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不要相信你的直覺

賴 以威
・2013/12/31 ・2780字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 450 ・四年級
Photo Credit:Celestine Chua
Photo Credit:Celestine Chua

「應該是這樣吧」。

許多時候我們遇到不懂的事情,常習慣就這麼歪頭兩秒鐘,然後,彷彿答案卡在腦袋裡面一樣,搖一搖,答案噗通一聲就掉出來了。

有人稱這是直覺。

然而,很遺憾地,大多數人的直覺都不是很準,不然就不會那麼多人在樂透選號時面帶微笑,還善良地想著要捐出一半頭彩。

要是理性點,應該會很憂心忡忡地想著:

50元花下去,中三碼的機率僅有1.78%,好低。
六碼全中的頭彩機率更是低到億分之7.15,比每天車禍致死的機率億分之5.25高一點點而已,唉。

 

就算不講容易讓人不理性的樂透,直覺在許多時候也經不起數學的檢驗。更正確一點的說法是,直覺本來就不大準,只是這世界並沒有太多事情能搞清楚對錯,所以不容易察覺到直覺到底有多不準。好比你覺得隔壁同學暗戀你,因為她下課常問你要不要一起去合作社,但事實上她只是單純想找人陪,可是在告白之前,你無法確認這件事情的真相。

更可悲的是,就算告白成功了,你還是無法確認她是否真的愛你。

聽不懂嗎?沒關係,再長大一點就懂了。

今天,我們藉由簡單的數學統計,讓大家實際看看,直覺跟事實間的差距,恐怕比藍綠兩黨之間的差距還大。後者至少還有「無能」、「貪汙」、「讓老百姓氣到高血壓」等等諸多族繁不及備載的共同點……。嗯,他們其實蠻像的,我似乎舉錯例子了。

※直覺 vs. 數學

翻開存摺,看看最左邊的數字,將這個數字稱為「首數」,一百多萬的首數是1,六千多元的首數是6,八十幾塊的首數即是8。現在,請用直覺判斷,全台灣兩千三百萬人的存款金額首數,1~9各個數字出現的機率各自是多少呢?

均勻分布,每個數字出現的機率皆是1/9。

許多人的直覺應該此刻在腦海裡吶喊著這個答案,還帶點不屑。

要是順從直覺,按照這個邏輯繼續推理下去,使用歐元的人的存款金額首數,日本人的日幣存款金額首數,每個數字出現的機率應該也都是1/9的均勻分布。沒理由這項統計數字在台灣是均勻分布,到歐洲或日本就會改變,大家理當都該一樣。

現在,當我們假設有9個人,戶頭裡各自有100、200…900元新台幣,符合均勻分布。要是銀行忽然將他們的存款改以日幣或歐元計算,會得到下表。

台幣100200300400500600700800900
日幣3577141071142917862143250028573214
歐元2.557.51012.51517.52022.5

 

可以看見,首數1從出現一次,大幅增加到三與四次,首數9則消失在表格中。

考慮更一般的狀況,可以得到下面的統計分析圖。當台幣換算成歐元或日幣時,首數數字小的出現機率都比較高。

uniform_firstnum

至此,可以宣告直覺失敗,輸給了所謂的「班佛定律」:以自然形式出的數字,首數是1的機率約30%,2的機率是17.6%,依序遞減,首數是8與9的機率各自僅有5.1%與4.6%。

 

※班佛定律是哪招

要解釋這種不直覺的遞減現象,我們得先提一個生活中的例子。

想像一條長條狀的蛋糕,蛋糕上不同區域,有不同的裝飾:有些地方是草莓、有些地方是櫻桃、還有些地方是肉桂跟大蒜。

要是有四人想分這條蛋糕,而且每種裝飾都想吃到,最常見的作法,就是先將蛋糕由上往下,切成許多片,每一片的大小符合每個人能拿到的比例,切完後依序1、2、3、4、1、2、3、4…等分。每個人再根據自己的編號,週期性地挑出屬於自己的蛋糕。如同下圖,

 

理想蛋糕分法
理想蛋糕分法

上圖就是其中一人的切法。在每隔一段距離,切下等寬的一部份。可以確保每個人拿到他該拿到的比例,且各種裝飾都能拿到。我們稱這種為「理想蛋糕分法」。

回到首數的問題。

要是統計全台灣的人銀行存款,可以畫出存款的統計分布圖,我們用下面這張示意圖表示。

linearX
x軸為線性時,首數分布不規律且不均等。

存款首數為1的區域我們用紫色表示。要是將整個曲線想成一條蛋糕,切下的紫色區域起先是一條細細的「1」,過了2~9後,再來一塊粗一點的「10~19」,這次得隔久一點,過了0~99,才會再出現更粗的「100~199」。然後,得一直等到「1000~1999」。

切下的區域分別是1、10、100、1000…切的間隔是8、80、800…。

換句話說,依據不同首數的蛋糕切法,在不同間隔間,切下大小不同的面積,不是剛才說的「理想蛋糕分法」。可能,落在300~500的櫻桃就這麼沒了。

不過,要是將x軸的金額取對數(log),就會得到下面這張圖。

logX
x軸為對數時,首數分布呈現「理想蛋糕分法」。

方才所說的「理想蛋糕分法」——等間隔切下同樣大小的區域,在此重現了

因為是等間隔,不同區域的裝飾都能拿到,以取樣的角度來,就是取下來的部分能夠充分反映原來曲線的特性。

有趣的是,在對數轉換後,首數為1切下來的面積所佔比例是log102- log101=log2~30%,首數是2的比例則是log103- log102=log10(3/2)~17.6%,歸納出首數為x時,所佔比例為log10(1+1/x),。

這才是真正的首數分布。

 

回到剛剛不同幣值的問題,如果假設新台幣的存款首數分布是依據班佛定律時,換算成歐元跟日幣後,可以得到下圖

exp_firstnum
當首數分布,符合班佛定律時,不管怎麼切換貨幣,依然遵守班佛定律。

可以看見,換算到不同貨幣後,趨勢依然相似,大致依然符合班佛定律。終於,我們看到log離家出走,離開了數學課本

※數學界的抓猴達人,班佛定律

只要是自然產生的數據,且數據涵蓋範圍很大,首數分布即會符合班佛定律。

因此,班佛定律相當具有實際用途。好比,統計公司一年的各種報帳款項,便會看見班佛定律的存在。政府或會計師即可反過來利用班佛定律,審核公司報帳是否誠實,如果不符合班佛定律,可能就有問題了。

奈何我無法拿中華民國各級政府,或首長特別費的資料實際測試一下班佛定律的威力(也怕測出來發現不符合,大家反而會說「這不是理所當然嗎」),只好拿2012總統大選全國各鄉鎮的投票結果來看:

 

2012
2012總統大選符合班佛定律

結果相當符合班佛定律,這告訴我們,要嘛總統大選沒作票,或者作票的人精通班佛定律,再不然就是,作票的人歪打正著還是讓結果符合班佛定律了。

從一開始就說,別相信直覺了嘛。

參考資料:

  • R. M. Fewster, “A simple explanation of Benford’s law,” the American Statistician, vol. 63, no. 1, pp. 26-32, Nov. 2009.

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

相關標籤: 班佛定律 首數
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賴 以威
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數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室


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讓愛滋與你和平共存,一起掌握 U=U 共識!

careonline_96
・2021/10/28 ・2457字 ・閱讀時間約 5 分鐘
讓愛滋與你和平共存,一起掌握U=U共識!感染科醫師圖解說明

確診感染愛滋病毒,對三十多歲的陳小姐一開始相當衝擊,但是經過抗病毒藥物的穩定治療後,血液中的病毒量大幅降低,已連續數月都控制於驗不到病毒的狀態。

某日回診時,陳小姐問:「醫師,我還有機會懷孕、生小孩嗎?」

「可以喔!」醫師點點頭,肯定地說:「只要能好好治療,繼續將愛滋病毒量維持檢驗不到狀況,便沒有傳染風險,也可以懷孕、生產!」

許多愛滋感染者在確診後,會變得沮喪、自我懷疑,認為自己不能再與他人建立親密關係並承受外界異樣眼光。

台北市立聯合醫院仁愛院區內科部感染科主治醫師顧文瑋醫師指出,其實感染者若能穩定接受服藥治療,便可有效控制且降低血液中的病毒量,轉變如慢性病一般,同樣可以孕育下一代。

穩定治療、定期追蹤、掌握 U = U,愛滋慢性化,醫病勇敢溝通很重要!

愛滋病是由愛滋病毒(Human Immunodeficiency Virus,簡稱HIV)感染,導致病患身體免疫力降低,出現各種疾病症狀,又稱後天免疫缺乏症候群(AIDS)。

從 1980 年代開始,愛滋病與愛滋感染受到全球關注,過去種種迷思導致感染者遭受歧視困境,現今治療進步,愛滋感染已慢性化!

顧文瑋醫師解釋,愛滋病毒主要透過血液、體液傳染,但是傳染力與病毒含量多寡十分有關!「新冠疫情讓大家對病毒量的概念較為清晰!如同感染者的口水、汗水、尿液、糞便等皆不具傳染力。日常中與感染者一起上課、說話、游泳、共餐、洗衣服,都不會遭到傳染。」

此外,目前抗病毒藥物已可有效降低並控制愛滋病毒量。顧文瑋醫師說,根據研究證實,當愛滋感染者接受穩定服藥治療,讓病毒量低到偵測不到時,便不會把愛滋病毒傳給性伴侶,這就是國際重要共識「U = U」。

掌握國際U = U

何謂 U=U?檢測不到愛滋病毒,便不具傳染力

「U = U」中的第一個 U 是 Undetectable,即「檢測不到病毒」;第二個 U 是 Untransmittable,即「不具傳染力」。

顧文瑋醫師說明,愛滋感染者在穩定接受抗病毒治療後,若持續穩定追蹤血液中病毒量,控制於測不到(低於 200 copies/ml)達六個月以上,其傳播病毒的風險是可忽略的。

「後來陳小姐回診時,穩定交往的男朋友也會陪同,主動了解用藥狀況,以及未來懷孕、生產該注意的事項。」顧文瑋醫師分享,「妥善穩定治療,讓愛滋病毒低到測不到,便沒有傳染風險,是非常重要的觀念!」

台灣愛滋防治成績卓越

感染者與醫師攜手向前,掌握 U=U! 台灣愛滋防治成績更卓越!

防治愛滋在世界各國皆是重要的任務,聯合國愛滋病規劃署(UNAIDS)就曾提出 3 個「90-90-90」的目標,希冀 2030 終結愛滋感染,期待朝向完善、全人的愛滋照護前進。

台灣經過多方努力,已達成「90-92-95」的成績,可謂領先亞洲其他國家;表示 90% 愛滋感染者已知自己的感染狀況;92% 已知感染狀況者已穩定接受服藥治療;95% 穩定治療者能有效控制病毒量,達到 U=U!

「我們希望宣導 U = U 的概念,讓愛滋感染者理解抗病毒治療的重要性,只要穩定接受藥物治療,即可將愛滋感染轉成一慢性病,對於感染者來說,也不會持續承受巨大壓力。」顧文瑋醫師強調,「面對愛滋感染是一輩子的事情,如同一般慢性病控制!感染者若有任何治療或身體健康疑問,都可以主動提出與醫療團隊討論,醫師才能根據生活、工作的需求,適時調整藥物。」

主動積極防治愛,讓愛無礙不困難!

主動積極防治愛,讓愛無礙不困難!

除了感染者自身積極治療外,民眾應更加全面理解、認識愛滋感染,並放下過去的焦慮與歧見。目前也越來越多臨床醫師願意主動了解愛滋治療、U=U 國際共識,並加入以人為本的病患照護。醫師們更在意如何為病患提供適合的治療與幫助,看重疾病治療本身而非存有歧視眼光,不論是民眾、醫護、政府與感染者,我們都希望一同營造更友善、平等的環境!

顧文瑋醫師叮嚀,感染愛滋僅有高風險行為,並沒有特定族群之分!民眾應維持單一固定性伴侶,性行為時務必全程正確使用保險套,可同時預防其他性傳染病感染。疾病管制署目前也有提供免費匿名愛滋篩檢,只要有性行為的民眾,建議至少進行一次篩檢;若有無套性行為者,建議每年至少進行一次篩檢;若為高風險感染者,建議每 3 至 6 個月篩檢一次。一旦感染需及早就醫治療,並檢驗愛滋病毒,切勿共用注射針頭、針筒、稀釋液。懷孕婦女需接受愛滋病毒檢查,若確診,便要儘快接受治療、穩定控制病毒量,讓愛無礙不困難。民眾對愛滋感染與愛滋病有任何疑問,務必諮詢專業醫療人員!


更多愛滋衛教資訊,請參考以下協會:

台灣露德協會

台灣基地協會

愛滋感染者權益促進會

台灣愛之希望協會

台灣紅絲帶基金會

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