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情人的理型:讓數學告訴你,遇見完美情人有多難?

隨著年齡增長,我認知到兩件事實:第一、味全龍不會復活;第二、戀愛是場妥協的過程。

高二那年,我第一次去光華商場

「我要組一台完美的電腦。」

「完美是怎樣,記憶體、螢幕、CPU要衝多快、主機板、音效卡、顯示卡、鍵盤、滑鼠?」

「滑鼠跟鍵盤那種事情不重要啦!」

我心虛地反駁老闆,根本沒想過原來「完美」是由眾多細節構成。

完美的情人也是如此吧。每個人想找到完美情人,但具體地說又是怎樣呢?

我思索了好久,深夜夢到完美情人,醒來便記下她的樣貌、感覺,我彷彿在寫生,景物是藏在腦海深處的她:清澈的雙眼,我可以在她瞳孔中看見自己的幸福表情;挺拔的鼻子,親吻時我們的鼻尖會微微碰到;總是帶著淺淺的笑,不刻意,像中餐吃了頓好的,或順利完成工作,對生活滿足的笑容;孝順善良,為了小事感傷,面臨抉擇時有主見。

還有他的身高應該要是 158 公分,據說 12 公分是最佳的擁抱差距。最重要的是,她會像我愛她一樣地愛著我

關於完美情人,你得像組裝電腦一樣列出所有細節,再將它們統整成一個多重最佳化(multi-objective optimization)問題。列出來就好了,幹嘛變成最佳化問題?

因為世界上不存在完美情人。柏拉圖曾說過,這世界上沒有完美的直線。再精確的尺也只能畫出近似的直線,無限放大後必然會看到抖動。

任何感官能體會到的事物都是表象,是完美的理型(form)的投影。直線的理型,存在於抽象的數學世界中。情人的理型,只存在於每個人的腦海裡。現實中我們尋求的,是最接近理型的情人。

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每個人心中都曾出現過完美情人的樣子,但遇到她的機率有多少呢? 圖/John Hope@flickr

我們想最佳化數個目標函數,或是說,想找到一位情人能在各方面都最接近理型。如果有這麼一位對象,恭喜你。但現實中常常事與願違,你可能找到一位外表很相似,但現在同時有兩位男友而你只能排到星期六下午三點到五點,跟吃到飽下午茶的時段差不多;你可能找到一位很聊得來的女孩,但懊惱自己為何都三十歲了還在意外表。你可以找到許多帕累托最佳解(Pareto Optimality)。但真正的理想情人只有一位,越多「一樣好」的帕累托最佳解,只更證明了他們距離理型更遠。

你終究要從眾多的「帕累托情人」當中挑出一位,我們進一步將多重最佳化改成階層最佳化(hierarchal optimization),把目標分等級,依序追求,先是個性、再來是外表、再來是喜不喜歡狗……很多人交往或結婚後感情生變,我認為很大一部分就是階層最佳化的順序改變了。交往前最在意的是長相,但交往後相處卻認為個性最重要,原本喜歡的對象就變得不再那麼美好。

這是妥協的下場,奈何我們只能跟這個下場妥協。

讓我繼續來潑冷水。當我們從理型退到帕累托最佳解,再用階層最佳化求得一位對象,且稱她為「最佳解情人」。

問題是,你不一定能遇到她。更糟糕的是,遇到了也不一定知道是她

哪怕你覺得眼前的對象已經很不錯了,但她終究跟理型有一段差距,這差距會讓你心底永遠存留一個小小的疑問。

娶了紅玫瑰,久而久之,紅的變了牆上的一抹蚊子血,白的還是『床前明月光』;娶了白玫瑰,白的便是衣服上沾的一粒飯黏子,紅的卻是心口上一顆硃砂痣。——〈紅玫瑰與白玫瑰〉

是否存在一位更好、更接近理型的情人?

秘書問題(secretary problem)試圖解決這個問題:假設一輩子交往 100 位女朋友,而且分手了就不能復合,那麼前 37 位都不能定下來,只能將他們作為你的參考指標。第 38 位起,倘若有一位比前 37 位都要好的對象出現,立刻下跪求婚,如此將可最大化你和最佳解情人定下來的機率。

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遇見最最最理想的另一半,會有多難?圖/Victor U@flickr

這是一套經過數學嚴謹計算的最佳策略,使用起來的成效是—— 1/e,e 是歐拉數(Euler’s number),趨近 2.718,換算起來 1/e 是 37%。表示你有高達六成的機率會錯過她

夠沮喪了嗎?讓我再推你一把。

方才的 37% 是指你跟最佳解情人交往過的前提下才成立,換句話說這是條件機率。有更多的可能是根本沒和最佳解情人交往過,甚至連認識都不認識她。

撇開你我都不是金城武的事實,倘若認識了最佳解情人就能順利和她交往,則和最佳解情人定下來的機率是

P(和最佳解情人定下來)= P(和最佳解情人定下來|認識最佳解情人)× P(認識最佳解情人)+ P(和最佳解情人定下來|不認識F)× P(不認識最佳解情人)= 37% × P(認識最佳解情人)+ 0 × P(不認識最佳解情人)

認識最佳解情人的機率有多高呢?

我們用費米推論法(Fermi estimation)來算算看。假設最佳解情人住在台灣,台灣 20~40 歲女性約三百五十萬人。在假設社交網路中,你只會認識朋友的朋友,也就是圖論中的距離(node distance)2,倘若你有 200 位朋友,每一位認識 200 位這個年齡層的台灣女性。用這麼寬的標準來算,依然只有 1% 的機率,你會認識最佳解情人。這時候,和最佳解情人定下來的機率將銳減到 0.37%

到這邊,我相信你對愛情已經不再抱著過度的期望,畢竟數學告訴我們,儘管每個人都花了一生的力氣在尋找真愛,但這麼說好了,把你的人生想成是一張剛買了咖啡後拿回來的發票。

你覺得手中的發票會中獎嗎?

不好意思,我中了,而且是頭獎。

那是一個普通的傍晚,從奇岩站搭 33 分鐘的捷運到台北 101,搭電梯上 57 樓會場,擔任朋友舉辦的講座主持人。開場前我走進會場,她獨自坐在右側,臉上掛著淺淺的微笑,不刻意,讓人覺得可能是中餐吃了頓好的,或順利完成工作,對生活滿足的笑容。

我經過她凝視的前方,竊取了她的笑容。她對這奇蹟的一刻彷彿渾然無所覺,她不知道,我的情人理型以最不失真的角度立體投影在這個空間內,以白襯衫,搭配粉紅色針織罩衫的樣貌出現。

1 個月,我們第一次約會;2 個月,我們交往;3 個月,我向她求了一場很爛的婚;5 個月,我補了一場比較好的求婚,我們在日本訂做婚戒;8 個月,我們登記為夫妻,在外頭租了間小公寓,房東在牆上貼了一片櫻花送我們,我們天天在櫻花樹下睡覺,做著粉紅色的夢;13 個月,我們搬回北投住;21 個月,我們舉辦這場婚禮。每段時間,我們都有值得珍惜的重要回憶。1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21……稱為費波納契數列,第 n 個數字是前兩個數字相加的結果,費波納契數列連續兩個數字相除,1/1=1, 1/2=0.5, 2/3=0.67, 3/5=0.6, 5/8=0.625……會越來越接近黃金比例:0.618,在數學中被視為美的同義詞。

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交往中,我察覺到自己犯了根本上的錯誤。

我總以為愛情是追逐一位最接近理型的情人的過程。她相當接近,也僅止於接近,始終不是百分之百。但儘管如此,我們的相處依然那麼契合,如同以黃金比例做成的潘洛斯鋪磚(Penrose Tiling),只需要兩種基本形狀:飛鏢(Dart)與風箏(Kite),便能完美鋪滿整個平面,不留下一絲縫隙。

後來我才知道自己弄顛倒了。

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潘洛斯鋪磚。圖/wikipedia

的確,現實生活中不可能有一條完全筆直的直線,它只存在於想像中;但情人跟一條直線不一樣,情人是主觀的,是有很多細節想像不到,唯有相處、經歷後才清楚。因此,想像中不可能有完美的情人,情人的理型就是茫茫人海中的某位女孩,腦海裡的想像只是投影,讓我們用來按圖索驥,去尋找理型,那一位對每個人來說都是獨一無二的另一半。

我中的不是頭獎,是任何一個單位都無法兌換給我的超級特獎,是屬於我的情人理型

本文原刊登於作者臉書網誌〈情人的理型〉,經作者授權轉載。

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關於作者

賴 以威

賴以威

數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室