你自認數學不夠好嗎？─《喚醒你與生俱來的數學力》

• 作者／賴昭正｜前清大化學系教授、系主任、所長；合創科學月刊

我擔心人工智慧可能會完全取代人類。如果人們能設計電腦病毒，那麼就會有人設計出能夠自我改進和複製的人工智慧。 這將是一種超越人類的新生命形式。

——史蒂芬．霍金（Stephen Hawking）　英國理論物理學家

大約在八十年前，當第一台數位計算機出現時，一些電腦科學家便一直致力於讓機器具有像人類一樣的智慧；但七十年後，還是沒有機器能夠可靠地提供人類程度的語言或影像辨識功能。誰又想到「人工智慧」（Artificial Intelligent，簡稱 AI）的能力最近十年突然起飛，在許多（所有？）領域的測試中擊敗了人類，正在改變各個領域——包括假新聞的製造與散佈——的生態。

圖形處理單元（graphic process unit，簡稱 GPU）是這場「人工智慧」革命中的最大助手。它的興起使得九年前還是個小公司的 Nvidia（英偉達）股票從每股不到 $5，上升到今天（5 月 24 日）每股超過 $1000（註一）的全世界第三大公司，其創辦人（之一）兼首席執行官、出生於台南的黃仁勳（Jenson Huang）也一躍成為全世界排名 20 內的大富豪、台灣家喻戶曉的名人！可是多少人了解圖形處理單元是什麼嗎？到底是時勢造英雄，還是英雄造時勢？

在回答這問題之前，筆者得先聲明筆者不是學電腦的，因此在這裡所能談的只是與電腦設計細節無關的基本原理。筆者認為將原理轉成實用工具是專家的事，不是我們外行人需要了解的；但作為一位現在的知識分子或公民，了解基本原理則是必備的條件：例如了解「能量不滅定律」就可以不用仔細分析，即可判斷永動機是騙人的；又如現在可攜帶型冷氣機充斥市面上，它們不用往室外排廢熱氣，就可以提供屋內冷氣，讀者買嗎？

CPU 與 GPU

不管是大型電腦或個人電腦都需具有「中央處理單元」（central process unit，簡稱 CPU）。CPU 是電腦的「腦」，其電子電路負責處理所有軟體正確運作所需的所有任務，如算術、邏輯、控制、輸入和輸出操作等等。雖然早期的設計即可以讓一個指令同時做兩、三件不同的工作；但為了簡單化，我們在這裡所談的工作將只是執行算術和邏輯運算的工作（arithmetic and logic unit，簡稱 ALU），如將兩個數加在一起。在這一簡化的定義下，CPU 在任何一個時刻均只能執行一件工作而已。

在個人電腦剛出現只能用於一般事物的處理時，CPU 均能非常勝任地完成任務。但電腦圖形和動畫的出現帶來了第一批運算密集型工作負載後，CPU 開始顯示心有餘而力不足：例如電玩動畫需要應用程式處理數以萬計的像素（pixel），每個像素都有自己的顏色、光強度、和運動等, 使得 CPU 根本沒辦法在短時間內完成這些工作。於是出現了主機板上之「顯示插卡」來支援補助 CPU。

1999 年，英偉達將其一「具有集成變換、照明、三角形設定／裁剪、和透過應用程式從模型產生二維或三維影像的單晶片處理器」（註二）定位為「世界上第一款 GPU」，「GPU」這一名詞於焉誕生。不像 CPU，GPU 可以在同一個時刻執行許多算術和邏輯運算的工作，快速地完成圖形和動畫的變化。

依序計算和平行計算

一部電腦 CPU 如何計算 7×5+6/3 呢？因每一時刻只能做一件事，所以其步驟為：

• 計算 7×5；
• 計算 6/3；
• 將結果相加。

總共需要 3 個運算時間。但如果我們有兩個 CPU 呢？很多工作便可以同時（平行）進行：

• 同時計算 7×5 及 6/3；
• 將結果相加。

只需要 2 個運算時間,比單獨的 CPU 減少了一個。這看起來好像沒節省多少時間，但如果我們有 16 對 a×b 要相加呢？單獨的 CPU 需要 31 個運算的時間（16 個 × 的運算時間及 15 個 + 的運算時間），而有 16 個小 CPU 的 GPU 則只需要 5 個運算的時間（1 個 × 的運算時間及 4 個 + 的運算時間）！

現在就讓我們來看看為什麼稱 GPU 為「圖形」處理單元。圖一左圖《我愛科學》一書擺斜了，如何將它擺正成右圖呢？ 一句話：「將整個圖逆時針方向旋轉 θ 即可」。但因為左圖是由上百萬個像素點（座標 x, y）組成的，所以這句簡單的話可讓 CPU 忙得不亦樂乎了：每一點的座標都必須做如下的轉換

x’ = x cosθ + y sinθ

y’ = -x sinθ+ y cosθ

即每一點均需要做四個 × 及兩個 + 的運算！如果每一運算需要 10^-6 秒，那麼讓《我愛科學》一書做個簡單的角度旋轉，便需要 6 秒，這豈是電動玩具畫面變化所能接受的？

人類的許多發明都是基於需要的關係，因此電腦硬件設計家便開始思考：這些點轉換都是獨立的，為什麼我們不讓它們同時進行（平行運算，parallel processing）呢？於是專門用來處理「圖形」的處理單元出現了——就是我們現在所知的 GPU。如果一個 GPU 可以同時處理 10⁶ 運算，那上圖的轉換只需 10^-6 秒鐘！

GPU 的興起

GPU 可分成兩種：

• 整合式圖形「卡」（integrated graphics）是內建於 CPU 中的 GPU，所以不是插卡，它與 CPU 共享系統記憶體，沒有單獨的記憶體組來儲存圖形／視訊，主要用於大部分的個人電腦及筆記型電腦上；早期英特爾（Intel）因為不讓插卡 GPU 侵蝕主機的地盤，在這方面的研發佔領先的地位，約佔 68% 的市場。
• 獨立顯示卡（discrete graphics）有不與 CPU 共享的自己專用內存；由於與處理器晶片分離，它會消耗更多電量並產生大量熱量；然而，也正是因為有自己的記憶體來源和電源，它可以比整合式顯示卡提供更高的效能。

2007 年，英偉達發布了可以在獨立 GPU 上進行平行處理的軟體層後，科學家發現獨立 GPU 不但能夠快速處理圖形變化，在需要大量計算才能實現特定結果的任務上也非常有效，因此開啟了為計算密集型的實用題目編寫 GPU 程式的領域。如今獨立 GPU 的應用範圍已遠遠超出當初圖形處理，不但擴大到醫學影像和地震成像等之複雜圖像和影片編輯及視覺化，也應用於駕駛、導航、天氣預報、大資料庫分析、機器學習、人工智慧、加密貨幣挖礦、及分子動力學模擬（註三）等其它領域。獨立 GPU 已成為人工智慧生態系統中不可或缺的一部分，正在改變我們的生活方式及許多行業的遊戲規則。英特爾在這方面發展較遲，遠遠落在英偉達（80%）及超微半導體公司（Advance Micro Devices Inc.，19%，註四）之後，大約只有 1% 的市場。

事實上現在的中央處理單元也不再是真正的「單元」，而是如圖二可含有多個可以同時處理運算的核心（core）單元。GPU 犧牲大量快取和控制單元以獲得更多的處理核心，因此其核心功能不如 CPU 核心強大，但它們能同時高速執行大量相同的指令，在平行運算中發揮強大作用。現在電腦通常具有 2 到 64 個核心；GPU 則具有上千、甚至上萬的核心。

結論

我們一看到《我愛科學》這本書，不需要一點一點地從左上到右下慢慢掃描,即可瞬間知道它上面有書名、出版社等，也知道它擺斜了。這種「平行運作」的能力不僅限於視覺，它也延伸到其它感官和認知功能。例如筆者在清華大學授課時常犯的一個毛病是：嘴巴在講，腦筋思考已經不知往前跑了多少公里，常常為了追趕而越講越快，將不少學生拋到腦後！這不表示筆者聰明，因為研究人員發現我們的大腦具有同時處理和解釋大量感官輸入的能力。

人工智慧是一種讓電腦或機器能夠模擬人類智慧和解決問題能力的科技，因此必須如人腦一樣能同時並行地處理許多資料。學過矩陣（matrix）的讀者應該知道，如果用矩陣和向量（vector）表達，上面所談到之座標轉換將是非常簡潔的（註五）。而矩陣和向量計算正是機器學習（machine learning）演算法的基礎！也正是獨立圖形處理單元最強大的功能所在！因此我們可以了解為什麼 GPU 會成為人工智慧開發的基石：它們的架構就是充分利用並行處理，來快速執行多個操作，進行訓練電腦或機器以人腦之思考與學習的方式處理資料——稱為「深度學習」（deep learning）。

黃仁勳在 5 月 22 日的發布業績新聞上謂：「下一次工業革命已經開始了：企業界和各國正與英偉達合作，將價值數萬億美元的傳統資料中心轉變為加速運算及新型資料中心——人工智慧工廠——以生產新商品『人工智慧』。人工智慧將為每個產業帶來顯著的生產力提升，幫助企業降低成本和提高能源效率，同時擴大收入機會。」

附錄

人工智慧的實用例子：下面一段是微軟的「copilot」代書、谷歌的「translate」代譯之「one paragraph summary of GPU and AI」。讀完後，讀者是不是認為筆者該退休了？

GPU（圖形處理單元）和 AI（人工智慧）之間的協同作用徹底改變了高效能運算領域。GPU 具有平行處理能力，特別適合人工智慧和機器學習所需的複雜資料密集運算。這導致了影像和視訊處理等領域的重大進步，使自動駕駛和臉部辨識等技術變得更加高效和可靠。NVIDIA 開發的平行運算平台 CUDA 進一步提高了 GPU 的效率，使開發人員能夠透過將人工智慧問題分解為更小的、可管理的、可同時處理的任務來解決這些問題。這不僅加快了人工智慧研究的步伐，而且使其更具成本效益，因為 GPU 可以在很短的時間內執行與多個 CPU 相同的任務。隨著人工智慧的不斷發展，GPU 的角色可能會變得更加不可或缺，推動各產業的創新和新的可能性。大腦透過神經元網路實現這一目標，這些神經元網路可以獨立但有凝聚力地工作，使我們能夠執行複雜的任務，例如駕駛、導航、觀察交通信號、聽音樂並同時規劃我們的路線。此外，研究表明，與非人類動物相比，人類大腦具有更多平行通路，這表明我們的神經處理具有更高的複雜性。這個複雜的系統證明了我們認知功能的卓越適應性和效率。我們可以一邊和朋友聊天一邊走在街上，一邊聽音樂一邊做飯，或一邊聽講座一邊做筆記。人工智慧是模擬人類腦神經網路的科技，因此必須能同時並行地來處理許多資料。研究人員發現了人腦通訊網路具有一個在獼猴或小鼠中未觀察獨特特徵：透過多個並行路徑傳輸訊息,因此具有令人難以置信的多任務處理能力。

註解

（註一）當讀者看到此篇文章時，其股票已一股換十股，現在每一股約在 $100 左右。

（註二）組裝或升級過個人電腦的讀者或許還記得「英偉達精視 256」（GeForce 256）插卡吧?

（註三）筆者於 1984 年離開清華大學到 IBM 時，就是參加了被認為全世界使用電腦時間最多的量子化學家、IBM「院士（fellow）」Enrico Clementi 的團隊：因為當時英偉達還未有可以在 GPU 上進行平行處理的軟體層，我們只能自己寫軟體將 8 台中型電腦（非 IBM 品牌！）與一大型電腦連接來做平行運算，進行分子動力學模擬等的科學研究。如果晚生 30 年或許就不會那麼辛苦了?

（註四）補助個人電腦用的 GPU 品牌到 2000 年時只剩下兩大主導廠商：英偉達及 ATI（Array Technology Inc.）。後者是出生於香港之四位中國人於 1985 年在加拿大安大略省成立，2006 年被超微半導體公司收購，品牌於 2010 年被淘汰。超微半導體公司於 2014 年 10 月提升台南出生之蘇姿豐（Lisa Tzwu-Fang Su）博士為執行長後，股票從每股 $4 左右，上升到今天每股超過 $160，其市值已經是英特爾的兩倍，完全擺脫了在後者陰影下求生存的小眾玩家角色，正在挑戰英偉達的 GPU 市場。順便一題：超微半導體公司現任總裁（兼 AI 策略負責人）為出生於台北的彭明博（Victor Peng）；與黃仁勳及蘇姿豐一樣，也是小時候就隨父母親移居到美國。

（註五）或。

延伸閱讀

• 「熱力學與能源利用」，《科學月刊》，1982 年 3 月號；收集於《我愛科學》（華騰文化有限公司，2017 年 12 月出版），轉載於「嘉義市政府全球資訊網」。
• 「網路安全技術與比特幣」，《科學月刊》，2020 年 11 月號；轉載於「善科教育基金會」的《科技大補帖》專欄。

本文由 國立臺灣師範大學 委託，泛科學企劃執行。 

煮湯時看到調理包背面寫著「加水且加入鹽巴或味精，就大功告成了」。

這句話該怎麼解讀呢？邏輯思維好的人可能很快就能反應過來，意思是加水是必須的，鹽巴和味精至少要加一個。當然，兩者都加也行，但似乎不太健康。

你可能會說：「煮湯時誰會想那麼多？這太哲學了！」其實，19 世紀有位數學家將邏輯建立在數學而非哲學之上，他的貢獻深深影響了現代電腦的運算。他就是我們今天的主角——喬治．布爾（George Boole）。

在工作會議中，清晰的邏輯思維能幫助我們有條理地表達觀點，並迅速理解他人的意見；程式設計中，邏輯是核心，透過布林代數和邏輯運算，電腦能根據條件執行不同的任務，在智慧家電中利用邏輯閘判斷多個輸入條件來控制輸出結果。

因此，布爾提出的這一套邏輯思維與布林代數，不僅在學術領域至關重要，更是日常生活中不可或缺的工具。

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科學這門事業並非價值中立，個別科學家也不是。沒有任何人可以真正做到價值中立，當科學家這樣講自己，人們會覺得他們虛偽，因為那是不可能的。除非他們是白痴學者或超級天真，不然就是不誠實。然而誠實、開放和透明又被認為是科學研究的核心價值。科學家怎麼可能同時做到誠實，又說他們沒有自己的價值觀？如果科學家要堅守誠信，同時卻讓大眾誤解他們的角色（就算不是故意的），這會讓他們的事業出現根本的矛盾。

可能有人會反駁，科學家並不是說他們沒有自己的價值觀，只是不會允許這些價值觀影響到科學工作。這種論述不可能證明對或錯，但社會科學研究和一般常識都顯示這不太可能。這就把我們帶到下一個問題，不知為何長久以來都沒有人認真討論一件事，但它卻是許多美國人不信任科學的核心因素：要說科學是價值中立的，多少是在說它沒有價值，至少除了創造知識以外沒有其他價值，而這很容易就變成在說科學家沒有價值信念。當然不是這樣，但如果科學家不願意討論他們的價值觀，就會給人一種印象，認為他們的價值觀有問題，所以才需要遮遮掩掩，或認為他們根本就沒有價值信念。你會相信一個沒有價值信念的人嗎？

我在第二章提出了一個問題：忽視科學主張但最終發現它是對的，風險是什麼？相比之下，相信一個錯誤的科學主張，風險又是什麼？回答這個問題必須仰賴價值。我和康威合著的《販賣懷疑的人》提到，氣候科學所引起的爭辯，幾乎都是價值上的爭辯。很多有影響力的人物在一九八○和一九九○年代相信，政府干預市場的政治風險是如此之大，超越了氣候變遷的風險，因此他們懷疑、蔑視，甚至否認後者的科學證據。這些立場由自由主義智庫繼承，得到共和黨支持，演變成共和黨支持者很多都否認氣候變遷，只是有些積極、有些消極；然後再演變成很多質疑「大政府」的人都懷疑氣候變遷，包括商人、長者、福音派基督徒、住在美國鄉下的人。

即使氣候變遷的證據不斷累積，懷疑論者還是堅稱，就算氣候真的有在變遷，情況也不會太嚴重，或者不是「我們造成的」。因為如果事情真的很嚴重而且是我們造成的，那我們就應該採取行動，可能需要政府以某種方式管制。如此一來，否認氣候變遷逐漸變成美式生活的常態，先是否認證據，最終否認事實。這個問題非常嚴重，但是對於氣候變遷否認者秉持的價值，不能一網打盡說是錯的。

我們可以討論大政府和小政府的優缺、市場管制不足或過度管制的風險，但任何這類討論都（至少在某種程度上）是從價值出發。如果要開誠布公討論這個話題，就必須討論我們的價值觀。不同的人面對同樣的風險，可能有不同的想法，不代表他們就是愚笨或腐敗。人為氣候變遷的科學證據很清楚，疫苗不會導致自閉症很清楚，使用牙線有益健康也很清楚。但價值觀導致許多人拒絕接受證據指出的事情。

回到剛才的問題：你會相信一個沒有價值信念的人嗎？答案當然是不會，這種人是反社會人格。你也不會相信那些擁抱你所厭惡的價值的人。但如果你認為，某個人的價值觀起碼部分與你相似，就算不盡相同，你可能就比較願意聽聽他的想法，接受他說法的一部分。因此，無論價值中立是否能讓一個主張在知識論上比較站得住腳，可以確定的是它在現實中沒有用，不能以此確保溝通、建立信任的連結。

科學寫作的主流寫法不只試圖隱藏作者的價值觀，也把他們的人性一同抹煞了。價值觀隱藏、情緒不得伸張、避免使用形容詞，甚至連「我」這個字都無形中禁止了，即便論文只有單一作者也一樣。理想的科學論文寫得好像作者沒有價值觀或感覺，甚至好像作者根本不是人，這都是為了表現出客觀。

科學家可能覺得根本沒辦法讓否認氣候變遷和相信地球年紀是 6000 年的人相信他們。或許這是真的。我曾經公開表示對於要如何跟千禧世代交流感到非常絕望，他們之中有些人聽信末世論，認為世界就要毀滅了，幹麻還擔心氣候變遷？但當我陷入絕望，隔天幾位記者就告訴我怎樣才能透過基督教價值和教導打動這些人。他們建議我從價值觀下手，社會科學研究也支持這種想法。

結論

科學家壓抑自己的價值觀，堅持科學是價值中立的，這是一條歧路。他們認為人們如果相信科學沒有價值觀，就會相信他們，但這是錯的。

墨頓顯然這樣想，但他可能是錯的，或許反過來才是對的。原因如下：

政治與社會觀念保守的基督徒、自由主義者、共和黨人拒絕相信演化論和人為氣候變遷，大部分分析都聚焦在科學家與這些人之間的價值衝突。但我相信，驅動大多數科學家的價值觀，還是和大多數美國人的價值觀有重疊之處，包括多數的保守派和宗教信徒。近來有一些科學家開始公開聲明他們的價值觀，我認為部分原因是，他們深信這些價值觀確實得到廣泛接納，可以作為信任連結的基礎。 我認為他們是對的。

我認識的大部分科學家都想要預防疾病、促進人類健康、透過創新和發現來強化經濟、保護美國與全世界美麗的大自然。前共和黨議員殷格利斯講得很有說服力，他談到他和海洋生物學家一同造訪大堡礁，他們肩並肩站著，欣賞珊瑚礁周邊生物撼人的美麗。殷格利斯了解到一件事：他看到「創造」，科學家看到「生物多樣性」，但他們實際上看到的、在意的、珍惜的，是同一件事。

我好喜歡這個故事，因為多數人至少都在某方面珍愛自然。不同背景的美國人都曾造訪國家公園和森林，去健行、釣魚、露營、開車、攝影、漫遊、抱怨，雖然從事不同活動，但美景與體驗帶來了共同的喜悅。儘管如此，我們對人類與自然世界的關係，確實有不一樣的想法。有些人想要在冬日的黃石公園騎雪上摩托車，有些人想要安靜休養。幾乎所有美國人都說他們相信自由，然而我們對這個詞的理解卻嚴重分歧，也很難同意該把哪一類自由看得最重要。柏林有句名言：狼的自由可能代表羊的死亡。同意「自由」這個詞意義並不大。

宗教歷史學家普羅特勞指出，猶太人、天主教徒和新教教徒都相信十誡，但是版本差距之大，令人吃驚。例如天主教放棄了不可崇拜偶像，而猶太教與新教徒堅守此道。天主教因此少了一條戒律，只剩九條很奇怪，於是他們把最後一條一分為二，變成第九條是不可貪圖鄰人之妻，第十條是不可貪圖其他東西。儘管如此，美國人中超過 70% 都信奉這三個宗教，他們都還是認同不可殺人、偷竊、通姦或做偽證，也相信我們應該崇拜唯一真神、不可妄稱神的名、守安息日、孝敬父母。伊斯蘭教也同意這些，只是比這三個宗教更加強調慈善：課（zakat），也就是施捨，是五大支柱之一。不過，看看 zakat 這個字和希伯來文中的 tzedakah 多麼相似，tzedakah 代表慈善施予，是猶太生活的道德義務。慈善也是基督教的核心價值，虔誠的摩門教徒會繳納什一奉獻。

在很多政治議題上我們意見相左，但我們的核心價值大部分都重疊。釐清這些我們都同意的部分，並解釋它們和科學研究的關聯，我們就有機會克服盛行的懷疑論與對科學的不信任，尤其是因價值受到衝擊而產生的不信任。

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——本文摘自《為何信任科學：科學的歷史、哲學、政治與社會學觀點》，2024 年 04 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。