鑰匙怎麼開門？先搞清楚鎖中暗藏的彈簧奧秘—《知識大圖解》

• 本文轉載自「財團法人國立自然科學博物館文教基金會——科普寫作網路平台」

1676 年，英國科學家羅伯特·虎克（Robert Hooke，1635 C.E.~ 1703 C.E.）拋出了一句拉丁文字謎：“ceiiinosssttuv”；兩年後，虎克揭示了它的謎底：“ut tensio sic vis”——「力如伸長」，吾人熟稔的彈性定律，又稱「虎克定律（Hooke’s law）」。

彈性定律的提出，還得歸功於彈簧的發明，中小學課本的 “F=-kx”，即「彈性恢復力等於彈力常數乘以形變量」，為虎克定律在理想彈簧中的形式，事實上，虎克定律適用範圍甚廣，除卻金屬，也包含弓弦等其他材料。在所有材料中，適用的公式為“σ=Eε”，即「應力等於彈性模量乘以應變。應力為單位截面積受力，即 F/A；應變為單位長度形變量，即 ΔL/L」，也能寫為 “ΔL=E-1×L×σ”，即「形變量等於彈性模量的倒數乘以總長乘以應變」。

廣義的彈簧包含一切比例得當、可彎曲的合金，在人類歷史上使用第一種合金——青銅以後，這個比例經歷數千年才被找到。前三世紀托利密王朝的克特西比烏斯（Κτησίβιος，285 B.C.E.~222 B.C.E.）就找到了這樣的青銅比例，然而當他想要進一步用於研發彈射武器時，卻發生技術上的困難，無法發揮預想的效果，直到後世找到更佳的彈性比例後才慢慢改善；反觀秦始皇陵出土的寶劍被數噸陶俑壓折得嚴重彎曲，經歷了兩千餘年後出土，竟還能彈回原貌！

人們紛紛將此劍稱為「秦王朝具有記憶功能的黑科技」。重點是，秦國的武器鑄造具有非常嚴謹的標準化流程，常見於武器上的「物勒工銘」，即是從高層的「相邦」、「工師」、「丞」，乃至每個工匠，皆須於武器刻上名字，以示負責。至今，秦人一絲不苟的精神，仍可見於數以千計而毫髮不爽的出土刀劍，更可推知與托勒密王朝同一時期的中國，早已將彈性合金的技術瞭若指掌，運用成熟。

今人熟知的「彈簧」，稱作螺旋彈簧（Coil spring，或譯「盤繞彈簧」），出現於 15 世紀初，它促成發條的出現，其中最早使用發條的文物為 1430 年代全盛時期勃艮第公國（今法國中部）的“Burgunderuhr（勃艮第時鐘）”，解決了原本滑輪驅動過於笨重與動力不足的問題，而後比德·海萊恩（Peter Henlein，1485 C.E.~1542 C.E.）更以此技術，發明最早的手錶（須注意：部分資料以海萊恩為發條發明者，這是錯誤的）。

然於四十多年前戰國曾侯乙墓（墓主人曾侯乙薨於楚惠王五十六年，433 B.C.E.）出土的一串糾纏的金彈簧，將螺旋彈簧出現的時刻整整提早將近兩千年。無論何種「彈簧」，當時的中國的技術在世上可謂超倫軼群，那麼，更早善用彈簧的中國人，有可能更早發現彈性定律嗎？

「彈力」一詞最早見於晚唐段成式《酉陽雜記》，其曰：「彈力五斗。」其中「斗」為重量單位，乍看之下與今人使用的「公斤重（kgw）」、「公克重（gw）」並無二致。因此在談論彈力前，吾人須先釐清一項重要問題：古人認知的「力」，與今人有幾分相似呢？古人是否對重量與質量有清楚的認知呢？

誠如上文所述，古人最需計量的「力」，當屬「重力」，乃因重力涉及日常秤重，因此量測重力的方法，必然在原始社會的勞動人民中已能見到。

戰國墨子（周貞定王元年至周安王二十六年，468 B.C.E.~376 B.C.E.）的《墨經》曰：「力，重之謂，下、與（舉），重奮也。」意為：「重量是力的表現，向下墜落、向上舉起，皆由重量所導致。」亦即將「重量」視作向下的「拉力」；又曰：「刑（形）之大，其沉淺也，說在衡。」意為：「形體大的物體，沉入水中較淺，其機制在於平衡。」以現代物理觀念理解，「在衡」的緣故就是體積較大物體上下兩端的液壓差形成浮力，以現在公式理解就是 “B=ρ×V×g”，即「浮力等於液體密度乘以下沉體積乘以重力加速度」，墨子此話同時體現出「力平衡」的觀念。

除卻重力，「彈力」觀念也萌芽於古人重視的射術——山西峙峪遺址出土的石箭簇距今約 28000 年，經過漫長的發展，更成為西周貴族子弟必學的「六藝」之一。鑒於秤重的必要，在墨子的力觀念與「彈力」一詞出現之前，重物已被用於測量彈力。春秋末《左傳》曰：「弓六鈞。」春秋、戰國之交記載齊國度量衡等資料的《考工記》曰：「量其力，有三勻（鈞）。」無庸置疑，皆為重物量測弓弦受力之證，在力學觀念尚未發達的時代，能將重力與彈力連結，是十分先進的。

到了西漢中至東漢中的《居延漢簡》，彈力的量測以能達到斤、兩（十六兩為斤，三十斤為鈞，四鈞為石。戰國一兩約 15.8 公克重，兩漢一兩約 13.8 公克重）。隨著量測彈力愈漸精準，產生「應變與應力成正比」經驗，也就無從詫異了。

東漢晚期經學家鄭玄（漢順帝永建二年至漢獻帝建安五年，127 C.E.~200 C.E.）對「量其力，有三勻（鈞）」註曰：「每物加一石，則張一尺。」可謂世界上彈性定律至早的提出者，早於虎克近一千五百年！到了唐代的賈公彥，又對應變與應力的正比性質作出更清楚的闡述：「一石張一尺，二石張二尺，三石張三尺。」

可惜的是，中國始終沒有發現地心引力，因此不能嚴格區分質量與重量，也未將這些經驗推向數學化的過程。中古以後，中國的物理學進展趨緩，上古的科學成就在一次次的戰火中成為鳳毛麟角的絕學，也在一次次的朝代遞嬗與制度變革裡步步失去士大夫的重視，最終淡化在歷史的洪流與知識分子的記憶，直到被後來居上的西方文明趕超。

光速是宇宙的終極速限，任何的物質運動和資訊傳遞都不准超速。不過最近有人做出了最新預測，除了一般物質外，聲音的傳遞速度竟然也有最大上限？

不管是光（電磁波）還是聲音，都是以波動的形式傳播。值得注意的是，波速只會跟系統本身性質(例如：介質不同)有關，一般的繩波或是水面波同樣也是如此，不論震動得多用力或多快，都不會讓波跑的更快或更慢。

我們可以把聲波的傳遞想像成下圖中的彈簧。既然彈簧波的速度可以用彈性係數和彈簧質量來表示，同樣的，聲速應該也可以用某些性質來描述。

先從聲音的性質說起

聲音在不同材料中傳遞的差異，可以用體積模數（Bulk Modulus，簡寫 B ）來表示。體積模數代表物體在面對外部壓力時，會做出多少體積上的改變。數學上可以寫成：

等號左邊是施加的壓力，右邊是體積模數 B 乘上體積變化量占總體積的比率，負號只是習慣，這代表相同壓力下，B 值越大物體越不容易壓縮，和彈簧的 F=-kx 類似。我們知道越「硬」的彈簧反應越快，可以更快地傳遞波動；同樣地，比起在空氣中傳遞，聲速在較難壓縮的液體和固體中會比較快。因此不難看出，B 會與聲速扯上關係，而且 B 值越大聲速越快。

一般來說，聲速可以寫成：

分子就是上面提到的體積模數 B，而分母的材料密度則表示介質越稀疏，聲速越快。國中學過的聲速與溫度成正比便是這個道理，當溫度變高時，空氣體積膨脹，密度變小，因此聲速傳遞更快。

為什麼聲速有上下限？

不過公式中的 B 和材料密度都是需要透過實驗獲得的材料參數，因此很難看出聲速會有什麼上下限。如果要再往前一步，就必須進入微觀的原子尺度。想像兩個同極相斥的磁鐵，彼此互相靠近時，斥力會逐漸變大；這是因為隨著兩個相斥磁鐵逐漸靠近，抵抗靠近的磁力位能會逐漸增加。

同樣地，當原子間的鍵結能量增加，將兩顆原子拉伸或壓縮的難度會隨之上升，物體也就越不容易被壓縮。也就是說，體積模數 B 正比於單位體積內原子間的鍵結能量，巧合的是，材料密度也能寫成單位體積內的原子質量，於是我們可以將聲速寫成：

一般固態物質中，鍵結能量可由古早的波耳氫原子模型導出，大約是 α²c²m_e / 2（原子質量），α 是一大串常用的物理常數，c 是光速，m_e 是電子質量。於是我們在原子尺度的物理圖像中，得到了聲速的新公式：

公式中的英文字母都是常數，唯一重要的是原子質量，原子質量越小的聲速便越快。依照理論，聲速最快的會是原子量=1 的固態氫原子，聲速為 36100m/s 。

聽起來很厲害，實際上真的是如此嗎？

針對一系列不同原子量的固態元素，我們可以看看他們的聲速是否的確符合預期。不過因為 B 的實際值和鍵結種類，晶格結構等複雜因素有關，因此並不會完全落在理論線上，不過整體的趨勢十分吻合。

有趣的是，如果我們將新的聲速公式移項一下，會發現聲速上限對光速的比率，可以用簡單的物理常數來表示，這點是前人使料未及的。這結果或許不像光速這麼絕對，不過仍然是一次很漂亮的科學推理，也為固態物理的理論與實驗提供了嶄新的發展題材。

參考資料

1. Trachenko, K., Monserrat, B., Pickard, C. J., & Brazhkin, V. V. (2020). Speed of sound from fundamental physical constants. arXiv preprint arXiv:2004.04818.

「就是個彈簧，很重要嗎？」

當你第一次學到有關彈簧的虎克定律時，可能會有點困惑它為何出現會在課本，到底有什麼用途。在國中出現第一次後，虎克定律會不斷出現，高中再教一次，大學普物再教好幾次。了解小小的彈簧對於我們的物理課程有這麼重要呢？

要回答這些問題，我們可以先來對彈簧做一些觀察。一般的彈簧是金屬做的，由一條細絲繞成螺旋狀。而彈簧的特色在於，施加外力時的外型變化特別明顯，形變的一定範圍內移去外力後又可以迅速回到原來的形狀，甚至固定好的話可以提供張力（或壓力）。

不過，就物理學的角度來看，為什麼彈簧要做成這個樣子呢？

把彈簧拉直，變成不捲的金屬線會怎樣？

想回答這個問題，我們得先來看：不捲的金屬線會怎樣？

如果是根平凡的金屬細絲，受到拉扯時的長度不會有明顯的改變（至少用人的眼睛看起來是如此）。

不過事實上，當我們真的將重物掛在金屬線上，仔細測量是可以觀察到它的長度的確有微小的變化；更重要的是，重物的重量與伸長長度也是有著類似虎克定律的關係。不過由於我們講的是金屬線，而不是彈簧，所以在這裡不如先用ㄅ來表示：

（掛重重量）=（伸長多少）×ㄅ

這種「外力」與「形變」的現象可以從原子的視角來討論：

當材料被拉扯時，相鄰原子之間的距離被拉長；被拉開的距離越長，想將它們留在原處的恢復力就越大。

這個力量大小與原子種類有關，所以我們若改用不同材質的細線，可以測量到不同的ㄅ值。

大部分的材料都會有這種現象，只是金屬的ㄅ值相對大許多。一條一公尺的銅線大概要掛上100公斤的重量，才會拉長1公分，一般來講很難用眼睛觀察到。

這時我們注意到，ㄅ的大小除了與材料有關，也會與長度有關。回到原子的視角，在固定的重量下，兩兩原子之間拉長距離都一樣。所以如果將金屬線當成一列長長的原子串，原本長度越長的線，其中就有越多的原子要與鄰居拉開距離，因此伸長量也會越長。就像是如果把許多橡皮筋串接在一起，很容易就能拉開，同樣施力下，延展的總長度會比一條橡皮筋長很多。

彈簧的秘密：用螺旋將大大的長度放進小小的空間

這時候如果我們需要在同樣的施力情況下，有更多的長度變化的空間，彈簧的形狀就顯得合理啦。螺旋的結構能在短短的距離內容納極大的長度，因此對外力更為敏感。雖然螺旋狀牽扯到側向的力，不過從原子的角度也都和原子的種類、原子間距變動有關，所以大致上的原理是類似的。

我們可以從這個想法類推：兩條彈簧串在一起時，原本長度變成兩倍，掛上重量後拉長的長度也會變成兩倍。所以說，就算是一樣材質的彈簧，只要改變串接的數量，就能直接調整整體的彈性大小。如果有什麼問題是一條彈簧不能解決的，那就用兩條就好了。（誤）

在實際應用上，如果我們得到了 ㄅ值，也可以倒過來測量重量。但是直接用一條金屬線來測量重量不太容易，因為形變太短啦。而橡皮筋這類的材料雖然較容易形變，卻是由較複雜的高分子組成，表現出來的ㄅ值相對不太可靠，會忽大忽小。這也是為什麼，課本上會使用彈簧好朋友來測量重量。

重要性不遜於牛頓第二定律的虎克定律

從物理上來說，當受到外力時，物體要嘛移動，不然就是發生形變。彈簧其實只是一個常見且容易觀察的案例，向我們展示虎克定律如何運作。

而形變與外力的正比關係（也就是ㄅ），其實廣泛存在於各式各樣的固體材料，舉凡金屬、木頭、玻璃等等，不論是細絲還是塊材，在普遍情況下，對外力的形變都可以用ㄅ來描述。

因此在機械、材料、土木工程等各種領域，常常都會需要使用類似的概念。這樣來看的話，虎克定律與牛頓第二定律一樣，都是非常重要且基本的力學原理。怪不得從國中開始就要一學再學呀。