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《真的能像頭文字D裡飆車又不讓水灑出來嗎?》——2019數感盃 / 國中組專題報導類金獎 

數感實驗室_96
・2019/05/17 ・2586字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 537 ・八年級

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數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 國中組專題報導類第一名 之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:林柏廷/台北市私立復興實驗高級中學
圖/imdb

一、研究動機

從小,我就幻想著能夠開著一台酷炫的法拉利快速行駛在路上,帥氣地飆車和甩尾。想必每個人也都想像過自己在車道上疾速奔馳吧!如果又能夠像頭文字D的主角藤原拓海一樣,把車開得又快又穩,不知道該有多帥!

二、研究背景簡介

在頭文字D裡,為了要訓練拓海的駕駛能力,他的父親曾在車上裝了一杯水,且要求他不能將杯子裡的水灑出來,否則就不能回家。最終,拓海練成了一身絕技,車子開得又快又穩,彷彿人車合一,就此成為了新一代的秋名山車神。不過這真的有可能嗎?我們真的能夠高速行駛且不讓水灑出來嗎?

三、研究過程

首先,我們觀察一些生活中類似的情況。為什麼我們在拿著一杯盛滿的水走路時,水會灑出來呢?因為慣性!我們人前進了,但是水會因為慣性還留在原地,所以水就灑出來了。不過如果用假想力來看,在一個非慣性坐標系當中,如果人用一個a的加速度走路,那水杯裡質量為m的水就會受到-ma的假想力(負號是因為假想力的方向與加速度的方向相反)。如果轉彎的話,這個力就叫離心力。這就像有人在杯子裡使用-ma的力推這杯水,讓水灑出來(當然,杯子裡沒有真的躲著人,因為假想力顧名思義就是一個假想的力)。

如(圖一),電影中杯子裡的水並不是盛滿的,水面到杯緣有一定的深度。

(圖一) 電影中車上水杯一景

如(圖二)所示,我們試著畫圖計算估計這杯水在拓海轉彎時的運動情形。藍線為水在杯裡的高度;紅線為轉彎時的水面,可以看到水面是傾斜的。圖中標示了杯口的直徑 x 和轉彎水面最低點到杯口的距離 h。以非慣性坐標系來看,車裡的水受到了向下 mg 的重力和 -ma 的假想力,合力方向也呈現在圖中。合力方向就是車子裡新的重力場方向,所以水面會大約垂直這個合加速度的方向。

(圖二)拓海車中水杯示意圖

如(圖三):

(圖三) 兩個相似三角形示意圖

透過相似三角形,我們證出 x : h = mg: m│a│。即,a 的大小等於 gh/x 。我們知道車子在轉彎時,若曲率半徑為R,切線速度為 V,向心加速度為 V2/R。如(圖四)所示:

(圖四) 圓周運動

我們依上述公式可做出下列統整:

四、實證分析

有一般化公式後,我們只需要代入數字,便可求出拓海在轉彎時不讓水灑出來的加速度。從(圖一)電影裡的水杯特寫當中,我們觀察到水杯直徑 x 和水面最低點到杯口的距離 h 比大約為 5:1,即:

此時再找出轉彎的曲率半徑,就可以找到拓海開車的時速囉!如(圖五)所示,曲率半徑就是 AE86 車身長的一半加上護欄圍繞住轉彎處所形成的局部近似圓半徑。

(圖五)影片中AE86轉彎情形

上網查詢資料後,我們得知 AE86 車身長約為 4.2 公尺,質量中心大約在車身長一半處,也就是 2 公尺的位置。求出局部近似圓半徑的方法如下:

如(圖六)所示,到 google maps 尋找秋名山髮夾彎的道路,將螢幕截圖後利用小畫家點出其圓上相異四點,再透過弦的垂直平分線找出圓心。點出圓心後,利用 google maps 測量距離求出圓半徑。

(圖六)繪畫垂直平分線求局部近似圓圓心和半徑

透過 google maps 和小畫家,我們找出了局部近似圓的半徑,約為 8 公尺。將其數字和車身長度 2 公尺相加,我們就得到了長度約為 10 公尺的曲率半徑。這時,再沿用之前推論的加速度,代入向心加速度公式中:

求出拓海的行駛速度v為 √19 m/s,大約是每秒 4.4 公尺。

4.4 * 60 * 60 / 1000 = 15.84

換算成時速大約是 16 km/hr。

這速度其實是十分緩慢的,到底有多慢呢?舉個例子做對比:一般國中生跑 100 公尺的時間大概都在 20 秒以內,也就是說 1 秒內大約都能跑 5 公尺。

欸?拓海開車的速度竟然比我們國中生奔跑還要慢!拓海恐怕真的會被對手嗆說:「我跑步就比你快了!」,這樣,秋名山車神的面子怎麼掛得住?那麼,想必大家應該很好奇,如果要漫畫裡快速行駛又不讓水灑出來的情境呈現於現實生活當中,需要一個多大的杯子?一樣的,我們只需要代入想要的時速,做簡單的換算之後就可以算出來啦!

我們估計拓海賽車的時速會超過 150 km/hr。若以時速 162公里計算,換算成秒速是 45 m/s,那麼我們就可以透過下述的算式求出車子的向心加速度:

這加速度大約是重力加速度 g 的 20 倍。也就是說,這杯子裡水面到杯口的距離,根據相似三角形,必須要是 5 公分的 20 倍,也就是 100 公分。拓海至少要使用一個超過 1 公尺深的杯子才能在時速 162 km/hr 的情況下開車又不讓水灑出來。

五、結論探討

利用相似三角形和電影中水杯特寫的比例,我們求出了拓海轉彎的加速度;利用向心加速度公式、google maps、和小畫家,我們求出了拓海的行駛速度,最後得到的結果為:若依照電影情節,拓海的行駛速度大約要低於 16 km/hr 才可避免水灑出來;若要以時速 162 公里的速度開車,就需要一個高於 1 公尺的杯子。顯然我們很難找到一個 1 公尺高的杯子直立在車裡。這是一件非常不合理的事。這樣的話,拓海估計永遠回不了家了,除非他買了一個如(圖八)的巨大杯子。

(圖八) 巨大杯子示意圖。(圖片提供 / IG : liu_1215)

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數感實驗室_96
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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2022/11/01 ・2113字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
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我發現你每次過彎都很不自然,到底彎要怎麼過才順暢?
車輛中心ARTC_96
・2019/07/10 ・1958字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 564 ・九年級

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每次過彎都要到極限?轉向不足或過度都有危險!

在車輛轉彎的過程中,當車輛轉彎的速度達到車輛轉彎的極限,車輛會存在兩種轉向特性,即轉向不足和轉向過度。何謂轉向不足及轉向過度?我們可以用下圖(抓地力圓)來說明:

當車輛轉彎的速度達到極限,車輛會存在兩種轉向特性,即轉向不足和轉向過度。圖/ARTC提供

  • X 座標代表車輛在轉彎時由於慣性所產生的離心力(主要受車速和轉向角度影響)
  • Y 座標代表驅動力
  • Z 座標代表合力
  • 圓圈則代表輪胎與地面之間的最大抓地力。

輪胎和路面一定的情況下所產生的抓地力理論上固定,離心力和驅動力的改變都會引起合力的改變。當合力大於抓地力時,輪胎就會沿著合力的方向滑動。如果這個輪胎位於前輪,就是轉向不足。如果這個輪胎位於後輪,那麼出現的就是轉向過度。

更具體的解釋,就是車頭或是車尾哪一個部分的輪胎先失去抓地力。

轉向不足的情況就是前輪喪失了抓地力,在沒有導向力的牽引下,加上車輛原本的慣性推著汽車往前跑,駕駛者就會有彎道轉不過去的感覺。

轉向不足的情況(紅線)就是前輪喪失了抓地力,會讓駕駛覺得彎道彎不過去。圖/wikimedia

轉向過度就是後輪先失去了抓地力,但是因為前輪還擁有抓地力,因此後輪會以比前輪更快的速度往前跑,駕駛者會覺得車子轉得太多了。

轉向過度(紅線)就是後輪先失去了抓地力,駕駛者會覺得車子轉得太多了。圖/wikimedia

相較於轉向過度來說,轉向不足是比較穩定的,只要把車輛的速度降低下來,通常前輪的抓地力就會恢復,車輛就在控制之中,這就是為什麼幾乎所有的道路用車輛都刻意設計得偏向轉向不足。不過要克服轉向不足就是要慢下來,在賽車中這可不是好事,因此賽車的調校都會避免轉向不足的設定。而轉向過度與轉向不足相比則是高度的不穩定,除非駕駛者做出很快地技巧性修正方向盤及油門,否則一旦轉向過度,通常都是以打滑失控收場。

不過有轉向過度傾向的底盤設定實際上是協助車子入彎,而且在失控的範圍之內,它的過彎速度遠比轉向不足要快上許多,這也是為什麼幾乎所有的賽車都刻意將底盤的設定朝轉向過度多一點。汽車設計上有很多因素可以影響到轉向特性,比如車輛的軸距、輪距、車輛的重量、車輛的重量分配比例、懸吊結構和調教、輪胎、地面抓地力係數等,這些因素加起來形成一部車的轉向特性。

後輪驅動 vs. 前輪驅動,過彎特性有差嗎?

我們普遍能夠聽到的一種說法是前驅車的特性是轉向不足、後驅車的特性是轉向過度。這種說法不完全對,是一種比較片面的說法,也就是純粹由驅動力改變引發輪胎滑動的情況。前驅車的驅動力施加在前輪,突然增加驅動力自然會引發轉向不足。後驅車的驅動力施加在後輪,突然增加驅動力自然會引發轉向過度。這是一種人為製造的轉向不足或者轉向過度。

而我們可以人為改變的因素還有很多,比如增加離心力或降低抓地力。假設用很快的速度入彎,那無論前驅車還是後驅車都會發生轉向不足。又假設大力煞車的同時猛打方向盤,那無論前驅車還是後驅車都會發生轉向過度。

此外,四驅車是由四個車輪分擔整體驅動力,分配到每個驅動輪上的驅動力比前驅或者後驅車上的都要小,所以四驅車能夠承受更大的整體驅動力。這也就是為什麼四驅車通常要比前驅和後驅的過彎能力高。

那台86就是這樣過彎的!人家有練過別亂學喔!

基本上甩尾是轉向過度的現象,算是一種特殊的駕駛技巧,又叫「滑胎」或「漂移」。主要用在表演或是路況變化較大的賽車活動,其中又以越野賽裡應用頻率較多,而其他競速類的賽車則較少運用甩尾技巧過彎。這主要原因是甩尾雖然可以在過彎時保持較高的引擎轉速,但由於在一般柏油路面上過彎時車速減損較多,再加上輪胎損耗較大,除非是特殊原因,車手並不會經常在競賽過程中使用此技巧。他的原理是利用鎖死輪胎(後輪)或是大踩油門(後輪驅動),或是利用轉向貫性,使輪胎與地面的相對速度大幅提升,輪胎與地面由靜摩擦力變為動摩擦力,降低抓地力而出現打滑的狀況,產生轉向過度的效果。

防禦駕駛小撇步-轉向不足或轉向過度時該怎麼辦?圖/ARTC提供

延伸閱讀

本文出自財團法人車輛研究測試中心;原文《汽車過彎的動態特性》,如需轉載,歡迎與車輛中心聯繫。

車輛中心ARTC_96
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財團法人車輛研究測試中心 (ARTC),江湖俗稱車測中心,但更希望大家能稱呼我們為「車輛中心」,因為我們不只做測試,我們也做創新研發;我們是由一群對車輛有著專業知識與熱情的工程師所組成,期望透過泛科學這個平台與大家分享各種車輛知識,讓大家更懂車。

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三、研究過程

首先,我們觀察一些生活中類似的情況。為什麼我們在拿著一杯盛滿的水走路時,水會灑出來呢?因為慣性!我們人前進了,但是水會因為慣性還留在原地,所以水就灑出來了。不過如果用假想力來看,在一個非慣性坐標系當中,如果人用一個a的加速度走路,那水杯裡質量為m的水就會受到-ma的假想力(負號是因為假想力的方向與加速度的方向相反)。如果轉彎的話,這個力就叫離心力。這就像有人在杯子裡使用-ma的力推這杯水,讓水灑出來(當然,杯子裡沒有真的躲著人,因為假想力顧名思義就是一個假想的力)。

如(圖一),電影中杯子裡的水並不是盛滿的,水面到杯緣有一定的深度。

(圖一) 電影中車上水杯一景

如(圖二)所示,我們試著畫圖計算估計這杯水在拓海轉彎時的運動情形。藍線為水在杯裡的高度;紅線為轉彎時的水面,可以看到水面是傾斜的。圖中標示了杯口的直徑 x 和轉彎水面最低點到杯口的距離 h。以非慣性坐標系來看,車裡的水受到了向下 mg 的重力和 -ma 的假想力,合力方向也呈現在圖中。合力方向就是車子裡新的重力場方向,所以水面會大約垂直這個合加速度的方向。

(圖二)拓海車中水杯示意圖

如(圖三):

(圖三) 兩個相似三角形示意圖

透過相似三角形,我們證出 x : h = mg: m│a│。即,a 的大小等於 gh/x 。我們知道車子在轉彎時,若曲率半徑為R,切線速度為 V,向心加速度為 V2/R。如(圖四)所示:

(圖四) 圓周運動

我們依上述公式可做出下列統整:

四、實證分析

有一般化公式後,我們只需要代入數字,便可求出拓海在轉彎時不讓水灑出來的加速度。從(圖一)電影裡的水杯特寫當中,我們觀察到水杯直徑 x 和水面最低點到杯口的距離 h 比大約為 5:1,即:

此時再找出轉彎的曲率半徑,就可以找到拓海開車的時速囉!如(圖五)所示,曲率半徑就是 AE86 車身長的一半加上護欄圍繞住轉彎處所形成的局部近似圓半徑。

(圖五)影片中AE86轉彎情形

上網查詢資料後,我們得知 AE86 車身長約為 4.2 公尺,質量中心大約在車身長一半處,也就是 2 公尺的位置。求出局部近似圓半徑的方法如下:

如(圖六)所示,到 google maps 尋找秋名山髮夾彎的道路,將螢幕截圖後利用小畫家點出其圓上相異四點,再透過弦的垂直平分線找出圓心。點出圓心後,利用 google maps 測量距離求出圓半徑。

(圖六)繪畫垂直平分線求局部近似圓圓心和半徑

透過 google maps 和小畫家,我們找出了局部近似圓的半徑,約為 8 公尺。將其數字和車身長度 2 公尺相加,我們就得到了長度約為 10 公尺的曲率半徑。這時,再沿用之前推論的加速度,代入向心加速度公式中:

求出拓海的行駛速度v為 √19 m/s,大約是每秒 4.4 公尺。

4.4 * 60 * 60 / 1000 = 15.84

換算成時速大約是 16 km/hr。

這速度其實是十分緩慢的,到底有多慢呢?舉個例子做對比:一般國中生跑 100 公尺的時間大概都在 20 秒以內,也就是說 1 秒內大約都能跑 5 公尺。

欸?拓海開車的速度竟然比我們國中生奔跑還要慢!拓海恐怕真的會被對手嗆說:「我跑步就比你快了!」,這樣,秋名山車神的面子怎麼掛得住?那麼,想必大家應該很好奇,如果要漫畫裡快速行駛又不讓水灑出來的情境呈現於現實生活當中,需要一個多大的杯子?一樣的,我們只需要代入想要的時速,做簡單的換算之後就可以算出來啦!

我們估計拓海賽車的時速會超過 150 km/hr。若以時速 162公里計算,換算成秒速是 45 m/s,那麼我們就可以透過下述的算式求出車子的向心加速度:

這加速度大約是重力加速度 g 的 20 倍。也就是說,這杯子裡水面到杯口的距離,根據相似三角形,必須要是 5 公分的 20 倍,也就是 100 公分。拓海至少要使用一個超過 1 公尺深的杯子才能在時速 162 km/hr 的情況下開車又不讓水灑出來。

五、結論探討

利用相似三角形和電影中水杯特寫的比例,我們求出了拓海轉彎的加速度;利用向心加速度公式、google maps、和小畫家,我們求出了拓海的行駛速度,最後得到的結果為:若依照電影情節,拓海的行駛速度大約要低於 16 km/hr 才可避免水灑出來;若要以時速 162 公里的速度開車,就需要一個高於 1 公尺的杯子。顯然我們很難找到一個 1 公尺高的杯子直立在車裡。這是一件非常不合理的事。這樣的話,拓海估計永遠回不了家了,除非他買了一個如(圖八)的巨大杯子。

(圖八) 巨大杯子示意圖。(圖片提供 / IG : liu_1215)

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