《周幽王的烽火台──探討烽火台平均距離的期望值》——2019數感盃 / 高中職組專題報導類佳作

• id S. Moore、諾茨 William I. Notz
• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則？

期望值的定義是：它是可能結果的一種平均，但在計算平均時，機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果，它代表了如果我們重複賭很多次，或者隨機選出很多家戶，實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明，用機率模型算出來的期望值，真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則 大數法則（law of large numbers）是指，如果結果為數值的隨機現象，獨立重複執行許多次，實際觀察到的結果的平均值，會趨近期望值。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中，每個可能結果的發生比例會接近它的機率，而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的，它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了：為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博，對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值，並且知道長期下來收入會是多少，所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具，讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多，大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場，他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡，但是保險公司知道機率，並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高，來保證有利潤。

• 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播，看到號碼球上下亂跳，然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢？ 1980 年的時候，賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆，這樣做會把球變重，因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候，他們贏了 120 萬美元。是的，他們後來全被逮到。

深入探討期望值

跟機率一樣，期望值和大數法則都值得再花些時間，探討相關的細節問題。

• 多大的數才算是「大數」？

大數法則是說，當試驗的次數愈來愈多，許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說，究竟需要多少次試驗，才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大，就需要愈多次的試驗，來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大，才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭，結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博，例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券，需要極多次的試驗，幾乎要多到不可能的次數，才能保證平均結果會接近期望值。

（州政府可不需要依賴大數法則，因為樂透彩金不像賭場的遊戲，樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面，彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說，各州所辦的樂透彩金，是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。）

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化，但要回答大數法則的適用範圍，較實際的答案就是：賭場的贏錢金額期望值是正的，而賭場玩的次數夠多，所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是，你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話，當然和賭場一樣多，但因為期望值是負的，所以以賭客整體來看，長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢，有些人輸很多，而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑，大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是：對賭場來說，結果並非不可測的。

• 有沒有保證贏錢的賭法？

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法，這種賭法每次下注的金額，是看前幾次的結果而定。比如說，在賭輪盤時，你可以每次把賭注加倍，直到你贏為止—或者，當然，直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶，這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎？不行，數學家建立的另一種大數法則說：如果你沒有無窮盡的賭本，那麼只要遊戲的各次試驗（比如輪盤的各次轉動）之間是獨立的，你的平均獲利（期望值）就會是一樣的。抱歉啦！

• 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎（拉霸）。從前，你丟硬幣進去再拉下把手，轉動三個輪子，每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲，會閃出許多很炫的畫面，而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣，有各種讓你眼花撩亂的中獎結果，還可以多台連線，共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法，但是長期下來，隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

• 文／陳宏賓 │ UniMath 主編、中興大學應用數學系助理教授。
• 本文轉載自 UniMath《除了算期望值，買樂透前你應該知道的三件事》。

今年七月時曾有威力彩已經連槓數十期，新聞報導預估這期（2020/07/27 星期一開獎）頭獎獎金高達 31 億元，投注站人潮明顯比往常多了，高額獎金吸引許多人，一時間掀起一陣買樂透熱潮。

友站數感實驗室也趁此機會向大眾宣傳數學，標題是「數感生活|本期威力彩值得投資嗎？讓期望值告訴你！」 內容概要來說就是算期望值，期望值比成本高，所以值得投資。（期望值是一種簡單的分析工具，不需要複雜的計算，只要將每一種獎項的中獎機率乘上獎金通通加總起來，就是中獎金額的期望值。） 如果這麼簡單的話⋯⋯

為何我們很少贏得獎金金額超過買的錢？

背後的理由很直接：因為只有一部分的投注金額會轉入彩金。

以全世界的彩券發行來看，一般大約只有 50% 左右會轉入彩金，這也意味著一個很明顯但多數人卻不知道的事實──­彩券的期望值大約就是購入金額的 50% （如果不看累計的彩金和中獎稅金）。 至於剩餘的那 50% 有一部分就流入市場行銷、通路販售或者送給葉佩雯，有一部分就流進了公益慈善的社會福利補貼。因此我們雖然很少在樂透贏到錢，但輸錢的感覺也不會差到哪裡去，因為如果沒有樂透，我們恐怕必須繳付更多稅金。有一點類似小朋友拒絕吞下苦得要命的感冒藥時，媽媽會從手裡拿出一顆小糖果來引誘你的概念。在這個情況下，投注金額 x 50% 就是買一張樂透的期望價值，這就是為何我們很少贏得獎金金額超過買的錢的理由。

既然如此，在如此不利的前提下，為什麼仍有那麼多人瘋樂透？當然是因為任何人都可買到一個微小的機會用一小筆錢變成大富翁，由此觀之，買樂透也算是一種理性行為。

投注值不值得？搞懂細節就值得！

如果你問我這回期望值大於成本了，該不該投注？我的結論也是一樣，值得！ 修但幾勒！不要衝那麼快，結論雖然一樣，不過同款不同師傅，細節很重要。投注之前，除了會算期望值，你最好要知道這三件事。

一、獎金期望值比成本高 ≠ 好投資

想像一場押大小的賭局，押中賠三倍，不中籌碼歸零，但規則是每次所有籌碼必須全押，贏了可以繼續，輸光就結束了。 「該不該梭哈？又什麼時候該收手？」

你稍微計算一下，假設大小開出來的機率都是 50%，發現遊戲的獎金期望值是成本的 1.5 倍，比成本高不少，玩一下應該是有利可圖，所以你就押了小，結果很幸運你贏了，贏了之後，下一把你面臨同樣的賭局，差別只是手裡的籌碼變成了 3 倍，同樣地，遊戲的期望獎金仍然是手裡籌碼的 1.5 倍，你有一點猶豫，最終又押了小，幸運的是又贏了，籌碼變成一開始的 9 倍了，這下你更猶豫要不要繼續進行賭局，因為稍有理性的人都不難意識到，如此一直賭下去，雖然把把有利可圖，但最終你總是會輸個精光。因此，獎金期望值比成本高未必等於好投資。千萬不要賭上身家，即使期望值告訴你有利可圖。

二、期望值不是你的獲獎獎金預估

我在網路上看到許多鄉民網友的留言，發現不少人誤以為獎金期望值就是購買的彩券「獲獎金額的預估」，或者說成「獲利平均」。你知道嗎？網路上很流行用這句話「全世界的人平均每人約有一顆睪丸」吐槽平均的概念。平均的概念很簡單但要用的很小心。 用在樂透上，你必須知道一張彩券的獎金期望值有絕大部分是由頭獎獎金（極高）乘上中獎機率（極低）貢獻而來，除非你購買的彩券數量多到可以將中頭獎的機率提高到可樂觀預期的地步，比方說買了 1100 萬注以上，此時中頭獎機率達到 50% 以上，否則務實的你應該忽略中頭獎的極低中獎率所貢獻的期望價值，重算一遍你可能就會打消下注的念頭。

此處獎金期望值所涵蓋的平均觀念是理論上進行無限多次投注後的結果，現實中，除非你真的很有錢，否則大多數人不可能進行那麼多次，多到讓這裡的「平均」展現其意義。假設你一生中出現 100次獎金期望值大於成本的機會（一年兩次應該是高估了），每一次都花 100 萬買一萬注，那麼你這一輩子中頭獎的期望次數也才大約 0.045 次（1000,000/22,000,000）。 每張彩券的結果或多或少於獎金期望值。一個理性賭徒通常會在獎金期望值大於成本時才出手買彩券，希望賺到比成本高的報酬。弔詭的是，理性賭徒的期待很難稱得上理性，因為獎金期望值的高低幾乎不影響你能否賺到比成本高的報酬。在樂透獎金分配設計上，往往只有頭獎和貳獎能夠參與高額獎金的分配，其餘獎項都是固定獎金制。換句話說，除非中了頭獎或貳獎，否則高期望值和你一點關係也沒有。

從圖中可以看出，大多數購買彩券的人都是慈善家，他們付出的總是比得到的多，讓我們一起祝福這些善心人士全家平安，事業順利發大財；少部分的人真正賺到比成本高的報酬，但是報酬也不高；絕無僅有的致富案例只有中頭獎的那一個人，大家都希望自己成為那一位幸運兒，連我也不例外，但希望這兩張圖能讓讀者稍微冷靜，不要錯判形勢。

三、還是忍不住要買，就不要用策略買

一般不管何時問我，我的建議策略是：「不要買！」 如果真的想買，網路上有一些文章提出選號的小技巧，宣稱按照提供的選號邏輯或策略，雖不會提高你中頭獎的機率，但如果幸運中了頭獎，這些策略讓你有更高機率不必與其他人分享獎金。 讓我們來看看有哪些選號策略或邏輯是常見的：

• 選特殊紀念日（很多人這樣做） 例如選身邊重要的人的生日、結婚紀念日⋯⋯等對自己生命中有特殊意義的日子作為號碼。
• 選大號碼組合（from 數感實驗室） 因為不論是月或日最多就僅到 31，因此大號碼組合可以避開依照特殊紀念日自選號的人，減少中頭獎卻因撞號要和他人共享獎金的機率。選
• 最不像隨機產生的號碼組合（from UniMath） 例如第一區 1, 2, 3, 4, 5, 6 第二區 7 號之類的連號，因為大部分人認為這種號碼不夠隨機不可能開出來，因此自選號的人不太可能會選這種形式的組合，可避開自選號的人，但現實中，這種號碼跟其他組合中頭獎機率一模一樣。

然而，經讀者提醒英國有一項統計資料指出，在英國買樂透選 1, 2, 3, 4, 5, 6 的人，每一期有約 10000 人左右，這個統計數字令我吃驚，我認為問題可能出在民眾也認為這組號碼比較不會和他人撞號，又或許也在某報導中讀到專家的類似建議，另一個原因則可能出於便利性，這組號碼有其選號邏輯的便利性，就像過去有些人的密碼也設成連號一樣。 經過一番反思，我決定修正最後這項選號小技巧：避開和他人撞號的機率就是不要照任何已知的策略選號！

「邁向成功的道路無法複製，唯一可以做的是避免重蹈覆轍」，這句話為避免撞號的選號邏輯做了最佳註解。除了上述策略不要用之外，你最需要避免的是和他人擁有同樣的行為模式，因此以下幾種特殊模式盡可能避開。

不要都選小號碼、不要都選大號碼、不要選連號、不要選尾數包牌（像是 05, 10, 15, 20, 25, 30），最後，不要都選質數或者費波納契數，除非你想和數學家一起中頭獎。哈！

總而言之，唯一能夠建議的技巧就是，避開他人的選號邏輯。而這個策略並不至於落進同樣泥沼的理由是，有多數的號碼組合不被包含在已知的選號策略中，所以我認為這個策略短時間內仍然是最有效的自選號方法。

• ［更新說明 07/30/2020］ 經讀者提醒後，重新思考選號小技巧的策略，結論是任何指導選號的策略一旦公開，經過時間發酵後，都不再是個能夠避開撞號的好策略，因為有許多人和你使用同一模式選號就會增加重複的機率。
• 本文轉載自 UniMath《除了算期望值，買樂透前你應該知道的三件事》。

你會怎麼處理每次結帳都會額外收到的發票呢？整理發票時，每一張還未對獎的發票都是一張潛在的獎券喔。讓我們來計算每張發票的期望值，也就是每張未對獎的發票到底值多少錢吧！

每張統一發票的期望值是多少？

首先，每兩個月一度的發票對獎時間，會公佈出來以下的獎號：

首先要提到的是期望值的算法：發票的期望值＝中獎機率 × 獎金

我們已知統一發票總共有 00000000 ~ 99999999，共 1 億組號碼。同時，每張中獎統一發票，只能選擇一個獎金領取。

• 計算中出現的 (10-1) 是為什麼呢？以二獎為例，這裡的  (10-1)  目的是為了扣掉成為頭獎的機率，因為一張發票只能領一個獎，應該是不會有人中了頭獎，卻想領二獎的錢吧！同理，從二獎到六獎，末幾位的前一位數都要扣掉變成前一個獎的可能，所以都需要乘上一個 (10-1)。

因為每張發票上的數字皆為隨機且獲得機率相同，增開獎的「末三碼」也沒有重複，同時每張發票都是領取最大額度的獎項，所以一張發票的期望值就是以上所有獎項期望值的總和 1.4818 元。也就是說每張發票在未對獎前的價值為 1.4818 元。

不印出的「雲端發票」還有加碼！

雲端發票或是「無實體電子發票專屬獎」就是在消費時，選擇不印出發票，並使用各式載具將發票儲存在雲端。儲存在雲端的發票，除了能對「統一發票號碼獎」之外，還能多一次機會，享有「雲端發票專屬獎」的對獎資格。

前面提到儲存在雲端的發票，除了能對一般統一發票獎項之外，還能享有多一次的對獎機會，目前的「雲端發票專屬獎」共有 15 組百萬元獎，以及 1 萬 5 千組 2 千元獎。和統一發票不同的是，雲端發票必須要所有字軌號碼（包含 2 位英文字軌及 8 位數號碼）與雲端發票專屬獎中獎字軌號碼完全相符才算中獎。

每張雲端發票上的數字都是隨機且獲得機率一樣，也能對「統一發票號碼獎」，所以一張雲端發票的期望值就是將專屬獎的期望值（0.00088758）加上前面每張統一發票的期望值（1.4818），總和為 1.48268758 元。

從結果來看，怎麼算都比紙本發票更划算。此外，今（108）年 9 至 10 月期，還會再增開 40 萬組 500 元獎，雲端發票有更多獲獎機會，還未使用載具的大家可以趕快設定。使用載具一方面可增加中獎機率、對獎更方便，另一方面也能夠環保愛地球，是不是很心動呢？

• 小叮嚀：若在開獎前就列印出紙本電子發票，縱使對中「雲端發票專屬獎」，也會喪失領獎資格。此外，若是一張雲端發票同時對中「統一發票號碼獎」和「雲端發票專屬獎」，中獎者也只能擇一領取唷！

參考資料：

• 統一發票給獎辦法
• 統一發票有4,500萬元隱藏版獎項你知道嗎？這樣對獎勝率更高！
• 財政部電子發票整合服務平台
• 雲端發票專屬獎專區

「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後，一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習，運用數學知識，培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力，盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類佳作 之作品，為盡量完整呈現學生之作品樣貌，本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

• 作者：張原嘉、劉羿賢／新竹市立新竹高中

前情提要

歷史上曾有一位絕世美人褒姒，她不愛笑，但她的美貌卻讓當時的天子周幽王神魂顛倒。周幽王為了取悅褒姒，在天下太平時三番五次點燃危急時召集 諸侯的烽火，當諸侯們匆忙趕來首都保衛天子時卻沒看到敵人，只見褒姒的訕 笑。西元前 771 年，犬戎入侵，失信於諸侯的周幽王，在真正危難時雖點燃烽火，卻不得諸侯信任，最終為犬戎所擄，只能含淚與褒姒生死相別。

歷史總是有無限的可能性，倘若那時有一位諸侯查覺到異狀，聯合全部諸 侯及時抵擋犬戎入侵，西周將延續國祚，而周幽王的名聲在後代終將大大改 變。 「各位臣子們，寡人對大家感激不盡，這是寡人的不對，寡人不應該隨便戲弄你們。」 此時權位最大的諸侯講話了，「王啊，所謂紅顏禍水，我們聯合要求您必須將褒姒賜死，否則何以面對被戲弄而失去軍心的軍隊呢?」

「這…寡人實在為難…」

「王，若您不將這妖女賜死，我們將另立新王，而褒姒將陪您在黃泉相見。」

周幽王噙著淚水，一條白綾，結束了絕世美人多舛的一生。

「吾王英明。」周幽王聽著眾臣高聲地朝拜，逐漸對褒姒之死釋懷，他想成為一位賢君，在歷史長河上留名，首要之務即是鞏固國防。正所謂「從何處跌倒，就要從何處爬起」，周幽王認為國家的烽火台制度亟需改善，因此，他徵求天下數學第一高手前來設計一套完善的烽火台制度，一次劃時代的改革將在數學中開展。

正文

周幽王向臣子展現強國的決心，貼出告示徵求烽火台的排列方式，只要設 計被認可即賞金千兩並加官奉爵。所謂重賞下必有勇夫，不到一天時間，全周 國數學最好的大臣便前來獻策。

「微臣對烽火排列略有涉獵，向王獻醜，請王指教。」

「愛卿別這樣說，寡人對您的建議十分有興趣，請說。」

「微臣稍加統計，周朝不含沿海地帶的邊界長度大約13000公里（註一），若照以 往以10里（等同於18公里）（註二）設置一個烽火台，那麼共約需 13000÷ 18 ≅722 座烽火台，便可占滿整個邊界。而周朝可派駐至邊界的軍隊共有 45000人（註 三），因此微臣建議在邊界每一烽火台配置 60 位士兵，當有蠻夷入侵時便點燃烽 火，使士兵集合到作戰地點，如此一來便可形成一道有效的防線，王您意下如 何?」

周幽王聽大臣如此說明，臉上露出猶疑的神情，似乎對大臣的敘述不以為 然，說道:「好是好，那我怎麼知道這種防禦可以集結多少士兵，畢竟蠻夷行軍 的速度可達一天70公里（註四），而我國首都鎬京（今西安）距離邊界最短700公 里，代表蠻夷入侵至首都最快只要10天。我必須知道直線型排列烽火台間的平均距離，進一步推算出傳遞時間，才能知道有多少士兵會及時趕來。」

周幽王的問題：大臣設計的烽火台平均從一座烽火台傳遞至另一座烽火台平均傳遞時間？這是否能及時通報軍隊抵擋蠻夷？

「臣對此稍加研究，烽火一時約行百里（註五），代表每座烽火台之間的傳遞只要 6 分鐘。為了討論 722 個烽火台之間從一座烽火台傳至另一座烽火台所需時 間，我們定義總路徑長度 L_n 為 n 個烽火台中任兩個烽火台之間傳遞次數的總和，舉最簡單的例子，L2 = 1，L3 = 4，L4 = 10 （見圖二）。」

 

「寡人看出規律了，每一個   」

「吾王英明，在點數為 n 的直線排列中，當增加第 n + 1 個點時，總路徑長度可看成原本 n 個點的總路徑長度加上新增加第 n + 1 個點到原本 n 個點的路徑長度，。在數列中我們將前項和後項的關係稱為遞迴，在 L_n 數列中，遞迴式為，且由這遞迴式，即可求出 L_n 的通式解。」

「首先必須先把遞迴式寫出來，如下：

接著把上述式子全部相加，可發現 L2、L3…Ln−1 全部被消掉，只剩下 L_n 和 一堆數字，如下式。

「到這裡我懂，但要如何化簡右式後面一連串的數字呢？」

「稟告王，在數學中求和有很多方法，最常用的方法為 Σ法，意思是將雜亂的代 數和化成許多連續正整數的n次方和相加。這招可計算出許多遞迴解的通式，但 缺點為太過雜亂，因此微臣推薦另一種計算通式的方法，分項對消。您是否有發現，在中，首項的 1 可先化成 1×2/2 ，若將分母的 2 先全部提出，可得 L_n = ½（1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ⋯+ （n − 1） × n），其中級數中的每一項乘積都滿足前項和後項的頭尾相連。」

「愛卿所言甚是，這很像文字接龍，每一項乘積的前數都必須與他的前一項的後數相同。但是如何整理？」

「王先別急，我們先將每一項同乘以3，並將⅓提出，使得Ln = ⅙（1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 3 + 3 × 4 × 3 + ⋯+ （n − 1） × n × 3）再來利用分配律的性質，

1 × 2 × 3 = 1 × 2 × （3 − 0） = 1 × 2 × 3 − 1 × 2 × 0，

2 × 3 × 3 = 2 × 3 × （4 − 1） = 2 × 3 × 4 − 2 × 3 × 1，

3 × 4 × 3 = 3 × 4 × （5 − 2） = 3 × 4 × 5 − 3 × 4 × 2，

…

（n − 1） × n × 3 = （n − 1） × n × （n + 1） − （n − 1） × n × （n − 2）。

因此Ln =⅙ [（1 × 2 × 3 − 1 × 2 × 0） + （2 × 3 × 4 − 2 × 3 × 1） + （3 × 4 × 5 −3 × 4 × 2） + ⋯+ （n − 1） × n × （n + 1） − （n − 1） × n × （n − 2）]」

周幽王臉色凝重的臉色在一瞬間豁然開朗，說道：「原來！如此操作之下前項的 1 × 2 × 3 即可與後項的 2 × 3 × 1 對消，而 2 × 3 × 4 可與 3 × 4 × 2 對消，直到最後只剩下（n − 1） × n × （n + 1）和首項的 1 × 2 × 0，因此

。」

「吾王英明，這就是分項對消的威力。若將實際情況代入，我國有 722 座烽火台，總傳遞路徑長度

，而平均傳遞路徑長度為總路徑長度除以總路徑數，若有 722 座烽火台，每兩座有一條路徑，722 座烽火台 有  = 260281 條路徑，故平均傳遞路徑長度= 62727721 ÷ 260281 = 241 條。」

「稍待一會，這平均傳遞路徑長度是否也有通式。前面算過當有n座烽火台時總傳遞路徑長度為

，其中有

，因此平均傳遞路徑長度為 。」

「王您實在有數學慧根，竟能直接求出平均傳遞路徑長度的通式，微臣自嘆弗如。」 看著周幽王臉上得意的笑，大臣心上的石頭放了下來，並接著說道：「若以兩座烽火台的傳遞為 6 分鐘來計算，當烽火台的士兵一發現蠻夷入侵， 平均只要花分鐘，即平均大約 1 天的時間便可以從任一烽火台 傳至另一烽火台，而蠻夷若想直接攻入首都需花 10 天的時間。因此倘若蠻夷再 入侵，我們可以先讓附近軍隊抵擋，拖延蠻夷入侵速度，再集結所有軍隊對付 蠻夷，相信我吾國必能永保太平，再無蠻夷攻入首都這檔憾事發生。」

「愛卿實在為朝廷之棟樑，國家之人才，能設計出有效的烽火台制度，並用遞迴原理佐證烽火台的傳遞速度足夠抵擋蠻夷入侵，你要什麼，美人、封地、還是爵位，朕通通給你。」

「報告王，這乃是微臣應當做的事，微臣只希望領取微薄俸祿，潛心研究數學，如此而已。」

「愛卿太過客氣，既然你教會我遞迴原理，我封你為遞迴大學士，並每天教導國人數學，讓數學應用在生活中，讓周朝再次因數學而富強！」

結語

「哈哈！那蠻夷一定不知我大周國有如此優秀的數理人才！」

「吾王萬歲！」在接受眾臣朝拜後，周幽王臉上盡是風光滿面的神氣。一階階 爬上烽火台的高台，此時的周幽王卻歛起笑容，若有所思地望著遠方，心中升 起一股淡淡的哀傷，「倘若褒姒還在，我可以教她有趣的數學，那她將以崇拜的 眼神投向我，那我會是多麼幸福！唉！我用最艱深的遞迴方程式也計算不了褒姒一抹淺淺的微笑，最複雜的通式解也比不上我對褒姒無盡的思念。」

地平線上連著一座又一座的烽火台，一片祥和的風景中，周幽王看見褒姒翩翩的身影如烽火一般冉冉上昇，一抹淺淺的微笑從遙遠的烽火台上，傳至更遙遠的烽火台。

相關連結

• 高中數學第二冊第一章──數列與級數
• 高中歷史第二冊第一章──商至西周的文明發展

參考資料

• 註一 每日頭條:周朝疆域範圍:「分封制」西周分封諸侯圖
• 註二 中文百科在線:烽火台
• 註三 百度百科:西周 
• 註四 每日頭條:古代騎兵行軍速度到底有多快?讓你想不到堪比現代裝甲部隊
• 註五 良工的博客:古代烽燧，軍情的傳遞速度有多快?

更多2019數感盃青少年寫作競賽內容，歡迎參考 2019數感盃特輯、數感實驗室官網及粉絲頁喔。