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聽聲音(五):分割聲音的光譜

Muzik Online
・2015/02/09 ・1982字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 456 ・五年級

作者 官大為(Wiwi)

上一篇文章,我們了解到了人眼睛所看到的各種顏色,其實只是各種不同頻率的電磁波而已。我們把人眼可以看到的電磁波叫做「可見光」,可見光的頻率差不多是 400,000,000,000,000 Hz 到 790,000,000,000,000 Hz(或寫成 400-790 THz),而我們再把這段頻率,切成幾段區塊,給它們一些名字,所以我們才可以互相溝通我們看到了什麼「顏色」。


然後我們也提到了,人類可以聽到的聲音頻率大約是 20 Hz 到 20,000 Hz,雖然比起光線的頻率,這個數字看起來小得多,但如果以比例的方式來看的話,聽覺頻率的下限和上限,可是相差了 1000 倍之遠。

在這麼大的一個範圍內,我們該如何幫不同的頻率取名字呢?像是我們幫顏色取名字一樣,(隨意)挑出幾個頻率,然後把它們冠上 Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si 的名字,這樣就可以了嗎?

如果這麼簡單的話就好了。

住在希臘的聰明男人

如果我們只把 20 到 20,000 Hz 這麼大一塊頻率範圍,隨意(但差不多平均分配地)指定中間七個頻率,代表 Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si 的話,你聽到的 Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si 可能會類似這樣子:

很顯然地這種天真的想法完全行不通,我們需要更聰明的做法。還好在大約 2500 年前,在希臘出現了一個很聰明的男人,他的名字叫做 Πυθαγόρας,或是用我們看得懂的寫法-畢達哥拉斯(Pythagoras)。

畢達哥拉斯留給我們的,除了關於直角三角形的很重要的事情之外,他也給了我們一個在音樂上的很重要的事情:「八度」(octave)。

比例原則

因為畢達哥拉斯是有好奇心的聰明人,所以他一定會對為什麼周遭有這麼多高低不同的聲音感到有興趣,加上他數學(很顯然地)不錯,所以他一定會思考聲音跟數學(或宇宙)有什麼關聯,為什麼某些聲音跟某些聲音合起來比較好聽,為什麼某個聲音跟另一個聲音聽起來很像⋯⋯

據說畢達哥拉斯喜歡用比例來思考,他深信宇宙萬物都可以用整數以及它們的比例表示(後來我們當然證明了他是錯的),這也是為什麼當他的學生希帕索斯(Hippasus)發現根號 2 是個無理數(註)的時候,他會不爽到叫其他學生把希帕索斯丟到海裡去的原因了。

總之,畢達哥拉斯真的很喜歡「比例」,所以他也想要用「比例」來解釋聲音頻率互相的關聯。

切一半、再切一半

據說畢達哥拉斯的聲音實驗,是在一台獨弦琴(monochord)上完成的,他想要測試不同長度的弦,產生的聲音有什麼不同,整個流程可能很類似是以下這樣子:


首先,畢達哥拉斯把一條弦架在獨弦琴上,然後用手指撥它,假設這條弦產生了像這樣的聲音:

畢達哥拉斯能夠想到的最簡單的整數比就是 1:1 了,於是他再撥了同一條弦一次。當然,這是同一條弦,你再撥一次的話當然還是產生同樣的聲音:

除了 1:1 以外,你能想到的第二簡單的整數比是什麼呢?大概就是 2:1 了,於是畢達哥拉斯把剛剛那條弦的長度減少成原本的一半,使原來那條弦跟它的長度比是 2:1,然後撥它,產生了以下的聲音:

然後他應該有發現,把一條弦的長度剖半產生的聲音,跟原本整條弦的聲音很像,根本就像是同一個聲音的不同版本而已:

如果繼續把弦長剖半再剖半,變成原本的四分之一或八分之一,產生的聲音也都很像是同一個聲音的不同版本。我接下來要連續播放原來弦長、二分之一、四分之一和八分之一長度的聲音給你聽:

分割聲音的光譜

後來我們知道了弦的長度和所產生的頻率有反比關係,也就是當弦的長度變成原來的一半時,產生的頻率剛好會是兩倍。而經過以上的實驗,畢達哥拉斯發現,所有的聲音好像都會在頻率變成兩倍時重複,換句話說,把一個聲音的頻率變成兩倍時,你得到的只是「同一個聲音的不同版本」,我們後來把頻率比例是 2:1 的兩個音叫做八度(octave),然後把這兩個音聽起來很像的這件事叫做等價八度(octave equivalence)。

這就是我們為什麼只需要幾個音名,就可以形容這麼大一段聲音頻率範圍的原因:只要我們一旦把某個頻率叫做「Do」,那麼那個頻率的兩倍、四倍、八倍、十六倍⋯⋯頻率的聲音,因為聽起來就像是「Do」的不同種版本,所以我們就也可以把這些頻率全部叫做「Do」。

於是我們得到了一個重要結論:我們原本嘗試解決的「如何切割 20 Hz 到 20,000 Hz 的頻率範圍,並給它們名字」的這件事,根本問的就是錯誤的問題。我們應該做的是「任意選定一個頻率 x,然後分割 x 到 2x 這一段頻率,並給它們一些名字,再把這些名字複製到頻譜的其他範圍」就好了。


下期待續

好,所以那我們要怎麼分割 x 到 2x 這段頻率呢?我們需要算更多數學,下次 Wiwi 要跟你一起用畢達哥拉斯的方法,實際操作算出 Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si 的頻率,甚至進一步算出鍵盤樂器上所有黑白鍵的頻率,敬請期待囉!

(Wiwi)

註:無理數指的就是不能用分數表達的數字,像是根號 2、Pi、e、黃金比例等數值都是無理數。

轉載自MUZiK ONLiNE 名家隨筆

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什麼是「造父變星」?標準燭光如何幫助人類量測天體距離?——天文學中的距離(四)

CASE PRESS_96
・2021/10/22 ・3033字 ・閱讀時間約 6 分鐘
  • 撰文|許世穎

「造父」是周穆王的專屬司機,也是現在「趙」姓的始祖。以它為名的「造父變星」則是標準燭光的一種,讓我們可以量測外星系的距離。這幫助哈柏發現了宇宙膨脹,大大開拓了人們對宇宙的視野。然而發現這件事情的天文學家勒梅特卻沒有獲得她該有的榮譽。

宇宙中的距離指引:標準燭光

經過了三篇文章的鋪陳以後,我們終於要離開銀河系,開始量測銀河系以外的星系距離。在前作<天有多大?宇宙中的距離(3)—「人口普查」>中,介紹了距離和亮度的關係。想像一支燃燒中、正在發光的蠟燭。距離愈遠,發出來的光照射到的範圍就愈大,看起來就會愈暗。

我們把「所有發射出來的光」稱為「光度」,而用「亮度」來描述實際上看到的亮暗程度,而它們之間的關係就是平方反比。一旦我們知道一支蠟燭的光度,再搭配我們看到的亮度,很自然地就可以推算出這支蠟燭所在區域的距離。

舉例來說,我們可以在台北望遠鏡觀測金門上的某支路燈亮度。如果能夠找到到那支路燈的規格書,得知這支路燈的光度,就可以用亮度、光度來得到這支路燈的距離。如果英國倫敦也安裝了這支路燈,那我們也可以用一樣的方法來得知倫敦離我們有多遠。

我們把「知道光度的天體」稱為「標準燭光(Standard Candle)」。可是下一個問題馬上就來了:我們哪知道誰是標準燭光啊?經過許多的研究、推論、歸納、計算等方法,我們還是可以去「猜」出一些標準燭光的候選。接下來,我們就來實際認識一個最著名的標準燭光吧!

「造父」與「造父變星」

「造父」是中國的星官之一。傳說中,「造父」原本是五帝之一「顓頊」的後代。根據《史記‧本紀‧秦本紀》記載:造父很會駕車,因此當了西周天子周穆王的專屬司機。後來徐偃王叛亂,造父駕車載周穆王火速回城平亂。平亂後,周穆王把「趙城」(現在的中國山西省洪洞縣一帶)封給造父,而後造父就把他的姓氏就從本來地「嬴」改成了「趙」。因此,造父可是趙姓的始祖呢!(《史記‧本紀‧秦本紀》:造父以善御幸於周繆王……徐偃王作亂,造父為繆王御,長驅歸周,一日千里以救亂。繆王以趙城封造父,造父族由此為趙氏。)

圖一:危宿敦煌星圖。造父在最上方。圖片來源/參考資料 2

回到星官「造父」上。造父是「北方七宿」中「危宿」的一員(圖一),位於西洋星座中的「仙王座(Cepheus)」。一共有五顆恆星(造父一到造父五),清代的星表《儀象考成》又加了另外五顆(造父增一到造父增五)。[3]

英籍荷蘭裔天文學家約翰‧古德利克(John Goodricke,1764-1786)幼年因為發燒而失聰,也無法說話。1784 年古德利克(John Goodricke,1764-1786)發現「造父一」的光度會變化,代表它是一顆「變星(Variable)」。2 年後,年僅 22 歲的他就當選了英國皇家學會的會員。卻在 2 週後就就不幸因病去世。[4]

造父一這顆變星的星等在 3.48 至 4.73 間週期性地變化,變化週期大約是 5.36 天(圖二)。經由後人持續的觀測,發現了更多不同的變星。其中一群變星的性質(週期、光譜類型、質量……等)與造父一接近,因此將這一類變星統稱為「造父變星(Cepheid Variable)」。[5]

圖二:造父一的亮度變化圖。橫軸可以看成時間,縱軸可以看成亮度。圖片來源:ThomasK Vbg [5]

勒維特定律:週光關係

時間接著來到 1893 年,年僅 25 歲的亨麗埃塔‧勒維特(Henrietta Leavitt,1868-1921)她在哈佛大學天文台的工作。當時的哈佛天文台台長愛德華‧皮克林(Edward Pickering,1846-1919)為了減少人事開銷,將負責計算的男性職員換成了女性(當時的薪資只有男性的一半)。[6]

這些「哈佛計算員(Harvard computers)」(圖三)的工作就是將已經拍攝好的感光板拿來分析、計算、紀錄等。這些計算員們在狹小的空間中分析龐大的天文數據,然而薪資卻比當時一般文書工作來的低。以勒維特來說,她的薪資是時薪 0.3 美元。順帶一提,這相當於現在時薪 9 美元左右,約略是台灣最低時薪的 1.5 倍。[6][7][8]

圖三:哈佛計算員。左三為勒維特。圖片來源:參考資料 9

勒維特接到的目標是「變星」,工作就是量測、記錄那些感光板上變星的亮度 。她在麥哲倫星雲中標示了上千個變星,包含了 47 顆造父變星。從這些造父變星的數據中她注意到:這些造父變星的亮度變化週期與它們的平均亮度有關!愈亮的造父變星,變化的週期就愈久。麥哲倫星雲離地球的距離並不遠,可以利用視差法量測出距離。用距離把亮度還原成光度以後,就能得到一個「光度與週期」的關係(圖四),稱為「週光關係(Period-luminosity relation)」,又稱為「勒維特定律(Leavitt’s Law)」。藉由週光關係,搭配觀測到的造父變星變化週期,就能得知它的平均光度,能把它當作一支標準燭光![6][8][10]

圖四:造父變星的週光關係。縱軸為平均光度,橫軸是週期。光度愈大,週期就愈久。圖片來源:NASA [11]

從「造父變星」與「宇宙膨脹」

發現造父變星的週光關係的數年後,埃德溫‧哈柏(Edwin Hubble,1889-1953)就在 M31 仙女座大星系中也發現了造父變星(圖五)。數個世紀以來,人們普遍認為 M31 只是銀河系中的一個天體。但在哈柏觀測造父變星之後才發現, M31 的距離遠遠遠遠超出銀河系的大小,最終確認了 M31 是一個獨立於銀河系之外的星系,也更進一步開拓了人類對宇宙尺度的想像。後來哈柏利用造父變星,得到了愈來愈多、愈來愈遠的星系距離。發現距離我們愈遠的星系,就以愈快的速度遠離我們。從中得到了「宇宙膨脹」的結論。[10]

圖五:M31 仙女座大星系裡的造父變星亮度隨時間改變。圖片來源:NASA/ESA/STSci/AURA/Hubble Heritage Team [1]

造父變星作為量測銀河系外星系距離的重要工具,然而勒維特卻沒有獲得該有的榮耀與待遇。當時的週光關係甚至是時任天文台的台長自己掛名發表的,而勒維特只作為一個「負責準備工作」的角色出現在該論文的第一句話。哈柏自己曾數度表示勒維特應受頒諾貝爾獎。1925 年,諾貝爾獎的評選委員之一打算將她列入提名,才得知勒維特已經因為癌症逝世了三年,由於諾貝爾獎原則上不會頒給逝世的學者,勒維特再也無法獲得這個該屬於她的殊榮。[12]

本系列其它文章:

天有多大?宇宙中的距離(1)—從地球到太陽
天有多大?宇宙中的距離(2)—從太陽到鄰近恆星
天有多大?宇宙中的距離(3)—「人口普查」
天有多大?宇宙中的距離(4)—造父變星

參考資料:

[1] Astronomy / Meet Henrietta Leavitt, the woman who gave us a universal ruler
[2] wiki / 危宿敦煌星圖
[3] wiki / 造父 (星官)
[4] wiki / John Goodricke
[5] wiki / Classical Cepheid variable
[6] wiki / Henrietta Swan Leavitt
[7] Inflation Calculator
[8] aavso / Henrietta Leavitt – Celebrating the Forgotten Astronomer
[9] wiki / Harvard Computers
[10] wiki / Period-luminosity relation
[11] Universe Today / What are Cepheid Variables?
[12] Mile Markers to the Galaxies

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CASE的全名是 Center for the Advancement of Science Education,也就是台灣大學科學教育發展中心。創立於2008年10月,成立的宗旨是透過台大的自然科學學術資源,奠立全國基礎科學教育的優質文化與環境。
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