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不要相信你的直覺

賴 以威
・2013/12/31 ・2780字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 450 ・四年級

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

Photo Credit:Celestine Chua
Photo Credit:Celestine Chua

「應該是這樣吧」。

許多時候我們遇到不懂的事情,常習慣就這麼歪頭兩秒鐘,然後,彷彿答案卡在腦袋裡面一樣,搖一搖,答案噗通一聲就掉出來了。

有人稱這是直覺。

然而,很遺憾地,大多數人的直覺都不是很準,不然就不會那麼多人在樂透選號時面帶微笑,還善良地想著要捐出一半頭彩。

要是理性點,應該會很憂心忡忡地想著:

50元花下去,中三碼的機率僅有1.78%,好低。
六碼全中的頭彩機率更是低到億分之7.15,比每天車禍致死的機率億分之5.25高一點點而已,唉。

 

就算不講容易讓人不理性的樂透,直覺在許多時候也經不起數學的檢驗。更正確一點的說法是,直覺本來就不大準,只是這世界並沒有太多事情能搞清楚對錯,所以不容易察覺到直覺到底有多不準。好比你覺得隔壁同學暗戀你,因為她下課常問你要不要一起去合作社,但事實上她只是單純想找人陪,可是在告白之前,你無法確認這件事情的真相。

更可悲的是,就算告白成功了,你還是無法確認她是否真的愛你。

聽不懂嗎?沒關係,再長大一點就懂了。

今天,我們藉由簡單的數學統計,讓大家實際看看,直覺跟事實間的差距,恐怕比藍綠兩黨之間的差距還大。後者至少還有「無能」、「貪汙」、「讓老百姓氣到高血壓」等等諸多族繁不及備載的共同點……。嗯,他們其實蠻像的,我似乎舉錯例子了。

※直覺 vs. 數學

翻開存摺,看看最左邊的數字,將這個數字稱為「首數」,一百多萬的首數是1,六千多元的首數是6,八十幾塊的首數即是8。現在,請用直覺判斷,全台灣兩千三百萬人的存款金額首數,1~9各個數字出現的機率各自是多少呢?

均勻分布,每個數字出現的機率皆是1/9。

許多人的直覺應該此刻在腦海裡吶喊著這個答案,還帶點不屑。

要是順從直覺,按照這個邏輯繼續推理下去,使用歐元的人的存款金額首數,日本人的日幣存款金額首數,每個數字出現的機率應該也都是1/9的均勻分布。沒理由這項統計數字在台灣是均勻分布,到歐洲或日本就會改變,大家理當都該一樣。

現在,當我們假設有9個人,戶頭裡各自有100、200…900元新台幣,符合均勻分布。要是銀行忽然將他們的存款改以日幣或歐元計算,會得到下表。

台幣 100 200 300 400 500 600 700 800 900
日幣 357 714 1071 1429 1786 2143 2500 2857 3214
歐元 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5

 

可以看見,首數1從出現一次,大幅增加到三與四次,首數9則消失在表格中。

考慮更一般的狀況,可以得到下面的統計分析圖。當台幣換算成歐元或日幣時,首數數字小的出現機率都比較高。

uniform_firstnum

至此,可以宣告直覺失敗,輸給了所謂的「班佛定律」:以自然形式出的數字,首數是1的機率約30%,2的機率是17.6%,依序遞減,首數是8與9的機率各自僅有5.1%與4.6%。

 

※班佛定律是哪招

要解釋這種不直覺的遞減現象,我們得先提一個生活中的例子。

想像一條長條狀的蛋糕,蛋糕上不同區域,有不同的裝飾:有些地方是草莓、有些地方是櫻桃、還有些地方是肉桂跟大蒜。

要是有四人想分這條蛋糕,而且每種裝飾都想吃到,最常見的作法,就是先將蛋糕由上往下,切成許多片,每一片的大小符合每個人能拿到的比例,切完後依序1、2、3、4、1、2、3、4…等分。每個人再根據自己的編號,週期性地挑出屬於自己的蛋糕。如同下圖,

 

理想蛋糕分法
理想蛋糕分法

上圖就是其中一人的切法。在每隔一段距離,切下等寬的一部份。可以確保每個人拿到他該拿到的比例,且各種裝飾都能拿到。我們稱這種為「理想蛋糕分法」。

回到首數的問題。

要是統計全台灣的人銀行存款,可以畫出存款的統計分布圖,我們用下面這張示意圖表示。

linearX
x軸為線性時,首數分布不規律且不均等。

存款首數為1的區域我們用紫色表示。要是將整個曲線想成一條蛋糕,切下的紫色區域起先是一條細細的「1」,過了2~9後,再來一塊粗一點的「10~19」,這次得隔久一點,過了0~99,才會再出現更粗的「100~199」。然後,得一直等到「1000~1999」。

切下的區域分別是1、10、100、1000…切的間隔是8、80、800…。

換句話說,依據不同首數的蛋糕切法,在不同間隔間,切下大小不同的面積,不是剛才說的「理想蛋糕分法」。可能,落在300~500的櫻桃就這麼沒了。

不過,要是將x軸的金額取對數(log),就會得到下面這張圖。

logX
x軸為對數時,首數分布呈現「理想蛋糕分法」。

方才所說的「理想蛋糕分法」——等間隔切下同樣大小的區域,在此重現了

因為是等間隔,不同區域的裝飾都能拿到,以取樣的角度來,就是取下來的部分能夠充分反映原來曲線的特性。

有趣的是,在對數轉換後,首數為1切下來的面積所佔比例是log102- log101=log2~30%,首數是2的比例則是log103- log102=log10(3/2)~17.6%,歸納出首數為x時,所佔比例為log10(1+1/x),。

這才是真正的首數分布。

 

回到剛剛不同幣值的問題,如果假設新台幣的存款首數分布是依據班佛定律時,換算成歐元跟日幣後,可以得到下圖

exp_firstnum
當首數分布,符合班佛定律時,不管怎麼切換貨幣,依然遵守班佛定律。

可以看見,換算到不同貨幣後,趨勢依然相似,大致依然符合班佛定律。終於,我們看到log離家出走,離開了數學課本

※數學界的抓猴達人,班佛定律

只要是自然產生的數據,且數據涵蓋範圍很大,首數分布即會符合班佛定律。

因此,班佛定律相當具有實際用途。好比,統計公司一年的各種報帳款項,便會看見班佛定律的存在。政府或會計師即可反過來利用班佛定律,審核公司報帳是否誠實,如果不符合班佛定律,可能就有問題了。

奈何我無法拿中華民國各級政府,或首長特別費的資料實際測試一下班佛定律的威力(也怕測出來發現不符合,大家反而會說「這不是理所當然嗎」),只好拿2012總統大選全國各鄉鎮的投票結果來看:

 

2012
2012總統大選符合班佛定律

結果相當符合班佛定律,這告訴我們,要嘛總統大選沒作票,或者作票的人精通班佛定律,再不然就是,作票的人歪打正著還是讓結果符合班佛定律了。

從一開始就說,別相信直覺了嘛。

參考資料:

  • R. M. Fewster, “A simple explanation of Benford’s law,” the American Statistician, vol. 63, no. 1, pp. 26-32, Nov. 2009.

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

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賴 以威
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數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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用這劑補好新冠預防保護力!免疫功能低下病患防疫新解方—長效型單株抗體適用於「免疫低下族群預防」及「高風險族群輕症治療」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2023/01/19 ・2882字 ・閱讀時間約 6 分鐘

本文由 台灣感染症醫學會 合作,泛科學企劃執行。

  • 審稿醫生/ 台灣感染症醫學會理事長 王復德

「好想飛出國~」這句話在長達近 3 年的「鎖國」後終於實現,然而隨著各國陸續解封、確診消息頻傳,讓民眾再度興起可能染疫的恐慌,特別是一群本身自體免疫力就比正常人差的病友。

全球約有 2% 的免疫功能低下病友,包括血癌、接受化放療、器官移植、接受免疫抑制劑治療、HIV 及先天性免疫不全的患者…等,由於自身免疫問題,即便施打新冠疫苗,所產生的抗體和保護力仍比一般人低。即使施打疫苗,這群病人一旦確診,因免疫力低難清除病毒,重症與死亡風險較高,加護病房 (ICU) 使用率是 1.5 倍,死亡率則是 2 倍。

進一步來看,部分免疫低下病患因服用免疫抑制劑,使得免疫功能與疫苗保護力下降,這些藥物包括高劑量類固醇、特定免疫抑制之生物製劑,或器官移植後預防免疫排斥的藥物。國外臨床研究顯示,部分病友打完疫苗後的抗體生成情況遠低於常人,以器官移植病患來說,僅有31%能產生抗體反應。

疫苗保護力較一般人低,靠「被動免疫」補充抗新冠保護力

為什麼免疫低下族群打疫苗無法產生足夠的抗體?主因為疫苗抗體產生的機轉,是仰賴身體正常免疫功能、自行激化主動產生抗體,這即為「主動免疫」,一般民眾接種新冠疫苗即屬於此。相比之下,免疫低下病患因自身免疫功能不足,難以經由疫苗主動激化免疫功能來保護自身,因此可採「被動免疫」方式,藉由外界輔助直接投以免疫低下病患抗體,給予保護力。

外力介入能達到「被動免疫」的有長效型單株抗體,可改善免疫低下病患因原有治療而無法接種疫苗,或接種疫苗後保護力較差的困境,有效降低確診後的重症風險,保護力可持續長達 6 個月。另須注意,單株抗體不可取代疫苗接種,完成單株抗體注射後仍需維持其他防疫措施。

長效型單株抗體緊急授權予免疫低下患者使用 有望降低感染與重症風險

2022 年美、法、英、澳及歐盟等多國緊急使用授權用於 COVID-19 免疫低下族群暴露前預防,台灣也在去年 9 月通過緊急授權,免疫低下患者專用的單株抗體,在接種疫苗以外多一層保護,能降低感染、重症與死亡風險。

從臨床數據來看,長效型單株抗體對免疫功能嚴重不足的族群,接種後六個月內可降低 83% 感染風險,效力與安全性已通過臨床試驗證實,證據也顯示該藥品針對 Omicron、BA.4、BA.5 等變異株具療效。

六大類人可公費施打 醫界呼籲民眾積極防禦

台灣提供對 COVID-19 疫苗接種反應不佳之免疫功能低下者以降低其染疫風險,根據 2022 年 11 月疾管署公布的最新領用方案,符合施打的條件包含:

一、成人或 ≥ 12 歲且體重 ≥ 40 公斤,且;
二、六個月內無感染 SARS-CoV-2,且;
三、一周內與 SARS-CoV-2 感染者無已知的接觸史,且;
四、且符合下列條件任一者:

(一)曾在一年內接受實體器官或血液幹細胞移植
(二)接受實體器官或血液幹細胞移植後任何時間有急性排斥現象
(三)曾在一年內接受 CAR-T 治療或 B 細胞清除治療 (B cell depletion therapy)
(四)具有效重大傷病卡之嚴重先天性免疫不全病患
(五)具有效重大傷病卡之血液腫瘤病患(淋巴肉瘤、何杰金氏、淋巴及組織其他惡性瘤、白血病)
(六)感染HIV且最近一次 CD4 < 200 cells/mm3 者 。

符合上述條件之病友,可主動諮詢醫師。多數病友施打後沒有特別的不適感,少數病友會有些微噁心或疲倦感,為即時處理發生率極低的過敏性休克或輸注反應,需於輸注時持續監測並於輸注後於醫療單位觀察至少 1 小時。

目前藥品存放醫療院所部分如下,完整名單請見公費COVID-19複合式單株抗體領用方案

  • 北部

台大醫院(含台大癌症醫院)、台北榮總、三軍總醫院、振興醫院、馬偕醫院、萬芳醫院、雙和醫院、和信治癌醫院、亞東醫院、台北慈濟醫院、耕莘醫院、陽明交通大學附設醫院、林口長庚醫院、新竹馬偕醫院

  • 中部

         大千醫院、中國醫藥大學附設醫院、台中榮總、彰化基督教醫療財團法人彰化基督教醫院

  • 南部/東部

台大雲林醫院、成功大學附設醫院、奇美醫院、高雄長庚醫院、高雄榮總、義大醫院、高雄醫學大學附設醫院、花蓮慈濟

除了預防 也可用於治療確診者

長效型單株抗體不但可以增加免疫低下者的保護力,還可以用來治療「具重症風險因子且不需用氧」的輕症病患。根據臨床數據顯示,只要在出現症狀後的 5 天內投藥,可有效降低近七成 (67%) 的住院或死亡風險;如果是3天內投藥,則可大幅減少到近九成 (88%) 的住院或死亡風險,所以把握黃金時間盡早治療是關鍵。

  • 新冠治療藥物比較表:
藥名Evusheld
長效型單株抗體
Molnupiravir
莫納皮拉韋
Paxlovid
帕克斯洛維德
Remdesivir
瑞德西韋
作用原理結合至病毒的棘蛋白受體結合區域,抑制病毒進入人體細胞干擾病毒的基因序列,導致複製錯亂突變蛋白酵素抑制劑,阻斷病毒繁殖抑制病毒複製所需之酵素的活性,從而抑制病毒增生
治療方式單次肌肉注射(施打後留觀1小時)口服5天口服5天靜脈注射3天
適用對象發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人(18歲以上)的輕症病患。發病7天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與孩童(年齡大於28天且體重3公斤以上)的輕症病患。
*Remdesivir用於重症之適用條件和使用天數有所不同
注意事項病毒變異株藥物交互作用孕婦哺乳禁用輸注反應

免疫低下病友需有更多重的防疫保護,除了戴口罩、保持社交距離、勤洗手、減少到公共場所等非藥物性防護措施外,按時接種COVID-19疫苗,仍是最具效益之傳染病預防介入措施。若有符合施打長效型單株抗體資格的病患,應主動諮詢醫師,經醫師評估用藥效益與施打必要性。

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