換貨幣，依然遵守班佛定律。

可以看見，換算到不同貨幣後，趨勢依然相似，大致依然符合班佛定律。終於，我們看到log離家出走，離開了數學課本。

※數學界的抓猴達人，班佛定律

只要是自然產生的數據，且數據涵蓋範圍很大，首數分布即會符合班佛定律。

因此，班佛定律相當具有實際用途。好比，統計公司一年的各種報帳款項，便會看見班佛定律的存在。政府或會計師即可反過來利用班佛定律，審核公司報帳是否誠實，如果不符合班佛定律，可能就有問題了。

奈何我無法拿中華民國各級政府，或首長特別費的資料實際測試一下班佛定律的威力(也怕測出來發現不符合，大家反而會說「這不是理所當然嗎」)，只好拿2012總統大選全國各鄉鎮的投票結果來看：

2012總統大選符合班佛定律

結果相當符合班佛定律，這告訴我們，要嘛總統大選沒作票，或者作票的人精通班佛定律，再不然就是，作票的人歪打正著還是讓結果符合班佛定律了。

從一開始就說，別相信直覺了嘛。

參考資料：

• R. M. Fewster, “A simple explanation of Benford’s law,” the American Statistician, vol. 63, no. 1, pp. 26-32, Nov. 2009.

註：更多賴以威的數學故事，請參考《超展開數學教室》。