《真的能像頭文字D裡飆車又不讓水灑出來嗎？》——2019數感盃 / 國中組專題報導類金獎 

「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後，一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習，運用數學知識，培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力，盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 國中組專題報導類第一名 之作品，為盡量完整呈現學生之作品樣貌，本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

• 作者：林柏廷／台北市私立復興實驗高級中學

一、研究動機

從小，我就幻想著能夠開著一台酷炫的法拉利快速行駛在路上，帥氣地飆車和甩尾。想必每個人也都想像過自己在車道上疾速奔馳吧！如果又能夠像頭文字D的主角藤原拓海一樣，把車開得又快又穩，不知道該有多帥！

二、研究背景簡介

在頭文字D裡，為了要訓練拓海的駕駛能力，他的父親曾在車上裝了一杯水，且要求他不能將杯子裡的水灑出來，否則就不能回家。最終，拓海練成了一身絕技，車子開得又快又穩，彷彿人車合一，就此成為了新一代的秋名山車神。不過這真的有可能嗎？我們真的能夠高速行駛且不讓水灑出來嗎？

三、研究過程

首先，我們觀察一些生活中類似的情況。為什麼我們在拿著一杯盛滿的水走路時，水會灑出來呢？因為慣性！我們人前進了，但是水會因為慣性還留在原地，所以水就灑出來了。不過如果用假想力來看，在一個非慣性坐標系當中，如果人用一個a的加速度走路，那水杯裡質量為m的水就會受到-ma的假想力（負號是因為假想力的方向與加速度的方向相反）。如果轉彎的話，這個力就叫離心力。這就像有人在杯子裡使用-ma的力推這杯水，讓水灑出來（當然，杯子裡沒有真的躲著人，因為假想力顧名思義就是一個假想的力）。

如（圖一），電影中杯子裡的水並不是盛滿的，水面到杯緣有一定的深度。

如（圖二）所示，我們試著畫圖計算估計這杯水在拓海轉彎時的運動情形。藍線為水在杯裡的高度；紅線為轉彎時的水面，可以看到水面是傾斜的。圖中標示了杯口的直徑 x 和轉彎水面最低點到杯口的距離 h。以非慣性坐標系來看，車裡的水受到了向下 mg 的重力和 -ma 的假想力，合力方向也呈現在圖中。合力方向就是車子裡新的重力場方向，所以水面會大約垂直這個合加速度的方向。

如（圖三）：

透過相似三角形，我們證出 x : h = mg: m│a│。即，a 的大小等於 gh/x 。我們知道車子在轉彎時，若曲率半徑為R，切線速度為 V，向心加速度為 V²/R。如（圖四）所示：

我們依上述公式可做出下列統整：

四、實證分析

有一般化公式後，我們只需要代入數字，便可求出拓海在轉彎時不讓水灑出來的加速度。從（圖一）電影裡的水杯特寫當中，我們觀察到水杯直徑 x 和水面最低點到杯口的距離 h 比大約為 5:1，即：

此時再找出轉彎的曲率半徑，就可以找到拓海開車的時速囉！如（圖五）所示，曲率半徑就是 AE86 車身長的一半加上護欄圍繞住轉彎處所形成的局部近似圓半徑。

上網查詢資料後，我們得知 AE86 車身長約為 4.2 公尺，質量中心大約在車身長一半處，也就是 2 公尺的位置。求出局部近似圓半徑的方法如下：

如（圖六）所示，到 google maps 尋找秋名山髮夾彎的道路，將螢幕截圖後利用小畫家點出其圓上相異四點，再透過弦的垂直平分線找出圓心。點出圓心後，利用 google maps 測量距離求出圓半徑。

透過 google maps 和小畫家，我們找出了局部近似圓的半徑，約為 8 公尺。將其數字和車身長度 2 公尺相加，我們就得到了長度約為 10 公尺的曲率半徑。這時，再沿用之前推論的加速度，代入向心加速度公式中：

求出拓海的行駛速度v為 √19 m/s，大約是每秒 4.4 公尺。

4.4 * 60 * 60 / 1000 = 15.84

換算成時速大約是 16 km/hr。

這速度其實是十分緩慢的，到底有多慢呢？舉個例子做對比：一般國中生跑 100 公尺的時間大概都在 20 秒以內，也就是說 1 秒內大約都能跑 5 公尺。

欸？拓海開車的速度竟然比我們國中生奔跑還要慢！拓海恐怕真的會被對手嗆說：「我跑步就比你快了！」，這樣，秋名山車神的面子怎麼掛得住？那麼，想必大家應該很好奇，如果要漫畫裡快速行駛又不讓水灑出來的情境呈現於現實生活當中，需要一個多大的杯子？一樣的，我們只需要代入想要的時速，做簡單的換算之後就可以算出來啦！

我們估計拓海賽車的時速會超過 150 km/hr。若以時速 162公里計算，換算成秒速是 45 m/s，那麼我們就可以透過下述的算式求出車子的向心加速度：

這加速度大約是重力加速度 g 的 20 倍。也就是說，這杯子裡水面到杯口的距離，根據相似三角形，必須要是 5 公分的 20 倍，也就是 100 公分。拓海至少要使用一個超過 1 公尺深的杯子才能在時速 162 km/hr 的情況下開車又不讓水灑出來。

五、結論探討

利用相似三角形和電影中水杯特寫的比例，我們求出了拓海轉彎的加速度；利用向心加速度公式、google maps、和小畫家，我們求出了拓海的行駛速度，最後得到的結果為：若依照電影情節，拓海的行駛速度大約要低於 16 km/hr 才可避免水灑出來；若要以時速 162 公里的速度開車，就需要一個高於 1 公尺的杯子。顯然我們很難找到一個 1 公尺高的杯子直立在車裡。這是一件非常不合理的事。這樣的話，拓海估計永遠回不了家了，除非他買了一個如（圖八）的巨大杯子。

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