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不要相信你的直覺

賴 以威
・2013/12/31 ・2780字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 450 ・四年級

Photo Credit:Celestine Chua
Photo Credit:Celestine Chua

「應該是這樣吧」。

許多時候我們遇到不懂的事情,常習慣就這麼歪頭兩秒鐘,然後,彷彿答案卡在腦袋裡面一樣,搖一搖,答案噗通一聲就掉出來了。

有人稱這是直覺。

然而,很遺憾地,大多數人的直覺都不是很準,不然就不會那麼多人在樂透選號時面帶微笑,還善良地想著要捐出一半頭彩。

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要是理性點,應該會很憂心忡忡地想著:

50元花下去,中三碼的機率僅有1.78%,好低。
六碼全中的頭彩機率更是低到億分之7.15,比每天車禍致死的機率億分之5.25高一點點而已,唉。

 

就算不講容易讓人不理性的樂透,直覺在許多時候也經不起數學的檢驗。更正確一點的說法是,直覺本來就不大準,只是這世界並沒有太多事情能搞清楚對錯,所以不容易察覺到直覺到底有多不準。好比你覺得隔壁同學暗戀你,因為她下課常問你要不要一起去合作社,但事實上她只是單純想找人陪,可是在告白之前,你無法確認這件事情的真相。

更可悲的是,就算告白成功了,你還是無法確認她是否真的愛你。

聽不懂嗎?沒關係,再長大一點就懂了。

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今天,我們藉由簡單的數學統計,讓大家實際看看,直覺跟事實間的差距,恐怕比藍綠兩黨之間的差距還大。後者至少還有「無能」、「貪汙」、「讓老百姓氣到高血壓」等等諸多族繁不及備載的共同點……。嗯,他們其實蠻像的,我似乎舉錯例子了。

※直覺 vs. 數學

翻開存摺,看看最左邊的數字,將這個數字稱為「首數」,一百多萬的首數是1,六千多元的首數是6,八十幾塊的首數即是8。現在,請用直覺判斷,全台灣兩千三百萬人的存款金額首數,1~9各個數字出現的機率各自是多少呢?

均勻分布,每個數字出現的機率皆是1/9。

許多人的直覺應該此刻在腦海裡吶喊著這個答案,還帶點不屑。

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要是順從直覺,按照這個邏輯繼續推理下去,使用歐元的人的存款金額首數,日本人的日幣存款金額首數,每個數字出現的機率應該也都是1/9的均勻分布。沒理由這項統計數字在台灣是均勻分布,到歐洲或日本就會改變,大家理當都該一樣。

現在,當我們假設有9個人,戶頭裡各自有100、200…900元新台幣,符合均勻分布。要是銀行忽然將他們的存款改以日幣或歐元計算,會得到下表。

台幣 100 200 300 400 500 600 700 800 900
日幣 357 714 1071 1429 1786 2143 2500 2857 3214
歐元 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5

 

可以看見,首數1從出現一次,大幅增加到三與四次,首數9則消失在表格中。

考慮更一般的狀況,可以得到下面的統計分析圖。當台幣換算成歐元或日幣時,首數數字小的出現機率都比較高。

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uniform_firstnum

至此,可以宣告直覺失敗,輸給了所謂的「班佛定律」:以自然形式出的數字,首數是1的機率約30%,2的機率是17.6%,依序遞減,首數是8與9的機率各自僅有5.1%與4.6%。

 

※班佛定律是哪招

要解釋這種不直覺的遞減現象,我們得先提一個生活中的例子。

想像一條長條狀的蛋糕,蛋糕上不同區域,有不同的裝飾:有些地方是草莓、有些地方是櫻桃、還有些地方是肉桂跟大蒜。

要是有四人想分這條蛋糕,而且每種裝飾都想吃到,最常見的作法,就是先將蛋糕由上往下,切成許多片,每一片的大小符合每個人能拿到的比例,切完後依序1、2、3、4、1、2、3、4…等分。每個人再根據自己的編號,週期性地挑出屬於自己的蛋糕。如同下圖,

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理想蛋糕分法
理想蛋糕分法

上圖就是其中一人的切法。在每隔一段距離,切下等寬的一部份。可以確保每個人拿到他該拿到的比例,且各種裝飾都能拿到。我們稱這種為「理想蛋糕分法」。

回到首數的問題。

要是統計全台灣的人銀行存款,可以畫出存款的統計分布圖,我們用下面這張示意圖表示。

linearX
x軸為線性時,首數分布不規律且不均等。

存款首數為1的區域我們用紫色表示。要是將整個曲線想成一條蛋糕,切下的紫色區域起先是一條細細的「1」,過了2~9後,再來一塊粗一點的「10~19」,這次得隔久一點,過了0~99,才會再出現更粗的「100~199」。然後,得一直等到「1000~1999」。

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切下的區域分別是1、10、100、1000…切的間隔是8、80、800…。

換句話說,依據不同首數的蛋糕切法,在不同間隔間,切下大小不同的面積,不是剛才說的「理想蛋糕分法」。可能,落在300~500的櫻桃就這麼沒了。

不過,要是將x軸的金額取對數(log),就會得到下面這張圖。

logX
x軸為對數時,首數分布呈現「理想蛋糕分法」。

方才所說的「理想蛋糕分法」——等間隔切下同樣大小的區域,在此重現了

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因為是等間隔,不同區域的裝飾都能拿到,以取樣的角度來,就是取下來的部分能夠充分反映原來曲線的特性。

有趣的是,在對數轉換後,首數為1切下來的面積所佔比例是log102- log101=log2~30%,首數是2的比例則是log103- log102=log10(3/2)~17.6%,歸納出首數為x時,所佔比例為log10(1+1/x),。

這才是真正的首數分布。

 

回到剛剛不同幣值的問題,如果假設新台幣的存款首數分布是依據班佛定律時,換算成歐元跟日幣後,可以得到下圖

exp_firstnum
當首數分布,符合班佛定律時,不管怎麼切換貨幣,依然遵守班佛定律。

可以看見,換算到不同貨幣後,趨勢依然相似,大致依然符合班佛定律。終於,我們看到log離家出走,離開了數學課本

※數學界的抓猴達人,班佛定律

只要是自然產生的數據,且數據涵蓋範圍很大,首數分布即會符合班佛定律。

因此,班佛定律相當具有實際用途。好比,統計公司一年的各種報帳款項,便會看見班佛定律的存在。政府或會計師即可反過來利用班佛定律,審核公司報帳是否誠實,如果不符合班佛定律,可能就有問題了。

奈何我無法拿中華民國各級政府,或首長特別費的資料實際測試一下班佛定律的威力(也怕測出來發現不符合,大家反而會說「這不是理所當然嗎」),只好拿2012總統大選全國各鄉鎮的投票結果來看:

 

2012
2012總統大選符合班佛定律

結果相當符合班佛定律,這告訴我們,要嘛總統大選沒作票,或者作票的人精通班佛定律,再不然就是,作票的人歪打正著還是讓結果符合班佛定律了。

從一開始就說,別相信直覺了嘛。

參考資料:

  • R. M. Fewster, “A simple explanation of Benford’s law,” the American Statistician, vol. 63, no. 1, pp. 26-32, Nov. 2009.

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

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賴 以威
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數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

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連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

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在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

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地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

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地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

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許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

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地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

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此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

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