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〈嫦娥遊「ME」的距離───來一趟奔月之旅吧!〉——2019數感盃 / 高中職組專題報導類佳作

數感實驗室_96
・2019/05/23 ・3311字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 531 ・七年級

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2019數感盃青少年寫作競賽/ 國中職組專題報導類佳作 之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:張綺殷、陳采菁│龍津高中
看著月球很容易想起嫦娥奔月的故事。圖/pixabay

一、神話傳說

各地廣為流傳的一個神話故事───《嫦娥奔月》。天空曾同時出現十個太陽,嫦娥的丈夫后羿,因為同情受苦百姓而射下九個太陽(即為西王母之子),故前去請罪。西王母非但沒有生氣,還給了后羿一顆長生不老的丹藥,實則是想看嫦娥和后羿是否會為了丹藥而爭吵。天真的后羿將此事告訴友人,嫦娥為了不讓丹藥落入友人手中,逕自服下丹藥,就此成仙奔往月球,與吳剛和玉兔一同生活。

嫦娥奔月的故事眾說紛紜,按照中國自古流傳的思想,有罪之人須下地獄受罪,若嫦娥是為己成仙之利,哪麼她又怎會上天呢?因此我們取上述說法論之。

這份美麗傳說在詩人筆下化作淒美文字,「雲母屏風燭影深,長河漸落曉星沉。嫦娥應悔偷靈藥,碧海青天夜夜心。」李商隱娓娓道來嫦娥無限寂寞之感,為這淒美的愛情故事又添一分憂愁。

二、神話背後的實話

神話故事總有科幻奇妙之處,但嫦娥究竟是如何順利抵達月球的呢?

嫦娥即使是神話故事的角色,但同是人族的一份子,生而為人(我很抱歉),要有氧氣才得以生存。但我們在此假設嫦娥可以不吃不喝、不需睡眠、不受地心引力影響,只需供給氧氣維持生理機能,那麼嫦娥抵達月球需要多少時間以及多少氧氣呢?

(一)天上人間的距離

在探討旅行到月球需要多少時間前,要先得知地球到月球有多少距離。月球是以橢圓的軌跡繞行地球,月球繞地球的半徑時時刻刻在改變,故取其最長半徑和最短半徑的平均值推估,過程如下:

*計算過程中,地球和月球以 M(moon)和 E(earth)代替

圖片出處:https://www.tainanlohas.cc/2016/11/2016_10.html

以一個普通成年人行走的速度而論,有四種走法:飯後的速度大約是 1.5~ 1.8 公里/小時,正常的速度大約是 4.5~ 6 公里/小時,快走的速度大約是 6~ 7.5 公里/小時,急行軍速(小跑)大約是 7.5 公里/小時以上。由於神話故事中,嫦娥是以飄行的方式前往月球,在此假設嫦娥的平均速度為普通人的急行軍速( 7.5 公里/小時)之快,嫦娥抵達月球的時間為地球到月球平均距離 38.45 萬(公里)÷ 飄行速度 7.5(公里/小時)= 51266.666667 ≒ 51267(小時),相當於 51267(小時)÷ 24(小時)= 2136.125 ≒ 2136(天)。月球公轉 1 次,地球自轉大約 27 天,嫦娥到月球的天數,相當於月球公轉 2136(天) ÷ 27(天)= 79.11(次)。月球以 1.02 公里/秒的速度繞地球公轉,用時 27.323 天完整繞地球一圈,為 27.323(天)× 24(小時)× 60(分鐘)× 60(秒)= 2360707.2(秒)。根據 S(距離)= T(時間)× V(速率)的公式,可知繞行一次的距離為 2360707.2(秒)× 1.02(公里/秒)= 2407921.344(公里)。因為多了 0.11 次的距離,故為 2407921(公里) ×0.11(次)= 264871.34784 公里,所以嫦娥的目的地從月亮原本出發地往前推 264871.34784 公里的距離(如下圖所示)。

(二)O2:all to the moon

了解地球到月球的距離以及時間後,緊接著要考量這趟旅途需要多少氧氣量。根據此文章(參考資料 1)所述,以人每次呼吸空氣約 0.5 公升,每分鐘呼吸 16 次計算,可得知:1 分鐘的呼吸空氣量為 0.5(公升)× 16(次)= 8(公升),而一天的呼吸空氣量為 8(公升)× 60(分鐘)× 24(小時)= 11520(公升)(採 11000 公升計算)。接著再求出一天會吸入的氧氣量,空氣中氧氣佔約 20%,故 11000(公升)× 20% = 2200 公升;而人體並非使用全數吸入的氧氣,大約有 15% 的氧氣會被排出體外,可得呼出的氧氣量為 11000(公升)× 15% = 1650(公升)。因此,人一天的純氧消耗量為 2200 − 1650 = 550 公升。求出嫦娥一天所需的氧氣量後,就可推知嫦娥抵達月球所需的氧氣量為 550(公升) x 2136(天) = 1174800(公升)。

(三)呼吸的沉重代價

此時,已得知嫦娥這趟旅程所需的氧氣量後,就該替嫦娥分析思考如何持續供應氧氣讓她順利抵達月球?我們決定試以最廣為使用的氧氣瓶供應嫦娥這趟旅程所需的氧氣量,可用以下公式:PSI(壓力表數據)÷ 14.2 ×瓶身的水容量(L) = 氧氣容量(L)(詳見參考資料 4)。我們以某廠牌氧氣瓶 1700(SPI),瓶身水容量 0.52(L)作計算:1700(SPI) ÷ 14.2 × 0.52 = 62.25(L)得氣體容量約 62.3(L)一瓶。氧氣瓶內的氧氣經壓縮成為液態氧,液態氧是一種淡藍色的液體,需儲存在 −181°F (−118.33°C) 的溫度之下,通常藉由一個雙層的真空球形瓶儲存,其中瓶內夾層真空主要來隔絕空氣的熱傳導,使熱氣不致傳導至液態氧而使其蒸發,所以人無法直接使用液態氧,會變成冰棒。氣態氧的密度為 1.429 公克/公升,可以此公式:密度 = 質量 ÷ 體積,求出氣態氧的質量為 1.429(公克/公升)= 質量(公克)÷ 1174800(公升(所需總氧量))= 1678789.2 公克。物質的變化裡,狀態的改變並不會造成質量的改變,因此液態氧質量 = 氣態氧質量 = 1678789.2 公克。得到質量後就能求出液態氧的體積,液態氧的密度為 1.141(公克/公升),故 1.141(公克/公升)= 1678789.2(公升)÷ 體積 = 1471331.4636 ≒ 1471331.5(公升)。最後,我們可以知道嫦娥總共需要 1471331.5(公升)÷ 62.3 = 23616.87801 ≒ 23617 瓶。這樣的行前準備就能讓嫦娥順利奔月了嗎?

(四)大氣層的冰與火之歌

可是這個想法終究只是理想,起初的假設僅有嫦娥得以摒除生理不受地心引力引響,然而嫦娥在抵達月球前還須經過變化多端的大氣層。地球大氣層包括,從地面往上,對流層(包括行星的邊界層或最底層的大氣)、同溫層、中氣層(散逸層)、熱成層(增溫層,包含電離層和外逸層),還有磁層。每一層有不同的氣溫,溫度隨著高度而變化。

 

圖片出處: http://delightdetox1268.pixnet.net/blog/post /280274375

對流層是地球大氣層中最靠近地面的一層,氣溫隨高度升高而降低;在對流層,高度每上升1 公里,氣溫會平均下降6.49°C。這種氣溫遞減是因為絕熱冷卻的出現。當空氣上升時,氣壓會下降而空氣隨之擴張。為了使空氣擴張,需要有一定的功(W)施予四周,故此氣溫會下降。在中緯度地區氣溫會由海平面的大約 +17°C下降至對流層頂的大約 −52°C。而在極地(高緯度地區),由於對流層相對地薄,所以氣溫只會下降至 −45°C,相反赤道地區(低緯度地區)氣溫可以下降到 −75°C;平流層是地球大氣層裡上熱下冷的一層,隨著高度的增加,平流層的氣溫起初約 216K (− 57.15°C),升至 20- 32km 後氣溫迅速上升,到了其上界達到 −3.15°C 至 16.85°C,與地面氣溫相近。中氣層的氣溫隨高度的上升而下降,夏季時層頂的氣溫可以低至 −100°C 以下;熱層氣溫主要受太陽活動而決定,這是因為氧原子強烈吸收波長小於 0.175 微米的太陽短波輻射而升溫的緣故。熱層的氣溫會因高度而迅速上升,有時甚至高達 2000°C。但因為分子之間的距離太疏,它不會令人感到任何溫暖,就連一支普通的溫度計也只會量到 0°C以下。

三、理想與現實

人類本質上是熱帶動物,18 世紀英國一個實驗生理學家勃萊登 (C·Blagdon) 於 1775 年進行的自體試驗表明:如果空氣乾燥,人可以在 120°C室溫下停留 15 分鐘,並無不良反應,體溫仍可保持穩定,但寒冷對於人體卻是一大挑戰。俄羅斯奧伊米亞康的一個小村子曾創造了人類居住地區的最低溫紀錄── −71.2°C,那裡被稱為名副其實的「地球寒極」。依據上述資料分析得知氧氣本身具有質量,而如此大量的氧氣有相當可觀的重量,飛往月球要攜帶如此大量的氧氣就需要耗費極大力氣;再者嫦娥即使順利通過對流層和平流層,在經過中氣層層頂時,因劇烈溫差就有被凍死的可能,況且人體內的壓力為一大氣壓,當進入真空狀態時,就會因為壓力的差異而自體炸裂,登月之旅也止步於此。嫦娥奔月不管在過去還是今時的技術下終究是理想,神話之所以為神話,是因為蘊含人類追求夢想的期盼。在未來的某一天裡,若有時光機的出現,屆時再回到過去邀請嫦娥來趟登月之旅吧!

參考資料

  1. 每人每天需要多少氧氣?
  2. 從地球走到月球需要多久?
  3. 人能承受的極限溫度是多少?
  4. 大氣層
  5. 氧氣瓶中的氣體容量該如何計算?

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文章難易度
數感實驗室_96
60 篇文章 ・ 35 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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沒有樂器,也可以有音樂!人類與音樂的悠久故事——《傾聽地球的聲音》
商周出版_96
・2022/12/14 ・3239字 ・閱讀時間約 6 分鐘

人類的音樂比任何樂器都古老

早在我們雕刻象牙或骨頭之前許久,肯定已經使用聲音戲耍出旋律、和聲與節奏。現代人類所有族群都會唱歌、演奏樂器和舞蹈。

這種普遍性意味著我們的祖先早在發明樂器以前,已經是音樂的愛好者。如今所有已知的人類文化之中,音樂都出現在類似情境裡,比如愛情、搖籃曲、治療和舞蹈。這麼說來,人類的社會行為通常少不了音樂。

如今所有已知的人類文化之中,音樂都出現在類似情境裡,例如搖籃曲。圖/pixabay

化石證據同樣顯示,五十萬年前的人類已經擁有能發出現代口語和歌聲的舌骨。因此,在我們製造樂器之前幾十萬年,人類的喉嚨就已經能夠說或唱出語句或歌詞。

口語和音樂何者先出現,目前還無從確定。其他物種也具有感知語言和音樂所需的神經組織,顯示我們的語言和音樂能力只是原有能力的精緻化。

左右腦的劃分

人類以左腦處理口說語言(其他哺乳類或許也是在同樣的部位處理同類的聲音),其他聲音則是傳送到負責處理音樂的右腦。或許左右腦共同處理,左腦利用聲音在不同時間呈現的細微差異理解語義和語法,右腦則用音頻的差異來捕捉旋律和音色等細節。

但這個劃分並非絕對,顯示語言和音樂之間沒有明確的分隔線。語言的抑揚頓挫和音韻會啟動右腦,歌曲的語義內容卻是點亮左腦,那麼,歌曲和詩文讓我們左右腦的運作相互交織。

所有的人類文化都有這種現象,都將文字融入歌曲裡,而口說語言的意義有一部分來自語言本身的音樂性。在嬰兒時期,我們根據母親聲音的速度和音頻辨識她。成年以後,我們用音頻、拍子、力度、音質和音調傳情表意。

在文化的層面,我們結合音樂和語言,將最珍貴的知識傳遞下去:澳洲的歌行(song line);中東與歐洲的禱文吟誦、聖歌和詩篇;桑族(San)入神舞的「呼喊敘事」;以及全世界不同族群各異其趣的詠唱方式。

在文化的層面,我們結合音樂和語言,將最珍貴的知識傳遞下去。圖/pixabay

這麼說來,器樂(instrumental music)性質特殊,跟歌曲和口語有所區分。它是一種完全脫離語言的音樂。最早的製笛師也許研究出如何創造超越語言特性的音樂。在這方面,他們或許跟其他動物找到了共通性。

動物們也有音樂和語言

昆蟲、鳥類、蛙類和其他物種的聲音也許有自己的文法和句式,卻肯定不屬於人類語言的範疇。如果器樂確實讓我們感受到超越語言或先於語言的聲音,那麼這是一種矛盾的體驗。

人類對工具的使用為時不久又獨一無二,透過這樣的活動,我們超越語言,體驗到聲音的含義與細節。我們的動物親族或許仍然這樣體驗聲音,演化成為人類之前的祖先肯定也是。器樂或許帶領我們的感官回到工具和語言出現之前的體驗。

打擊樂的出現可能也早於口語或歌曲。由於鼓的材質多半是生活中常見的皮革或木頭,不耐久存、容易腐朽,考古學上的證據因此相當稀少。已知最早的鼓只有六千年歷史,出現在中國,但人類打鼓的歷史應該久遠得多。

在非洲,野生黑猩猩、倭黑猩猩和大黑猩猩都使用鼓聲做為社交信號。這些猩猩表親使用雙手、雙腳和石頭敲擊身體、地面或樹木的板根。

這意味著我們的祖先可能會擊鼓,或許用來傳達身分或領域訊息,在此同時凝聚成團結合作、節奏一致的群體。相較於其他類人猿,人類鼓聲的節拍更有規律,也更精準。有趣的是,對許多黑猩猩族群而言,用石塊敲擊樹木可說是一種儀式。

黑猩猩會選擇特定樹木,在選定的每個地點疊出石堆。牠們不但把石頭存放起來,還會將它們拋或扔向樹木,發出砰或喀嗒聲。牠們敲擊樹木時,通常一面發出洪亮的「噓喘」,一面用手腳擊打樹幹。那麼,黑猩猩和人類都會將敲擊聲、嗓音、社會展演和儀式結合在一起。

黑猩猩和人類都會將敲擊聲、嗓音、社會展演和儀式結合在一起。圖/pixabay

這個現象告訴我們,人類音樂的這些元素,歷史比我們的物種更悠久。

最古老的緣起仍成謎

人類音樂最古老的根源究竟從什麼時間點開始,目前還是個謎,器樂與其他藝術形態之間的關係卻比較清楚。世上已知最古老的樂器,就埋葬在已知最古老的具象雕像旁,二者都來自洞穴裡人類遺跡的最底層。

它們底下的沉積層已經看不到人類的痕跡,而後,在更深處是尼安德塔人的工具。在地球上的這個位置,器樂和具象藝術同時出現,就在解剖學意義上的現代人最早抵達歐洲冰雪大地的時刻。

樂器與具象雕刻品有個共通概念,那就是物質經過三度空間的修改,可以變成活動的物件,刺激我們的感官、心靈和情感,如今我們稱之為「藝術的體驗」。笛子與雕像的並置告訴我們,在奧瑞納文化時期,人類的創意不只展現在單一活動或功能上。工匠的技藝、音樂的創新與具象派藝術彼此連結。

最早期的人類藝術也為藝術形式之間的相關性提供佐證。已知最早的繪畫是抽象的,而非具象。這些繪畫來自七萬三千年前,掩埋在南非布隆伯斯洞窟(Blombos Cave)的沉積層裡。在那個洞穴裡,有人用赭石筆在易碎的岩石上畫出交叉陰影圖案。這個圖案所在的沉積層還有其他創意作品存在,比如貝殼珠子、骨錐、矛頭和赭石鐫刻的作品。

布隆伯斯洞窟的貝殼珠。圖/wikipedia

只是,現階段的紀錄顯示,德國南部洞穴立體藝術品製作工藝發展的速度,可能與使用顏料的具象藝術不一樣。笛子和小雕像似乎沒有經過刻意著色,它們所在的洞穴也沒有壁畫裝飾。在這個地區,要等到更後期的馬格達連文化(Magdalenian,大約這些笛子出現後再經過兩萬年),才有明顯以赭色顏料塗畫的岩石裝飾。

馬格達林洞穴壁畫。圖/wikipedia

歐洲另一個奧瑞納文化遺址、西班牙北部的埃爾卡斯蒂洞窟(El Castillo),發展軌跡卻是不同。洞穴裡的圓盤壁畫時間超過四萬年,在同一面牆壁上有個三萬七千年前的手掌圖案。不過,據我們目前所知,這個時期在這個地區並沒有立體藝術創作。

同樣的,蘇拉威西洞穴的具象壁畫也跟任何已知雕刻作品無關。這些差異透露的,是考古紀錄有欠完整,而不是人類藝術的發展歷程。目前看來,立體藝術作品(雕像與笛子)最早發展的時間和地點似乎與繪畫不同。

見證音樂的悠久歷史

這段悠久的歷史重塑我們對更近期藝術的體驗。望著舊石器時代的笛子和小雕像,我想到大英博物館、紐約大都會藝術博物館和羅浮宮的人潮。有時我們會排隊幾小時,只為了看一眼人類藝術與文化的重要時刻。但在德國鄉間這座小博物館裡,我們見識到藝術更深遠的根源。

我張開雙臂。假設我雙手之間的距離是已知人類音樂與具象藝術存在的時間,冰河期的笛子和雕刻品的位置會在我左手指尖,跟蘇拉威西的洞穴壁畫一起。各大博物館裡的主要藝術品的位置則在我右手伸直的指尖,是過去一千年來的產物。

這絕不代表過去幾百年來的藝術創作不重要,相反的,紀錄遠古人類精湛藝術的遺址和博物館既與更近期的作品相得益彰,也為人類的藝術創作尋根溯源。藝術在與每個地區的動物和環境的關係中誕生,又藉著舊石器時代人類的高超技藝與想像力向上提升。

—本文摘自《傾聽地球之聲》,2022 年 11 月,商周出版,未經同意請勿轉載。

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在完成環球航行之前,人類是如何計算出地球周長的?——《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》
天下文化_96
・2022/12/03 ・1906字 ・閱讀時間約 3 分鐘

十六世紀初的環球航行

既然史上第一次環球航行到十六世紀初才完成,埃拉托斯特尼在公元前 240 年又是用什麼方法,這麼準確估算出地球周長呢?他顯然不可能用捲尺繞地球一圈。他的替代做法是先測量地球表面上的一小段距離,再利用一些巧妙的數學運算,省去必須測量整段長度的麻煩。

埃拉托斯特尼在公元前 240 年又是用什麼方法,這麼準確估算出地球周長呢?圖/pexels

埃拉托斯特尼掌管古代最好的亞歷山卓圖書館,在幾個科學領域都有極有趣的貢獻,包括數學、天文學、地理學、音樂等等。不過,儘管他有新穎的工作成果,同時代的人卻瞧不起他的能力,還給他「第二名」(Beta)這個綽號,暗示他不是第一流的思想家。

質數表的誕生

他提出的聰明想法之一是,用有系統的方式產生一系列質數。為了找出從 1 到 100 之間的所有質數,埃拉托斯特尼提出以下的程序。從 2 這個數開始,刪掉隨後所有 2 的倍數,只要在數字表中刪除每走 2 步遇到的整數就行了。接著走到 2 以後還沒刪掉的下一個整數,顯然是 3,現在要有系統的刪除每走 3 步遇到的所有數字,就刪掉了 3 的所有倍數。這個方法在此刻開始顯出自己的本領。整數表中還沒有刪掉的下一個數是 5,重複我們在前面兩個數所用的方法,把每走 5 步遇到的數字全部淘汰掉。

這個程序的要訣是:移到下一個還保留著的數字,然後往後面刪掉這個新數字的所有倍數。如果你做得很有系統,把 7 的倍數都淘汰之後,就會產生一個小於 100 的質數表。

埃拉托斯特尼篩法是個找出在一特定整數以下的所有質數之簡單演算法。圖/wikipedia

這個程序極為聰明,省去了必須考慮很多的麻煩,非常適合電腦執行,但若要大量產生質數,它的問題是很快就會變得效率低落。它是思考的捷徑,可以讓你像機器般產生質數表,但這不是我想在本書裡頌揚的那種捷徑。我想要的是發掘質數的聰明策略。

利用太陽的位置計算地球周長

不過,我要給埃拉托斯特尼的地球周長計算工作打高分,因為太巧妙了。他聽說斯溫尼特(Swenet)城裡有一口井,太陽每年會有一天在它的天頂。太陽在夏至正午直射井底,不會在井邊投下任何影子。斯溫尼特就是今天的亞斯文(Aswan),離北回歸線不遠,北回歸線位於北緯 23.4 度,是我們發現太陽能夠從頭頂直射的最遠位置。

太陽在夏至正午直射井底,不會在井邊投下任何影子。圖/pexels

埃拉托斯特尼知道可以利用這個和太陽位置有關的資訊,在夏至這天進行實驗,讓他算出地球的周長。雖然這樣他就不必用捲尺繞地球一圈,但這項實驗還是需要走走路。他相信亞歷山卓位於斯溫尼特的正北方,於是在夏至那天,他在亞歷山卓豎起一根竿子。兩地的經度實際上差了 2 度,雖然沒有百分之百準確,不過我要為他的實驗精神鼓掌。

那天,太陽直射斯溫尼特,沒在那口井投下影子,但卻讓亞歷山卓的竿子產生一道影子。埃拉托斯特尼測量了影子長度和竿子長度,就能畫出一個具同樣比例的三角形,然後量出角度,這會告訴他亞歷山卓在地球周長上與斯溫尼特距離多遠。他量出的角度是 7.2 度,也就是一整個圓的 1/50,現在他只須知道亞歷山卓到斯溫尼特的實際距離。

他沒有親自走到斯溫尼特,而是雇了一位專門丈量距離的人員,稱為測距員(bematist),他們會在兩座城鎮之間走直線,當中只要有任何偏差都會把估算搞砸。丈量結果會用更大的計量單位來記錄:斯塔德。結果,亞歷山卓在斯溫尼特以北 5,000 斯塔德,倘若這是繞地球一整圈的 1/50,那麼地球的周長就會等於 250,000 斯塔德。

今天我們並不確定,埃拉托斯特尼所雇的測量員到底是用多少步來計量他的斯塔德,但就如我在前面解釋過的,這個丈量結果好極了。用一點幾何學,他就省去了雇人走地球一圈的需求。

用一點幾何學,他就省去了雇人走地球一圈的需求。圖/pexels

幾何學的英文字 geometry 正源自這個實驗,因為拆解之後,它是意指「丈量地球」的希臘文:geo=地球,metry=丈量。

——本文摘自《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》,2022 年 11 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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將陽光轉變成電能的太陽能電池:太陽能電池不是電池——《圖解半導體》
台灣東販
・2022/11/23 ・2778字 ・閱讀時間約 5 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

備受關注的再生能源

近年來,以太陽能發電的再生能源備受關注。

近年來,以太陽能發電的再生能源備受關注。圖/pexels

太陽能電池是太陽能發電的關鍵裝置,這是用半導體將陽光的能量直接轉變成電能的裝置。雖然有「電池」這個名稱,但不像乾電池那樣可以儲存電能。所以「太陽能電池」這個稱呼其實並不洽當,應該稱其為「太陽光發電元件」才對。

太陽能電池會利用到第 1 章 1-2 節提到的半導體光電效應(將光轉變成電能的現象)。不過,僅僅只透過照光,並不能從半導體中抽取出電能。要將光能轉變成電能,必須使用 pn 接面二極體(參考第 1 章 1-8 節)才行。

pn 接面二極體。圖/東販

圖 5-1(a) 為 pn 接面二極體,p 型半導體有許多電洞做為載子,n 型半導體內則有許多電子做為載子。這個 p 型與 n 型半導體接合後,接合面附近的電洞會往 n 型移動擴散,電子則會往 p 型移動擴散,如圖 5-1(b) 所示。

移動擴散之後,接面附近的電子與電洞會彼此結合,使載子消滅,這個過程稱為複合。結果會得到圖 5-1(c) 般,沒有任何載子存在的區域,這個區域就稱為空乏層。

接面附近的空乏層中,n 型半導體的帶負電電子不足,故會帶正電;另一方面,p 型半導體的帶正電電洞不足,故會帶負電(圖 5-1(d))。

因此,n 型與 p 型半導體之間的空乏層會產生名為內建電位的電位差,在接面部分形成電場。這個電場可以阻擋從 n 型半導體流出的電子,與電子從 n 型流向 p 型的力達到平衡,故可保持穩定狀態。

這種狀態為熱平衡狀態,放著不管也不會發生任何事。也就是說,接面上有內建電位差之壁,不管是電子還是電洞,都無法穿過這道牆壁。

用光發電的機制。圖/東販

在這種狀態下,如果陽光照入空乏層,半導體就會在光能下產生新的電子與電洞,如圖 5-2 所示。此時,新的電子會因為內建電場所產生的力而往 n 型半導體移動,新的電洞則往 p 型半導體移動(圖 5-2(a))。於是,電子便會在外部電路產生推動電流的力,稱為電動勢。

在光照射半導體的同時,電動勢會一直持續發生,愈來愈多電子被擠入外部電路,於外部電路供應電力。被擠出至外部電路的電子會再回到 p 型半導體,與電洞結合(圖 5-2(b))。我們可以觀察到這個過程所產生的電流。

太陽能電池的結構。圖/東販

目前太陽能電池的大部分都是由 Si 半導體製成。以 Si 結晶製成的太陽能電池結構如圖 5-3 所示。

為方便理解,前面的示意圖中,都是以細長型的 pn 接面半導體為例。但實際上,太陽能電池所產生的電流大小,與 pn 接面二極體的接面面積成正比。所以 pn 接面的面積做得愈廣愈好,就像圖 5-3 那樣呈薄型平板狀。

前面的說明提到,陽光可產生新的載子,這裡讓我們再進一步說明其原理。

pn 接面二極體的電子狀態。圖/東販

圖 5-4 為 Si 原子之電子組態的示意圖(亦可參考第 38 頁圖 1-11)。Si 原子最外層的軌道與相鄰 Si 原子以共價鍵結合,故 Si 結晶的軌道填滿了電子,沒有空位(圖 5-4(a))。

若摻雜雜質磷(P)或砷(As)等 15 族(Ⅴ族)元素,形成 n 型半導體,便會多出 1 個電子。這個電子會填入最外層電子殼層的最外側軌道(圖 5-4(b)),與共價鍵無關,故能以自由電子的狀態在結晶內自由移動。

由於電子軌道離原子核愈遠,電子的能量愈高,所以位於最外側軌道的電子擁有最高的能量(參考第 57 頁,第 1 章的專欄)。最外側軌道與最外層電子殼層的能量差,稱為能隙。

另一方面,如果是摻雜鎵(Ga)或銦(In)等 13 族(Ⅲ族)元素的 p 型半導體,會少 1 個電子,形成電洞。這個電洞位於最外層電子殼層,能量比自由電子還要低(圖 5-4(c))。

空乏層不存在自由電子或電洞等載子,此處原子的電子組態皆如圖 5-4(a) 所示。

陽光照進這個狀態下的空乏層區域時,原子的電子會獲得光能飛出,轉移到能量較高的外側軌道(圖 5-4(d))。此時的重點在於,電子從光那裡獲得的能量必須大於能隙。如果光能比能隙小的話,電子就無法移動到外側軌道。

光的能量由波長決定,波長愈短,光的能量愈高(參考第 217 頁,第 5 章專欄)。光能 E(單位為電子伏特eV)與波長 λ(單位為 nm)有以下關係。

E[eV]=1240/λ[nm]

抵達地表的陽光光譜。圖/東販

另一方面,抵達地表的陽光由許多種波長的光組成,各個波長的光強度如圖 5-5 所示。

由圖可以看出,可見光範圍內的陽光強度很強。陽光中約有52%的能量由可見光貢獻,紅外線約佔 42%,剩下的 5~6% 則是紫外線。

若能吸收所有波長的光,將它們全部轉換成電能的話,轉換效率可達到最高。不過半導體可吸收的光波長是固定的,無法吸收所有波長的光。

Si結晶的能隙為 1.12eV,對應光波長約為 1100nm,位於紅外線區域。也就是說,用 Si 結晶製造的太陽能電池,只能吸收波長小於 1100nm 的光,並將其轉換成電能。

不過,就像我們在圖 5-5 中看到的,就算只吸收波長比 1100nm 還短的光,也能吸收到幾乎所有的陽光能量。

光是看以上說明,可能會讓人覺得,如果半導體的能隙較小,應該有利於吸收波長較長的光才對。不過,並不只有能隙會影響到發電效率,圖 5-6 提到的光的吸收係數也會大幅影響發電效率。光的吸收係數代表半導體能吸收多少光,可以產生多少載子。

有幾種材料的光吸收係數特別高,譬如 Ⅲ—Ⅴ 族的砷化鎵(GaAs)。GaAs 的能隙為 1.42eV,轉換成光波長後為 870nm,可吸收的光波長範圍比 Si 還要狹窄。但因為吸收係數較高,所以用砷化鎵製作的太陽能電池的效率也比較高。

總之,GaAs 是效率相當高的太陽能電池材料。然而成本較高是它的缺點,只能用於人造衛星等特殊用途上。即使如此,研究人員們仍在努力開發出成本更低、效率更好,以化合物半導體製成的太陽能電池。

——本文摘自《圖解半導體:從設計、製程、應用一窺產業現況與展望》,2022 年 11 月,台灣東販出版,未經同意請勿轉載。

台灣東販
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