鑰匙怎麼開門？先搞清楚鎖中暗藏的彈簧奧秘—《知識大圖解》

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光速是宇宙的終極速限，任何的物質運動和資訊傳遞都不准超速。不過最近有人做出了最新預測，除了一般物質外，聲音的傳遞速度竟然也有最大上限？

不管是光（電磁波）還是聲音，都是以波動的形式傳播。值得注意的是，波速只會跟系統本身性質(例如：介質不同)有關，一般的繩波或是水面波同樣也是如此，不論震動得多用力或多快，都不會讓波跑的更快或更慢。

我們可以把聲波的傳遞想像成下圖中的彈簧。既然彈簧波的速度可以用彈性係數和彈簧質量來表示，同樣的，聲速應該也可以用某些性質來描述。

先從聲音的性質說起

聲音在不同材料中傳遞的差異，可以用體積模數（Bulk Modulus，簡寫 B ）來表示。體積模數代表物體在面對外部壓力時，會做出多少體積上的改變。數學上可以寫成：

等號左邊是施加的壓力，右邊是體積模數 B 乘上體積變化量占總體積的比率，負號只是習慣，這代表相同壓力下，B 值越大物體越不容易壓縮，和彈簧的 F=-kx 類似。我們知道越「硬」的彈簧反應越快，可以更快地傳遞波動；同樣地，比起在空氣中傳遞，聲速在較難壓縮的液體和固體中會比較快。因此不難看出，B 會與聲速扯上關係，而且 B 值越大聲速越快。

一般來說，聲速可以寫成：

分子就是上面提到的體積模數 B，而分母的材料密度則表示介質越稀疏，聲速越快。國中學過的聲速與溫度成正比便是這個道理，當溫度變高時，空氣體積膨脹，密度變小，因此聲速傳遞更快。

為什麼聲速有上下限？

不過公式中的 B 和材料密度都是需要透過實驗獲得的材料參數，因此很難看出聲速會有什麼上下限。如果要再往前一步，就必須進入微觀的原子尺度。想像兩個同極相斥的磁鐵，彼此互相靠近時，斥力會逐漸變大；這是因為隨著兩個相斥磁鐵逐漸靠近，抵抗靠近的磁力位能會逐漸增加。

同樣地，當原子間的鍵結能量增加，將兩顆原子拉伸或壓縮的難度會隨之上升，物體也就越不容易被壓縮。也就是說，體積模數 B 正比於單位體積內原子間的鍵結能量，巧合的是，材料密度也能寫成單位體積內的原子質量，於是我們可以將聲速寫成：

一般固態物質中，鍵結能量可由古早的波耳氫原子模型導出，大約是 α²c²m_e / 2（原子質量），α 是一大串常用的物理常數，c 是光速，m_e 是電子質量。於是我們在原子尺度的物理圖像中，得到了聲速的新公式：

公式中的英文字母都是常數，唯一重要的是原子質量，原子質量越小的聲速便越快。依照理論，聲速最快的會是原子量=1 的固態氫原子，聲速為 36100m/s 。

聽起來很厲害，實際上真的是如此嗎？

針對一系列不同原子量的固態元素，我們可以看看他們的聲速是否的確符合預期。不過因為 B 的實際值和鍵結種類，晶格結構等複雜因素有關，因此並不會完全落在理論線上，不過整體的趨勢十分吻合。

有趣的是，如果我們將新的聲速公式移項一下，會發現聲速上限對光速的比率，可以用簡單的物理常數來表示，這點是前人使料未及的。這結果或許不像光速這麼絕對，不過仍然是一次很漂亮的科學推理，也為固態物理的理論與實驗提供了嶄新的發展題材。

參考資料

1. Trachenko, K., Monserrat, B., Pickard, C. J., & Brazhkin, V. V. (2020). Speed of sound from fundamental physical constants. arXiv preprint arXiv:2004.04818.

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「就是個彈簧，很重要嗎？」

當你第一次學到有關彈簧的虎克定律時，可能會有點困惑它為何出現會在課本，到底有什麼用途。在國中出現第一次後，虎克定律會不斷出現，高中再教一次，大學普物再教好幾次。了解小小的彈簧對於我們的物理課程有這麼重要呢？

要回答這些問題，我們可以先來對彈簧做一些觀察。一般的彈簧是金屬做的，由一條細絲繞成螺旋狀。而彈簧的特色在於，施加外力時的外型變化特別明顯，形變的一定範圍內移去外力後又可以迅速回到原來的形狀，甚至固定好的話可以提供張力（或壓力）。

不過，就物理學的角度來看，為什麼彈簧要做成這個樣子呢？

把彈簧拉直，變成不捲的金屬線會怎樣？

想回答這個問題，我們得先來看：不捲的金屬線會怎樣？

如果是根平凡的金屬細絲，受到拉扯時的長度不會有明顯的改變（至少用人的眼睛看起來是如此）。

不過事實上，當我們真的將重物掛在金屬線上，仔細測量是可以觀察到它的長度的確有微小的變化；更重要的是，重物的重量與伸長長度也是有著類似虎克定律的關係。不過由於我們講的是金屬線，而不是彈簧，所以在這裡不如先用ㄅ來表示：

（掛重重量）=（伸長多少）×ㄅ

這種「外力」與「形變」的現象可以從原子的視角來討論：

當材料被拉扯時，相鄰原子之間的距離被拉長；被拉開的距離越長，想將它們留在原處的恢復力就越大。

這個力量大小與原子種類有關，所以我們若改用不同材質的細線，可以測量到不同的ㄅ值。

大部分的材料都會有這種現象，只是金屬的ㄅ值相對大許多。一條一公尺的銅線大概要掛上100公斤的重量，才會拉長1公分，一般來講很難用眼睛觀察到。

這時我們注意到，ㄅ的大小除了與材料有關，也會與長度有關。回到原子的視角，在固定的重量下，兩兩原子之間拉長距離都一樣。所以如果將金屬線當成一列長長的原子串，原本長度越長的線，其中就有越多的原子要與鄰居拉開距離，因此伸長量也會越長。就像是如果把許多橡皮筋串接在一起，很容易就能拉開，同樣施力下，延展的總長度會比一條橡皮筋長很多。

彈簧的秘密：用螺旋將大大的長度放進小小的空間

這時候如果我們需要在同樣的施力情況下，有更多的長度變化的空間，彈簧的形狀就顯得合理啦。螺旋的結構能在短短的距離內容納極大的長度，因此對外力更為敏感。雖然螺旋狀牽扯到側向的力，不過從原子的角度也都和原子的種類、原子間距變動有關，所以大致上的原理是類似的。

我們可以從這個想法類推：兩條彈簧串在一起時，原本長度變成兩倍，掛上重量後拉長的長度也會變成兩倍。所以說，就算是一樣材質的彈簧，只要改變串接的數量，就能直接調整整體的彈性大小。如果有什麼問題是一條彈簧不能解決的，那就用兩條就好了。（誤）

在實際應用上，如果我們得到了 ㄅ值，也可以倒過來測量重量。但是直接用一條金屬線來測量重量不太容易，因為形變太短啦。而橡皮筋這類的材料雖然較容易形變，卻是由較複雜的高分子組成，表現出來的ㄅ值相對不太可靠，會忽大忽小。這也是為什麼，課本上會使用彈簧好朋友來測量重量。

重要性不遜於牛頓第二定律的虎克定律

從物理上來說，當受到外力時，物體要嘛移動，不然就是發生形變。彈簧其實只是一個常見且容易觀察的案例，向我們展示虎克定律如何運作。

而形變與外力的正比關係（也就是ㄅ），其實廣泛存在於各式各樣的固體材料，舉凡金屬、木頭、玻璃等等，不論是細絲還是塊材，在普遍情況下，對外力的形變都可以用ㄅ來描述。

因此在機械、材料、土木工程等各種領域，常常都會需要使用類似的概念。這樣來看的話，虎克定律與牛頓第二定律一樣，都是非常重要且基本的力學原理。怪不得從國中開始就要一學再學呀。