作者 官大為（Wiwi）
在上一篇文章，我們了解到了人眼睛所看到的各種顏色，其實只是各種不同頻率的電磁波而已。我們把人眼可以看到的電磁波叫做「可見光」，可見光的頻率差不多是 400,000,000,000,000 Hz 到 790,000,000,000,000 Hz（或寫成 400-790 THz），而我們再把這段頻率，切成幾段區塊，給它們一些名字，所以我們才可以互相溝通我們看到了什麼「顏色」。
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然後我們也提到了，人類可以聽到的聲音頻率大約是 20 Hz 到 20,000 Hz，雖然比起光線的頻率，這個數字看起來小得多，但如果以比例的方式來看的話，聽覺頻率的下限和上限，可是相差了 1000 倍之遠。
在這麼大的一個範圍內，我們該如何幫不同的頻率取名字呢？像是我們幫顏色取名字一樣，（隨意）挑出幾個頻率，然後把它們冠上 Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si 的名字，這樣就可以了嗎？
如果這麼簡單的話就好了。
住在希臘的聰明男人
如果我們只把 20 到 20,000 Hz 這麼大一塊頻率範圍，隨意（但差不多平均分配地）指定中間七個頻率，代表 Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si 的話，你聽到的 Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si 可能會類似這樣子：
很顯然地這種天真的想法完全行不通，我們需要更聰明的做法。還好在大約 2500 年前，在希臘出現了一個很聰明的男人，他的名字叫做 Πυθαγόρας，或是用我們看得懂的寫法－畢達哥拉斯（Pythagoras）。
畢達哥拉斯留給我們的，除了關於直角三角形的很重要的事情之外，他也給了我們一個在音樂上的很重要的事情：「八度」（octave）。
比例原則
因為畢達哥拉斯是有好奇心的聰明人，所以他一定會對為什麼周遭有這麼多高低不同的聲音感到有興趣，加上他數學（很顯然地）不錯，所以他一定會思考聲音跟數學（或宇宙）有什麼關聯，為什麼某些聲音跟某些聲音合起來比較好聽，為什麼某個聲音跟另一個聲音聽起來很像⋯⋯
據說畢達哥拉斯喜歡用比例來思考，他深信宇宙萬物都可以用整數以及它們的比例表示（後來我們當然證明了他是錯的），這也是為什麼當他的學生希帕索斯（Hippasus）發現根號 2 是個無理數(註)的時候，他會不爽到叫其他學生把希帕索斯丟到海裡去的原因了。
總之，畢達哥拉斯真的很喜歡「比例」，所以他也想要用「比例」來解釋聲音頻率互相的關聯。
切一半、再切一半
據說畢達哥拉斯的聲音實驗，是在一台獨弦琴（monochord）上完成的，他想要測試不同長度的弦，產生的聲音有什麼不同，整個流程可能很類似是以下這樣子：
首先，畢達哥拉斯把一條弦架在獨弦琴上，然後用手指撥它，假設這條弦產生了像這樣的聲音：
畢達哥拉斯能夠想到的最簡單的整數比就是 1:1 了，於是他再撥了同一條弦一次。當然，這是同一條弦，你再撥一次的話當然還是產生同樣的聲音：
除了 1:1 以外，你能想到的第二簡單的整數比是什麼呢？大概就是 2:1 了，於是畢達哥拉斯把剛剛那條弦的長度減少成原本的一半，使原來那條弦跟它的長度比是 2:1，然後撥它，產生了以下的聲音：
然後他應該有發現，把一條弦的長度剖半產生的聲音，跟原本整條弦的聲音很像，根本就像是同一個聲音的不同版本而已：
如果繼續把弦長剖半再剖半，變成原本的四分之一或八分之一，產生的聲音也都很像是同一個聲音的不同版本。我接下來要連續播放原來弦長、二分之一、四分之一和八分之一長度的聲音給你聽：
分割聲音的光譜
後來我們知道了弦的長度和所產生的頻率有反比關係，也就是當弦的長度變成原來的一半時，產生的頻率剛好會是兩倍。而經過以上的實驗，畢達哥拉斯發現，所有的聲音好像都會在頻率變成兩倍時重複，換句話說，把一個聲音的頻率變成兩倍時，你得到的只是「同一個聲音的不同版本」，我們後來把頻率比例是 2:1 的兩個音叫做八度（octave），然後把這兩個音聽起來很像的這件事叫做等價八度（octave equivalence）。
這就是我們為什麼只需要幾個音名，就可以形容這麼大一段聲音頻率範圍的原因：只要我們一旦把某個頻率叫做「Do」，那麼那個頻率的兩倍、四倍、八倍、十六倍⋯⋯頻率的聲音，因為聽起來就像是「Do」的不同種版本，所以我們就也可以把這些頻率全部叫做「Do」。
於是我們得到了一個重要結論：我們原本嘗試解決的「如何切割 20 Hz 到 20,000 Hz 的頻率範圍，並給它們名字」的這件事，根本問的就是錯誤的問題。我們應該做的是「任意選定一個頻率 x，然後分割 x 到 2x 這一段頻率，並給它們一些名字，再把這些名字複製到頻譜的其他範圍」就好了。
下期待續
好，所以那我們要怎麼分割 x 到 2x 這段頻率呢？我們需要算更多數學，下次 Wiwi 要跟你一起用畢達哥拉斯的方法，實際操作算出 Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si 的頻率，甚至進一步算出鍵盤樂器上所有黑白鍵的頻率，敬請期待囉！
（Wiwi）
註：無理數指的就是不能用分數表達的數字，像是根號 2、Pi、e、黃金比例等數值都是無理數。
