「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後，一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習，運用數學知識，培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力，盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2019數感盃青少年寫作競賽／ 國中職組專題報導類佳作 之作品，為盡量完整呈現學生之作品樣貌，本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

• 作者：張綺殷、陳采菁│龍津高中

一、神話傳說

各地廣為流傳的一個神話故事───《嫦娥奔月》。天空曾同時出現十個太陽，嫦娥的丈夫后羿，因為同情受苦百姓而射下九個太陽（即為西王母之子），故前去請罪。西王母非但沒有生氣，還給了后羿一顆長生不老的丹藥，實則是想看嫦娥和后羿是否會為了丹藥而爭吵。天真的后羿將此事告訴友人，嫦娥為了不讓丹藥落入友人手中，逕自服下丹藥，就此成仙奔往月球，與吳剛和玉兔一同生活。

嫦娥奔月的故事眾說紛紜，按照中國自古流傳的思想，有罪之人須下地獄受罪，若嫦娥是為己成仙之利，哪麼她又怎會上天呢？因此我們取上述說法論之。

這份美麗傳說在詩人筆下化作淒美文字，「雲母屏風燭影深，長河漸落曉星沉。嫦娥應悔偷靈藥，碧海青天夜夜心。」李商隱娓娓道來嫦娥無限寂寞之感，為這淒美的愛情故事又添一分憂愁。

二、神話背後的實話

神話故事總有科幻奇妙之處，但嫦娥究竟是如何順利抵達月球的呢？

嫦娥即使是神話故事的角色，但同是人族的一份子，生而為人（我很抱歉），要有氧氣才得以生存。但我們在此假設嫦娥可以不吃不喝、不需睡眠、不受地心引力影響，只需供給氧氣維持生理機能，那麼嫦娥抵達月球需要多少時間以及多少氧氣呢？

（一）天上人間的距離

在探討旅行到月球需要多少時間前，要先得知地球到月球有多少距離。月球是以橢圓的軌跡繞行地球，月球繞地球的半徑時時刻刻在改變，故取其最長半徑和最短半徑的平均值推估，過程如下：

*計算過程中，地球和月球以 M(moon)和 E(earth)代替

以一個普通成年人行走的速度而論，有四種走法：飯後的速度大約是 1.5~ 1.8 公里／小時，正常的速度大約是 4.5~ 6 公里／小時，快走的速度大約是 6~ 7.5 公里／小時，急行軍速（小跑）大約是 7.5 公里／小時以上。由於神話故事中，嫦娥是以飄行的方式前往月球，在此假設嫦娥的平均速度為普通人的急行軍速（ 7.5 公里／小時）之快，嫦娥抵達月球的時間為地球到月球平均距離 38.45 萬（公里）÷ 飄行速度 7.5（公里／小時）= 51266.666667 ≒ 51267（小時），相當於 51267（小時）÷ 24（小時）= 2136.125 ≒ 2136（天）。月球公轉 1 次,地球自轉大約 27 天，嫦娥到月球的天數，相當於月球公轉 2136（天） ÷ 27（天）= 79.11（次）。月球以 1.02 公里/秒的速度繞地球公轉，用時 27.323 天完整繞地球一圈，為 27.323（天）× 24（小時）× 60（分鐘）× 60（秒）= 2360707.2（秒）。根據 S（距離）= T（時間）× V（速率）的公式，可知繞行一次的距離為 2360707.2（秒）× 1.02（公里/秒）= 2407921.344（公里）。因為多了 0.11 次的距離，故為 2407921（公里） ×0.11（次）= 264871.34784 公里，所以嫦娥的目的地從月亮原本出發地往前推 264871.34784 公里的距離（如下圖所示）。

（二）O₂：all to the moon

了解地球到月球的距離以及時間後，緊接著要考量這趟旅途需要多少氧氣量。根據此文章（參考資料 1）所述，以人每次呼吸空氣約 0.5 公升，每分鐘呼吸 16 次計算，可得知：1 分鐘的呼吸空氣量為 0.5（公升）× 16（次）= 8（公升），而一天的呼吸空氣量為 8（公升）× 60（分鐘）× 24（小時）= 11520（公升）（採 11000 公升計算）。接著再求出一天會吸入的氧氣量，空氣中氧氣佔約 20%，故 11000（公升）× 20% = 2200 公升；而人體並非使用全數吸入的氧氣，大約有 15% 的氧氣會被排出體外，可得呼出的氧氣量為 11000（公升）× 15% = 1650（公升）。因此,人一天的純氧消耗量為 2200 − 1650 = 550 公升。求出嫦娥一天所需的氧氣量後，就可推知嫦娥抵達月球所需的氧氣量為 550（公升） x 2136（天） = 1174800（公升）。

（三）呼吸的沉重代價

此時，已得知嫦娥這趟旅程所需的氧氣量後，就該替嫦娥分析思考如何持續供應氧氣讓她順利抵達月球?我們決定試以最廣為使用的氧氣瓶供應嫦娥這趟旅程所需的氧氣量，可用以下公式：PSI（壓力表數據）÷ 14.2 ×瓶身的水容量(L) = 氧氣容量(L)（詳見參考資料 4）。我們以某廠牌氧氣瓶 1700(SPI)，瓶身水容量 0.52(L)作計算：1700(SPI) ÷ 14.2 × 0.52 = 62.25(L)得氣體容量約 62.3(L)一瓶。氧氣瓶內的氧氣經壓縮成為液態氧，液態氧是一種淡藍色的液體，需儲存在 −181°F (−118.33°C) 的溫度之下，通常藉由一個雙層的真空球形瓶儲存，其中瓶內夾層真空主要來隔絕空氣的熱傳導，使熱氣不致傳導至液態氧而使其蒸發，所以人無法直接使用液態氧，會變成冰棒。氣態氧的密度為 1.429 公克／公升，可以此公式：密度 = 質量 ÷ 體積，求出氣態氧的質量為 1.429（公克／公升）= 質量（公克）÷ 1174800（公升（所需總氧量））= 1678789.2 公克。物質的變化裡,狀態的改變並不會造成質量的改變,因此液態氧質量 = 氣態氧質量 = 1678789.2 公克。得到質量後就能求出液態氧的體積，液態氧的密度為 1.141（公克／公升），故 1.141（公克／公升）= 1678789.2（公升）÷ 體積 = 1471331.4636 ≒ 1471331.5（公升）。最後，我們可以知道嫦娥總共需要 1471331.5（公升）÷ 62.3 = 23616.87801 ≒ 23617 瓶。這樣的行前準備就能讓嫦娥順利奔月了嗎？

（四）大氣層的冰與火之歌

可是這個想法終究只是理想，起初的假設僅有嫦娥得以摒除生理不受地心引力引響，然而嫦娥在抵達月球前還須經過變化多端的大氣層。地球大氣層包括，從地面往上，對流層（包括行星的邊界層或最底層的大氣）、同溫層、中氣層（散逸層）、熱成層（增溫層，包含電離層和外逸層），還有磁層。每一層有不同的氣溫，溫度隨著高度而變化。

對流層是地球大氣層中最靠近地面的一層，氣溫隨高度升高而降低；在對流層，高度每上升1 公里，氣溫會平均下降6.49°C。這種氣溫遞減是因為絕熱冷卻的出現。當空氣上升時,氣壓會下降而空氣隨之擴張。為了使空氣擴張，需要有一定的功(W)施予四周，故此氣溫會下降。在中緯度地區氣溫會由海平面的大約 +17°C下降至對流層頂的大約 −52°C。而在極地（高緯度地區），由於對流層相對地薄，所以氣溫只會下降至 −45°C，相反赤道地區（低緯度地區）氣溫可以下降到 −75°C；平流層是地球大氣層裡上熱下冷的一層，隨著高度的增加，平流層的氣溫起初約 216K (− 57.15°C)，升至 20- 32km 後氣溫迅速上升，到了其上界達到 −3.15°C 至 16.85°C，與地面氣溫相近。中氣層的氣溫隨高度的上升而下降，夏季時層頂的氣溫可以低至 −100°C 以下；熱層氣溫主要受太陽活動而決定，這是因為氧原子強烈吸收波長小於 0.175 微米的太陽短波輻射而升溫的緣故。熱層的氣溫會因高度而迅速上升，有時甚至高達 2000°C。但因為分子之間的距離太疏，它不會令人感到任何溫暖，就連一支普通的溫度計也只會量到 0°C以下。

三、理想與現實

人類本質上是熱帶動物，18 世紀英國一個實驗生理學家勃萊登 (C·Blagdon) 於 1775 年進行的自體試驗表明：如果空氣乾燥，人可以在 120°C室溫下停留 15 分鐘，並無不良反應,體溫仍可保持穩定，但寒冷對於人體卻是一大挑戰。俄羅斯奧伊米亞康的一個小村子曾創造了人類居住地區的最低溫紀錄── −71.2°C，那裡被稱為名副其實的「地球寒極」。依據上述資料分析得知氧氣本身具有質量，而如此大量的氧氣有相當可觀的重量，飛往月球要攜帶如此大量的氧氣就需要耗費極大力氣；再者嫦娥即使順利通過對流層和平流層，在經過中氣層層頂時，因劇烈溫差就有被凍死的可能，況且人體內的壓力為一大氣壓，當進入真空狀態時，就會因為壓力的差異而自體炸裂，登月之旅也止步於此。嫦娥奔月不管在過去還是今時的技術下終究是理想，神話之所以為神話，是因為蘊含人類追求夢想的期盼。在未來的某一天裡，若有時光機的出現，屆時再回到過去邀請嫦娥來趟登月之旅吧！

參考資料

1. 每人每天需要多少氧氣?
2. 從地球走到月球需要多久?
3. 人能承受的極限溫度是多少?
4. 大氣層
5. 氧氣瓶中的氣體容量該如何計算?

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• 作者／魏澤人｜陽明交通大學 智慧計算與科技研究所

在一般印象中，”美” 是與藝術、哲學、文學、音樂這些人文領域相連的。受到教育制度的影響，理工與人文，在普遍認知中是二元對立的。而數學，是理工科目中最硬核的部分。物理、化學實驗中，各種顏色的液體、晃動的單擺或本生燈的火焰，也許還隱隱約約帶有一絲美的影子，但冷冰冰的數學公式，在許多人的求學經驗中，與美根本就是互斥的概念。

但是，懂數學的人都知道，數學是美的。甚至可以說，美是數學中不可或缺的部分。

著名的英國數學家哈代（Godfrey Harold Hardy）說:”數學家的創造形式，與畫家及詩人一樣，必須是美的: 將概念（就像顏色及詞語）以和諧的方式組合起來。美是最重要的條件，醜陋無法長存於數學之中。”。哈代的著作 “一個數學家的辯白”（A Mathematician’s Apology），在數學圈外有一定的名氣，前面的那段話也出自本書。但讓他”出圈”的主要原因，是他發掘了傳奇數學天才拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）。這個故事在 2015 年被拍成了電影 “天才無限家” The Man Who Knew Infinity)。

這也不是哈代獨創之見解，法國最偉大的數學家之一龐加萊（Henri Poincare）說：”研究自然不是因為有用，而是因為喜悅。而喜悅是因為美。”。其他比方像是羅素（Bertrand Russell）、艾狄胥（Paul Erdos）也留下不少關於數學與美的金句。

數學的美，不只是許多偉大的數學家的共同體驗。絕大多數的數學愛好者、數學工作者都有相同的體驗，只是比較不容易留下知名金句。Danica McKellar 也許不是能和羅素、龐加萊、艾狄胥比肩齊名的數學家，但她說過一句很有意思的話: “數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。

McKellar 是一位有知名度的美國演員，她曾演出過白宮風雲（The West Wing），也曾在 NCIS、宅男行不行（The Big Bang Theory）及追愛總動員（How I Met Your Mother）中客串。但真正讓她出名的，是 80 末、90 初的影集兩小無猜（The Wonder Years），故事主軸是主角凱文回憶少年成長的過程，而 McKellar 飾演主角的鄰居溫妮，兩人發展出分分合合的戀愛關係。用現代的話來講， McKellar 可以說是當時少年界的國民女友。另外 2010 開始，她也在動畫影集少年正義聯盟中為火星小姐配音。

演員什麼會與數學扯上關係呢？其實她大學就是學數學的，而且學得很好，在 1998 年以最傑出的成績取得加州大學洛杉磯分校的數學學士學位。不只如此，大學時期與教授 Chayes 及同學 Winn 發表了一篇統計力學的論文，其中的主要結果被稱為 Chayes-McKellar-Winn theorem. 在 2008 年，她出了一本針對中學女孩的數學書 “Math Doesn’t Suck: How to Survive Middle School Math without Losing Your Mind or Breaking a Nail.” ，頗受好評也很暢銷，之後也接續出版了許多書。她表示，她想讓女孩們覺得數學是「可親、有意義、甚至有點迷人」，用來對抗這個社會傳達「女孩不適合數學」的這類負面訊息。除此之外，她也參與影集 Project Mc2 的演出。 這部影節的目標是向全球的青少女們證明，科學、科技、STEAM（Science, Technology, Engineering, Arts, Mathematics）是有趣且平易近人的。

回到前面那句”數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。追求美是人之天性，但很多情境下，美或者美化這些詞，常常帶了一點隱藏真實的意味。像是修圖軟體、美顏相機、化妝（與素顏對比）、醫美、Autotune。當然明顯太假也不符合多數人的審美觀，真正美之極致，往往也需要展現事物的本質與真實特色。但現實是資源有限，平庸普通還是多數，不然，也不會有”這裡的風景美得像幅畫”一樣的形容詞方式了。一般日常中，美的實際執行過程還是得靠挑選和遮掩。「真」與「美」是需要取捨的。這也就是這句話耐人尋味的地方了，因為這句話如果成立，那在數學，也許就提供了現實世界中「真」與「美」之間內在衝突的解法了。

但問題是，數學家們感受到的美感是否真的是美？定理與證明真的可以用美或不美來形容呢？還是只是數學家們普遍缺乏人文薰陶產生的代償性錯覺呢？

2019 年時，英國巴斯大學管理學院的 Samuel G.B. Johnson 及美國耶魯大學數學系的 Stefan Steinerberger 發表了一篇論文 “Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas”，其中的研究證據，支持一般人可能也跟數學家一樣，能感受到數學論證的美感。在其研究中發現，人們對數學的「美感」，就跟對古典鋼琴樂曲及風景畫產生的美感相似，有其內在的一致性。另外也發現這種數學美感的評判，跟與音樂、畫作美感一樣，和優雅性、深度、清楚性有關。

就像十九世紀英國數學家 James Joseph Sylvester 說的：「數學就是論證的音樂」。愛因斯坦也說：「純數學是一首以其自有方式將邏輯概念寫成的詩」。這句話出自他寫給 Emmy Noether 的訃聞。 Noether 是有名的德國數學家，對抽象代數有極大的貢獻，巧妙的利用升鏈條件來研究代數性質，此後符合這個條件的數學物件我們都會冠以 Noetherian 來稱呼，以紀念 Noether 的貢獻。此外，她的 Noether Theorem 也被稱之為影響物理學最重要的定理之一。

除了主觀上對於美的感受外，數學與藝術之間，也有很多直接的關聯性。以音樂來說，音律就與數學上的對數（也就是大家所認識的 \(\log\)）有關。人類發展音律有很長的歷史，因為這不是一個簡單的問題。我們現在知道，和弦時，不同音階的頻率要接近簡單的有理數倍聲音才會悅耳。傳說畢達哥拉斯經過一家鐵店，聽到鐵鎚打鐵的聲音，覺得很悅耳，他走入店裡，發現四個鐵鎚的重量比為 12:9:8:6，其中 9 是 6 與 12 的算術平均，8 是 6 與 12的調和平均, 9, 8 與 6, 12 的幾何平均相等這些巧妙的關係。這些鐵鎚之間的聲音配合起來非常悅耳。他進一步用弦樂器實驗驗證，得到的結論是，弦長為一些簡單有理數比的時候，會得到和諧的聲音。而後來更進一步改進而成的十二平均律，也反映出中國及歐洲在計算 \(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 的歷史進展。這背後還有更深刻的問題，因為很容易可以發現，\(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 並不是個有理數。對音樂或數學有興趣的朋友，可以繼續深入了解一下背後的學問。

另一個大家也觀察到的現象是，數學能力和藝術能力之間似乎有一些相關性，特別是音樂能力。常被拿來說的是愛因斯坦喜愛音樂且從小學習小提琴。可能你認識的人中，應該也有許多同時精通數理及音樂的人。過去一些研究也發現發現了數理能力及音樂能力中的相關性。但是，這個相關性會不會與能力本身無關呢？比方顯而易見，學科能力與學習音樂的條件，都與家庭背景與社經地位有關。

音樂教育學者 Martin J. Bergee 原本也是這樣認為的。他覺得只要能控制相關的根本性變因，如種族、收入、教育背景，就能夠破除音樂與數學能力相關性的迷思。於是他就設計並展開了研究。結果讓他非常震驚，兩者的關聯性不但沒有消失，而且還非常強。在 2021 年他的研究團隊發表了一篇名為 “Multilevel Models of the Relationship Between Music Achievement and Reading and Math Achievement” 的論文。他們調查了不同學區背景的一千多位中學生，在盡可能排除其他因素的干擾下，他們不得不承認音樂及數學能力之間的有統計上顯著的關聯。

他表示很抱歉實驗設計得非常複雜，”因為排除所有的相關影響並不容易，可能從個人、教室、學校、學區等等不同層級來產生影響。”。雖然他原本是支持相反的結論，但這個結果讓他思考了很多，”微觀技術來說，可能在音樂中的音準、音程、節拍，可能語言認知的基礎相關，而巨觀技術上的調式與調性，可能在心理學或神經學上與數學認知有關。”

除此之外，還有非常多的例證。比方 2015 年神經科學家 Semir Zeki 及艾提亞爵士（Michael Atiyah 當代最偉大數學家之一，費爾茲獎得主）發表的論文指出，經由 fMRI 掃描 15 名數學家的腦部，發現數學家在評斷數學式子美感時，動用到眼額皮質外側的 A1 區域，與察覺其他來源美感所動用到的區域一樣。而前面比較沒有提到數學與視覺藝術的關聯，因為這部分更為大家所熟知。像是從古希臘幾何就知道的黃金分割比，繪畫中的用到的透視原理、對稱性。可以說，美與數學並不是感性與理性的對立，而是互相包含。就像浪漫派詩人約翰濟慈所說：”美即是真，真即是美。這就是你在世上所知道和需要知道的一切”，而數學以及其背後的邏輯，就是人類對於”真”的具像。

可以說在知識份子階層中，數學即美是個主流觀點。當然主流不一定代表唯一或正確，像前述 Bergee 也試圖證明相關的主流看法是個迷思。但一旦理解了這種切入點，人工智慧是否能創造藝術作品這個問題，至少在心理層面就不是太大問題了。人工智慧遵照一些演算法運作，可以說就是數學及邏輯的程式碼實作。以近幾年最主流的深度學習神經網路來說，就是許多線性映射與激活函數的合成函數，藉由梯度下降法，收斂到的穩定數學解。既然數學即美，那由數學建構的人工智慧，能產生美的事物，也不是太不能接受的事。

生成模型也是近幾年深度學習熱門的領域之一。常見的生成任務就是藉由觀察抽樣的樣本，設法模仿出一樣的機率分佈。白話一點來講，就是給電腦看一些李白的詩，希望電腦能創造出新的李白風格的詩。給電腦聽一些貝多芬的音樂，希望電腦能創造出新的貝多芬音樂。現在的深度學習技術，已經能讓人工智慧能藉由學習，”創造”出視覺、音訊及語言的”作品”。

Inception 網路是一個有名的深度學習模型，其名稱取自於同名的電影（全面啟動），當時主要是在圖片辨識任務上，取得很好的成果。2015 年時， Google 工程師 Alexander Mordvintsev 巧妙的利用事先訓練好 Inception 模型，讓他將圖片變成夢一般的迷幻風格。他把這種方法取名叫 DeepDream。不久後，Leon Gatys 等人用類似的方法，設計一套演算法，能將畫家的畫風轉移到照片上，典型的例子是將風景、建築照片，轉成梵谷的星空風格。後面有很多後續的研究，一般稱為 Neural Style Transfer. 2016 年 Google 利用 AI 生出的畫作，拍賣得到進十萬美元。而其實早在 2014 年時， Ian Goodfellow 等人就提出了生成對抗網路（Generative Adversarial Network），是一個更廣泛而通用的生成模型。這個模型後續開啟了極大量的相關研究，現在的深度學習模型，在一些領域中，已經能生出非常高品質的成品。比方 Nvidia 研究的 StyleGAN 系列模型，能生出幾可亂真的人臉。現在，在手機上，能使用 APP，將你的照片轉成迪士尼的畫風。

2021 年時， OpenAI 釋出了 CLIP 模型，這是一個能整合圖片視覺及文字語意的模型。很多人嘗試利用 CLIP 和文字控制，來產生獨特和有創意的畫作。舉例來說，如果你畫了一張畫，或者拿到一張照片，你可以利用文字”更有喜感一點，更有亞洲風味一點”，來修改這張圖片讓人感受到”喜感”和”亞洲風”。在眾多嘗試中，大家試出了許多像”咒語”般的技巧，比方有個著名的 “unreal engine trick”，就是當你在控制產生圖片的句子中，加入 “unreal engine” 這個詞（unreal engine 是一個遊戲引擎），常常會讓產生品質更高的圖片。 乍看之下有點不明所以，但仔細一想，因為網路上會特別標明 unreal engine 的圖片，往往是強調其遊戲高畫質，久而久之， CLIP 看到這個詞，很自然就與高品質的含意產生連結。除了圖片外，人工智慧也能產生其他具有美的形式的作品，特別是文字作品。Open AI 開發的 GPT-3，已經能在用戶給出簡單的指示後，產生非常複雜的文字作品，除了詩、笑話、故事外，甚至連食譜、程式碼都可以。

但這些，真的算是人工智慧的創作嗎？

在 2018 年時，由生成對抗網路生成的畫作 Edmond de Belamy，以美金 432,500 元賣出。這幅畫是誰創作的？這幅畫是由巴黎藝術集體 Obvious 生成的。而名稱 Belamy 的法語意思為”好朋友”，以致敬提出生成對抗網路的學者 Ian Goodfellow。而圖片右下角的簽名則是

\(\min_{\mathcal {G}}\max_{\mathcal {D}}E_{x}\left[\log({\mathcal {D}}(x))\right]+E_{z}\left[\log(1-{\mathcal {D}}({\mathcal {G}}(z)))\right]\) 這個數學式子，這個式子是生成對抗網路使用的目標函數，也就是引導模型訓練的數學式。而讓問題更複雜的是，生成這幅圖片的程式碼，是由與 Obvious 毫無關係的另外一位 AI 藝術家 Robbie Barrat 所寫的。甚至有人（如 AICAN）認為這個連創作都算不上。

所以，這幅畫到底是誰的創作？物理學家海森堡曾說，即使在沒有足夠證據的支持下，”當自然引導我們得到極簡與美的數學式時”，”我們會不由自主的感受到，這就是自然真相被揭露的一角”。也許，真正創作者不是人工智慧，也不是人類，我們只是自然的一部分，有幸釋放了，並且有幸感受到了自然散發出的美之一角。

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