都會世界的三項智慧發明

本文與 PAMO車禍線上律師 合作，泛科學企劃執行

走在台灣的街頭，你是否發現馬路變得越來越「急躁」？滿街穿梭的外送員、分秒必爭的多元計程車，為了拚單量與獎金，每個人都在跟時間賽跑 。與此同時，拜經濟發展所賜，路上的豪車也變多了 。

這場關於速度與金錢的博弈，讓車禍不再只是一場意外，更是一場複雜的經濟算計。PAMO 車禍線上律師施尚宏律師在接受《思想實驗室 video podcast》訪談時指出，我們正處於一個交通生態的轉折點，當「把車當生財工具」的職業駕駛，撞上了「將車視為珍貴資產」的豪車車主，傳統的理賠邏輯往往會失靈 。

在「停工即停薪」（有跑才有錢，沒跑就沒收入）的零工經濟時代，如果運氣不好遇上車禍，我們該如何證明自己的時間價值？又該如何在保險無法覆蓋的灰色地帶中全身而退？

薪資證明的難題：零工經濟者的「隱形損失」

過去處理車禍理賠，邏輯相對單純：拿出公司的薪資單或扣繳憑單，計算這幾個月的平均薪資，就能算出因傷停工的「薪資損失」。

但在零工經濟時代，這套邏輯卡關了！施尚宏律師指出，許多外送員、自由接案者或是工地打工者，他們的收入往往是領現金，或者分散在多個不同的 App 平台中 。更麻煩的是，零工經濟的特性是「高度變動」，上個月可能拚了 7 萬，這個月休息可能只有 0 元，導致「平均收入」難以定義 。

這時候，律師的角色就不只是法條的背誦者，更像是一名「翻譯」。

施律師解釋「PAMO車禍線上律師的工作是把外送員口中零散的『跑單損失』，轉譯成法官或保險公司聽得懂的法律語言。」 這包括將不同平台（如 Uber、台灣大車隊）的流水帳整合，或是找出過往的接單紀錄來證明當事人的「勞動能力」。即使當下沒有收入（例如學生開學期間），只要能證明過往的接單能力與紀錄，在談判桌上就有籌碼要求合理的「勞動力減損賠償 」。

300 萬張罰單背後的僥倖：你的直覺，正在害死你

根據警政署統計，台灣交通違規的第一名常年是「違規停車」，一年可以開出約 300 萬張罰單 。這龐大的數字背後，藏著兩個台灣駕駛人最容易誤判的「直覺陷阱」。

陷阱 A：我在紅線違停，人還在車上，沒撞到也要負責？ 許多人認為：「我人就在車上，車子也沒動，甚至是熄火狀態。結果一台機車為了閃避我，自己操作不當摔倒了，這關我什麼事？」

施律師警告，這是一個致命的陷阱。「人在車上」或「車子沒動」在法律上並不是免死金牌 。法律看重的是「因果關係」。只要你的違停行為阻礙了視線或壓縮了車道，導致後方車輛必須閃避而發生事故，你就可能必須背負民事賠償責任，甚至揹上「過失傷害」的刑責 。 

數據會說話： 台灣每年約有 700 件車禍是直接因違規停車導致的 。這 300 萬張罰單背後的僥倖心態，其巨大的代價可能是人命。

陷阱 B：變換車道沒擦撞，對方自己嚇到摔車也算我的？ 另一個常年霸榜的肇事原因是「變換車道不當」 。如果你切換車道時，後方騎士因為嚇到而摔車，但你感覺車身「沒震動、沒碰撞」，能不能直接開走？

答案是：絕對不行。

施律師強調，車禍不以「碰撞」為前提 。只要你的駕駛行為與對方的事故有因果關係，你若直接離開現場，在法律上就構成了「肇事逃逸」。這是一條公訴罪，後果遠比你想像的嚴重。正確的做法永遠是：停下來報警，釐清責任，並保留行車記錄器自保 。

保險不夠賠？豪車時代的「超額算計」

另一個現代駕駛的惡夢，是撞到豪車。這不僅是因為修車費貴，更因為衍生出的「代步費用」驚人。

施律師舉例，過去撞到車，只要把車修好就沒事。但現在如果撞到一台 BMW 320，車主可能會主張修車的 8 天期間，他需要租一台同等級的 BMW 320 來代步 。以一天租金 4000 元計算，光是代步費就多了 3 萬多塊 。這時候，一般人會發現「全險」竟然不夠用。為什麼？

因為保險公司承擔的是「合理的賠償責任」，他們有內部的數據庫，只願意賠償一般行情的修車費或代步費 。但對方車主可能不這麼想，為了拿到這筆額外的錢，對方可能會採取「以刑逼民」的策略：提告過失傷害，利用刑事訴訟的壓力（背上前科的恐懼），迫使你自掏腰包補足保險公司不願賠償的差額 。

這就是為什麼在全險之外，駕駛人仍需要懂得談判策略，或考慮尋求律師協助，在保險公司與對方的漫天喊價之間，找到一個停損點 。

談判桌的最佳姿態：「溫柔而堅定」最有效？

除了有單據的財損，車禍中最難談判的往往是「精神慰撫金」。施律師直言，這在法律上沒有公式，甚至有點像「開獎」，高度依賴法官的自由心證 。

雖然保險公司內部有一套簡單的算法（例如醫療費用的 2 到 5 倍），但到了法院，法官會考量雙方的社會地位、傷勢嚴重程度 。在缺乏標準公式的情況下，正確的「態度」能幫您起到加分效果。

施律師建議，在談判桌上最好的姿態是「溫柔而堅定」。有些人會試圖「扮窮」或「裝兇」，這通常會有反效果。特別是面對看過無數案件的保險理賠員，裝兇只會讓對方心裡想著：「進了法院我保證你一毛都拿不到，準備看你笑話」。

相反地，如果你能客氣地溝通，但手中握有完整的接單紀錄、醫療單據，清楚知道自己的底線與權益，這種「堅定」反而能讓談判對手買單，甚至在證明不足的情況下（如外送員的開學期間收入），更願意採信你的主張 。

車禍不只是一場意外，它是認知、情緒、金錢與法律邏輯的總和 。

在這個交通環境日益複雜的時代，無論你是為了生計奔波的職業駕駛，還是天天上路的通勤族，光靠保險或許已經不夠。大部分的車禍其實都是小案子，可能只是賠償 2000 元的輕微擦撞，或是責任不明的糾紛。為了這點錢，要花幾萬塊請律師打官司絕對「不划算」。但當事人往往會因為資訊落差，恐懼於「會不會被告肇逃？」、「會不會留案底？」、「賠償多少才合理？」而整夜睡不著覺 。

PAMO看準了這個「焦慮商機」， 推出了一種顛覆傳統的解決方案——「年費 1200 元的訂閱制法律服務 」。

這就像是「法律界的 Netflix」或「汽車強制險」的概念。PAMO 的核心邏輯不是「代打」，而是「賦能」。不同於傳統律師收費高昂，PAMO 提倡的是「大腦武裝」，當車禍發生時，線上律師團提供策略，教你怎麼做筆錄、怎麼蒐證、怎麼判斷對方開價合不合理等。

施律師表示，他們的目標是讓客戶在面對不確定的風險時，背後有個軍師，能安心地睡個好覺 。平時保留好收入證明、發生事故時懂得不亂說話、與各方談判時掌握對應策略 。

從違停的陷阱到訂閱制的解方，我們正處於交通與法律的轉型期。未來，挑戰將更加嚴峻。

當 AI 與自駕車（Level 4/5）真正上路，一旦發生事故，責任主體將從「駕駛人」轉向「車廠」或「演算法系統」 。屆時，誰該負責？怎麼舉證？

但在那天來臨之前，面對馬路上的豪車、零工騎士與法律陷阱，你選擇相信運氣，還是相信策略？ 先「武裝好自己的大腦」，或許才是現代駕駛人最明智的保險。

PAMO車禍線上律師官網：https://pse.is/8juv6k 

本文轉載自顯微觀點

火山灰掩蓋的龐貝古城中，科學家再度發掘價值非凡的考古地點：一座翻修重建中的民宅，其珍貴之處在於工地現場的工具與建材原料完好封存於西元79年，維蘇威火山爆發的時刻。現代科學家得以利用顯微鏡、能量散射X光譜（Energy-dispersive X-ray spectroscopy, EDS）、立體X光等科技深入分析原料成分，探究古羅馬建築工藝細節。

古羅馬建築物能夠長久矗立，建材韌性是不可或缺的關鍵。散布於帝國領土、綿長堅固的引水道（aqueduct）就是文明遞嬗中備受讚嘆的例子。其中數座引水道經歷修繕，迄今持續運作，西元前19年建立的少女水道（Acqua Vergine）今天依然為羅馬城內的噴泉供應來自20公里外的活水。

現代混凝土（concrete）具備抗壓、廉價、靈活等優點的同時，也有容易龜裂與腐蝕、難以修復等問題。現代高樓大廈需要以混凝土包裹鋼筋，才能達到維持近百年的高強度。尚未掌握鋼筋強化技術的古羅馬建築師，卻能以混凝土建造出核心架構長存超過2000年的大型公共建設，這種差異是材料科學家無法忽視的。

偽裝成雜質的秘方：石灰塊

近數十年間，材料科學界普遍認為古羅馬混凝土（Roman concrete）原料中的火山灰（pozzolan）是其堅強韌性來源，因為加入水與熟石灰後，火山灰中豐富的二氧化矽（SiO₂）與氧化鋁（Al₂O₃）可以形成水合矽鋁酸鈣（C-A-S-H. Hydrated Calcium Aluminosilicate）或水合矽酸鈣（C-S-H. Hydrated Calcium Silicate）膠體，提升羅馬混凝土的強度與耐腐蝕性。

但是，水合矽酸鈣並非羅馬混凝土所特有，今日最常見的混凝土原料「波特蘭水泥（Portland Cement）」就飽含矽酸鹽，與水混合後也能形成強化結構的C-S-H膠體。且現代混凝土也能展現水泥帶來的微弱自癒能力，但波特蘭水泥建成的現代建築，預估壽命大多不到百年，遠不如以穩固穹頂籠罩信徒千年的羅馬萬神殿。

2023年，麻省理工大學（MIT）材料科學家馬西奇（Admir Masic）研究團隊發表對古羅馬建材的成份分析，指出羅馬混凝土中特殊的「石灰塊（lime clasts）」提供了材料自癒能力，可能是古羅馬公共建築屹立不搖的關鍵。

石灰塊在顯微鏡下看來是數毫米大小的白色石塊，過往被材料科學家認為是羅馬混凝土品質控管不嚴的產物，但是馬西奇團隊的目光停留在這些未曾被科學界細究的「雜質」上。

馬西奇團隊指出，在古羅馬學者維特魯威（Vitruvius）和老普林尼（Pliny the Elder）的記載中，當時對混凝土原料之一的石灰石（limestone, CaCo₃ . 碳酸鈣）純化標準相當嚴格，成品必須要呈現純白粉狀。因此他們認為，混凝土中普遍存在的石灰塊不是古羅馬建材商品管鬆散所致，而是刻意加入的材料。

馬西奇團隊前往義大利中部普里維諾（Privernum）的古羅馬遺跡進行採樣，遺跡牆壁使用的砂漿（motar, 水泥混合水與砂礫等材料，比混凝土少了碎石等骨材，其他成分相近）中散佈著比水泥基質顆粒更大的亮白石灰塊。

科學分析 確認熱混合法

透過以能量散射X光譜（EDS）、X光散射、共軛焦拉曼光譜、掃描式電子顯微鏡分析這些構成牆壁近2000年的砂漿，研究團隊發現其中的石灰塊主要以鈣質構成，而且是來自生石灰（CaO, quicklime），現代建築工法已不再將這種材料加入混凝土中。

馬西奇論及，基於史料與現代技術，多數人相信古羅馬建築工使用熟石灰（Ca(OH)₂, slacked lime. 氫氧化鈣，來自生石灰加水）混合火山灰、水以及其他骨材形成混凝土，類似現代工法。但透過精密儀器分析樣本成份，他推論古羅馬帝國曾採用熱混合（hot mixing）技術，以生石灰取代/混入熟石灰，與其他材料、水混合製成混凝土。

在熱混合過程中，生石灰不會全數與水反應產生熟石灰與熱能，部分會形成不均勻分布的細小石灰塊。而這些石灰塊在混凝土乾燥的同時，會經歷表層的水化、擴張，最終碳酸化成為較為穩定的碳酸鈣外層。而石灰塊內層則保持著生石灰（CaO）的狀態與活性。

水流引發雙重自癒機制

構成建築物的羅馬混凝土若受到強大拉力，產生裂隙，諸多石灰塊的穩定外層很可能隨之裂開，並暴露出飽含生石灰（CaO）的核心。在自然降雨之下，經過石灰塊核心的水流會獲得鈣離子，並使鈣離子與周遭的基質反應，在裂縫中形成碳酸鈣，使裂縫在延伸擴大之前就被填補。

裂縫中飽含鈣離子的水流，也能在混凝土中的火山灰顆粒旁引發火山灰反應（pozzolanic reaction），生成穩固的水化矽鋁酸鈣或水化矽酸鈣，對裂縫產生「癒合」效果，讓整體結構更加強韌。馬西奇稱這種定型後發生的火山灰反應為「後期火山灰反應（post-pozzolanic reaction）」，與製作混凝土的反應作出區別。

馬西奇團隊更採用實驗觀察熱混合技術對古羅馬混凝土和現代混凝土強韌度的影響。他們將不同工法製成的混凝土柱從中分裂，造成5公厘的裂縫，再讓水流持續流經裂縫30天。

未使用生石灰進行熱混合的混凝土柱，僅出現一般水泥具有的小幅自癒能力，稍稍縮小裂縫。而具有石灰塊的古羅馬混凝土柱，則持續癒合，在水流第20天左右完成自我修復，水流幾乎完全無法通過。

多方驗證 重譯權威史料

古羅馬混凝土驚人的自癒能力引發熱議，並非所有材料科學專家都認同以生石灰為核心的熱混合理論。

更啟人疑竇的是，熱混合法並不符合維特魯威記錄的熟石灰建築工法。他在公元前30年左右著作的《建築十書》（De architectura）是唯一流傳後世的古歐洲建築著作，從文藝復興以來，就缺少足以挑戰其權威的建築史料，遑論馬西奇團隊基於成分分析的理論。

馬西奇團隊為了奠定更強的論證基礎，在2024年前往龐貝古城尋找證據。他們在民宅工地遺跡發現的建材原料，正包含熱混合工法的原料：生石灰與火山灰的乾燥混合物。這些原料與建築工具一起堆放在尚未完成的牆體旁邊，被公元79年噴發的火山灰封存至今。

馬西奇團隊透過偏振光顯微鏡、電子顯微鏡等分析方法比對乾燥材料堆、未完成的牆體、已完成的牆體，確認了這些預拌的熱混合材料與牆體的混凝土、砂漿成分相符，支持他們的假說：古羅馬帝國龐貝城在公元前79年以熱混合工法製作混凝土。

這項材料科學考古發現不僅補充了古代建築史料的缺漏，也創立了新的建築材料理論，為未來的建築材料提供自癒功能的靈感。或許在數年之內，具備自癒能力、壽命長達上百年的大型建築就會動工。而人們也能期待更加環保、安全、需要遠見的都市規劃。

馬西奇團隊透過多樣方法及跨領域探索，穿越時空檢驗了古羅馬熱混合法工藝的假說。他們在遺跡搜索考古證據，以科學分析技術交替分析樣本，更研讀古羅馬史料，發現維特魯威與老普林尼雖然以 ’macerata’ 敘述以水消化生石灰，製作出熟石灰的過程。但維特魯威提及建築結構用的石灰消化過程，會轉而採用 ’extincta’ 一詞。

儘管在文獻中的古代拉丁文 macerata 和 extincta 都被用來指稱「生石灰加水消化為熟石灰」，並未在考古學界與材料學界引起太多注意。但馬西奇團隊懷疑，這種字眼的轉換可能暗示了古羅馬建築結構中的石灰並非來自「先製成熟石灰，再混入水與其他原料」，而是「生石灰直接混入水與其他原料」的熱混合工法。

就如馬西奇團隊最新論文提及的，即使是古代文獻，也無法盡錄古羅馬從共和時期到帝國時期的建築文化變遷。透過顯微鏡與X光譜等現代科技，搭配古遺跡的妥善保存與發掘，我們今日依然有機會理解千年前的人類，如何利用更有限的科技，達成宏偉巧妙的文明成就。

參考資料

• Linda M. Seymour et al. ,Hot mixing: Mechanistic insights into the durability of ancient Roman concrete.Sci. Adv.9,eadd1602(2023).DOI:10.1126/sciadv.add1602
• Vaserman, E., Weaver, J.C., Hayhow, C. et al. An unfinished Pompeian construction site reveals ancient Roman building technology. Nat Commun 16, 10847 (2025). https://doi.org/10.1038/s41467-025-66634-7

隨著科技的快速進步及生活水準的不斷提高，人類在日常生活使用的工具越來越複雜。面對推陳出新，源源不絕的各種新式工具，要如何有效地使用它們呢？看到這麼多的廣告，又要如何判斷它們的真偽呢？

這些應用科學的工具固然帶來許多便利性，但是使用者在不了解背後科學原理的情況下，也可能發生誤解，造成一些錯誤觀念以訛傳訛，反而促成不必要的浪費。本文便是筆者以日常生活中的見聞，來探討生活用品背後的一些物理原理與數學，期望能釐清一些迷思，讓讀者能夠撥雲見日。

電熱水瓶

在「日常生活範式的轉變：從紙筆到 AI」一文裡，筆者提到了許多改變我們日常生活的現代科技，卻忘了非常重要的網路購物！事實上，除了菜市場外，筆者現在幾乎已不在任何商店買東西了。網路購物有一個很大的優點，那就是很容易比較不同品牌的商品。例如 2020 年筆者決定換個熱水瓶時，在美國最大的網路市場亞馬遜（Amazon）碰到一個問題：一般的熱水瓶（如松下）大約只要美金 100 左右，唯獨像印（Zojirushi）卻有高達美金 200 元以上的熱水瓶；仔細比較一下，唯一的大不同是後者有真空保溫的外層。一向節儉慣的筆者幾經思考後決定購買 4 公升裝的松下。

在透過提高裝貨運送速度、實施更嚴格的賣家驗證流程來應對假冒產品的擔憂後，中國大陸的「全球速賣通」（AliExpress） 似乎已重返美國市場，筆者最近兩、三年也開始敢在其網站購物了。數月前看到它廣告只要美金 150 元的像印真空保溫熱水瓶，一向喜歡佔小便宜的筆者就買了一隻，讓筆者有實際的數據來比較像印的高價是否值得。像印的規格資料謂保持在 90℃ 的平均功率是 24 瓦特；美國聖荷西市的電費是每一度（千瓦小時）0.39 美元，因此每年用在保溫的電費為

松下的規格資料謂保持在 88℃ 的平均功率是 39 瓦特，因此每年用在保溫的電費是

即像印熱水瓶每年可節省約 51 美元的保溫費！值不值得高價買像印熱水瓶那就看讀者準備要用多久了。筆者的松下熱水瓶用了 4 年多，因此後悔當初沒有買比較貴的像印真空保溫熱水瓶了！

一般電熱水瓶均有所謂的「節能定時器功能」：因為晚上睡覺時不用熱水，所以在睡覺前將熱水瓶關掉，可以設定幾小時後，再自動加熱，讓讀者起來時立即有熱水泡茶或沖咖啡。這看起來是很方便，但真的節能嗎？

讓我們在這裡來分析一下吧。如果有科學儀器幫忙，分析將是輕而易舉；但事實上即使沒有，我們還是可以做很多有意義之分析的。我們關掉熱水瓶的電後，其溫度將類似圖一的紅線下降（註一），「最後」到達室溫。理論上「最後」應是慢慢逼近，永遠不可能達到室溫的。

但在實應上，我們可以說到達 1.5 之 x 座標時已經是室溫。而 1.5 到底是多少小時，則因電熱水瓶的設計及室溫之不同而異。如果設定的節能定時 x ≤ 1.5，那麼熱水瓶所散的熱正好由重新啟動的加熱補上，所以根本沒有節能；如果設定的 x > 1.5，則因熱水瓶在 x ≥ 1.5 後就已經不再散熱了，而沒有關掉的熱水瓶仍必須繼續保溫（圖一藍線），所以關掉熱水瓶是值得的、有節能的效果。

松下熱水瓶只有一個 6 小時的定時，筆者夏天做了一個實驗，發現 7 小時後還是室溫，所以沒用過它的「節能定時器功能」；像印松下熱水瓶在 6-12 小時間有 6 個定時。

便攜式空調

聖荷西夏天很熱的時間不長，因此筆者一直想買容易移動的「便攜式空調」（portable air conditioner），以便炎暑一過就可以收起來。以「portable air conditioner」搜尋亞馬遜網路市場，發現有價格差異很大的兩種空調：一種大約在美金 100 元以下，另一種則大約在 200 元以上。

仔細「研究」發現其差異是前者不必要往外面排熱氣，後者必須有管子通到外面以便排掉熱氣。我們知道能量不滅定律，如果用電產生的熱不往外排掉，那熱只能留在房間內，房間只會越來越熱，不可能變冷的！所以這類的「冷氣機」（圖二）只能像電扇一樣，讓你在電扇前面感到涼爽而已！

事實上比電扇好一點的都加了一個水箱，利用蒸發水會吸熱，讓你感到的風比電扇更冷一點，所以價錢比普通電扇高一點。這種電扇在乾燥的地方事實上是一雙箭雕：除了吹冷風外，同時可以增加空氣的濕度；但是在濕度很高的台灣，其結果可能讓人感到更悶、更難受。

為什麼要使用水呢？除了是最常見的物質之外，水俱有許多其它物質所沒有的性質（參見「奇妙的水分子」），例如氣化熱（一克的水蒸發成一克的氣體所需的熱）、比熱（將一克的水提高溫度一度所需的熱）等等均比其它物質高出許多，所以我們馬上將看到水也常來當冷卻劑。

前面所談到之兩種空調在外表上的不同是「往外面排熱氣的管子」，在內部構造上則是「壓縮機的有無」。壓縮機將氣態冷媒擠壓成液態時會產生大量的熱，冷氣機必須透過「熱交換」將它們丟到外面去，這就是為什麼「真正的冷氣機」需要有通到外面的排氣管。被壓縮的冷媒到了壓力較低的地方會立即透過「熱交換」吸熱膨脹成氣態的冷媒。前者「熱交換」的媒體主要是室外的空氣（為了提高效力，大冷氣機會用水），後者則是室內的空氣（見圖二）。

沒有排氣管的冷氣機

所以真正的冷氣機應該要有排氣管，但筆者在網路上逛店時卻發現有壓縮機、但沒有排氣管的冷氣機！例如有一款「HANLIN HS02 移動冷氣 行動空調」廣告謂：「商業級強勁壓縮機秒速制冷，快速降溫，讓酷暑瞬間消散；……。免排水高溫自蒸發系統，內建水箱設計，開機預設開啟，免排水冷凝水，高溫排風自動霧化」。從產品特色看來，壓縮機所產生的熱量應該是用來蒸發（霧化）「水箱」的水（見圖三）。讓我們在這裡利用能量不滅定律來看看是否可行。

該產品的規格謂其冷氣量為 1400 瓦特，即每秒鐘可以從室內拿掉1400焦耳的能量。前面提到水的汽化熱很高，約為每公克 2260 焦耳；因此該機器每秒鐘能蒸發掉約 0.62 公克（1400/2260）的水。也就是說為了保持室溫不變，一小時必須蒸發掉 2230 公克（2.23 公升）的水。因此除非水箱是 24 公升大，「12 小時預約定時，可設定開關機時間，方便您的生活」是絕對不可能的！還有，這些蒸發的水氣很快就會達到飽和點、結合成液態水，釋放出其剛吸收的汽化熱到室內，不可能降低室內溫度的！在廣告中他們特別介紹了「外出露營帳篷使用方法」，相信那才是該冷氣機可以真正發揮功能的地方；而商品配件中的「排水管」應該是用來「勸」我們在室內使用吧？

所以用蒸發水來冷卻壓縮機似乎是不可行的，但因為水的比熱較空氣高多了，循環「水箱」的水來冷卻壓縮機效益應該比空氣更高（見圖三），可行嗎？

DIKE 多功能移動式瞬涼水冷氣 HLE700WT就是基於這種想法的一個產品。其廣告謂：創新「無排熱管」冰風機，採用水冷循環及高效壓縮機製冷，出風降溫至 14℃，搭配獨立除溼、送風三合一功能四季都適用！前面涼快，後面涼快，無須排熱風管免窗戶施工。…製冷前需先將水箱加水，維持水循環運作，水箱裝滿 4 公升時可持續製冷 8 到 12小 時，一整天都涼爽。因為水是熱交換媒，因此廣告特別強調「大容量水箱」，讓我們在這裡也利用能量不滅定律來看看是否可行。

廣告中沒有提到冷氣量，讓我們在這裡假設與前面那款冷氣機一樣（1400瓦特）吧，即每秒鐘可以從室內拿掉1400焦耳的能量，或每小時可以拿掉5040千焦耳的能量。前面提到水的比熱很高，將1公克的水提升溫度一度需4.2焦耳；因此4公升（4000克）的水從30°C提升到100°C 水滾前可以拿掉1176千焦耳（4.2 x 4000 x 70）的熱，也就是說僅能夠拿掉冷氣機0.23小時的壓縮熱能（1176/5040）！

彩券與選擇題

美國有許多州聯合起來的「百萬大獎」（Mega Millions）：玩家可以從兩個獨立的數字池中挑選六個數字——從 1 到 70 中的五個不同數字（白球）和從 1 到 25 中的一個數字（金色百萬富翁球）。學過排列組合的讀者應該可以算出其得獎或然率是 302,575,350 之一（註二）。

美國的人口約為 335 百萬，估計絕對不會有半數以上的人買，所以其設計是每次有人中獎的機會不大，獎金下移累積，因此三不五時會出現一個大獎來製造大新聞。例如有一次大獎是 12.2 億美元，而每張「百萬大獎」券才 2 元；這麼高的「益本比」確實是相當吸引人，因此到處出現大排長龍購買，讀者會加入行列嗎？

數學及經濟學上有一稱為「預期價值」（expected value）——隨機變數可能的值，乘上其機率的總和——來幫助我們決定是否值得投資。例如假設拋硬幣正面的或然率為 2/3，反面的或然率為 1/3 ；如果擲出正面，您輸掉 $6，反面您贏得 $10；您賭嗎？這遊戲的「預期價值」為：

即平均而言，每次玩此遊戲大約會輸掉 $0.67，所以不值得玩。我們就用這個方法來看看是否值得去排長龍買「百萬大獎」吧。因為一定要買才能中獎，所以嚴格說來，在這裡不能用「預期價值」。但因為中獎幾率可以說是零，所以在這裡假設沒必要買，只是去選號碼，沒中獎時才交$2.00：

也就是說即使每次都是大獎，我們每次只要去排隊選號就可以得到$2.00。筆者雖然退休了，沒什麼大事可做，還是不會浪費時間去排隊購買的；當然，如果是因為愛國，那就另當別論了！

但是如果有 $302,575,350 將所有的組合都買下來，那不是一定可以中獎得到 $12.2 億嗎？筆者謹在此建議「泛科學」讀者成立「美國愛國獎券基金會」，募款 $302,575,350 讓我們一起發財吧（註三）！

除了投資及愛國獎券外，「預期價值」在日常生活中事實上還有一個非常有用的地方：那就是決定考試選擇題的策略。早在 1977 年當筆者還不知道什麼是投資時，就已經用常識分析了這個問題：

現行（大學入學分科測驗）倒扣的計算方法（如五選一，答對 1 分，答錯扣 0.25 分），任何只要具備簡單或然率知識的人均能算出：如果考生「完全瞎猜」，則得分數與倒扣分數剛好互相抵消。

上面這種稱為「邁可生倒扣公式」的預期價值是

在這種倒扣方法下，最佳戰略應該如何決定？顯然地，如果在五個答案中，我已經知道一個或一個以上的答案是錯的，那我應該答，因為得分的或然率已高於倒扣分的或然率：

但是如果我很不幸地「完完全全不知」呢？那因為答了也不吃虧，所以也應該答！！！總而言之，不管怎麼樣，每題都應該答！記住，每題都應該答！

「倒扣」的記分方法原有遏止考生投機的用意，可是根據上面的分析，邁可生倒扣公式不僅達不到遏止投機的目的，反而會助長之；所以，如果要避免考生猜題，倒扣比例應該提高。現在讀者應該不難算出：如果倒扣為 0.30 分，那麼邁可生倒扣公式之預期價值便變成 -0.04，就不值得瞎猜了！

結論

像印牌熱水瓶使用真空保溫，散熱率較低，也因之價格較高，但長期使用下來還是值得的。熱水瓶的「節能定時器功能」是否節能得看環境及定時長短。

「真正的冷氣機」一定要具有能「往外面排熱氣的管子」，否則因為能量不滅的關係，所有的熱只能留在室內，或許可以讓站在出風口處的人感到冷風或冷氣，但是絕對不可能使室溫下降的。事實上根本不需要分析，簡單的邏輯告訴我們：不拿熱到外面的任何機器都不可能讓室內冷下來的！筆者最後還是買了一款定價高一點、體積大很多、有管子通往外面、不怎麼方便的「便攜式空調」（註四），其冷氣量高達 4100 瓦特，為「HANLIN HS02 移動冷氣」的3倍！

美國之「百萬大獎」的「益本比」雖然可以上十億，但投資報酬率（預期價值）似乎太低，不值得浪費時間排隊去買的。如果考試選擇題採用的是「邁可生倒扣公式」，那即是完全不知道答案，也應該每題都要回答！

附註

（註一）只要透過基本微積分就可以導出來。熱水瓶的溫度（T）下降速率應該正比於散熱係數（σ）及裡外溫差（T-T_o）：

式中的 T_o 為室外溫度，解得

式中的 T_w 為熱水瓶的設定溫度（即 t=0 時的溫度）。

（註二）選一「白球」的方法有 C(70, 5) ，選五「金色百萬富翁球」的方法有 C(25, 1) ， 所以選一「白球」及五「金色球」的方法有：

（註三）筆者尚不知如何買下所有的 302,575,350 組合，請讀者提供高見。

（註四）事實上是冷暖兩用機：圖三中的室內、室外互換即成暖氣機。當暖氣機用時，因為要從室外拿熱進來，其效率比一般只在室內用電加熱的「純電熱器」高（2.7：1）。

延伸閱讀

• 「奇妙的水分子」，科學月刊，1979年1月。
• 「聯考與選擇題」，科學月刊，1977年8月。
• 「日常生活中的物理與化學」，科學月刊，2010年12月。
• 「日常生活範式的轉變：從紙筆到 AI」，泛科學，2023/03/08。
• 《我愛科學》，華騰文化有限公司，2017年12月出版；內含「奇妙的水分子」、「聯考與選擇題」、「日常生活中的物理與化學」。