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自由穿梭在物理、數學、計算機與教育的巨人:戴克斯特拉

數感實驗室_96
・2020/03/28 ・2625字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 532 ・七年級

數感實驗室/朱倍玉

我們經常會為天才貼上各種標籤,例如:小學就會解聯立方程式、跳級錄取大學、破解幾百年來無人能解世紀大難題等。還有一種天才,他們靈巧地穿梭在多種不同領域間,提出讓世人眼睛為之一亮的發現。

今天要介紹的是一位靈巧穿梭在物理、數學、計算機科學、教育的男人:戴克斯特拉(Edsger. W. Dijkstra, 1930-2002)。

戴克斯特拉。圖/wikipedia

戴克斯特拉出生於荷蘭,父親是化學家,母親是數學家。儘管成長在濃厚的理科氛圍中,他高中時卻想成為律師,期待有一天能代表荷蘭出席聯合國。不過這個夢想在畢業考時被迫中止,理由不是常見的「沒考上自己的第一志願」,而是戴克斯特拉在數學、物理、化學與生物都拿到滿分,促使老師和父母力勸他往自然科學方面發展。

某種程度上,就像許多原本對文科有興趣的學生,卻因為理科表現太好而選擇唸理工科系。有些人遇到這個狀況會選擇抗議,或之後適應不良,但戴克斯特拉沒有這些問題,順利進入萊頓大學的理論物理系。而後,戴克斯特拉的父親再次提供建議,鼓勵他去參加「程式設計」課程,順服的戴克斯特拉開始學習程式設計。這項能力幫助他獲得第一份工作──在阿姆斯特丹數學中心擔任程式設計師。

也因為多會了程式設計,戴克斯特拉開始思考下一步該往哪裡走,他認為程式設計和理論物理學不容易結合,請教了阿姆斯特丹數學中心的上司,同時也是阿姆斯特丹大學資訊工程學系的教授韋恩加登(A. van Wijngaarden)。韋恩加登相當看好戴克斯特拉,認為他有程式設計的天份,將來搞不好會成為計算機科學領域的關鍵人物,大力鼓勵戴克斯特拉。事後證明韋恩加登不僅眼光正確,他也是一位很好的說服者。

這場改變戴克拉斯特一生的會談,多年後回憶起來,記憶猶新。

「就在離開他的研究室之後的幾個小時內,我感覺到自己完全是另一個人了。」

於是,在父親與長官的鼓勵下,他決定不再研究理論物理,進入阿姆斯特丹大學攻讀資工博士學位,正式走上計算機科學這條路。

不只是程式設計專家,也是一位數學家

戴克斯特拉在程式設計、演算法等領域中提出許多創新概念,對計算機科學有著巨大的影響。這些貢獻讓他在 1972 年獲得了有計算機科學界諾貝爾獎之稱的圖靈獎(ACM Turing Award)。這個領域的朋友對他絕對不陌生,沒錯,鼎鼎大名的 Dijkstra 演算法正是以他命名的。

戴克斯特拉被認為是計算機科學的先驅之一。他的回憶錄裡有這麼一個小插曲:他博班第一年時結婚,辦理手續時必須說明自己的職業,戴克斯特拉說自己是「程式設計師」。然而,當時這個職業類別在荷蘭尚未受到認可,幾乎沒有人靠寫程式維生,當局因此駁回。最終註記在計算機科學大師的結婚證書上的職業,依然是「理論物理學家」。

戴克斯特拉一生致力於融合數學與程式設計。圖/梗圖產生器

戴克斯特拉的第二份工作是埃因霍溫科技大學的數學系教授。他認為,數學邏輯與程式設計相輔相成,唯有明確的邏輯思路與數學分析能力,才能在程式設計中清楚思考出每個步驟。

戴克斯特拉說過許多名言,其中包括:

「計算時,我們容易搞砸一切。數學的簡潔與精確不是可有可無的奢侈品,是生死攸關的大事。

(In the practice of computing, where we have so much latitude for making a mess of it, mathematical elegance is not a dispensable luxury, but a matter of life and death.)。」

從這句話讓人充分感受到讓人充分感受到,「他不只是程式設計專家,也是一位數學家」

在數學系教書的 11 年裡,戴克斯特拉致力於融合程式編寫與數學研究,將數學分析帶進程式編寫的環節中,讓數學與程式設計不再只是兩個獨立的學科,而是關係緊密的孿生領域。

戴克斯特拉在 1984 年,58 歲時離開荷蘭,越洋來到美國,在陌生環境重回熟悉的領域,擔任德州大學奧斯汀分校資工系教授。如果你以為他只是重新回到電腦前面研究程式碼的話,那就錯了!他開始與其他學者共同撰寫謂詞演算註1的書,倡導透過方程式真假值的計算來證明定理,用數學運算來推理程式語言。同時,他把研究觸角伸到更多的數學領域,如座標幾何、線性代數、圖論等。

不論在數學系或資工系教書,戴克斯特拉都緊緊將兩個領域交織在一起。

在研究手稿中窺見作育英才的熱情

作為一位教授,戴克斯特拉最為人所知的是他相當喜歡以手寫文書當作記錄,甚至是學術界公認文筆好,用字遣詞簡潔又清楚的「作家」。他親筆記下多數的研究成果,幫自己的研究手稿逐一編號。他喜歡手寫的程度,讓他連課程大綱也手寫。

為了讓更多人可以接觸到戴克斯特拉的研究,德州大學建立一個網站註2,裡面整理了他的手稿,除了課程大綱之外,還有不少手稿是論文的前身。這個網站就像是一座倉庫的大門,打開這扇門就可以看到知識被整齊地堆疊在裡頭。

1995 年微積分課程的手稿。圖/截圖自網站

以 1995 年他開設的微積分課程為例(手稿編號:EWD1213),細讀這篇課程簡介,你可以完全感受到戴克斯特拉不只是數學家、計算機科學家,還是一位充滿人文氣質的教育家。

他告訴他的學生,上課不是為了「傳授知識」,因為如果僅僅是那樣,學生很快就會忘記了。他希望能給學生帶來可觀的、不可逆的改變。他要讓學生感受到數學的效益,讓他們知道優美的證明不是靠反覆嘗試錯誤,而是奠基在精巧的應用經過設計的數學準則。他想提升每一位學生對自己的標準。

戴克斯特拉的教學充滿人文氣質。圖 by Andreas F. Borchert / CC BY-SA 3.0 DE

他這麼說:「我的意思是:如果從現在起的 10 年內,當你貪圖快速、想方便行事的時候,你會忽然彷彿看見我在替你擔憂,你會提醒自己『戴克斯特拉不會喜歡我這樣做。』如果真的能這樣,那對我來說一切都值得了。」

投身教育超過 25 年,戴克斯特拉教學生如何腳踏實地追求知識。計算機科學界也好,數學界也好,不管從什麼角度來看,戴克斯特拉都是那個時代不可抹去的光輝。

註釋

  1. 謂詞演算(或稱述詞演算):以邏輯述句進行表示及推理的基本記法。把命題看作整體,分析命題的各部結構,使成主詞與述詞的邏輯形式。
  2. the manuscripts of Edsger W. Dijkstra 1930–2002

參考資料

  1. In Memoriam Edsger Wybe Dijkstra (1930–2002)
  2. A.M. TURING AWARD
  3. EDSGER W. DIJKSTRA: BRILLIANT, COLOURFUL, AND OPINIONATED
  4. Edsger Wybe Dijstra (1930–2002): a portrait of a genius

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數感實驗室_96
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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/


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從數學、邏輯到審美,演算法的極限是何處?——《再.創世》專題

再・創世 Cybernetic_96
・2021/09/27 ・5256字 ・閱讀時間約 10 分鐘
  • 作者/魏澤人|陽明交通大學 智慧計算與科技研究所

在一般印象中,”美” 是與藝術、哲學、文學、音樂這些人文領域相連的。受到教育制度的影響,理工與人文,在普遍認知中是二元對立的。而數學,是理工科目中最硬核的部分。物理、化學實驗中,各種顏色的液體、晃動的單擺或本生燈的火焰,也許還隱隱約約帶有一絲美的影子,但冷冰冰的數學公式,在許多人的求學經驗中,與美根本就是互斥的概念。

但是,懂數學的人都知道,數學是美的。甚至可以說,美是數學中不可或缺的部分。

圖/Pexels

著名的英國數學家哈代(Godfrey Harold Hardy)說:”數學家的創造形式,與畫家及詩人一樣,必須是美的: 將概念(就像顏色及詞語)以和諧的方式組合起來。美是最重要的條件,醜陋無法長存於數學之中。”。哈代的著作 “一個數學家的辯白”(A Mathematician’s Apology),在數學圈外有一定的名氣,前面的那段話也出自本書。但讓他”出圈”的主要原因,是他發掘了傳奇數學天才拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)。這個故事在 2015 年被拍成了電影 “天才無限家” The Man Who Knew Infinity)。

這也不是哈代獨創之見解,法國最偉大的數學家之一龐加萊(Henri Poincare)說:”研究自然不是因為有用,而是因為喜悅。而喜悅是因為美。”。其他比方像是羅素(Bertrand Russell)、艾狄胥(Paul Erdos)也留下不少關於數學與美的金句。

數學的美,不只是許多偉大的數學家的共同體驗。絕大多數的數學愛好者、數學工作者都有相同的體驗,只是比較不容易留下知名金句。Danica McKellar 也許不是能和羅素、龐加萊、艾狄胥比肩齊名的數學家,但她說過一句很有意思的話: “數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。

McKellar 是一位有知名度的美國演員,她曾演出過白宮風雲(The West Wing),也曾在 NCIS、宅男行不行(The Big Bang Theory)及追愛總動員(How I Met Your Mother)中客串。但真正讓她出名的,是 80 末、90 初的影集兩小無猜(The Wonder Years),故事主軸是主角凱文回憶少年成長的過程,而 McKellar 飾演主角的鄰居溫妮,兩人發展出分分合合的戀愛關係。用現代的話來講, McKellar 可以說是當時少年界的國民女友。另外 2010 開始,她也在動畫影集少年正義聯盟中為火星小姐配音。

Danica McKellar ,攝於2018。圖/WIKIPEDIA

演員什麼會與數學扯上關係呢?其實她大學就是學數學的,而且學得很好,在 1998 年以最傑出的成績取得加州大學洛杉磯分校的數學學士學位。不只如此,大學時期與教授 Chayes 及同學 Winn 發表了一篇統計力學的論文,其中的主要結果被稱為 Chayes-McKellar-Winn theorem. 在 2008 年,她出了一本針對中學女孩的數學書 “Math Doesn’t Suck: How to Survive Middle School Math without Losing Your Mind or Breaking a Nail.” ,頗受好評也很暢銷,之後也接續出版了許多書。她表示,她想讓女孩們覺得數學是「可親、有意義、甚至有點迷人」,用來對抗這個社會傳達「女孩不適合數學」的這類負面訊息。除此之外,她也參與影集 Project Mc2 的演出。 這部影節的目標是向全球的青少女們證明,科學、科技、STEAM(Science, Technology, Engineering, Arts, Mathematics)是有趣且平易近人的。

回到前面那句”數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。追求美是人之天性,但很多情境下,美或者美化這些詞,常常帶了一點隱藏真實的意味。像是修圖軟體、美顏相機、化妝(與素顏對比)、醫美、Autotune。當然明顯太假也不符合多數人的審美觀,真正美之極致,往往也需要展現事物的本質與真實特色。但現實是資源有限,平庸普通還是多數,不然,也不會有”這裡的風景美得像幅畫”一樣的形容詞方式了。一般日常中,美的實際執行過程還是得靠挑選和遮掩。「真」與「美」是需要取捨的。這也就是這句話耐人尋味的地方了,因為這句話如果成立,那在數學,也許就提供了現實世界中「真」與「美」之間內在衝突的解法了。

但問題是,數學家們感受到的美感是否真的是美?定理與證明真的可以用美或不美來形容呢?還是只是數學家們普遍缺乏人文薰陶產生的代償性錯覺呢?

2019 年時,英國巴斯大學管理學院的 Samuel G.B. Johnson 及美國耶魯大學數學系的 Stefan Steinerberger 發表了一篇論文 “Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas”,其中的研究證據,支持一般人可能也跟數學家一樣,能感受到數學論證的美感。在其研究中發現,人們對數學的「美感」,就跟對古典鋼琴樂曲及風景畫產生的美感相似,有其內在的一致性。另外也發現這種數學美感的評判,跟與音樂、畫作美感一樣,和優雅性、深度、清楚性有關。

就像十九世紀英國數學家 James Joseph Sylvester 說的:「數學就是論證的音樂」。愛因斯坦也說:「純數學是一首以其自有方式將邏輯概念寫成的詩」。這句話出自他寫給 Emmy Noether 的訃聞。 Noether 是有名的德國數學家,對抽象代數有極大的貢獻,巧妙的利用升鏈條件來研究代數性質,此後符合這個條件的數學物件我們都會冠以 Noetherian 來稱呼,以紀念 Noether 的貢獻。此外,她的 Noether Theorem 也被稱之為影響物理學最重要的定理之一。

Noether 與兄弟們的合照。圖/WIKIPEDIA

除了主觀上對於美的感受外,數學與藝術之間,也有很多直接的關聯性。以音樂來說,音律就與數學上的對數(也就是大家所認識的 \(\log\))有關。人類發展音律有很長的歷史,因為這不是一個簡單的問題。我們現在知道,和弦時,不同音階的頻率要接近簡單的有理數倍聲音才會悅耳。傳說畢達哥拉斯經過一家鐵店,聽到鐵鎚打鐵的聲音,覺得很悅耳,他走入店裡,發現四個鐵鎚的重量比為 12:9:8:6,其中 9 是 6 與 12 的算術平均,8 是 6 與 12的調和平均, 9, 8 與 6, 12 的幾何平均相等這些巧妙的關係。這些鐵鎚之間的聲音配合起來非常悅耳。他進一步用弦樂器實驗驗證,得到的結論是,弦長為一些簡單有理數比的時候,會得到和諧的聲音。而後來更進一步改進而成的十二平均律,也反映出中國及歐洲在計算 \(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 的歷史進展。這背後還有更深刻的問題,因為很容易可以發現,\(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 並不是個有理數。對音樂或數學有興趣的朋友,可以繼續深入了解一下背後的學問。

另一個大家也觀察到的現象是,數學能力和藝術能力之間似乎有一些相關性,特別是音樂能力。常被拿來說的是愛因斯坦喜愛音樂且從小學習小提琴。可能你認識的人中,應該也有許多同時精通數理及音樂的人。過去一些研究也發現發現了數理能力及音樂能力中的相關性。但是,這個相關性會不會與能力本身無關呢?比方顯而易見,學科能力與學習音樂的條件,都與家庭背景與社經地位有關。

音樂教育學者 Martin J. Bergee 原本也是這樣認為的。他覺得只要能控制相關的根本性變因,如種族、收入、教育背景,就能夠破除音樂與數學能力相關性的迷思。於是他就設計並展開了研究。結果讓他非常震驚,兩者的關聯性不但沒有消失,而且還非常強。在 2021 年他的研究團隊發表了一篇名為 “Multilevel Models of the Relationship Between Music Achievement and Reading and Math Achievement” 的論文。他們調查了不同學區背景的一千多位中學生,在盡可能排除其他因素的干擾下,他們不得不承認音樂及數學能力之間的有統計上顯著的關聯。

音樂與數學能力被證實有很高的相關性。圖/Pixabay

他表示很抱歉實驗設計得非常複雜,”因為排除所有的相關影響並不容易,可能從個人、教室、學校、學區等等不同層級來產生影響。”。雖然他原本是支持相反的結論,但這個結果讓他思考了很多,”微觀技術來說,可能在音樂中的音準、音程、節拍,可能語言認知的基礎相關,而巨觀技術上的調式與調性,可能在心理學或神經學上與數學認知有關。”

除此之外,還有非常多的例證。比方 2015 年神經科學家 Semir Zeki 及艾提亞爵士(Michael Atiyah 當代最偉大數學家之一,費爾茲獎得主)發表的論文指出,經由 fMRI 掃描 15 名數學家的腦部,發現數學家在評斷數學式子美感時,動用到眼額皮質外側的 A1 區域,與察覺其他來源美感所動用到的區域一樣。而前面比較沒有提到數學與視覺藝術的關聯,因為這部分更為大家所熟知。像是從古希臘幾何就知道的黃金分割比,繪畫中的用到的透視原理、對稱性。可以說,美與數學並不是感性與理性的對立,而是互相包含。就像浪漫派詩人約翰濟慈所說:”美即是真,真即是美。這就是你在世上所知道和需要知道的一切”,而數學以及其背後的邏輯,就是人類對於”真”的具像。

評斷數學式子美感或觀察其他美感事物時,數學家大腦活耀的區域相同。圖/Pexels

可以說在知識份子階層中,數學即美是個主流觀點。當然主流不一定代表唯一或正確,像前述 Bergee 也試圖證明相關的主流看法是個迷思。但一旦理解了這種切入點,人工智慧是否能創造藝術作品這個問題,至少在心理層面就不是太大問題了。人工智慧遵照一些演算法運作,可以說就是數學及邏輯的程式碼實作。以近幾年最主流的深度學習神經網路來說,就是許多線性映射與激活函數的合成函數,藉由梯度下降法,收斂到的穩定數學解。既然數學即美,那由數學建構的人工智慧,能產生美的事物,也不是太不能接受的事。

生成模型也是近幾年深度學習熱門的領域之一。常見的生成任務就是藉由觀察抽樣的樣本,設法模仿出一樣的機率分佈。白話一點來講,就是給電腦看一些李白的詩,希望電腦能創造出新的李白風格的詩。給電腦聽一些貝多芬的音樂,希望電腦能創造出新的貝多芬音樂。現在的深度學習技術,已經能讓人工智慧能藉由學習,”創造”出視覺、音訊及語言的”作品”。

Inception 網路是一個有名的深度學習模型,其名稱取自於同名的電影(全面啟動),當時主要是在圖片辨識任務上,取得很好的成果。2015 年時, Google 工程師 Alexander Mordvintsev 巧妙的利用事先訓練好 Inception 模型,讓他將圖片變成夢一般的迷幻風格。他把這種方法取名叫 DeepDream。不久後,Leon Gatys 等人用類似的方法,設計一套演算法,能將畫家的畫風轉移到照片上,典型的例子是將風景、建築照片,轉成梵谷的星空風格。後面有很多後續的研究,一般稱為 Neural Style Transfer. 2016 年 Google 利用 AI 生出的畫作,拍賣得到進十萬美元。而其實早在 2014 年時, Ian Goodfellow 等人就提出了生成對抗網路(Generative Adversarial Network),是一個更廣泛而通用的生成模型。這個模型後續開啟了極大量的相關研究,現在的深度學習模型,在一些領域中,已經能生出非常高品質的成品。比方 Nvidia 研究的 StyleGAN 系列模型,能生出幾可亂真的人臉。現在,在手機上,能使用 APP,將你的照片轉成迪士尼的畫風。

讓生成模型想像生氣的亞洲人老醫生(自行 CLIP, StyleGAN2 生成)

2021 年時, OpenAI 釋出了 CLIP 模型,這是一個能整合圖片視覺及文字語意的模型。很多人嘗試利用 CLIP 和文字控制,來產生獨特和有創意的畫作。舉例來說,如果你畫了一張畫,或者拿到一張照片,你可以利用文字”更有喜感一點,更有亞洲風味一點”,來修改這張圖片讓人感受到”喜感”和”亞洲風”。在眾多嘗試中,大家試出了許多像”咒語”般的技巧,比方有個著名的 “unreal engine trick”,就是當你在控制產生圖片的句子中,加入 “unreal engine” 這個詞(unreal engine 是一個遊戲引擎),常常會讓產生品質更高的圖片。 乍看之下有點不明所以,但仔細一想,因為網路上會特別標明 unreal engine 的圖片,往往是強調其遊戲高畫質,久而久之, CLIP 看到這個詞,很自然就與高品質的含意產生連結。除了圖片外,人工智慧也能產生其他具有美的形式的作品,特別是文字作品。Open AI 開發的 GPT-3,已經能在用戶給出簡單的指示後,產生非常複雜的文字作品,除了詩、笑話、故事外,甚至連食譜、程式碼都可以。

讓生成模型想像亞洲的小甜甜布蘭妮(自行 CLIP, StyleGAN2 生成)

但這些,真的算是人工智慧的創作嗎?

在 2018 年時,由生成對抗網路生成的畫作 Edmond de Belamy,以美金 432,500 元賣出。這幅畫是誰創作的?這幅畫是由巴黎藝術集體 Obvious 生成的。而名稱 Belamy 的法語意思為”好朋友”,以致敬提出生成對抗網路的學者 Ian Goodfellow。而圖片右下角的簽名則是

\(\min_{\mathcal {G}}\max_{\mathcal {D}}E_{x}\left[\log({\mathcal {D}}(x))\right]+E_{z}\left[\log(1-{\mathcal {D}}({\mathcal {G}}(z)))\right]\) 這個數學式子,這個式子是生成對抗網路使用的目標函數,也就是引導模型訓練的數學式。而讓問題更複雜的是,生成這幅圖片的程式碼,是由與 Obvious 毫無關係的另外一位 AI 藝術家 Robbie Barrat 所寫的。甚至有人(如 AICAN)認為這個連創作都算不上。

人工智慧的創作《 Edmond de Belamy 》。圖/WIKIPEDIA

所以,這幅畫到底是誰的創作?物理學家海森堡曾說,即使在沒有足夠證據的支持下,”當自然引導我們得到極簡與美的數學式時”,”我們會不由自主的感受到,這就是自然真相被揭露的一角”。也許,真正創作者不是人工智慧,也不是人類,我們只是自然的一部分,有幸釋放了,並且有幸感受到了自然散發出的美之一角。

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再・創世 Cybernetic_96
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由策展人沈伯丞籌畫之藝術計畫《再・創世 Cybernetic》,嘗試從演化控制學的理論基礎上,探討仿生學、人工智慧、嵌合體與賽伯格以及環境控制學等新知識技術所構成的未來生命圖像。
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