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不要相信你的直覺

賴 以威
・2013/12/31 ・2780字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 450 ・四年級

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Photo Credit:Celestine Chua
Photo Credit:Celestine Chua

「應該是這樣吧」。

許多時候我們遇到不懂的事情,常習慣就這麼歪頭兩秒鐘,然後,彷彿答案卡在腦袋裡面一樣,搖一搖,答案噗通一聲就掉出來了。

有人稱這是直覺。

然而,很遺憾地,大多數人的直覺都不是很準,不然就不會那麼多人在樂透選號時面帶微笑,還善良地想著要捐出一半頭彩。

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要是理性點,應該會很憂心忡忡地想著:

50元花下去,中三碼的機率僅有1.78%,好低。
六碼全中的頭彩機率更是低到億分之7.15,比每天車禍致死的機率億分之5.25高一點點而已,唉。

 

就算不講容易讓人不理性的樂透,直覺在許多時候也經不起數學的檢驗。更正確一點的說法是,直覺本來就不大準,只是這世界並沒有太多事情能搞清楚對錯,所以不容易察覺到直覺到底有多不準。好比你覺得隔壁同學暗戀你,因為她下課常問你要不要一起去合作社,但事實上她只是單純想找人陪,可是在告白之前,你無法確認這件事情的真相。

更可悲的是,就算告白成功了,你還是無法確認她是否真的愛你。

聽不懂嗎?沒關係,再長大一點就懂了。

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今天,我們藉由簡單的數學統計,讓大家實際看看,直覺跟事實間的差距,恐怕比藍綠兩黨之間的差距還大。後者至少還有「無能」、「貪汙」、「讓老百姓氣到高血壓」等等諸多族繁不及備載的共同點……。嗯,他們其實蠻像的,我似乎舉錯例子了。

※直覺 vs. 數學

翻開存摺,看看最左邊的數字,將這個數字稱為「首數」,一百多萬的首數是1,六千多元的首數是6,八十幾塊的首數即是8。現在,請用直覺判斷,全台灣兩千三百萬人的存款金額首數,1~9各個數字出現的機率各自是多少呢?

均勻分布,每個數字出現的機率皆是1/9。

許多人的直覺應該此刻在腦海裡吶喊著這個答案,還帶點不屑。

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要是順從直覺,按照這個邏輯繼續推理下去,使用歐元的人的存款金額首數,日本人的日幣存款金額首數,每個數字出現的機率應該也都是1/9的均勻分布。沒理由這項統計數字在台灣是均勻分布,到歐洲或日本就會改變,大家理當都該一樣。

現在,當我們假設有9個人,戶頭裡各自有100、200…900元新台幣,符合均勻分布。要是銀行忽然將他們的存款改以日幣或歐元計算,會得到下表。

台幣 100 200 300 400 500 600 700 800 900
日幣 357 714 1071 1429 1786 2143 2500 2857 3214
歐元 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5

 

可以看見,首數1從出現一次,大幅增加到三與四次,首數9則消失在表格中。

考慮更一般的狀況,可以得到下面的統計分析圖。當台幣換算成歐元或日幣時,首數數字小的出現機率都比較高。

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uniform_firstnum

至此,可以宣告直覺失敗,輸給了所謂的「班佛定律」:以自然形式出的數字,首數是1的機率約30%,2的機率是17.6%,依序遞減,首數是8與9的機率各自僅有5.1%與4.6%。

 

※班佛定律是哪招

要解釋這種不直覺的遞減現象,我們得先提一個生活中的例子。

想像一條長條狀的蛋糕,蛋糕上不同區域,有不同的裝飾:有些地方是草莓、有些地方是櫻桃、還有些地方是肉桂跟大蒜。

要是有四人想分這條蛋糕,而且每種裝飾都想吃到,最常見的作法,就是先將蛋糕由上往下,切成許多片,每一片的大小符合每個人能拿到的比例,切完後依序1、2、3、4、1、2、3、4…等分。每個人再根據自己的編號,週期性地挑出屬於自己的蛋糕。如同下圖,

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理想蛋糕分法
理想蛋糕分法

上圖就是其中一人的切法。在每隔一段距離,切下等寬的一部份。可以確保每個人拿到他該拿到的比例,且各種裝飾都能拿到。我們稱這種為「理想蛋糕分法」。

回到首數的問題。

要是統計全台灣的人銀行存款,可以畫出存款的統計分布圖,我們用下面這張示意圖表示。

linearX
x軸為線性時,首數分布不規律且不均等。

存款首數為1的區域我們用紫色表示。要是將整個曲線想成一條蛋糕,切下的紫色區域起先是一條細細的「1」,過了2~9後,再來一塊粗一點的「10~19」,這次得隔久一點,過了0~99,才會再出現更粗的「100~199」。然後,得一直等到「1000~1999」。

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切下的區域分別是1、10、100、1000…切的間隔是8、80、800…。

換句話說,依據不同首數的蛋糕切法,在不同間隔間,切下大小不同的面積,不是剛才說的「理想蛋糕分法」。可能,落在300~500的櫻桃就這麼沒了。

不過,要是將x軸的金額取對數(log),就會得到下面這張圖。

logX
x軸為對數時,首數分布呈現「理想蛋糕分法」。

方才所說的「理想蛋糕分法」——等間隔切下同樣大小的區域,在此重現了

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因為是等間隔,不同區域的裝飾都能拿到,以取樣的角度來,就是取下來的部分能夠充分反映原來曲線的特性。

有趣的是,在對數轉換後,首數為1切下來的面積所佔比例是log102- log101=log2~30%,首數是2的比例則是log103- log102=log10(3/2)~17.6%,歸納出首數為x時,所佔比例為log10(1+1/x),。

這才是真正的首數分布。

 

回到剛剛不同幣值的問題,如果假設新台幣的存款首數分布是依據班佛定律時,換算成歐元跟日幣後,可以得到下圖

exp_firstnum
當首數分布,符合班佛定律時,不管怎麼切換貨幣,依然遵守班佛定律。

可以看見,換算到不同貨幣後,趨勢依然相似,大致依然符合班佛定律。終於,我們看到log離家出走,離開了數學課本

※數學界的抓猴達人,班佛定律

只要是自然產生的數據,且數據涵蓋範圍很大,首數分布即會符合班佛定律。

因此,班佛定律相當具有實際用途。好比,統計公司一年的各種報帳款項,便會看見班佛定律的存在。政府或會計師即可反過來利用班佛定律,審核公司報帳是否誠實,如果不符合班佛定律,可能就有問題了。

奈何我無法拿中華民國各級政府,或首長特別費的資料實際測試一下班佛定律的威力(也怕測出來發現不符合,大家反而會說「這不是理所當然嗎」),只好拿2012總統大選全國各鄉鎮的投票結果來看:

 

2012
2012總統大選符合班佛定律

結果相當符合班佛定律,這告訴我們,要嘛總統大選沒作票,或者作票的人精通班佛定律,再不然就是,作票的人歪打正著還是讓結果符合班佛定律了。

從一開始就說,別相信直覺了嘛。

參考資料:

  • R. M. Fewster, “A simple explanation of Benford’s law,” the American Statistician, vol. 63, no. 1, pp. 26-32, Nov. 2009.

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

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賴 以威
32 篇文章 ・ 9 位粉絲
數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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純淨之水的追尋—濾水技術如何改變我們的生活?
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/04/17 ・3142字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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本文與 BRITA 合作,泛科學企劃執行。

你確定你喝的水真的乾淨嗎?

如果你回到兩百年前,試圖喝一口當時世界上最大城市的飲用水,可能會立刻放下杯子——那水的顏色帶點黃褐,氣味刺鼻,甚至還飄著肉眼可見的雜質。十九世紀倫敦泰晤士河的水,被戲稱為「流動的污水」,當時的人們雖然知道水不乾淨,但卻無力改變,導致霍亂和傷寒等疾病肆虐。

十九世紀倫敦泰晤士河的水,被戲稱為「流動的污水」(圖片來源 / freepik)

幸運的是,現代自來水處理系統已經讓我們喝不到這種「肉眼可見」的污染物,但問題可還沒徹底解決。面對 21 世紀的飲水挑戰,哪些技術真正有效?

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19 世紀的歐洲因為城市人口膨脹與工業發展,面臨了前所未有的水污染挑戰。當時多數城市的供水系統仍然依賴河流、湖泊,甚至未經處理的地下水,導致傳染病肆虐。

1854 年,英國醫生約翰·斯諾(John Snow)透過流行病學調查,發現倫敦某口公共水井與霍亂爆發直接相關,這是歷史上首次確立「飲水與疾病傳播的關聯」。這項發現徹底改變了各國政府對供水系統的態度,促使公衛政策改革,加速了濾水與消毒技術的發展。到了 20 世紀初,英國、美國等國開始在自來水中加入氯消毒,成功降低霍亂、傷寒等水媒傳染病的發生率,這一技術迅速普及,成為現代供水安全的基石。    

 19 世紀末的台灣同樣深受傳染病困擾,尤其是鼠疫肆虐。1895 年割讓給日本後,惡劣的衛生條件成為殖民政府最棘手的問題之一。1896 年,後藤新平出任民政長官,他本人曾參與東京自來水與下水道系統的規劃建設,對公共衛生系統有深厚理解。為改善台灣水源與防疫問題,他邀請了曾參與東京水道工程的英籍技師 W.K. 巴爾頓(William Kinnimond Burton) 來台,規劃現代化的供水設施。在雙方合作下,台灣陸續建立起結合過濾、消毒、儲水與送水功能的設施。到 1917 年,全台已有 16 座現代水廠,有效改善公共衛生,為台灣城市化奠定關鍵基礎。

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圖片來源/BRITA

進入 20 世紀,人們已經可以喝到看起來乾淨的水,但問題真的解決了嗎? 科學家如今發現,水裡仍然可能殘留奈米塑膠、重金屬、農藥、藥物代謝物,甚至微量的內分泌干擾物,這些看不見、嚐不出的隱形污染,正在成為21世紀的飲水挑戰。也因此,濾水技術迎來了一波科技革新,活性碳吸附、離子交換樹脂、微濾、逆滲透(RO)等技術相繼問世,各有其專長:

活性碳吸附:去除氯氣、異味與部分有機污染物

離子交換樹脂:軟化水質,去除鈣鎂離子,減少水垢

微濾技術逆滲透(RO)技術:攔截細菌與部分微生物,過濾重金屬與污染物等

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這些技術相互搭配,能夠大幅提升飲水安全,然而,無論技術如何進步,濾芯始終是濾水設備的核心。一個設計優良的濾芯,決定了水質能否真正被淨化,而現代濾水器的競爭,正是圍繞著「如何打造更高效、更耐用、更智能的濾芯」展開的。於是,最關鍵的問題就在於到底該如何確保濾芯的效能?

濾芯的壽命與更換頻率:濾水效能的關鍵時刻濾芯,雖然是濾水器中看不見的內部構件,卻是決定水質純淨度的核心。以德國濾水品牌 BRITA 為例,其濾芯技術結合椰殼活性碳和離子交換樹脂,能有效去除水中的氯、除草劑、殺蟲劑及藥物殘留等化學物質,並過濾鉛、銅等重金屬,同時軟化水質,提升口感。

然而,隨著市場需求的增長,非原廠濾芯也悄然湧現,這不僅影響濾水效果,更可能帶來健康風險。據消費者反映,同一網路賣場內便可輕易購得真假 BRITA 濾芯,顯示問題日益嚴重。為確保飲水安全,建議消費者僅在實體官方授權通路或網路官方直營旗艦店購買濾芯,避免誤用來路不明的濾芯產品讓自己的身體當過濾器。

辨識濾芯其實並不難——正品 BRITA 濾芯的紙盒下方應有「台灣碧然德」的進口商貼紙,正面則可看到 BRITA 商標,以及「4週換放芯喝」的標誌。塑膠袋外包裝上同樣印有 BRITA 商標。濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣,並且沒有拉環設計,底部則標示著創新科技過濾結構。購買時仔細留意這些細節,才能確保濾芯發揮最佳過濾效果,讓每一口水都能保證潔淨安全。

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濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣,並且沒有拉環設計 (圖片來源 / BRITA)

不過,即便是正品濾芯,其效能也非永久不變。隨著使用時間增加,濾芯的孔隙會逐漸被污染物堵塞,導致過濾效果減弱,濾水速度也可能變慢。而且,濾芯在拆封後便接觸到空氣,潮濕的環境可能會成為細菌滋生的溫床。如果長期不更換濾芯,不僅會影響過濾效能,還可能讓積累的微小污染物反過來影響水質,形成「過濾器悖論」(Filter Paradox):本應淨化水質的裝置,反而成為污染源。為此,BRITA 建議每四週更換一次濾芯,以維持穩定的濾水效果。

為了解決使用者容易忽略更換時機的問題,BRITA 推出了三大智慧提醒機制,確保濾芯不會因過期使用而影響水質:

1. Memo 或 LED 智慧濾芯指示燈:即時監測濾芯狀況,顯示剩餘效能,讓使用者掌握最佳更換時間。

2. QR Code 掃碼電子日曆提醒:掃描包裝外盒上的 QR Code 記錄濾芯的使用時間,自動提醒何時該更換,減少遺漏。

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3. LINE 官方帳號自動通知:透過 LINE 推送更換提醒,確保用戶不會因忙碌而錯過更換時機。

在濾水技術日新月異的今天,濾芯已不僅僅是過濾裝置,更是智慧監控的一部分。如何挑選最適合自己需求的濾水設備,成為了健康生活的關鍵。

人類對潔淨飲用水的追求,從未停止。19世紀,隨著城市化與工業化發展,水污染問題加劇並引發霍亂等疾病,促使濾水技術迅速發展。20世紀,氯消毒技術普及,進一步保障了水質安全。隨著科技進步,現代濾水技術透過活性碳、離子交換等技術,去除水中的污染物,讓每一口水更加潔淨與安全。

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(圖片來源 / BRITA)

今天,消費者不再單純依賴公共供水系統,而是能根據自身需求選擇適合的濾水設備。例如,BRITA 提供的「純淨全效型濾芯」與「去水垢專家濾芯」可針對不同需求,從去除餘氯、過濾重金屬到改善水質硬度等問題,去水垢專家濾芯的去水垢能力較純淨全效型濾芯提升50%,並通過 SGS 檢測,通過國家標準水質檢測「可生飲」,讓消費者能安心直飲。

然而,隨著環境污染問題的加劇,真正的挑戰在於如何減少水污染,並確保每個人都能擁有乾淨水源。科技不僅是解決問題的工具,更應該成為守護未來的承諾。濾水器不僅是家用設備,它象徵著人類與自然的對話,提醒我們水的純淨不僅是技術的勝利,更是社會的責任和對未來世代的承諾。

*符合濾(淨)水器飲用水水質檢測技術規範所列9項「金屬元素」及15項「揮發性有機物」測試
*僅限使用合格自來水源,且住宅之儲水設備至少每6-12個月標準清洗且無受汙染之虞

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