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見證奇蹟的幕後— 科學魔法術背後的秘密

科學月刊_96
・2012/04/30 ・5107字 ・閱讀時間約 10 分鐘 ・SR值 548 ・八年級

科學魔術背後的原理,除有助於了解我們在觀看魔術時大腦運作的機制,也可驗證日常所學的科學原理與知識在魔術表演時所扮演的角色。

李偉俊

台灣近幾年所掀起的魔術風潮共計有兩波,第一波為大衛‧考伯菲(David Copperfield)的大型拉斯維加斯式的舞台魔術秀(如穿越萬里長城與消失的自由女神像),第二波則為各大電視台的綜藝性節目所掀起的魔術秀風潮,也成功造就了如劉謙等專業魔術表演者,由台灣紅遍到全亞洲地區,而魔術究竟有什麼魔力讓人如此為之著迷?是因為魔術師真的有特殊的魔力還有法術嗎?一個專業的魔術表演的背後隱藏了什麼科學原理與因素,導致觀眾眼前發生了一種無法以常理或邏輯判斷的結果而感到驚奇與有趣。本文即為探討一些近距離魔術背後所蘊藏的科學原理。

魔術的源起

魔術,一種距今四千多年前源自古埃及時代的戲法或幻術,其定義有狹義與廣義之分。狹義的定義為以特殊的技巧、手法和設備,營造產生出觀賞者的錯覺和認知偏誤,以達到娛樂觀眾並使他們覺得很不可思議的一種表演藝術;而廣義的定義為以各種的專業手法或技巧,讓人們覺得歡樂高興且覺得很不可思議的一種活動或表演。本文主要探討的不是魔術師慣用的熟練手法和道具設備所呈現的娛樂效果,而是一些有運用到科學原理的魔術,並探討其隱藏於魔術背後的科學原理與科學知識。其所涉及的科學原理如物理、數學和人體生心理學等的層面,亦將透過實際舉例來說明與驗證。

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魔術的基本效果

依據美國魔術師達瑞爾‧費茲奇(Dariel Fitzkee)在其著作《魔術腦》(The Trick Brain)首將魔術區分為十九種基本效果:(一)變出術(production)、(二)反自然物理現象(physical anomaly)、(三)變去術(vanish)、(四)使觀眾失敗(spectator failure)、(五)易位術(transportation)、(六)控制術(control)、(七)變形術(transformation)、(八)辨認術(identification)、(九)穿透術(penetration)、(十)讀心術(thought reading)、(十一)破壞還原術(restoration)、(十二)他心通術(thought transference)、(十三)自動術(animation)、(十四)預言術(prediction)、(十五)反地心引力術(anti-gravity)、(十六)第六感術(extra-sensory perception)、(十七)同時共鳴術(sympathetic reaction)、(十八)特技術(s k i l l )、(十九)不能傷害術(invulnerability)。

其中直接涉及物理的為「反自然物理現象」,例如將物體(人或物)懸空或易位,以及「反地心引力術」,例如魔術師能飄浮或輕鬆做出反地心引力的動作等。這兩種魔術效果的呈現,主要是先從引導觀眾的認知錯覺開始,然後再搭配一些能讓觀眾大腦視覺產生錯覺的手法,如以透明的細線加上障眼法,讓眼前的觀眾其大腦認知與視覺均產生錯覺而成,可以說是相當高段的手法與設計,這是從魔術道具的設計與從觀眾的觀賞角度所思維的一種魔術表演程序。

總之,進行魔術表演時將會同時蘊藏兩種心理思維面向,一種是從觀賞魔術表演觀眾的思維面向,通常為邏輯性與線性的思維模式,以致於在發生與常理不同的現象時(違反邏輯或科學原理),觀眾會感到驚奇與不可思議;另一種則是魔術師本身對魔術程序安排和進行魔術動作的思維面向,其實是一種後設性思考(meta-thinking)的心理思維,例如要騙過觀眾的眼睛,其表演動作要迅雷不及掩耳並採用障眼法或道具遮掩等手法的魔術程序思考,以及上述所言的錯覺引導或是迷思導引也是一種後設性思考的思維表現,以造成魔術(或稱之為魔幻術)的表演效果。

專業魔術與科學魔法術的異同

由於許多專業的魔術師手法與道具的設計相當複雜,且有其職業機密和道德規範,無法一一細數與詳細解說其背後魔術原理,在此將以本人所會與常運用的「科學魔法術」(Science Magic Tricks)為例,並一一說明其隱藏其背後的科學原理。首先要特別說明的是,本文所言的魔術表演效果,與運用科學原理所展現的科學魔法術有所差異,專業的魔術表演強調的是魔術工作者的表演魅力和舞台效果,常會利用人類認知與視覺錯覺等認知神經科學的限制來呈現,且觀眾無法理解與進行複製;而本文所稱之科學魔法術強調的是科學原理的運用與辨識真偽科學的能力,觀眾若能掌握與理解其科學原理或要點,便可複製與成功表現,且其所展現的魔術效果與專業魔術是相當的。以下就舉四個例子,說明科學魔法術的魔術表現型式與隱藏其背後的科學原理。

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示例一:魔戒套鍊之控制術

1.道具:30~40 公分之長珠鍊、內徑3公分白鐵環一只。

圖一:將鐵環由下向上穿過珠鍊至手掌下方。

 

圖二:鐵環以自由落體方式落下後,受珠鍊裹繞後纏住。

2.呈現手法:左手虎口張開將珠練由內展開放至手指中段,右手持鐵環由下向上將珠鍊放至鐵環當中(圖一),兩手相近時,將右手鐵環順勢落下,珠鍊將白鐵環纏住,完成表演(圖二)。

3.其所運用的科學原理,計有位能與動能能量轉換、自由落體、能量守恆定律、摩擦力、旋轉動量。其中最關鍵的地方為旋轉動量,因此在表現這個科學魔法術時,應思考如何將白鐵環在落下時能在空中進行轉動(圖三)。旁人在觀看這個表演時,是看不清楚白鐵環是有轉動的;等到看到時,白鐵環已被珠鍊纏住,形成令人感到驚奇與不可思議的魔術效果。

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圖三:白鐵環能纏住的祕訣,在於落下時於空中能「轉動」。

此時不明白的觀眾,如果依樣畫葫蘆表演,但卻不明白其所牽涉的科學原理,大多數將會使白鐵環直接落地,無法被珠鍊纏住。主要原因乃是,白鐵環沒有在空中進行轉動之故。因此本科學魔法術的秘訣是以虎口平放白鐵環時,在白鐵環欲落下之時,持環的中指應稍稍突出於食指下方,當白鐵環落下時自然就會碰到中指的指尖,便造成白鐵環能在空中旋轉的現象,順利完成此魔術表演與效果。

示例二:橡皮筋之穿透術

1.道具:兩條橡皮筋。

2.呈現手法:將兩條橡皮筋,在觀眾眼前呈現其一前一後(圖四),任其仔細檢查其配置。然後透過表演者快速的手法,呈現橡皮筋穿透另一橡皮筋出來的效果,完成此魔術表演(圖五)。

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圖四:兩條橡皮筋呈現前後交疊的現況並向外拉扯證明。

 

圖五:經過快速的手法,橡皮筋自另一橡皮筋穿透出來了。

3.這個魔法術所牽涉與運用的科學原理,有包括橡皮筋的彈力和視覺錯覺(即視覺暫留現象)。它是一個相當經典的魔術表演,表演過的專業魔術師,知名者如美國的大衛考柏菲,以及台灣的劉謙等。尤其是在2009 年在中國大陸春節晚會的開場魔術表演秀時,由劉謙與兩位大陸觀眾所合作表演的近距離橡皮筋魔術,便是這個表演並造成網路討論的風潮。劉謙本人也相當推崇此一魔術,因其運用了生活中隨時可方便取得的橡皮筋。

但說穿了,這是一個以魔術師快速的手法,和運用觀眾在視覺錯覺上的魔術表演,關鍵在於,表演者的手法要能不著痕跡的欺騙觀眾的視覺。其實這是一種魔術師常用的手法,尤其是空手在空中漂亮出牌或瞬間變出鴿子等表現手法均屬之,也就是要在1/18~1/24 秒內完成,才不會漏出破綻,並讓觀眾產生視覺錯覺。

而什麼是「視覺暫留」呢?視覺暫留現象乃是由比利時物理學家尤瑟夫‧普拉托(Joseph Plateau)於1835年時在觀察太陽的實驗中所發現的。簡單的現象原理解釋是:當物體在快速運

動時,人眼所看到的影像消失後,人眼仍能繼續保留其約0.1~0.4 秒左右的圖像影像。人眼在觀看物體時,成像於視網膜上,並由視神經輸入人腦便能感覺到物體的像,但當物體移去時,視神經對物體的印象是不會立即消失,而是會有持續0.1~0.4 秒的時間;魔術師的很多手法便是運用人眼的這種被稱為「眼睛的視覺暫留」特性,來達到欺騙觀賞者大腦與眼睛並達到視覺錯覺的現象之魔術效果。因此如果手法不夠快或太慢,就會看出此魔術的秘密,當然橡皮筋本身彈性與彈力的運用,也是搭配此演出的重要關鍵之一。

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示例三:賽德克巴萊之反地心引力魔法術

圖六:20 元硬幣正面的莫那魯道肖像。

1.道具:鐵製衣架一支、一枚或數枚20元硬幣(上有莫那魯道肖像,圖六)。

圖七:將硬幣置於衣架頭上方。

2.呈現手法:將鐵製衣架由中間向外拉開,形成菱形,然後調整掛勾處的尖端與菱形端點形成一直線。將衣架上的橡膠頭用美工刀修平後,即完成準備工作。表演時,由表演者將20 元硬幣小心放到衣架頭(圖七,此時可請觀眾協助以確認硬幣上和衣架頭上沒有任何的機關與接著劑),表演者以食指轉動衣架和硬幣數圈後在觀眾的驚呼聲中,順勢停止(圖八),只見硬幣依然在其上紋風不動,此時可輕抖衣架或以口吹讓硬幣自然落下,以表示硬幣和衣架頭的接觸點處上沒有任何黏著或機關,完成此科學魔法術的表演。

3.本表演所運用的科學原理,乃牛頓第一及第二運動定律。當硬幣在衣架上旋轉數十圈而不墜的科學原理為牛頓第二運動定律,此時表演者的施力要一致且旋轉速度不可忽快忽慢,不然硬幣會有偏力產生,而造成沿旋轉運動的切線方向飛出以致表演失敗;另一個表演關鍵為將硬幣旋轉後停止,表演者要能事先覺知到牛頓第一運動定律的慣性作用,在欲停止時,能預先做出抵制與緩衝的動作,如此將可完美的呈現此一科學魔法術。本魔法術還有進階的表現方法,為將數枚硬幣堆疊其上並旋轉不墜,本人曾嘗試成功以三枚20 元硬幣完成此魔法術。

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圖八:以食指轉動衣架數圈後停止,硬幣依然能保持不墜。

以上為本人所設計的科學魔法術的三個示例,此外本人也設計了茶包天燈魔法術(熱對流原理)、奇音響杯魔法術(聲音傳導原理)、轉不停釋迦陀螺魔法術(電磁學原理)、氫氣槍與酒精槍魔法術(低碳能源概念)、光碟氣墊船魔法術(作用力與反作用力原理),以及吸管穿透魔法術(拓撲學原理)等。基於數學是科學之母,以下將接著介紹一種運用數學原理的科學魔法術。

 

示例四:數字卡之讀心術

1.道具:六張數字卡(圖九)。

2.呈現手法:表演者先請觀眾心中決定一個介於1~60 的數字,或是請其將之寫入一張紙片中,並折疊收好。隨後,表演者取出先預備好的數字卡,一一請觀眾檢視其心中所決定的數字有無出現於卡片中。在觀眾檢視完畢後,表演者便可馬上說出觀眾心中所想的數字,完成此讀心術的表演。

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圖九:表演者進行「讀心術」表演所使用之數字卡。

3.此數學魔法術所涉及的數學原理,其實是數學二進位的數字規則運用。數字規則如表一所示,了解此數字規則後,以共同擁有的數字排列組合,設計出六張5× 6(如上述道具數字卡)的卡片,便可透過各數字卡有或沒有(二進位規則)來知道其心中所想的數字。

表一:數字卡之讀心術的數字規則

※根據以上數字的規律,將分別以含有1 、2 、4 、8 、16 、32 為首的元素所代表的數字依序填入5 × 6 的數字方格中便可完成六張數字卡片。 ※請觀眾要誠實說出有或沒有存在的數字卡後,將有出現的數字卡的字首數字加總即得其心中所想數字。

科普教育的三化思維

「生活處處是科學、科學可以變魔法」,本人從事大眾科學教育十餘年來,得到許多前輩學者專家的提攜與相關同好者的研討交流,以致於研發了許多科學魔法術,並於台東縣台糖文創園區內創設全國第一所非營利組織的美塔魔法學校(Meta Magic School)。此學校的創辦並非以教導魔術為目的,而是以透過科學魔法術的表演,吸引學習者或觀眾對科學魔法術的興趣與欲主動探究其科學原理的動機,達到「科學魔法只是手段、科學教育才是目的」的科普教育理念,以全面和大力推展生活中的科學普及教育與大眾科學教育,並讓大眾能了解科學中的生活性與趣味性,藉以達到全民科學普及化、樂趣化、生活化的三化思維取向的科學教育目標,這也是本人所創立的「美塔學」理論中的「美」(即良善美好)以及「塔」(升高察思與創意展現)的主要體現。

因此在每一個完美表演的科學魔法術背後之設計與表現,其實就是魔術表演者基於「美塔思考」(Meta thinking)下的思維產物。因為魔術表演帶來驚奇與歡樂(也就是美塔的「美」意)以及所呈現魔術效果不可思議性和創意(也就是美塔的「塔」意)。總之,好的魔術表演是會使人著迷與讚嘆的,除了愉悅大眾的功能外,若能將之多方面運用到教育推廣的功能上(如科普教育推廣與活動),將會有意想不到的效果。(本文圖片由作者提供)

李偉俊:任教台東大學教育學系

原發表於科學月刊第四十三卷第四期

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科學月刊_96
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非營利性質的《科學月刊》創刊於1970年,自創刊以來始終致力於科學普及工作;我們相信,提供一份正確而完整的科學知識,就是回饋給讀者最好的品質保證。

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停工即停薪:如何證明你的時間值多少?車禍背後的認知 x 情緒 x 金錢 x 法律大混戰
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2026/01/09 ・3351字 ・閱讀時間約 6 分鐘

本文與 PAMO車禍線上律師 合作,泛科學企劃執行

走在台灣的街頭,你是否發現馬路變得越來越「急躁」?滿街穿梭的外送員、分秒必爭的多元計程車,為了拚單量與獎金,每個人都在跟時間賽跑 。與此同時,拜經濟發展所賜,路上的豪車也變多了 。

這場關於速度與金錢的博弈,讓車禍不再只是一場意外,更是一場複雜的經濟算計。PAMO 車禍線上律師施尚宏律師在接受《思想實驗室 video podcast》訪談時指出,我們正處於一個交通生態的轉折點,當「把車當生財工具」的職業駕駛,撞上了「將車視為珍貴資產」的豪車車主,傳統的理賠邏輯往往會失靈 。

在「停工即停薪」(有跑才有錢,沒跑就沒收入)的零工經濟時代,如果運氣不好遇上車禍,我們該如何證明自己的時間價值?又該如何在保險無法覆蓋的灰色地帶中全身而退?

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如果運氣不好遇上車禍,我們該如何證明自己的時間價值?/ 圖片來源: Nano Banana

薪資證明的難題:零工經濟者的「隱形損失」

過去處理車禍理賠,邏輯相對單純:拿出公司的薪資單或扣繳憑單,計算這幾個月的平均薪資,就能算出因傷停工的「薪資損失」。

但在零工經濟時代,這套邏輯卡關了!施尚宏律師指出,許多外送員、自由接案者或是工地打工者,他們的收入往往是領現金,或者分散在多個不同的 App 平台中 。更麻煩的是,零工經濟的特性是「高度變動」,上個月可能拚了 7 萬,這個月休息可能只有 0 元,導致「平均收入」難以定義 。

這時候,律師的角色就不只是法條的背誦者,更像是一名「翻譯」。

施律師解釋「PAMO車禍線上律師的工作是把外送員口中零散的『跑單損失』,轉譯成法官或保險公司聽得懂的法律語言。」 這包括將不同平台(如 Uber、台灣大車隊)的流水帳整合,或是找出過往的接單紀錄來證明當事人的「勞動能力」。即使當下沒有收入(例如學生開學期間),只要能證明過往的接單能力與紀錄,在談判桌上就有籌碼要求合理的「勞動力減損賠償 」。

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PAMO車禍線上律師的工作是把外送員口中零散的『跑單損失』,轉譯成法官或保險公司聽得懂的法律語言 / 圖片來源: Nano Banana

300 萬張罰單背後的僥倖:你的直覺,正在害死你

根據警政署統計,台灣交通違規的第一名常年是「違規停車」,一年可以開出約 300 萬張罰單 。這龐大的數字背後,藏著兩個台灣駕駛人最容易誤判的「直覺陷阱」。

陷阱 A:我在紅線違停,人還在車上,沒撞到也要負責? 許多人認為:「我人就在車上,車子也沒動,甚至是熄火狀態。結果一台機車為了閃避我,自己操作不當摔倒了,這關我什麼事?」

施律師警告,這是一個致命的陷阱。「人在車上」或「車子沒動」在法律上並不是免死金牌 。法律看重的是「因果關係」。只要你的違停行為阻礙了視線或壓縮了車道,導致後方車輛必須閃避而發生事故,你就可能必須背負民事賠償責任,甚至揹上「過失傷害」的刑責 。 

數據會說話: 台灣每年約有 700 件車禍是直接因違規停車導致的 。這 300 萬張罰單背後的僥倖心態,其巨大的代價可能是人命。

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陷阱 B:變換車道沒擦撞,對方自己嚇到摔車也算我的? 另一個常年霸榜的肇事原因是「變換車道不當」 。如果你切換車道時,後方騎士因為嚇到而摔車,但你感覺車身「沒震動、沒碰撞」,能不能直接開走?

答案是:絕對不行。

施律師強調,車禍不以「碰撞」為前提 。只要你的駕駛行為與對方的事故有因果關係,你若直接離開現場,在法律上就構成了「肇事逃逸」。這是一條公訴罪,後果遠比你想像的嚴重。正確的做法永遠是:停下來報警,釐清責任,並保留行車記錄器自保 。

正確的做法永遠是:停下來報警,釐清責任,並保留行車記錄器自保 。/ 圖片來源: Nano Banana

保險不夠賠?豪車時代的「超額算計」

另一個現代駕駛的惡夢,是撞到豪車。這不僅是因為修車費貴,更因為衍生出的「代步費用」驚人。

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施律師舉例,過去撞到車,只要把車修好就沒事。但現在如果撞到一台 BMW 320,車主可能會主張修車的 8 天期間,他需要租一台同等級的 BMW 320 來代步 。以一天租金 4000 元計算,光是代步費就多了 3 萬多塊 。這時候,一般人會發現「全險」竟然不夠用。為什麼?

因為保險公司承擔的是「合理的賠償責任」,他們有內部的數據庫,只願意賠償一般行情的修車費或代步費 。但對方車主可能不這麼想,為了拿到這筆額外的錢,對方可能會採取「以刑逼民」的策略:提告過失傷害,利用刑事訴訟的壓力(背上前科的恐懼),迫使你自掏腰包補足保險公司不願賠償的差額 。

這就是為什麼在全險之外,駕駛人仍需要懂得談判策略,或考慮尋求律師協助,在保險公司與對方的漫天喊價之間,找到一個停損點 。

談判桌的最佳姿態:「溫柔而堅定」最有效?

除了有單據的財損,車禍中最難談判的往往是「精神慰撫金」。施律師直言,這在法律上沒有公式,甚至有點像「開獎」,高度依賴法官的自由心證 。

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雖然保險公司內部有一套簡單的算法(例如醫療費用的 2 到 5 倍),但到了法院,法官會考量雙方的社會地位、傷勢嚴重程度 。在缺乏標準公式的情況下,正確的「態度」能幫您起到加分效果。

施律師建議,在談判桌上最好的姿態是「溫柔而堅定」。有些人會試圖「扮窮」或「裝兇」,這通常會有反效果。特別是面對看過無數案件的保險理賠員,裝兇只會讓對方心裡想著:「進了法院我保證你一毛都拿不到,準備看你笑話」。

相反地,如果你能客氣地溝通,但手中握有完整的接單紀錄、醫療單據,清楚知道自己的底線與權益,這種「堅定」反而能讓談判對手買單,甚至在證明不足的情況下(如外送員的開學期間收入),更願意採信你的主張 。

車禍不只是一場意外,它是認知、情緒、金錢與法律邏輯的總和 。

在這個交通環境日益複雜的時代,無論你是為了生計奔波的職業駕駛,還是天天上路的通勤族,光靠保險或許已經不夠。大部分的車禍其實都是小案子,可能只是賠償 2000 元的輕微擦撞,或是責任不明的糾紛。為了這點錢,要花幾萬塊請律師打官司絕對「不划算」。但當事人往往會因為資訊落差,恐懼於「會不會被告肇逃?」、「會不會留案底?」、「賠償多少才合理?」而整夜睡不著覺 。

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PAMO看準了這個「焦慮商機」, 推出了一種顛覆傳統的解決方案——「年費 1200 元的訂閱制法律服務 」。

這就像是「法律界的 Netflix」或「汽車強制險」的概念。PAMO 的核心邏輯不是「代打」,而是「賦能」。不同於傳統律師收費高昂,PAMO 提倡的是「大腦武裝」,當車禍發生時,線上律師團提供策略,教你怎麼做筆錄、怎麼蒐證、怎麼判斷對方開價合不合理等。

施律師表示,他們的目標是讓客戶在面對不確定的風險時,背後有個軍師,能安心地睡個好覺 。平時保留好收入證明、發生事故時懂得不亂說話、與各方談判時掌握對應策略 。

平時保留好收入證明、發生事故時懂得不亂說話、與各方談判時掌握對應策略 。 / 圖片來源: Nano Banana

從違停的陷阱到訂閱制的解方,我們正處於交通與法律的轉型期。未來,挑戰將更加嚴峻。

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當 AI 與自駕車(Level 4/5)真正上路,一旦發生事故,責任主體將從「駕駛人」轉向「車廠」或「演算法系統」 。屆時,誰該負責?怎麼舉證?

但在那天來臨之前,面對馬路上的豪車、零工騎士與法律陷阱,你選擇相信運氣,還是相信策略? 先「武裝好自己的大腦」,或許才是現代駕駛人最明智的保險。

PAMO車禍線上律師官網:https://pse.is/8juv6k 

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歐氏幾何學的啟示
賴昭正_96
・2025/12/09 ・4611字 ・閱讀時間約 9 分鐘

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無需證據就能肯定的事情,同樣也可以無需證據就能否定。

-歐幾里德(Euclid)古希臘數學和邏輯學家

當筆者還是一位教書匠時,時常鼓勵學生應該多讀數學,不是因為數學的實用性,而是因為它是訓練邏輯的基礎。愛因斯坦(A. Einstein)曾經說過:「就其方式而言,純數學是邏輯思想的詩歌。」而26歲時就提出了反物質的存在、奠定了量子電動力學基礎的狄拉克(Paul Dirac)更認為數學幫助他了解物理定律(宇宙)。我們不是大物理學家,在這裡只能介紹一個簡單的、 2300年前的數學━幾何(geometry),看它如何能幫助我們了解我們日常生活中的邏輯。

歐幾里德

歐幾里德(Euclid)大約於西元前 300 年生於埃及亞歷山大。我們對歐幾里德的生平知之甚少,只有希臘哲學家普羅克洛斯(Proclus,410-485 年)在其《希臘著名數學家》總結中提到:歐幾里德在托勒密一世(Ptolemy I Soter,公元前 323 年至公元前 285 年)統治時期在亞歷山大任教。儘管如此,雖然歷史上有過更偉大的數學家,也有過更重要的數學家,但如果說數學界有家喻戶曉的名字,那非「歐幾里德」莫屬!歐幾里德對人類文明的長期影響可以說非常深遠:幾個世紀以來,數學和歐幾里德在整個西方世界幾乎是同義詞。

歐幾里德的《幾何原本》(The Element of Geometry,通常縮寫為 Elements)是有史以來最著名數學著作之一。印刷術發明後,這部著作是最早以印刷形式出現的書籍之一:它出版了超過一千種不同的版本,只有《聖經》比它多。《幾何原本》通常被描述為一本幾何書,但它事實上也涉及數論和一種以幾何形式呈現的原型代數。

歐氏幾何

歐幾里德有兩大創新。其一是「證明」的概念:除非是從已知為真的命題中推導出來,歐幾里德拒絕接受任何數學命題為真。第二項創新是認識到任何事物都要始於無法被證明的某些「假設」。因此,歐幾里德預先提出了五個基本假設作為其所有推論的基礎:兩點可以用一條線連接;任何有限的線都可以延伸;可以以任意圓心和任意半徑畫一個圓;所有直角都相等;及兩條直線可以平行永不相交。

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對歐幾里德來說,邏輯證明是幾何學的本質特徵,而「證明」至今仍是數學事業的基石。缺乏證明的命題無論有多少間接證據支持它、或蘊含意義多麼重要,都會被(合理地)懷疑。歐幾里德公理━他精心挑選的邏輯推論鏈━的影響極為深遠。例如,他用當時被認為無可挑剔的邏輯證明了:一旦同意他的公理,你就必然得出不能理解之「無理數」存在的結論!

嚴格的邏輯證明

「無理數」是不能用兩個整數相除來精確表達的實數。所以要證明x不是一個無理數,我們只要能找出兩個實數來表達它即可。例如利用高速電腦或人腦,我們發現可以用 40/99 表達 1.212121……,所以 1.212121…… 不是無理數。可是如果我們也同樣地想利用高速電腦來證明 \(\sqrt{2}\) = 1.4142135……呢?我們可以在一秒鐘內完成成千上萬的嘗試;但如果在數年後,我們還是找不到一組整數來表達\(\sqrt{2}\) 時,我們能下結論說 \(\sqrt{2}\) 是無理數嗎?不能,因為對歐幾里德來說,這不是嚴格的邏輯證明(註一)!

同樣地,費馬(Fermat)大定理於 1637 年提出,謂若 n 大於 2(n>2),則沒有任何三個整數 a,b,c 可滿足 an+bn=cn 方程式。隨著時間的推移,這個簡單的定理成為數學界最著名的未證命題之一。許多數學家和業餘愛好者要麼適用於所有 n>2 的值,要麼針對特定情況,試圖證明這一命題,推動了數論領域全新的發展。最初是手工證明,後來是計算機證明,找到了最高可達 400 萬的所有 n 值;儘管如此,因為不是嚴格的邏輯證明,數學家還是不能肯定該定律的正確性。

英國數學家懷爾斯爵士(Sir Andrew Wiles)於 1993 年 6 月 23 日首次公佈了他的證明,不幸地該證明在三個月後被發現含一個錯誤。一年後的 1994 年 9 月 19 日,懷爾斯在其自謂為「職業生涯中最重要的時刻」時偶然發現了一個啟示,使他能夠修正該錯誤,於 1995 年令歐幾里德、數學界滿意地嚴格證明了費馬大定理的正確性。

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又雖然早在公元五百年左右就有印度數學家懷疑圓周率 π 是無理數;但兩千年過去了,雖然還是找不到一組整數來表達它,還是沒有任何數學家敢說π是無理數。1761 年法國數學家蘭伯特 (Johann Heinrich Lambert) 終於首次嚴格地證明了π 為一無理數!

歐幾里德幾何學

歐幾里德之五個初始、無法被證明的命題似乎都是大家很容易認定或接受的日常生活經驗。但事實上,歐幾里德的第五公設「兩條直線可以平行永不相交」遠非那麼合理明顯。因此許多數學家一直在懷疑可以從其它四個假設中推導出來(刪除它),或者能用更簡單、與其它一樣明顯的東西代替。但到了十九世紀,數學家們終於證明了它不能從其它四個假設中推導出來,明白了歐幾里德加入第五個公設是絕對正確的!

我們之所以認為「兩條直線可以永不相交」是合理的是因為我們生活在平面宇宙中:例如如果宇宙是二維空間,那我們就是生活在一張無限大的平面白紙上。但如果我們是生活在一個圓球的表面上呢?事實上我們不正是生活在一個圓球的地球表面上嗎?!但因我們的生活圈太小了,故整個周圍看起來好像一平面上而已。如果在地球表面上我們將兩「平行線」(註二)往同一方向延長不到一萬公里,它們是會相交於一點的(如果該兩點是在赤道上,那麼垂直於赤道的兩「平行線」將相交於北極或南極)。所以「兩條直線可以永不相交」在地球上不但不合理,根本完全是錯誤的假設━它只適用於日常生活中。

這些合理的懷疑歐幾里德之第五公設並沒有付諸流水。1854年,黎曼(Bernhard Riemann)在一次著名的演講中建構了無限多的非歐幾里德幾何族,為非歐幾里德幾何學邁出了決定性的一步。其中最簡單的一族缺乏平行線的公設,被稱為「非歐幾何」(non-Euclidean Geometry)。

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在歐幾里德幾何裡,兩點之間的最短距離是一條直線;在非歐幾里德幾何球體表面上,兩點之間的最短距離則是沿著球體表面的大圓弧路徑(稱為測地線,註三)。在歐幾里德幾何裡,三角形內角總和為180度;但在非歐幾里德幾何球體表面上,由三個大圓弧組成的球體表面三角形內角總和則大於180度。

幾何與物理

非歐幾何的發展對數學和物理學產生了深遠的影響。它顯示歐幾里德幾何並非唯一邏輯一致的體系,為愛因斯坦的相對論鋪平了道路。

牛頓物理學從根本上來說是使用平坦的歐幾里德空間和通用時間的概念來描述運動,因此當地球不沿著直線運動時,牛頓必須用重力來解釋。愛因斯坦的相對論運用非歐幾何來描述彎曲時空,謂重力並非一種力,而是時空曲率的表現:巨大的太陽彎曲了其附近時空,地球只是沿著這一彎曲時空中之「最直」的路徑(測地線)運動而已。

同樣地,牛頓物理學假設重力只對有質量的物體施加力,而光是無質量的,因此光應該永遠沿著直線傳播。但愛因斯坦廣義相對論將重力描述為時空的彎曲(不是力),光將在這彎曲的時空沿著「直線」(測地線)傳播,但我們觀察到的將是「光不沿著直線傳播」!愛因斯坦的這一成功預測使他「瞬間」成為家喻戶曉的科學家(「延伸閱讀1」)。

歐幾里德幾何社會邏輯

人類可能是唯一知道死是怎麼一回事的動物,因此很早就在尋找生命的目的,很難接受霹靂一聲、無中生有地出現了時間、空間、及能量的近代宇宙觀(「延伸閱讀2」)。因此許多人認為我們來到這個世界是有目的的,我們是「上帝」(註四)創造出來的。因此「上帝」存在成了一個大家能接受、不需要證明的合理「公設」。對信教的人來說,它解釋了日常生活中的所有現象。對愛因斯坦及一些科學家來說:如果不是超人的「上帝」,為什麼我們看到的宇宙能不可思議地依循某些定律井然有序地運轉,但我們只是朦朧地了解這些定律?

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在「延伸閱讀3」裡,筆者提到了要證明上帝的存在是很困難的,但要證明上帝不存在更加困難!因此「上帝不存在」也是屬於「不能證明、不需要回答的合理假設」,所以在民主國家裡人人有宗教信仰或不信仰的自由。

在社會上要證明某人沒有博士學位很困難甚或不可能(註五),因此能被接受、不需要證明之唯一合理假設應該是「人人沒有博士學位」。在這前提下,如果你說你有博士學位,則證明有博士學位的責任應該落在你身上,而不是檢察官或具告人!

同樣地,因為證明我們沒有犯罪很困難甚或不可能,所以「我們沒有犯罪」應該是唯一的不需要證明之合理假設;如果你控告我犯罪,那法庭應該要你(告訴人或檢察官)提出不被懷疑及合理質疑的證據。這事實上正是民主國家所採取的法律制度。

結論

歐幾里德的專著《幾何原本》為幾何學提供了一個系統而公理化的方法:他從一組不證自明的真理(公理和公設)出發,運用演繹推理推導出定理和證明,為數學的嚴謹性和邏輯推理確立了標準,塑造了數學家和科學家解決問題和建構理論的方式,甚至影響了數學以外的各個領域如法律和政治思想,在人類社會發展中發揮了基礎性作用。例如美國傑斐遜(Thomas Jefferson)和其他開國元勳們就是運用歐幾里德演繹法構建了《獨立宣言》:他們從類似於歐幾里德幾何的「不證自明」的真理━公理━入手,建立邏輯論證,以證明革命和建立新政府的必要性。因為這些基本原則被普遍接受,無需進一步證明,因此賦予了《獨立宣言》強大而不可否認的力量。

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我們在這裡探討了日常生活中所碰到的宗教信仰、學位真假、與犯罪判決的爭論與判斷,得到結論:人人有宗教信仰或不信仰的自由,確定犯罪的責任在檢察官身上,證明有學位的義務則落在當事人身上!

註釋

  • (註一)嚴格地證明 \(\sqrt{2}\) 是無理數很簡單,有興趣的讀者可參考「延伸閱讀3」。
  • (註二)原則上必須是趨近於零的短線。
  • (註三)大圓弧是球體上任何圓心與球心重合的圓(例如赤道)。但是因為天氣、急流和空域限制等因素,航班並不沿著大圓弧路徑飛行,例如台北到舊金山的實際航線比大圓弧長了約10%。
  • (註四)這裡指的「上帝」是抽象的、廣泛的超人造物主。
  • (註五)在「延伸閱讀4」一文裡,筆者提到了要證明有博士學位應該是非常簡單的,如拿出正式的畢業證書或學校出證明;但要外人證明你沒有博士學位,則將與證明上帝不存在一樣更加困難:因為即使我們找遍全世界所有的地方,都沒發現你的論文或證書,我們還是不能說你沒有博士學位的博士學位━因為這不是「嚴格的邏輯證明」!

延伸閱讀

  1. 抱歉了愛因斯坦,但我真的沒辦法給那個酷理論——為何相對論與諾貝爾獎擦身而過?」,泛科學,2021/07/28。
  2. 思考的極限:宇宙創造出「空間」與「時間」? ——宇宙觀的發展史(下篇)|20 世紀後」,泛科學,2023/05/17。
  3. 愛因斯坦相信的上帝,是你以為的那位上帝嗎?」,泛科學,2018/03/30。
  4. 要被接受,需有不被合理質疑的證據–從科學與蔡博士學位事件討論起」,科技報導,2020/02/01。
  5. 從圓周率與無理數,談數學也有其無法理解、不精確、與不確定性」,泛科學,2019/06/03。
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賴昭正_96
50 篇文章 ・ 61 位粉絲
成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此獲有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪,IBM顧問研究化學家退休 。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲它轉載我的科學月刊上的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」。

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從昏迷到死亡錯覺:摩托車事故後的科塔爾症候群——《大腦獵奇偵探社》
行路出版_96
・2024/08/24 ・3933字 ・閱讀時間約 8 分鐘

摩托車事故後的幻覺

一九八九年十月,二十八歲的股票經紀人,姑且稱之為威爾(Will),發生了嚴重的摩托車意外。他腦部受到重創,陷入昏迷,雖然幾天後恢復意識,但他在醫院裡住了好幾個月,治療腦傷以及其他損傷引起的感染。

到了隔年一月,威爾的復原情況非常良好,已經可準備出院。他的身上有些問題永遠好不了,例如右腿行動困難以及喪失部分視覺。但是最困擾他的問題發生在他的腦袋裡:他相當確定自己已經死了。威爾的母親為了幫助兒子早日康復,帶他去南非度假。但南非的炎熱讓威爾相信這個地方就是(真正的)地獄,因此更加確定自己必定是個死人。母親難以置信地問他是怎麼死的,他說了幾個可能的死因。有可能是血液感染(這是治療初期的風險),也有可能是他之前打黃熱病疫苗之後的併發症。此外他也提出自己可能死於愛滋病,雖然他沒有感染 HIV 病毒或愛滋病的任何跡象。

威爾康復出院,但堅信自己已經死亡。連他母親帶他去南非度假,都被他認為自己身在地獄。 圖/envato

有一種強烈的感覺纏上威爾,揮之不去─他覺得身旁所有東西都……這麼說好了……不是真的。車禍前熟悉的人和地方,他現在都不太認得,所以他愈發覺得自己住在一個奇怪又陌生的世界。連母親都不像真的母親。其實在南非度假的時候,威爾就曾這麼說過。他認為真正的母親在家裡睡覺,是她的靈魂陪伴他遊歷陰間。

喪失現實感:大腦如何捏造非理性的死亡解釋

四十六歲的茱莉亞(Julia)有嚴重的雙相情緒障礙症(bipolar disorder),入院時她相信自己的大腦和內臟都已消失。她覺得她早已不存在,只剩下一副空殼般的軀體。她的「自我」消失了,所以她(無論從哪個意義上看來都)是個死人。她不敢泡澡也不敢淋浴,因為怕自己空空如也的身體會滑進排水孔流走。

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三十五歲的凱文(Kevin)憂鬱的情況愈來愈嚴重,幾個月之後,腦海中的念頭漸漸演變成妄想。一開始,他懷疑家人正在密謀要對付他。接著,他認為自己已經死了,也已經下地獄,只是身體仍在人間。現在這副身體是空殼,裡面一滴血液也沒有。為了證明自己的想法沒錯,他從岳母家的廚房裡拿了一把刀,反覆戳刺手臂。他的家人明智地叫了救護車,將他送進醫院。

科塔爾症候群患者的大腦顯然有問題。發病之前,通常發生過嚴重的神經系統事故(中風、腫瘤、腦傷等等),或出現精神疾病(憂鬱症、雙相情緒障礙症、思覺失調症等等)。不過這些情況導致科塔爾症候群仍屬少見,神經科學家尚未找到明確原因,可以解釋科塔爾症候群患者的大腦為何如此與眾不同。再加上每個患者的症狀都不太一樣,判斷起來更加困難。話雖如此,有些共同症狀或許能提供蛛絲馬跡,幫助我們了解這種症候群。

科塔爾症候群的患者經常說,他們身處的世界莫名其妙變得很陌生。多數人看到自己曾邂逅多次的人事物時,大腦都能點燃辨認的火花,但這件事不會發生在科塔爾症候群的患者身上。舉例來說,患者可能認得母親的臉,但就是莫名的感到陌生。她似乎缺乏某種無形──但重要的─個人特質,所以患者即使看到這個生命中最重要的人,卻無法產生預期中的的情感反應。

患者也可能會有疏離感,彷彿自己是這世界的旁觀者,而不是參與者。術語叫做人格解離(depersonalization)。此外,周遭的一切都散發超現實的氣氛,讓患者相信自己生活在擬真的夢境裡─這是一種叫做喪失現實感(derealization,亦稱失實症)的症狀。科塔爾症候群患者體驗到的陌生感、人格解離、喪失現實感,都會嚴重扭曲他們眼中的現實世界。不難想像這會讓大腦難以負荷。

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大腦碰到如此矛盾的情況會拚命尋找原因。對大腦來說,能夠合理解釋各種生活事件是非常重要的。若找不到合理的解釋,世界很快就會變成無法預測、無法理解,最終變得無法忍受。因此為了清楚解釋所經歷的事情,大腦會無所不用其極。如果在經驗裡出現大腦難以合理解釋的元素,它會退而求其次:自己捏造合理的答案。

每個人的大腦都會這麼做,而且隨時隨地都在做,只是我們察覺不到。例如有研究發現,我們每天做的決定不計其數─從什麼時間吃點心,到要跟誰出去約會──但我們做這些決定時總是不假思索。我們好像大部分的時間都處於自動駕駛模式。可是每當有人問我們為什麼做這樣的決定時,大腦幾乎總能想出好答案來合理化我們的選擇。但有時候,它想出來的答案完全不合理。

有一項研究讓男女受試者看兩名女性的照片,請他們選出比較好看的那位。受試者做出決定之後,研究人員隨即將照片放在他們面前,要他們解釋為什麼選這個人。但受試者不知道的是,研究人員會偷偷調換照片(占比約二十%),要受試者解釋自己為什麼挑中這個(他們明明沒挑中的)人。大多數受試者都沒有識破研究人員的詭計。他們通常不會質疑照片上的人不是自己選的那個,而是當場想出合理的答案,說明為什麼覺得眼前照片上的人比較好看,例如「她看起來很辣」,或是「我覺得她比較有個性」(兩張照片差異甚大,所以受試者不是單純的認錯人)。

這種非刻意的捏造叫做虛談(confabulation),大腦做這件事的頻率比你以為的更高。虛談的原因可能有百百種,但這似乎是大腦遇到自己無法明確解釋的事件時,會使用的策略。神經科學家相信,科塔爾症候群患者的大腦也做了類似的事情。從這個角度來說,科塔爾症候群的起點,是前面提過的幾種狀況(例如創傷、腫瘤等等)導致大腦功能異常。

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大腦合理性檢查機制失靈

大腦功能異常導致現實感喪失與人格解離,進而使患者覺得周遭的一切很陌生,欠缺他們預期中的「真實感」。於是患者的大腦努力理解這樣的經驗,瘋狂尋找合理的解釋。基於不明原因,科塔爾症候群患者容易把注意力轉向內在,認為如果外在經驗不對勁,毛病可能出在自己身上。

結果基於某些更加不明的原因,大腦找到的解釋是他們已經死了、正在腐爛、被邪靈附體,或其他稀奇古怪的、與存在有關的原因。這一連串環環相扣的假設聽起來有點誇張。畢竟,喪失現實感這樣的症狀沒那麼少見;很多人(某些估計高達七十五%)會有類似的─但非常短暫的─喪失現實感的經驗。但有這種經驗的人,幾乎都不會認為自己已經死了。

顯然,科塔爾症候群患者的大腦裡還發生了別的事情。神經科學家相信,或許是重要的合理性檢查機制(plausibility-checking mechanism)沒有發揮作用。大腦偶爾會錯誤解讀生活裡發生的事,但我們通常不會想出一個明顯不合理的解釋。

或許是因為大腦錯誤解讀現實,讓科塔爾症患者對現實理解出現錯覺。 圖/envato

大腦似乎有一套用來評估邏輯的機制,確保我們的邏輯可以通過合理性的檢驗。在多數有過喪失現實感或人格解離等症狀的人身上,這套合理性檢查機制能使他們立刻否決「我感覺到自己脫離現實,是因為我已經死了」的想法;大腦認為這個提議很荒唐,很可能再也不會想起它。但是在科塔爾症候群的患者身上,這套合理性檢查機制顯然壞掉了。大腦將脫離現實的感覺歸因於他們已經死了,這個想法不知為何保留了下來,而大腦也認為這個解釋站得住腳。於是在其他人眼中絕對是妄想的念頭,成了他們深信不移的答案。

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醫生在為科塔爾症候群患者(以及後面會介紹的另外幾種行為古怪的精神障礙患者)尋找腦部損傷時,經常發現腦傷位於右腦。神經科學家因此假設合理性檢查機制位於右腦。大腦分為兩半,叫做大腦半球(cerebral hemispheres)。左腦半球和右腦半球的劃分簡單有力,因為有一道裂縫將大腦一分為二。乍看之下,左右兩邊一模一樣,但受過訓練的神經科學家用肉眼就能看出兩者並非完全對稱。透過顯微鏡觀察,差異更加顯著。因此左腦與右腦的功能有差異或許不足為奇。

長期以來,一直有人拿這些差異做文章,用錯誤的方式來解讀左腦和右腦的不同,以偏概全又過於誇大。例如斬釘截鐵地說,有些人較常使用右腦,也就是「右腦人」,所以擅長創意思考,「左腦人」則比較有邏輯。這是大家耳熟能詳的觀念,但神經科學家認為這只是迷思。實際上,我們使用大腦時不會特別偏左或偏右,而是完整使用兩個半腦。不過有些功能(例如語言的某些能力)會比較依賴某一個大腦半球。所以科塔爾症候群與右腦損傷有關的假設,並非全然不可能。

但科塔爾症候群(可能也包括合理性檢查機制)與右腦的關聯性依然只是假設,只不過許多(但不是所有)神經科學家深入研究過的科塔爾症候群案例,都支持這項觀察結果。無論合理性檢查機制確切位於何處,但在推演患者如何發展出科塔爾症候群的通用模型中,這個假設的機制扮演著重要角色。首先,大腦功能異常造成疏離症狀,例如喪失現實感與人格解離。大腦出於習慣,會先試著為眼前的情況找答案。問題是,仔細檢查並淘汰不合理答案的能力也受損了,於是大腦只好捏造稀奇古怪的答案,告訴自己身體已經死了(或是邪靈附體、正在腐爛等等),而且不會因為這個答案不合理而淘汰它。

有人認為,這種階段性的妄想形成過程也適用於另一些妄想症。這些妄想症的症狀也很古怪,不亞於科塔爾症候群。

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——本文摘自《大腦獵奇偵探社:狼人、截肢癖、多重人格到集體中邪,100個讓你洞察人性的不思議腦科學案例》,2024 年 7 月,行路出版,未經同意請勿轉載。

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行路出版_96
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行路為「讀書共和國」出版集團旗下新創的出版社,出版知識類且富科普或哲普內涵的書籍,科學類中尤其將長期耕耘「心理學+腦科學」領域重要、具時代意義,足以當教材的出版品。 行路臉書專頁:https://www.facebook.com/WalkPublishing