0

1
0

文字

分享

0
1
0

數學差,不是你的錯@《一個數學家的嘆息》

鄭國威 Portnoy_96
・2013/06/26 ・2106字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 531 ・七年級

先說個我自己的真實故事吧。

我小學的時候在學校功課排名前列,主要的原因是因為我就讀的學校規模非常小,一個年級才兩班,競爭不激烈,另一個原因是我的確有點小聰明,而且蠻喜歡唸書。那年頭,學業功課好,加上比較聽老師的話,很容易就獲得其他課外表現的機會,代表班級或學校去外頭參加比賽,也因此當了好幾年的模範生,拿了個縣長獎畢業。囂張的咧。數學?對學過珠心算的我太簡單了!

但一上了國中,全都變了。我依舊很用功、大部分的科目考試成績不是滿分就是逼近滿分,但唯有數學,我連及格的一半都拿不到。「數學」,光是看到這兩個字就足以讓我產生頭昏想吐的感覺,甚至還更嚴重些,會緊張到冒汗、肚子痛。老師在黑板上用大大的三角尺跟大圓規畫的圖依舊精美,板書我能抄的都抄了,但我就是沒辦法理解這些數字跟圖形的邏輯。我慌了。

於是我開始竄改成績單、竄改考卷分數,或是跟大雄一樣,總是以考卷沒帶回家或是丟了為藉口,不讓父母簽名。雖然現在回想起來真是很傻,但當時的我真的快被數學逼瘋了,每天提心吊膽。

升上國二,狀況依舊沒變,但班導師換成了另一位在學校號稱王牌的數學老師。一天晚上,全家人都在客廳看電視的時候,電話響起,我坐在接起電話的父親對面,聽到他對話筒說「喔!老師好!」的時候,我的眼淚無法克制地決堤了。

好消息是,後來在新任班導師的細心教導之下,我的數學解題能力提升了很多,應該說,他讓我學會用我能理解的方式把答案交出來。我心知肚明,我雖然同樣考90分、100分,但跟班上數學真的好的同學比起來,我的程度還是很差。我順利考上第一志願的高中,但我完全沒有跟父母商量,就決定去唸文組。因為那種根深柢固對數學的恐懼,始終沒有離去,高中的數學對我來說更是百倍猙獰的惡魔。

於是我大學唸外語、研究所唸傳播,但也避開做量化研究。工作之後,做各式各樣的計畫,只要跟數學、算錢、預算有關,我就推掉。我生活節約,不想花錢,因為我不想算數學。但如果我花錢,我也不太在乎多少錢,有沒有打折,也不記錄開支,因為我不想算數學。我也不做任何投資理財,一切都交給家人處理。

我不知道打開這本書的你是誰。是同樣害怕數學的學生,還是正在讓學生害怕數學的老師,抑或是擔憂孩子數學成績,正在物色補習班或家教老師的父母親。如果你都不屬於這三者,而是一個非常喜歡數學的人,那麼我反而要問:怎麼可能?

這本書的英文原名是「一位數學家的嘆息」(A Mathematician’s Lament),本來也不是一本書,而是一篇2002年起開始在美國數學教師社群中流傳的文章。我看了前五頁,就覺得受震撼。而這種震撼,是一種「總算有人了解我的感覺」加上「曾經的恐懼跟傷疤又被碰觸」的綜合感受。每多讀一段,就越覺得明朗,了解自己為何當初會那麼畏懼數學。一口氣看完全書,彷彿是做了一次心理療程,把這段影響我人生選擇至巨的數學夢魘給重新詮釋了,原來數學差,並不是我的錯。

作者將數學與繪畫、音樂相比,突顯出數學教育之僵硬跟死板。原來問題就是出在我們看待這門學科的角度完全錯誤,將數學當作其他理科的基礎,要求絕對的精準跟正確,按照既定的公式,強調快速(為了考試)、強調術語(為了顯得專業)、強調一切大部分人在日常生活中根本使用不到的東西(為了培養數學家……但到底為甚麼每個人都要被培養成數學家呢?)

是甚麼讓這樣的教學結構如此穩固?是教科書跟參考書出版社、補習班產業、還是學校教育本身?看完這本書,我再次確認肯.羅賓森爵士(Sir Ken Robinson) 2006 年在TED 大會上的演說的確一點沒錯:「學校扼殺了創意」,而且是刻意為之。

因為當代的教育制度繼承自工業革命時期,所以教育的目的就是為了創造工業需要的人才,到現在也沒有改變。大量產出工業需求的一致性勞動力是學校教育的目標,因此教學方式必須要有效率、必須要全國一致。美其名是公平,實際上是奴役。如今結合了教科書業者、補習班業者,成了龐大的教育控制複合體。

數學教育特別嚴重。數學本該是供人無限想像空間的學科,因為不管思考的數學題目多麼天馬行空,多麼不切實際,都無所謂,沒有任何現實會受到傷害,除了成績單。因為害怕錯誤、對分數錙銖必較,有太多像我一樣的學生用背誦的方式學數學,靠著不斷解參考書跟考卷上的題目來磨練自己動筆的速度,但從來沒有體會過數學的樂趣,連想都沒想過數學會是有趣的。

大多數看過這本書的國外讀者都給予很高的評價,或許因為作者揭開了國王新衣的真相,但作者除了對數學教育拋出銳利無比的批判,也在書的第二部分嘗試用他覺得真正對學生有益處的教學方式與每一位讀者互動。雖然作者只給了幾個案例,但我看見了他想要帶領學生進入的數學奇妙世界是甚麼樣子,而我也好希望在我國中或是更小的時候,就能夠看見這個世界。如果你是學生,希望這本書可以讓你重拾對自己的信心。如果你是老師,請審視自己到底是在教學還是扼殺學生。如果你是家長,請理解你的孩子正在遭受折磨,而那本不該發生,也不該是他的錯。

本文為《一個數學家的嘆息》之推薦序(經濟新潮社出版)


數感宇宙探索課程,現正募資中!

文章難易度

0

3
1

文字

分享

0
3
1

莫比烏斯把紙帶轉了幾圈——《數學,這樣看才精采》

天下文化_96
・2022/05/21 ・2870字 ・閱讀時間約 5 分鐘
莫比烏斯環。圖/David Benbennick, CC BY-SA 3.0

記得 2018 年初我在谷歌搜尋引擎裡打入「莫比烏斯」,出乎我意料之外第一頁跳出的全是關於電影《莫比烏斯》的訊息。我本來對此電影毫無所知,瞄了一下摘要文字,原來是一部沒有臺詞,內容又涉及閹割和亂倫的韓國電影,真是有點讓人感覺噁心。

再用英文 Mobius 打入谷歌,結果出來的都是電玩《莫比烏斯 Final Fantasy》的訊息。這是一款可以在手機上單打獨鬥的遊戲,需要操作喪失記憶的主角與各種魔物在未知世界裡廝殺。其實我想找的是數學家莫比烏斯(August Ferdinand Möbius),哪裡知道他的大名已經移植到與數學不相干的場域。

天文學家的數學遺產

數學家莫比烏斯(August Ferdinand Möbius)。圖/Adolf Neumann, 公有領域

日爾曼地區在莫比烏斯出生的時候,還沒有一位國際知名的數學家。但當他過世時,日爾曼的數學家已經發揮強大的影響力,吸引各國年輕人紛紛前來學習。這種巨大轉變的產生,關鍵性因素是高斯的橫空而出,徹底革新了數學的面貌。

1815 年莫比烏斯曾去哥廷根跟隨高斯學習理論天文學,次年進入萊比錫(Leipzig)天文臺擔任觀察員。十九世紀初的日爾曼世界,當天文學家遠比數學家有更良好的聲譽和安穩的待遇。高斯跟莫比烏斯同樣是寒門出身,不也在 1807 年開始終身領導哥廷根天文臺嗎?

莫比烏斯雖然最終成為萊比錫大學的天文學正教授,但是時至今日他所留下的學術遺產,卻是在數學裡多方面的貢獻,最有趣的是他晚年所發現的一條極簡單又美妙的環帶:莫比烏斯環帶。

請讀者拿一張長紙條,把一端轉 180 度與另一端黏在一起,便完成了神奇的莫比烏斯環帶。這個環帶突出的特性是它只有單面,不像原來的紙帶有正反兩面。那麼有一個面到哪裡去了?當你沿著紙帶表面向前走到原來的一端時,因為已經做過半圈的旋轉,你現在就滑入了原來紙帶的背面。於是在莫比烏斯環帶上走啊,走啊,永遠不需要翻過側緣,也永遠碰不到盡頭。

在空間裡看起來扭曲的莫比烏斯環帶壓扁到桌面上,就得到圖 17-1 左邊的平面摺疊圖形。此圖與右邊谷歌雲端硬碟的商標(2012–2014)很相似,相異之處在於商標左側的那段紙帶是在底側紙帶的上面。

其實,我們可以用摺紙方法製作這個商標。首先拿出一張長條紙,我們要在一端摺出一個60度底角。

在圖 17-2 裡,先把長條紙上下邊緣對齊,產生一條中線。然後把左邊緣的線段 DO 往中線摺疊,使得點 D 碰觸到中線上的點 A,於是角 BOC 就剛好是60度。為什麼呢?讓我們從 A 作垂直線段 AB,假設 AB 的長度是 1,則 AO = DO 便為長度 2。從三角關係便知角 AOB 為 30 度,從而角 AOD 就等於 60 度;但因角 AOC 與角 COD 相等,所以角 AOC 也是 30 度,那麼角 BOC 只好是 60 度了。

在長條紙上摺出了 CO 這條摺痕,接著我們用剪刀沿著 CO 剪下去,把三角形 COD 丟掉。然後把 O 點摺到上緣,使得線段 CO 與上緣邊線重合,就會產生一個正三角形。下一階段用這個正三角形做為模板,把長條紙反復摺疊,打開後修剪掉右邊多餘的紙條,就成為具有 15 個正三角形摺痕的紙條,如圖 17-3。

最後沿兩條粗摺線(在摺紙的術語裡,左邊的虛線稱為谷摺、右邊的點虛線稱為山摺),把左段摺在前面,右段摺到背面,右端放在左端上面,用膠紙黏合,就得到谷歌雲端硬碟的商標。如果仿照旋轉紙帶製作莫比烏斯環帶的方法,我們可以抓緊長條紙帶一端,把另一端同方向旋轉三個 180 度後黏合,然後壓扁到平面上,也會得到商標的圖形,只是邊的長度也許沒那麼整齊。

環帶的靈感何處來?

有人說莫比烏斯是偶然間發現了這樣的環帶,其實這是有點戲劇化的講法。莫比烏斯在研究如何構成多面體時,使用了一種基本的想法,就是以黏合三角形來逐步形成多面體。為了準備參加巴黎科學院有關多面體幾何理論的競賽,莫比烏斯也研究了非封閉型(也就是會有邊界)的多面體,他從操作類似圖 17-1 的摺疊圖發現了單面曲面。在莫比烏斯身後出版的著作全集裡,收錄了一篇未曾發表的 1858 年文稿,其中包含了旋轉 3、4、5 個半圈的環帶,如圖 17-4。

可見莫比烏斯有系統的分析了這類環帶,發現旋轉半圈的次數如果是奇數,產生的環帶只有單面;但如果次數是偶數,則環帶仍然保有正反兩面。他更深刻的察覺,這些單面曲面上無法賦予明確的方向,也就是說你從一點出發,也知道當時的順時針方向為何,而當你沿著環帶遊歷一周後,雖然處處你都覺得延續了正確的順時針方向,可是返回出發點時,卻與原始的方向背反。莫比烏斯環帶破壞了所謂的可定向性,這是屬於曲面的拓撲性質,是比度量長度、角度、面積、體積更寬鬆的幾何性質。

1858 年莫比烏斯寫下單面曲面研究成果前幾個月,另外一位現在少為人知的數學家李斯廷(Johann Benedict Listing)已經作出同樣的環帶。莫比烏斯要到 1865 年才在公開發表的著作裡披露單面環帶,而李斯廷在 1861 年出版的專著裡,便公布了單面環帶的存在。李斯廷甚至在 1847 年出版有史以來第一本使用「拓撲學」這個名稱的書(德文書名為Vorstudien zur Topologie)。不過,今日即使想替李斯廷討個公道,把莫比烏斯環帶改名為李斯廷環帶,恐怕也無能為力了。

製作莫比烏斯環帶是如此的簡單,很難不讓人懷疑為什麼沒有人更早發現它呢?在李斯廷之前的數學文獻裡,到目前為止沒有發現有關莫比烏斯環帶的記載。那麼我們探索的對象何不轉移到各種藝術圖像呢?結果在義大利的古跡山提農(Sentinum)羅馬別墅中,發現西元前 200 年至西元前 250 年期間的地板馬賽克,正中央描繪了永恆時間之神艾永(Aion)站在一條代表黃道諸星辰的環帶之中(如圖 17-5)。當我們仔細沿著環帶移動時,能夠毫無疑義分辨出是在一條莫比烏斯環帶上游走。現在還可在多處看見古羅馬遺留下艾永的繪像、浮雕、馬賽克,然而唯有在山提農的別墅中,艾永所踩的環帶是莫比烏斯環帶。

山提農的馬賽克在 1828 年送進慕尼黑的博物館,三十年後李斯廷與莫比烏斯先後研究這個特殊的環帶,他們是否曾經去慕尼黑參觀過博物館,因而受到古羅馬人的啟示呢?我們恐怕永遠也無法確知,然而要寫一本《莫比烏斯密碼》之類的書,也許有可能編織出充滿懸疑的故事。


數感宇宙探索課程,現正募資中!

天下文化_96
56 篇文章 ・ 19 位粉絲
天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。