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愛因斯坦「時光機」解密:近光速旅行讓時間膨脹──《宇宙的顫抖:談愛因斯坦的相對論和引力波》

  • 文/李傑信│美籍華裔科學家,美國航空暨太空總署(NASA)太空任務科學家

移動速度越接近光速,時間膨脹的比例就越高。圖/Melmak@pixabay

愛氏(編按:本文簡稱愛因斯坦為愛氏)在 1905 年 6 月 30 日發表的〈論動體的電動力學〉,是他的相對論中最精華的部分,然而其所用數學非常簡單,尤其是慣性座標轉移的計算,高三程度的學生們就能看懂。

在愛氏相對論的兩個假設前提下,一個三維座標中使用的時間,轉換到另一個相對等速運動的新座標時,就和新座標中的空間座標混合在一起了,即時間中有空間,空間中有時間。至於相互間混進多少比例,則要看新座標和光速比較起來的移動速度有多快。

在這篇論文中,世人最感興趣的就是:愛氏能以慣性座標之間的相對速度調整時光流失的快慢。二千多年前,秦始皇帝派徐福帶領童男童女各五百名,入東海尋求長生不老仙藥未果,徐福最後避難東瀛三島。愛氏接在徐福之後,仙藥沒找著,卻找到了時光機, 一樣能完成秦始皇長生不老的夢想。愛氏發明的這架時光機器,是人類有史以來最神奇的智慧結晶。僅用下面例子,簡略說明愛氏時光機的操作方式。

來去 25光年外的行星「魚神」旅行

人類在 2004 年發現南魚座(Piscis Austrinus)中的最亮一顆星北落師門(Fomalhaut)有行星出沒的蹤跡。經過四年的追查, 人類終於在 2008 年 5 月首次直接看到由這顆星的行星所發出的光,先命名它為 Fomalhaut-b,後以阿拉伯/希伯來的閃語,命名為「魚神」(Dagon)。

「魚神」的質量可能和太陽系的木星相等,距母星北落師門約 177 個天文單位(AU),每 1,700 年繞母星一週。(人類從母星被行星掩星後光度的變化,已偵測到近 4,000 個太陽系外行星,其中近十個屬直接觀測到的一類,而「魚神」則是最早被發現的。)

圖 8 南魚座中北落師門行星系。右側放大的小方塊中顯示「魚神」從 2004 到 2012 年的軌跡。中央亮星北落師門在影像處理時被遮住, 以增加「魚神」的相對亮度。(Credit: NASA, ESA, and P. Kalas (University of California, Berkeley and SETI Institute))

北落師門位南魚座的魚嘴部位,亮度為 1.2 星等,在地球夜空中的恆星排名第 18 亮,距太陽系 25 光年。假設人類科技能以光速在宇宙中航行,從地球的位置出發,至少費時 25 年才能抵達北落師門。如再計算加速 5 年減速 5 年的考量,單程需 35 年,來回雙程則 70 年。當然得再提醒一下,這裡所用的計時器安置在地球上, 是以人類熟悉的家鄉鐘錶追蹤測量雙程旅途的所需時間。

現在有這麼一對 25 歲正值黃金年華的孿生兄弟,兄長努力打拚,獲選為行星任務的太空人,代表人類出訪「魚神」。出發前, 兄弟互相準確同步校對彼此擁有的銫原子鐘,定下 70 年後之約, 答應對方不見不散,見面前誰都不能先死。

兄長準時出發,星際航艦很快加速到光速的 99.99% 向北落師門進發。地球上的弟弟守在他的原子鐘前,1 年、10 年、35 年過去,哥哥已完成一半旅程的此時弟弟已 60 歲。40 年、50 年、60年過去,終於來到約定的 70 年後,弟弟已是 95 歲,就算吃得對、運動夠、休息足,身體還很健康,歲月卻不饒人,手腳已不太靈活,頭髮又銀白,仍然盼著兄長的歸來。

所幸,哥哥的星際航艦準時返航,弟弟依約前去接機。宇宙飛船艙門打開的那一剎那,竟發現眼前的哥哥還是像 70 年前別離時的小伙子一樣,看起來完全沒變。白髮的弟弟擁著小伙子哥哥激動地老淚縱橫,兄弟倆終於圓了 70 年之約,又重逢了。

  • 有人會說, 從相對立場來看,以 0.9999 光速飛行的太空船也可用來作為靜止座標,那弟弟所在的地球就會以 0.9999 光速飛離哥哥所乘的太空船。分離 70 年後,應是弟弟顏駐,哥哥老化,這個論點就是有名的孿生子悖論〔twin paradox〕。實際上這個悖論並不成立,因為宇宙飛船要經過激烈地加速減速過程,不能和地球上溫和的慣性座標交換使用。

用愛氏的相對理論計算,以光速 99.99% 速度飛離地球的宇宙飛船,船上的時鐘比地球上的時鐘慢了約 70 倍,即地球時間向前走了 70 年,在星際航艦上的時間僅向前過了 1 年。從弟弟地球上的座標看兄長以接近光速運行的飛船,地球銫原子鐘滴答了 70秒,天上的銫原子鐘才滴答 1 秒。弟弟也發現,他摸著自已的心臟算到 70 跳,哥哥的心臟在飛船中才跳了 1 次。

換言之,以對地球0.9999 光速航行的飛船中,所有包括機械的、電子的、化學的、生物的活動都通通減慢(時間膨脹,time dilation)了 70 倍。反過來說,把星際航艦上的時間加快 70 倍,就等於地球時間。這個倍數起初以希臘小寫字母 β 表示,但後來統一以小寫的伽瑪(γ, gamma)命名。

伽瑪倍數除了用於時間,還適用於其他的物理現象上,例如: 從靜止地球測量以 0.9999 光速運行飛船和其中所有物件的長度, 皆縮小(長度縮小〔length contraction〕)了 70 倍,而從地面測量飛船中物體的質量,也都重了 70 倍。其中,弟弟在地球上靜止的座標看哥哥高速運行的慣性座標, 時鐘龜行的速率和物件長度縮短的幅度成對出現,短的長度除以短的時間,剛好維持光速在每秒 30 萬公里的恆定數值,正是愛氏在所有慣性座標中要求光速恆定的條件。

至於高速運行中的物體質量之所以增加,是因為速度給物體注入了動能(kinetic energy),這些動能通過 E = mc2 的轉換變成質量,相當容易理解。伽瑪連接了時間、長度和質量等好多個重要的物理參數,是以不同速度運行的慣性座標之間的一條金鏈子。

在光速下的「時間膨脹」係數伽瑪 γ

寫科普文章可不能像是寫科學論文,最好不要用方程式。但有些方程式所表達的內涵,可能像貝多芬的《命運交響曲》一樣氣勢磅礡,總會令人想看看樂譜本身到底長成什麼樣子。

E = mc² 雖然是方程式,但它是人類智慧結晶的一顆大藍鑽,很多人把它當成藝術品欣賞。愛氏的相對論太美麗了,除了 E = mc2 之外,還有好幾個其他藝術品級的方程式,包括這條頻頻出現的伽瑪,我認為可以和讀者們分享一下。把伽瑪全部寫出來就是:

● 其中的 v 即為相對於某個靜止座標的速度,c 為光速。v 的速度最低為 0,此時 γ = 1,為最小值。v 最高可達到光速,即 v = c,此時 v/c 為 1,γ = 1/0,1 除以 0 為無窮大。所以 γ 的數值可由 1 一直到無窮大。

從靜止的座標測量高速運動中的物體,它的長度會收縮伽瑪倍,而質量則比靜止質量增加伽瑪倍。我們常說,宇宙中任何物體的速度,絕對不能超過光速,就是因為物體如以光速飛行,其伽瑪變成無窮大,造成物體的質量也變成無窮大—即使是一粒小灰塵,以光速運行時,質量也會變成無窮大。

宇宙中並沒有無窮大的力量,能推著無窮大的質量以光速飛奔,所以物體的速度不能超過或等於光速,只能無限地接近但仍比光速小。唯有在一個條件下, 物體才能以光速飛行,就是物體的所有質量通過 E = mc2 完全變成純能量,如此即可以光速飛行。物體發出的物理訊號,例如熱輻射是電磁波,屬於純能量,皆以光速傳播。

當然,每個座標都可自認為是靜止的。但是,一旦某個慣性座標被公認為靜止座標後,譬如前文提到以弟弟地球為中心的靜止座標,所有其他的慣性座標就全都要以它為參考靜止座標,決定出對其的相對速度 v。再強調一次,每個座標在預備起時,愛氏已把各個鐘錶同步校正歸零,當這些慣性座標出發時,都攜帶著同步校正過的鐘錶,在以後速度為 v 的慣性座標中使用。

不同速度慣性座標的伽瑪數值可參考表 1。以人類目前的科技,連表上最小的   0.01  光速都無法達到。在大氣中,音速為每秒 343 公尺,約光速的百萬分之一,算出的伽瑪值為1.0000000000005。1950 年代,人類突破音障進入超音速時代,在低地球軌道運行的衛星,以 25 倍音速飛行。「航海者號」(Voyager)經過 40 多年的引力助推加速,目前以相對太陽 50 倍的音速,脫離太陽系,伽瑪數值為1.00000000126。

表 1 不同速度慣性座標的伽瑪數值(註:伽瑪的最後一位數為 4 捨 5 入)

想要時光機,就要飛得夠快

愛氏長生不老的時光機鎖在高速飛行的科技中。從理論上預測,人類在未來應能掌握物質──反物質效率 100%  的推進技術,再給予 10 年、20 年長時間的加速,幾乎沒有道理發展不出接近光速飛行的能力。

目前人類創造出速度最快的飛行物體為「朱諾女神號」(Juno),它在 2011年 8 月 5 日發射後,經過一次地球的引力助推加速,以相對地球約 215 倍音速,於 2016 年 7 月 5 日飛抵木星,在木星軌道上執行為期 20 個月的科學任務。圖/NASA/KSC@wikipedia

即使跟著「朱諾女神號」以最高速度航行一輩子,就算它 100 年後再回到地球,壽命也只增加了 9.5 秒,只是身體遭受了百年宇宙射線的轟擊,不知要折壽幾年。以上為愛氏 1905 年的相對理論帶給人類對時光機的浪漫想像, 比《侏羅紀公園 》(Jurassic Park,Michael Crichton,1990)更貼近科學,在未來有可能實現。然而,愛氏的時光機引出了一個深沉又難以回答的問題:

為什麼光速被限制在每秒 30 萬公里這個數值,而不是每秒 15 萬公里或60 萬公里,甚至每秒 300 萬公里或更快?

光速每秒 30 萬公里是觀測到的數據,絕對正確,宇宙沒有設局欺騙人類,而且光也不需要在介質中傳播。於是愛氏以這兩項觀測數據為棟樑,發展出「狹義相對論」並設計出時光機。慣性座標的相對速度 v 可向光速無限靠近,它的伽瑪值越來越大,也向無窮大的方向接近。

愛氏藉著慣性座標間相對速度的不同,把牛頓認為神聖不可侵犯的「絕對時間」玩弄於股掌之間。

 

 

 

本文摘自《宇宙的顫抖:談愛因斯坦的相對論和引力波》,台大出版中心出版。

 

 

 

 

 

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